第七讲 分式方程和无理方程的解法

分式方程和无理方程的解法分式方程是指方程中含有一个或多个分式的方程。

无理方程是指方程中含有无理数的方程。

解分式方程和无理方程的方法有很多，下面我将介绍几种常见的解法。

解分式方程的方法：1.清除分母法：对于只包含一个分子、一个分母的分式方程，可以通过消去分母来解方程。

例如，对于方程1/x-1/(x+1)=1/2，我们可以将方程两边同乘以2x(x+1)，得到2(x+1)-2x=x(x+1)，然后化简方程得到x^2+x-2=0，解这个二次方程可以得到x=-2或x=1，这就是分式方程的解。

2.通分法：对于分式方程中含有多个分母的情况，可以通过通分来化简方程。

例如，对于方程1/(x-1)+3/(x+1)=2/(x^2-1)，我们可以将方程的右边进行通分得到(x-1)/(x+1)(x-1)+3(x+1)/(x+1)(x-1)=2/(x^2-1)，然后化简得到(x-1)+3(x+1)=2，解这个一次方程可以得到x=-1，这就是分式方程的解。

3.代数方法：对于更复杂的分式方程，我们可能需要借助一些代数技巧来解方程。

例如，对于方程(x-1)/(x+2)+(x+1)/(x-2)=2，我们可以先将方程两边都乘以(x+2)(x-2)来消去分母，得到(x-1)(x-2)+(x+1)(x+2)=2(x+2)(x-2)，然后展开并化简方程，最终得到一个一次方程，解这个一次方程可以得到x=-3或x=1，这就是分式方程的解。

解无理方程的方法：1.平方法：对于一些包含平方根的无理方程，可以尝试平方来消去无理数。

例如，对于方程√x+3=5，可以将方程两边都平方，得到x+6√x+9=25，然后将方程整理为一个关于√x的一次方程，解这个一次方程可以得到√x=4或√x=-4，进一步求解得到x=16或x=-16，这就是无理方程的解。

2.分析法：对于一些无理方程，可以利用函数图像的性质进行分析和直观理解。

例如，对于方程√x-1=0，我们可以将方程理解为函数y=√x和y=1的交点，通过观察可知x=1是唯一的交点，因此方程的解为x=13.降低次数法：对于一些无理方程，可以通过一些代数技巧将其转化为一个次数更低的方程。

