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高中数学必修4三角函数的图像与性质

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高一数学辅导三角函数（四）
【三角函数的图像与性质】

考点1 求与三角函数有关的函数的定义域
【例1】(1)求下列函数的定义域：
①y＝2＋log12x＋tan x；②y＝sin（cos x）；③y＝lg sin(cos x)．

(2)已知f(x)的定义域为[0，1)，求f(cos x)的定义域
．

解析：(1)①2＋log12x≥0，tan x≥0，x>00π
2
或π≤x≤4，所以函数

的定义域是0，π2∪[π，4]．
②sin(cos x)≥00≤cos x≤12kπ－π2≤x≤2kπ＋π2，k∈Z，所以函数的定义域是



x


2kπ－π2≤x≤2kπ＋

π

2
，k∈Z
.

③由sin(cos x)＞02kπ＜cos x＜2kπ＋π(k∈Z)，
又∵－1≤cos x≤1，∴0＜cos x≤1，∴所求定义域为2kπ－π2，2kπ＋π2，k∈Z.

(2)0≤cos x＜12kπ－π2≤x≤2kπ＋
π
2
，且x≠2kπ(k∈Z)，

∴所求函数的定义域为2kπ－π2，2kπ∪(2kπ，2kπ＋
π
2
]，k∈Z.

考点2 求三角函数的单调区间
【例2】 求下列函数的单调区间：

(1)y＝12sinπ4－2x3； (2)y＝－sinx＋π4.

解析：(1)∵y＝12sinπ4－2x3＝－12sin



2x

3－π4
，且函数y＝sin x的单调递增区间是




2kπ－
π2，2kπ＋π

2
，单调递减区间是


2kπ＋

π2，2kπ＋3π

2
(k∈Z)．

∴由2kπ－π2≤2x3－
π4≤2kπ＋π
23kπ－3π8≤x≤3kπ＋9π8
(k∈Z)，

由2kπ＋π2≤2x3－
π
4≤2kπ＋3π23kπ＋9π8≤x≤3kπ＋21π8
(k∈Z)，

即函数的单调递减区间为[3kπ－3π8，3kπ＋9π8](k∈Z)，单调递增区间为[3kπ＋9π8，3kπ＋
21π
8
]（k∈Z）.

(2)作出函数y＝－sin


x＋
π

4
的简图(如图所示)，由图象得函数的单调递增区间为

kπ＋π4，kπ＋3π4(k∈Z)，单调递减区间为

kπ－

π4，kπ＋π

4
(k∈Z)．

考点3 求三角函数的最小正周期、最值(值域)
【例3】(1)求下列函数的值域。

①y=cos(x+π6 )，x∈[𝟎，π2 ]；②y=－sin2x－3cosx＋3. ③y=𝟐+𝐜𝐨𝐬𝐱𝟐−𝐜𝐨𝐬𝐱

(2)已知f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋1x∈R，其中A>0，ω>0，0<φ<π2的周期为π，且图象上一
个最低点为M23π，－1.
(1)求f(x)的解析式；
(2)当x∈0，π12时，求f(x)的值域．

（3）y=－1＋42−cosx，
（2）、(1)因为函数的周期为π，所以有T＝
2π
ω
＝π，所以ω＝2，因为函数图象上一个最低点

为M23π，－1，所以－A＋1＝－1，所以A＝2，并且－1＝2sin2×2π3＋φ＋1，可得
sin


2×
2π

3
＋φ
＝－1，4π3＋φ＝2kπ－π2，k∈Z，φ＝2kπ－11π6，k∈Z，因为0<φ<π2，所以k

＝1，解得φ＝
π
6
.

函数的解析式为：f(x)＝2sin2x＋π6＋1.

(2)因为x∈


0，
π

12
，

所以2x∈0，π6，2x＋π6∈π6，π3，
sin
2x＋π6∈12，32，∴2sin

2x＋
π

6
∈[1，3]，

2sin


2x＋
π

6
＋1∈[2，1＋3]，

所以f(x)的值域为[2，1＋3]．
考点4 三角函数的奇偶性、对称性的应用
【例4】(1)求函数y=3sin(2x+π6 )的对称轴和对称中心。

(2)若函数ƒ(x)=sinx+φ3(φ∈[0,2π])是偶函数，则φ= 。
(3)已知函数f()x＝sin



ωx＋

π

6
(ω>0)，若函数f()x图象上的一个对称中心到对称轴的距离

的最小值为π3，则ω的值为________．

（2）因为ƒ(x)是偶函数，所以x+φ3=π2＋kπ(k∈Z)，
φ=
3
2
π+3π
(k∈Z)，

又φ∈[0,2π]，所以
φ=
3
2
π；

（3）依题意T4＝π3，∴T＝4π3.∴2πω＝4π3.∴ω＝32.
考点5正切函数的图像与性质
【例5】(1)判断函数ƒ(x)＝lgtanx+1tanx−1 的奇偶性。

(2)设函数ƒ(x)=tan(x2－π3).①求函数ƒ(x)的定义域、周期、单调区间及对称中心；
②求不等式-1≤ƒ(x)≤√3的解集。
解析：(1)由tanx+1tanx−1＞0得tanx＜-1或tanx＞1
（2）

