第七讲 分式方程和无理方程的解法(选上)

晋江二中初高衔接教材
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第七讲 分式方程和无理方程的解法
初中大家已经学习了可化为一元一次方程的分式方程的解法．本讲将要学习可化为一元二次
方程的分式方程的解法以及无理方程的解法．并且只要求掌握(1)不超过三个分式构成的分式方程
的解法，会用”去分母”或”换元法”求方程的根，并会验根；(2)了解无理方程概念，掌握可化为一
元二次方程的无理方程的解法，会用”平方”或”换元法”求根，并会验根．
一、可化为一元二次方程的分式方程
1．去分母化分式方程为一元二次方程

【例1】解方程 21421224xxxx．
分析：去分母，转化为整式方程．
解：原方程可化为：

14212(2)(2)2x
xxxx

方程两边各项都乘以24x：
2
(2)42(2)4xxxx

即2364xx， 整理得：2320xx
解得：1x或2x．
检验：把1x代入24x，不等于0，所以1x是原方程的解；

把2x代入24x，等于0，所以2x是增根．
所以，原方程的解是1x．
说明：
(1) 去分母解分式方程的步骤：
①把各分式的分母因式分解； ②在方程两边同乘以各分式的最简公分母； ③去括号，把
所有项都移到左边，合并同类项； ④解一元二次方程； ⑤验根．
(2) 验根的基本方法是代入原方程进行检验，但代入原方程计算量较大．而分式方程可能产
生的增根，就是使分式方程的分母为0的根．因此我们只要检验一元二次方程的根，是否使分式
方程两边同乘的各分式的最简公分母为0．若为0，即为增根；若不为0，即为原方程的解．

2．用换元法化分式方程为一元二次方程

【例2】解方程 2223()4011xxxx
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分析：本题若直接去分母，会得到一个四次方程，解方程很困难．但注意到方程的结构特点，
设21xyx，即得到一个关于y的一元二次方程．最后在已知y的值的情况下，用去分母的方法

解方程21xyx．
解：设21xyx，则原方程可化为：2340yy 解得4y或1y．
(1)当4y时，241xx，去分母，得224(1)4402xxxxx；
(2)当1y时，22215111012xxxxxxx．
检验：把各根分别代入原方程的分母，各分母都不为0．
所以，2x，152x都是原方程的解．
说明：用换元法解分式方程常见的错误是只求出y的值，而没有求到原方程的解，即x的值．
【例3】解方程 22228(2)3(1)1112xxxxxx．

分析：注意观察方程特点，可以看到分式2221xxx与2212xxx互为倒数．因此，可以设
2
2
21xxyx




，即可将原方程化为一个较为简单的分式方程．

解：设2221xxyx，则22112xyxx
原方程可化为：2338118113018yyyyyy或．
(1)当1y时，22222112121xxxxxxx；
(2)当38y时，2222223181633516303851xxxxxxxxxx或．
检验：把把各根分别代入原方程的分母，各分母都不为0．
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所以，原方程的解是12x，3x，15x．
说明：解决分式方程的方法就是采取去分母、换元等法，将分式方程转化为整式方程，体现
了化归思想．

二、可化为一元二次方程的无理方程
根号下含有未知数的方程，叫做无理方程．

1．平方法解无理方程

【例4】解方程 71xx
分析：移项、平方，转化为有理方程求解．
解：移项得：71xx

两边平方得：2721xxx
移项，合并同类项得：260xx
解得：3x或2x
检验：把3x代入原方程，左边右边，所以3x是增根．
把2x代入原方程，左边 = 右边，所以2x是原方程的根．
所以，原方程的解是2x．
说明：含未知数的二次根式恰有一个的无理方程的一般步骤：
①移项，使方程的左边只保留含未知数的二次根式，其余各项均移到方程的右边；②两边同
时平方，得到一个整式方程；③解整式方程；④验根．

【例5】解方程 3233xx
分析：直接平方将很困难．可以把一个根式移右边再平方，这样就可以转化为上例的模式，
再用例4的方法解方程．

解：原方程可化为：3233xx

两边平方得：329633xxx
整理得：63142337xxxx
两边平方得：29(3)4914xxx
整理得：223220xx，解得：1x或22x．
检验：把1x代入原方程，左边=右边，所以1x是原方程的根．
把22x代入原方程，左边右边，所以22x是增根．
所以，原方程的解是1x．
说明：含未知数的二次根式恰有两个的无理方程的一般步骤：
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①移项，使方程的左边只保留一个含未知数的二次根式；②两边平方，得到含未知数的二次
根式恰有一个的无理方程；③一下步骤同例4的说明．

2．换元法解无理方程

【例6】解方程 223152512xxxx
分析：本题若直接平方，会得到一个一元四次方程，难度较大．注意观察方程中含未知数的
二次根式与其余有理式的关系，可以发现：2231533(51)xxxx．因此，可以设

2
51xxy
，这样就可将原方程先转化为关于y的一元二次方程处理．

解：设251xxy，则2222513153(1)xxyxxy
原方程可化为：23(1)22yy，
即23250yy，解得：1y或53y．
(1)当1y时，225115010xxxxxx或；
(2)当53y时，因为2510xxy，所以方程无解．
检验：把1,0xx分别代入原方程，都适合．
所以，原方程的解是1,0xx．
说明：解决根式方程的方法就是采取平方、换元等法，将根式方程转化为有理方程，体现了
化归思想．
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A 组
1．解下列方程：

(1) 215(1)(2)(2)(3)xxxxxx (2) 227211211235xxxxxx

(3) 221124yy (4) 2152124xx
2．用换元法解方程：2244xx
3．解下列方程：
(1) 2xx (2) 57xx (3) 32xx
4．解下列方程：
(1) 3141xx (2) 2451xx
5．用换元法解下列方程：
(1) 120xx (2) 22336xxxx

B 组
1．解下列方程：

(1) 2225412324xxxxx (2) 22416124xxxxxx

(3) 21117(21)(7)231xxxxxx (4) 21240111xxxxxx
2．用换元法解下列方程：
(1) 2524(1)1401(5)xxxxxx (2) 222(1)6(1)711xxxx

(3) 42222112xxxxx
3．若1x是方程14xxaxa的解，试求a的值．
4．解下列方程：

(1) 22324123xxxx (2) 22236xxaxxaxaax
5．解下列方程：

练 习
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(1) 2213xx (2) 610510xx
(3) 222432615xxxx
第七讲 分式方程和无理方程的解法答案
A 组
1．(1)1 ,(2)1,21,(3)0,1,(4)3,5xxxyyxx

2．2x

3．53(1)1,(2)6,(3)2xxx
4．(1)5x．(2) 20x．
5．(1)9,(2)1,4xxx
B 组
1．1(1)113,(2)3,(3)5,1,(4)3xxxxx

2．317(1)1,2,3,4,(2)12,,(3)14xxxxxxx
3．22
4．2321(1)0,2,,(2)22xxxxa
5．(1)2,(2)26,(3)3,1xxxx