解方程的常见方法知识点总结一、一次方程的解法一次方程是指未知数的指数为1的方程。

解一次方程的常见方法有：1. 相加相减法：通过加减运算来消去未知数的系数，得到方程的解。

2. 乘法法则：通过乘法运算来消去未知数的系数，得到方程的解。

3. 代入法：将一个方程的解代入另一个方程中，求解未知数的值。

4. 变量转移法：通过将未知数的系数移到等号另一边，得到方程的解。

二、二次方程的解法二次方程是指未知数的指数为2的方程。

解二次方程的常见方法有：1. 因式分解法：将二次方程因式分解后，令各因式等于零，得到方程的解。

2. 公式法：使用二次方程的求根公式，直接计算出方程的解。

3. 完全平方式：将二次方程转换为完全平方式，求解方程的解。

4. 提取根号法：通过提取未知数的平方根，得到方程的解。

三、分式方程的解法分式方程是指未知数出现在分式中的方程。

解分式方程的常见方法有：1. 通分法：将分式方程的分母通分，然后进行运算，求解未知数的值。

2. 消元法：通过消去分式方程的分母，将方程转化为一次方程来求解。

3. 变量替换法：通过引入新的变量或替换未知数，将分式方程转化为一次方程或二次方程进行求解。

四、绝对值方程的解法绝对值方程是指方程中含有绝对值符号的方程。

解绝对值方程的常见方法有：1. 分类讨论法：根据绝对值的定义，分别讨论绝对值内外的正负情况，得到方程的解。

2. 去绝对值法：将方程的绝对值拆分成正负两部分，得到多个方程，分别求解并取并集。

五、方程组的解法方程组是指多个方程同时出现的一组方程。

解方程组的常见方法有：1. 消元法：通过消去方程组中的未知数，将方程组转化为简化的方程组来求解。

2. 代入法：通过将一个方程的解代入另一个方程中，求解未知数的值。

3. 变量替换法：通过引入新的变量或替换未知数，将方程组转化为简化的方程组进行求解。

六、无理方程的解法无理方程是指方程中含有无理数（如根号）的方程。

解无理方程的常见方法有：1. 平方去根法：通过平方运算，将方程中的根号消去，得到方程的解。

高次方程分式方程无理方程的解法教程高次方程的解法教程：高次方程是指方程中的最高次项的指数大于1的方程。

一般来说，高次方程的解法相对比较复杂，需要通过一定的代数运算和分解因式的方法逐步求解。

以下是一个示例来说明解高次方程的步骤：假设我们要解方程：x^3-5x^2+6x=0第一步：因式分解观察方程，我们可以发现x是公因子，所以我们可以将方程进行因式分解，得到：x(x^2-5x+6)=0第二步：化简因式继续观察因式(x^2-5x+6)，我们可以发现它可以被进一步分解成(x-2)(x-3)，所以方程可以进一步化简为：x(x-2)(x-3)=0第三步：等式成立条件我们知道，一个数的乘积等于0的时候，其中至少有一个因子等于0。

所以我们得到以下三个解：x=0,x-2=0,x-3=0解得：x=0,x=2,x=3因此，方程的解是x=0,x=2,x=3分式方程的解法教程：分式方程是指方程中含有分式的方程，需要通过合理的方法消去分式并求出方程的解。

以下是一个示例来说明解分式方程的步骤：假设我们要解方程：2/(x-1)+3/(x+2)=1第一步：通分观察方程，我们可以发现，左边的两个分式的分母互为相反数，所以我们可以通过通分来消去分母。

将方程两边乘以(x-1)(x+2)，得到：2(x+2)+3(x-1)=(x-1)(x+2)第二步：化简将方程进行化简，得到：2x+4+3x-3=x^2+x-2第三步：整理将方程整理为标准形式，得到：x^2-x-3=0第四步：因式分解或使用求根公式我们可以尝试将方程进行因式分解或使用求根公式来求解。

这里我们使用求根公式来求解。

根据求根公式 x = (-b ± √(b^2 - 4ac))/(2a)，我们可以得到：x=(1±√(1+12))/2计算得到：x=(1±√13)/2因此，方程的解是x=(1+√13)/2,x=(1-√13)/2无理方程的解法教程：无理方程是指方程中含有无理数的方程，需要通过合理的方法化简方程并求出方程的解。

分式方程的解法
分式方程发的解法：去分母、移项、验根(解)。

其中，方程两边同时乘以最简公分母，将分式方程化为整式方程；若遇到互为相反数时，不要忘了改变符号。

移项，若有括号应先去括号，注意变号，合并同类项，把系数化为1求出未知数的值。

求出未知数的值后必须验根，因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根。

分式方程是方程中的一种，是指分母里含有未知数或含有未知数整式的有理方程，该部分知识属于初等数学知识。

如果分式本身约分了，也要代入进去检验。

在列分式方程解应用题时，不仅要检验所得解的是否满足方程式，还要检验是否符合题意。

一般的，解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中分母为零，因此要将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为零，则是方程的解。