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必修四第六讲正弦函数余弦函数的图像与性质

必修四第六讲正弦函数余弦函数的图像与性质

《新课标高中数学必修④精讲精练》——精讲 第一章 三角函数 11 第 6 讲 §1.4.1 正弦函数、余弦函数的图像与性质¤学习目标：①理解并掌握五点作图法；②理解正、余弦函数的定义域、值域、最值、周期性、奇 偶性的意义； ③会求简单函数的定义域、 值域、 最小正周期和单调区间； ④掌握正弦函数 ( ) sin y A x w j =+ 的周期及求法¤知识要点：① 周期函数的定义:对 x M "Î ，都有 ( ) ( ) f x T f x += ，用公式计算 2 T p w =； ②正弦函数的对称轴方程为 , 2 x k k Z p p =+Î ，余弦函数的对称轴方程为 , x k k Z p =Î .¤例题精讲： 【例 1】作函数 2sin 31 4 y x p æö =++ ç÷ èø 的简图. 解： （1）列表 （2）描点连线，图如右.x 12 p - 12 p 3 12 p 5 12 p 7 12p 3 4 x p + 0 2 p p 3 2 p 2p y 1 3 1 ­1 1【例 2】求下列三角函数的周期：（1） sin 3 y x p æö =+ ç÷ èø ； （2） 3sin 25 x y p æö =+ ç÷ èø. 解： 方法一：（1） 令 3 z x p =+ ， 而 ( ) sin 2sin z z p += ， 即 ( ) 2 33 f x f x p p p éùæö ++=+ ç÷ êú ëûèø， 所以周期 2 T p = . （2）令 25 x z p æö =+ ç÷ èø ，则 ( ) ( ) 3sin 3sin 2 f x z z p ==+ =3sin 2 25 x p p æö ++ ç÷ èø 4 3sin 25 x p p + æö =+ ç÷ èø = ( ) 4 f x p + ，所以周期 T=4p .方法二：直接利用求周期的公式： 2 T p w =. （1） 2 2 1T p p == ；（2） 2 4 1 2T p p == . 【例 3】已知函数 2 cos sin 3,,62 y x x x p p éù =-+Î êú ëû ，求函数的最大值. 解： 222 117 cos sin 3sin sin 4sin 24 y x x x x x æö =-+=--+=-++ ç÷ èø ， 由于 ,62 x p p éù Î êú ëû ，则 1 sin 1 2 x ££ ，所以，当 1 sin 2 x = 时，函数取得最大值 13 4 . 点评：由同角三角函数关系式 22 cos 1sin x x =- ，把 y 化为sin x 的函数求解.【例 4】 若函数 cos y a b x =- 的最大值是 3 2 ，最小值是 1 2- ，求函数 4sin y a bx =- 的最大值与最小 值及周期.解： 1cos 1 x -££ Q ，当0 b > 时， cos b b x b -££ ，cos a b a b x a b \-£-£+ ， 1.5 0.5 a b a b += ì \í -=- î ，解得 0.5 1 a b = ì í = î， 2sin y x \=- ，同理可得当 0 b < 时， 1.5 0.5 a b a b -= ì í +=- î ，此时 0.5 1 a b = ì í =- î， ( ) 2sin 2sin y x x \=--= ，从而， sin y x =± ，此函数的最大值是 2，最小值是­2，周期是2p .点评：本题须对b 进行讨论，若不讨论只能得前一个解，容易发生少解的情况.。

必修四第一章第3节 三角函数的图象和性质(一)周期性与图象

必修四第一章第3节 三角函数的图象和性质(一)周期性与图象

年级高一学科数学版本苏教版课程标题必修四第一章第3节三角函数的图象和性质（一）周期性与图象编稿老师王东一校林卉二校黄楠审核王百玲一、考点突破1. 掌握正弦、余弦、正切三角函数的图象和性质，会作三角函数的图象。

