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参数方程的概念

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2016-2017学年第二学期 ___二年级 ___数学__ 学科教案 主备人：托合提阿吉·马木提所在学校：特高所在年级：高二授课教师:_______________

课题 参数方程的概念

授课 时间 2017.3.27

课时: 一课时 课型 新授课 实际授课时

间

教学目标 知识与技能

理解并掌握参数方程的概念；理解参数在方程中的意义;

理解参数方程与普通方程的区别

过程与方法 通过实际问题来理解

情感态度价值观 培养学生联想和转化的思想，参数方程是可以是这种思想的特例

教学重点 参数方程的概念及对参数的理解. 教学难点 由参数方程解有关的量. 教学方法 探究法，引导法，指导法，总结法

学习方法 师生合作交流，练习，观察 教具 教材 ，课件，教案，多媒体 民族团结 教育内容 马克思主义五观：马克思主义国家观、马克思主义民族观、马克思主义总教观、马克思主义历史观、马克思主义文化观

教学过程

共案 二次备课(手写） 一、教学回顾 1、什么是曲线方程? 2、P．21．探究 如图，一架救援飞机在离灾区地面500m高处以100m/s的速度作水平直线飞行。为使投放救援物资准确落于灾区指定的地面（不记空气阻力）， 2016-2017学年第二学期 ___二年级 ___数学__ 学科教案 主备人：托合提阿吉·马木提所在学校：特高所在年级：高二授课教师:_______________

飞行员应如何确定投放时机呢？

二、新课 1、由上问题引出：什么是参数方程？ 一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任一点的坐标(x,y)都是某个变数t的函数x=f(t),y=g(t), 并且对于t的每一个允许值,由此所确定的点M(x,y)都在这条曲线上,那么此方程就叫做这条曲线的参数方程.t为参数. 2、参数方程与普通方程 ①参数方程有一个参变量；普通方程给出两个变量直接的关系； ②参数有一定的几何或物理意义，也可以没有；

③参数方程可以转化为普通方程。 三、基础知识点拨 1.通过参数方程判断点是否在方程的曲线上 例1：已知参数方程[0,2)判断点A(1,)和B(2,1)是否在方程的曲线上. 解：把A、B两点坐标分别代入方程得 (1)，(2)，

在[0,2)内，方程组(1)的解是，而方程组(2)无解，故A点在方程的曲线上，而B点不在方程的曲线上.

sin2cos2yx

3

sin23cos21sin21cos22

3



x y 500

o 2016-2017学年第二学期 ___二年级 ___数学__ 学科教案 主备人：托合提阿吉·马木提所在学校：特高所在年级：高二授课教师:_______________ 2、参数方程化普通方程

例2：化参数方程（t≥0,t为参数）为普通方程，说明方程的曲线是什么图形.

解: 由(2)解出t，得t=y－1，代入(1)中，得 (y≥1)即 (y≥1)方程的曲线是顶点为(0,1),对称轴平行于x轴，开口向左的抛物线的一部分.

例3：当tR时，参数方程（t为参数），表示的图形是（） A 双曲线 B 椭圆 C 抛物线 D 圆

解法1：原方程可化为(1)÷(2)得：代入(2) 得(y≠-1) 答案选B

解法2：令tg=Z) 则

消去，得(y≠-1) 3.、普通方程化参数方程 例4：设，为参数，化方程为参数方程。

解：消y得

142tytx

(2) 1(1) 42tytx

2)1(4yx

xy41)1(2





2224448tty

t

tx





(2) 481(1) 4822tytt

x

1422yx





 )2(1)2(11 )2(1)2(2)2(222tty

ttx2(2

k

tk



2cos2sin2yx

1422y

x

sin1y0182422yxyx

 sin1018222yyxyx2016-2017学年第二学期 ___二年级 ___数学__ 学科教案 主备人：托合提阿吉·马木提所在学校：特高所在年级：高二授课教师:_______________

∴

由于R，所以和所确定的取值范围是一致的，故主要任选其一构成参数方程即可. 所求的参数方程为R 例6：以过点A(0,4)的直线的斜率k为参数，将方程4＝16化成参数的 方程是.