方程是指含有未知数的等式。

是表示两个数学式（如两个数、函数、量、运算）之间相等关系的一种等式，使等式成立的未知数的值称为“解”或“根”。

求方程的解的过程称为“解方程”。

方 法
1.在分式方程两边同乘以最简公分母， 在分式方程两边同乘以最简公分母， 在分式方程两边同乘以最简公分母 可把分式方程化为整式方程 2.换元可以使解方程的过程变得简便 换元可以使解方程的过程变得简便 换元 3. 解分式方程时应注意检验 解分式方程时应注意检验
提 炼
一化二解三检验
三、无理方程的解法
2
x +2 =1 2 2x − 1
2
典
即 7x −1 = 0 或 x − 3 = 0
2
型 例 题
2Байду номын сангаас
解得
7 7 x1 = − , x3 = − 3 , x 4 = 3 , x2 = 7 7
经检验 以上均为原方程的根 以上均为原方程的根. 换元可以使运算变得简便
典
例5 已知关于
x −1 x − 2 2x + a − = 的解为负数 x − 2 x + 1 ( x − 2)( x + 1)
x2 = 22 是增根 是增根.
方程一边出现两个根号时要先移项. 方程一边出现两个根号时要先移项
解无理方程的思路是： 解无理方程的思路是：
无理 方程 去根号
有理 方程
解无理方程的一般步骤
1、将方程的两边平方，化成有理方程.有时要先 将方程的两边平方，化成有理方程. 平方 有理方程 移项，再平方 移项， 2、解这个有理方程. 解这个有理方程. 3、把有理方程的解代入原方程检验 4、写出原方程的根. 写出原方程的根.
解分式方程的思路是： 解分式方程的思路是：
分式 方程 去分母
整式 方程
解分式方程的一般步骤
1、在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母， 在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母， 最简公分母 化成整式方程. 化成整式方程. 整式方程 2、解这个整式方程. 解这个整式方程. 3、把整式方程的解代入最简公分母，如果最简公 把整式方程的解代入最简公分母， 最简公分母 不为0 则整式方程的解是原分式方程的解； 分母的值不为 分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解； 否则，这个解不是原分式方程的解，必须舍去. 否则，这个解不是原分式方程的解，必须舍去. 4、写出原方程的根. 写出原方程的根.

第七讲 分式方程考点综述：中考对于分式方程的主要要求包括分式方程的概念以及解法，会检验分式方程的根，分式方程的应用也是中考考查的重点和热点。

考点精析考点1 分式方程（1）分式方程的概念：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。

（2）解分式方程的基本思想：把分式方程转化为整式方程，再运用整式方程的解法求解。

而化为整式方程的过程是利用分式的基本性质和等式的基本性质通过去分母来完成的。

（3）解分式方程的一般步骤和方法①在分式方程的两边同时乘以最简公分母，把原方程化为整式方程，即去分母；②解这个整式方程；③验根,把整式方程的根代入到最简公分母中，使最简公分母不等于0的根是原方程的根；使最简公分母等于0的根是原方程的增根，必须舍去。

（4）增根产生的原因：在解分式方程时，我们在方程的两边同时乘以了含有未知数的代数式，从而把分式方程转化为整式方程。

因此，原来分式方程中分母不为0的限制被无形中取消了，这样就使未知数的取值范围扩大了，这样就产生了增根的可能。

因此，解分式方程必须要检验。

（5）列分式方程解应用题的步骤①审题：了解已知量和所求量分别是什么； ②设未知数；③找出相等关系，列出分式方程；④解这个分式方程；⑤检验：看方程的解是否满足方程和符合题意； ⑥写出答案。