通过三角函数的图象研究其性质。

2. 注重函数与方程、转化与化归、数形结合思想等数学思想方法的运用。

3. 掌握正弦型函数y＝A sin（ωx＋φ）的图象的“五点”作图法，图象的三种变换方法，以及利用三角函数的性质解决有关问题。

高考命题趋势考查内容1. 对三角函数图象的考查多以选择题、填空题为主。

对数形结合思想的考查主要通过三角函数图象和单位圆中的三角函数线等来体现。

2. 三角函数的性质是考查的重点，这类题目概念性强，具有一定的综合性与难度。

能力要求熟练掌握基本技能与基本方法。

难度与赋分高考中以三基为主，多为基础题目，每年分值约为8分。

二、重难点提示重点：正弦、余弦、正切函数的周期性、图象及性质；函数y＝A sin（ωx＋φ）的图象及参数对函数图象变化的影响。

难点：周期函数的概念；画三角函数的图象；函数y＝A sin（ωx＋φ）的图象与正弦曲线的关系。

一、知识脉络图正弦函数y=sinx三角函数的图象余弦函数y=cosx正切函数y=tanxy=Asin（ωx+φ）作图象描点法（五点作图法）几何作图法性质定义域、值域单调性、奇偶性、周期性对称性最值二、知识点拨1. 正弦、余弦、正切函数的主要性质函数性质y＝sin x y＝cos x y＝tan x定义域R R{x|x≠kπ＋π2，k∈Z}图象值域[－1，1][－1，1]R对称性对称轴：x＝kπ＋π2（k∈Z）对称中心：（kπ，0）（k∈Z）对称轴：x＝kπ（k∈Z）对称中心：)(0,2Zkk∈⎪⎭⎫⎝⎛+ππ无对称轴对称中心：⎝⎛⎭⎫kπ2，0（k∈Z）周期2π2ππ单调性单调增区间⎣⎡2kπ－π2，2kπ＋⎦⎤π2（k∈Z）；单调减区间⎣⎡2kπ＋π2，2kπ＋⎦⎤3π2（k∈Z）单调增区间[2kπ－π，kπ]（k∈Z）；单调减区间[2kπ，2kπ＋π]（k∈Z）单调增区间⎝⎛kπ－π2，kπ＋⎭⎫π2（k∈Z）奇偶性奇偶奇2. 函数y＝A sin（ωx＋φ）（1）用五点法画y＝A sin（ωx＋φ）一个周期内的简图时，要找到五个特征点。

高中数学必修4正弦余弦正切余切函数图像的性质总结

高中数学必修4正弦余弦正切余切函数图像的性质总结

高中数学必修4正弦余弦正切余切函数图像的性质总结三角函数是高中数学教学中一类基本的、重要的函数，下面是小编给大家带来的高中数学必修4正弦余弦正切余切函数图像的性质总结，希望对你有帮助。

高中数学正弦余弦正切余切函数图像的性质高中数学学习方法抓好基础是关键数学习题无非就是数学概念和数学思想的组合应用，弄清数学基本概念、基本定理、基本方法是判断题目类型、知识范围的前提，是正确把握解题方法的依据。

只有概念清楚，方法全面，遇到题目时，就能很快的得到解题方法，或者面对一个新的习题，就能联想到我们平时做过的习题的方法，达到迅速解答。

弄清基本定理是正确、快速解答习题的前提条件，特别是在立体几何等章节的复习中，对基本定理熟悉和灵活掌握能使习题解答条理清楚、逻辑推理严密。

反之，会使解题速度慢，逻辑混乱、叙述不清。

严防题海战术做习题是为了巩固知识、提高应变能力、思维能力、计算能力。

学数学要做一定量的习题，但学数学并不等于做题，在各种考试题中，有相当的习题是靠简单的知识点的堆积，利用公理化知识体系的演绎而就能解决的，这些习题是要通过做一定量的习题达到对解题方法的展移而实现的，但，随着高考的改革，高考已把考查的重点放在创造型、能力型的考查上。

因此要精做习题，注意知识的理解和灵活应用，当你做完一道习题后不访自问：本题考查了什么知识点?什么方法?我们从中得到了解题的什么方法?这一类习题中有什么解题的通性?实现问题的完全解决我应用了怎样的解题策略?只有这样才会培养自己的悟性与创造性，开发其创造力。

也将在遇到即将来临的期末考试和未来的高考题目中那些综合性强的题目时可以有一个科学的方法解决它。

归纳数学大思维数学学习其主要的目的是为了培养我们的创造性，培养我们处理事情、解决问题的能力，因此，对处理数学问题时的大策略、大思维的掌握显得特别重要，在平时的学习时应注重归纳它。

在平时听课时，一个明知的学生，应该听老师对该题目的分析和归纳。

但还有不少学生，不注意教师的分析，往往沉静在老师讲解的每一步计算、每一步推证过程。

高中数学 1.4三角函数图像及其性质学情分析 新人教A版必修4

高中数学 1.4三角函数图像及其性质学情分析 新人教A版必修4

《三角函数图像及其性质》学情分析
1、个性心理特征：
每个学生都有自己的感官，自己的头脑，自己的性格，自己的知识和思想基础，自己的行动规律。

教师不能代替学生感知、观察、分析、思考，只能让学生自己感受事物，明白事理，掌握事物发展变化的规律，教师要尊重其个性发展，让其自主探究学习。

2、媒体操作能力：
高中学生有一定的电脑操作基础，可以自己操作电脑。

但学生的操作水平参差不齐，特别是对数学软件《几何画板》不够熟悉，还不能进行操作，所以在上这节课之前要上预备课，主要学习《几何画板》软件的使用。

目标使学生能使用几何画板制作简单的几何图形，能在老师的指导下进行简单的操作。

3、知识方面
知识上，通过高一对函数的学习，学生已经具备了一定的绘图技能，能够类比推理画出图像，并通过观察图像，总结性质。

心理上，具备了一定的分辨能力、语言表达能力，初步形成了辩证的思维方法。

另外学生基础差异较大，在小组中尽量搭配合理，在练习和作业中注意分层，另外学生对观察正切线得出函数单调性以及利用单位圆中的三角函数线作图有困难，要加强指导。