解：设M()是椭圆4＝16上异于A的任意一点，则， (≠0）以代入椭圆方程，得=0,

∴另有点

∴所求椭圆的参数方程为 或 四、基础知识测试： 1、曲线（t为参数）与轴交点的坐标是（ ）

A （1，4） B （，0） C （1，－3） D （±，0） 2、在曲线（t为参数）上的点是（） A （0，2） B （－1，6） C （1，3） D （3，4） 3、参数方程（为参数）所表示的曲线是（）

01sin882)sinsin21(422xx03sin4222xx22cos4)1(x

cos21,cos21xx或



cos21,cos21xx或

x

 sin1 cos21yx



22yx

yx,22yxkxy

4

x4kxy]8)4[(2kxkx





2224416448kkkxy

k

kx



40yx





222441648kky

k

kx



40yx

3412tytx

x

16251625

231342ttyttx





ctgtgyx

2sin

2

2016-2017学年第二学期 ___二年级 ___数学__ 学科教案 主备人：托合提阿吉·马木提所在学校：特高所在年级：高二授课教师:_______________

A 直线 B 抛物线 C 椭圆 D 双曲线

4、与参数方程（t为参数, tR）表示同一曲线的方程是（）

A （t为参数, tR） B （t为参数, tR）

C （为参数, R）D （t为参数, tR） 5、曲线 （0<<1）的参数方程是（ ）

A （为参数, ,kZ） B （t为参数, t≠0）

C （为参数, 为锐角） D （为参数, , kZ） 六、小结 1、学习了参数方程，学生谈学习的意义。 2、参数方程与普通方程的区别与联系。 3.普通方程与参数方程的互化。

作业 课后作业: 课本第26页习题2.1 第4题 课前预习: 预习圆的参数方程

tytx1

tytx1

221tytx

sin1sinyxtytxsin2cos2

1xyx

ctgytgx



2

k







tytx

1

csc1sinyx



seccosyx



2

k

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参数方程知识点

参数方程知识点

参数方程知识点参数方程是用参数来表示平面曲线或者空间曲线的方程。

参数方程中的变量称为参数，通过改变参数的值来得到曲线上不同点的坐标。

参数方程在数学、物理等领域都有广泛的应用。

参数方程的基本形式为：x=f(t)y=g(t)其中，x和y是平面上的坐标，t是参数。

函数f(t)和g(t)表示x和y坐标与参数t之间的关系，可以是多项式函数、三角函数、指数函数等。

参数方程的优点是可以描述一些复杂的曲线，例如圆、椭圆、螺旋线等。

而直角坐标方程通常难以表示这些曲线。

具体地，参数方程可以应用在以下几个方面。

1. 平面曲线的参数方程对于平面曲线，常见的参数方程有圆的参数方程、椭圆的参数方程、双曲线的参数方程等。

例如，圆的参数方程为：x=r*cos(t)y=r*sin(t)其中，r为圆的半径，t为参数，取值范围是0到2π。

2. 空间曲线的参数方程对于空间曲线，参数方程可以用来描述空间中的曲线、曲面等。

例如，螺旋线的参数方程可以表示为：x=r*cos(t)y=r*sin(t)z=k*t其中，r为螺旋线的半径，k为螺旋线的高度，t为参数，取值范围是0到2π。

3. 曲线的方程和轨迹通过参数方程，可以求解曲线的方程和轨迹。

例如，通过给定曲线上的两个点，可以得到曲线的方程，然后可以推导出曲线的形状和性质。

另外，通过变换参数的取值范围，可以得到不同参数方程的曲线，从而得到曲线的轨迹。

4. 曲线的长度和曲率通过参数方程，可以计算曲线的长度和曲率等。

曲线的长度可以通过参数方程的导数来计算，即：L=∫√(dx/dt)²+(dy/dt)²dt其中，L为曲线的长度，dx/dt和dy/dt为参数方程对应的导数。

曲线的曲率可以通过曲线的参数方程和导数来计算，即：k=|d²y/dx²| / (1+(dy/dx)²)^(3/2)其中，k为曲线的曲率，dy/dx和d²y/dx²为参数方程对应的导数。

参数方程及其应用

参数方程及其应用

参数方程及其应用参数方程是数学中一种常用的描述曲线的方法，通过引入参数来表示曲线上的点的坐标。

参数方程的优势在于它可以描述一些复杂的曲线，例如椭圆、双曲线和螺旋线等。

本文将介绍参数方程的基本概念以及其在不同领域中的应用。

一、参数方程的基本概念参数方程由一组函数构成，这些函数分别表示曲线上的点的x坐标和y坐标。

通常用t作为参数，通过给定t的取值范围，我们可以确定曲线上的点。

例如，对于平面上的一条曲线，它的参数方程可以表示为：x = f(t)y = g(t)其中f(t)和g(t)是关于t的函数。

通过选择不同的函数形式，我们可以得到各种不同的曲线。

二、参数方程的应用1. 几何学中的参数方程参数方程在几何学中有广泛的应用。

例如，椭圆可以用参数方程表示为：x = a*cos(t)y = b*sin(t)其中a和b分别表示椭圆的长半轴和短半轴。

通过改变参数t的取值范围，我们可以获得椭圆上的所有点。

另一个例子是螺旋线，它可以通过以下参数方程描述：x = a*cos(t)y = a*sin(t)z = b*t通过改变参数t的取值范围，我们可以得到一条在三维空间中逐渐升高的螺旋线。

2. 物理学中的参数方程参数方程在物理学中也有广泛的应用。

例如，质点在自由落体过程中的运动可以用参数方程描述：x = v0*cos(θ)*ty = v0*sin(θ)*t - (1/2)*g*t^2其中v0表示起始速度，θ表示抛射角度，g表示重力加速度。

通过给定不同的初始条件，我们可以得到不同情况下的自由落体轨迹。

3. 工程学中的参数方程参数方程在工程学中也有一些应用。

例如，在航空领域中，飞机的航迹可以用参数方程表示：x = v*cos(α)*ty = v*s in(α)*tz = h其中v表示飞机的速度，α表示飞机的航向角，t表示时间，h表示飞机的高度。

通过改变参数的取值，我们可以获得飞机在空中飞行的轨迹。

4. 计算机图形学中的参数方程参数方程在计算机图形学中也有广泛的应用。

参数方程的概念、参数方程与普通方程的互化 课件

参数方程的概念、参数方程与普通方程的互化 课件


③根据参数方程本身的结构特征，选用一些灵活的方
法
)例如借助1＋2tt22＋11－＋tt222＝1，t＋1t 2－t－1t 2＝4
等 )从整体上消去参数．
2．将参数方程化为普通方程时，要注意防止变量 x 和 y 的取值范围扩大或缩小，必须根据参数的取值范围， 确定函数 f(t)和 g(t)的值域，即 x 和 y 的取值范围．
所以 y＝1±sin θ.
不 妨 取 y ＝ 1 ＋ sin θ ， 则 所 求 的 参 数 方 程 为
x＝cos θ，
(θ 为参数)．
y＝1＋sin θ
归纳升华 1．消去参数的方法主要有三种． ①利用解方程的技巧求出参数的表示式，然后运用代 入消元法或加减消元法消去参数． ②利用三角恒等式借助 sin2θ＋cos2θ＝1 等消去参数．
2．求曲线参数方程的步骤：第一步，建立适当的直 角坐标系，设出曲线上任一点 M 的坐标为(x，y)，画出草 图；第二步，选择适当的参数，参数的选择要考虑两点： 一是曲线上有一点的坐标(x，y)与参数的关系比较明显， 容易列出方程；二是 x，y 的值可以由参数唯一确定；第 三步，
根据已知条件、图形的几何性质、问题的物理意义等， 建立点的坐标与参数的函数关系式，并化成最简形式；第 四步，证明以化简后的参数方程的解为坐标的点都是曲线 上的点．(求解过程中第四步通常省略，但要通过检验， 并准确标注参数及其取值范围．)
温馨提示 在互化的过程中，必须使 x，y 的取值范 围保持一致．
类型 1 参数方程的概念
[典例 1] 已知曲线 C 的参数方程为xy＝＝2t2t＋1，(t 为 参数)．
(1)判断点 A(1，0)，B(5，4)，E(3，2)与曲线 C 的位 置关系；
参数方程的概念及圆的参数方程

参数方程的概念及圆的参数方程

参数方程的概念及圆的参数方程
参数方程是用一个或多个参数来表示一个几何图形的方程。

通过参数
方程，可以对曲线、曲面以及其他复杂的图形进行描述和分析。

圆的参数方程是用参数t来表示圆上的点的方程。

对于一个圆心为
(x0,y0)，半径为r的圆，参数方程可以表示为：
x = x0 + r * cos(t)
y = y0 + r * sin(t)
其中t的范围是[0,2π)，也可以是其他范围。

这个参数方程描述了
t对应的点在圆上的位置。

在圆的参数方程中，参数t表示从圆心到圆上点的位置，可以是弧度、角度或其他度量方式。

通过不同的参数取值，可以得到圆上的所有点。

圆的参数方程可以用来计算圆的弧长，并且可以通过调整参数的范围
来改变绘制圆的起点和终点位置。

此外，参数方程还可以用来描述其他不
同形状的圆，比如椭圆或抛物线。

除了圆的参数方程，还有许多其他图形的参数方程，比如直线、椭圆、抛物线等。

每个图形的参数方程具有不同的形式和性质，但它们都共同使
用参数来表示图形的位置和形状。

总结来说，参数方程是一种用参数表示几何图形的方程。

圆的参数方
程是一种常见的参数方程形式，可以用参数t描述圆上的点的位置。

参数
方程具有描述复杂图形、计算几何属性和进行进一步分析的优势，广泛应
用于各个学科领域。