典型例题：例1：解方程： （1）（2007连云港）11322x x x-=--- （2）（2007德州）解方程：120112x x x x-+=+-（3）（2007宁波）解方程21124x x x -=--例2：（2007沈阳）甲、乙两个施工队共同完成某居民小区绿化改造工程，乙队先单独做2天后，再由两队合作10天就能完成全部工程．已知乙队单独完成此项工程所需天数是甲队单独完成此项工程所需天数的45，求甲、乙两个施工队单独完成此项工程各需多少天？实战演练：1.（2008安徽）分式方程112x x =+的解是（ ）A . x=1B . x =－1C . x=2D . x =－2 2.（2008荆州）方程21011x x x-+=--的解是（ ）A .2B .0C .1D .33.（2008西宁）“5·12”汶川大地震导致某铁路隧道被严重破坏．为抢修其中一段120米的铁路，施工队每天比原计划多修5米，结果提前4天开通了列车．问原计划每天修多少米？某原计划每天修x 米，所列方程正确的是（ ） A ．12012045x x -=+ B ．12012045x x -=+ C ．12012045x x-=-D ．12012045xx -=-4.（2008襄樊）当m = 时，关于x 的分式方程213x m x +=--无解．5.（2008大连）轮船顺水航行40千米所需的时间和逆水航行30千米所需的时间相同．已知水流速度为3千米/时，设轮船在静水中的速度为x 千米/时，可列方程为_________________________________．6.（2008泰州）方程22123=-+--x x x 的解是=x __________.7.解方程：（1）（2008赤峰）2112323x x x -=-+（2）（2008南京）22011x x x -=+-8.（2008咸宁） A 、B 两种机器人都被用来搬运化工原料，A 型机器人比B 型机器人每小时多搬运20千克，A 型机器人搬运1000千克所用时间与B 型机器人搬运800千克所用时间相等，两种机器人每小时分别搬运多少化工原料？9.（2008镇江）汶川大地震发生以后，全国人民众志成城．首长到帐篷厂视察，布置赈灾生产任务，下面是首长与厂长的一段对话：首长：为了支援灾区人民，组织上要求你们完成12000顶帐篷的生产任务． 厂长：为了尽快支援灾区人民，我们准备每天的生产量比原来多一半． 首长：这样能提前几天完成任务？厂长：请首长放心！保证提前4天完成任务！ 根据两人对话，问该厂原来每天生产多少顶帐篷？10.（2008山西）某文化用品商店用2000元购进一批学生书包，面市后发现供不应求，商店又购进第二批同样的书包，所购数量是第一批购进数量的3倍，但单价贵了4元，结果第二批用了6300元。

分式方程的解法分式方程是指含有一个或多个分式的方程。

解分式方程时，我们需要将分式方程中的分数部分化简成整数或变量，以便求得方程的解。

下面将介绍一些解分式方程的常用方法。

一、清除分母法清除分母法是解分式方程的常用方法之一。

当分式方程中含有分母时，我们可以通过两边同乘以除了分母以外的数来消去分母，从而将分式方程转化为代数方程。

例如，考虑下面的分式方程：(2/x) + (3/(x+1)) = 5为了清除该分式方程中的分母，我们可以将两边乘以x(x+1)，得到: 2(x+1) + 3x = 5x(x+1)然后将该代数方程化简为二次方程，解得x的值。

最后，我们需要检查所得解是否满足原方程。

二、倒数法倒数法是解分式方程的另一种方法。

当分式方程中含有倒数时，我们可以通过将分式方程中的分母倒置，从而将分式方程转化为代数方程。

考虑下面的分式方程：(2/x) + (3/(x+1)) = 5我们可以将该方程转化为代数方程：1/2 + 1/(x+1) = 1/5然后，通过整理方程，解得x的值。

最后，我们需要检查所得解是否满足原方程。

三、代换法代换法是解分式方程的一种常用技巧。

当分式方程中的分式难以直接求解时，我们可以通过代入适当的变量来简化方程。

考虑下面的分式方程：(2/x) + (3/(x+1)) = (x+2)/(x(x+1))我们可以令y = x(x+1)，将该方程转化为代数方程：2/y + 3/y = (y+2)/y然后，通过整理方程，解得y的值。

最后，我们求得x的值。

需要注意的是，我们需要检查所得解是否满足原方程。

综上所述，清除分母法、倒数法和代换法是解分式方程的三种常用方法。

通过灵活运用这些方法，我们可以有效地求解各种分式方程，并得到准确的解。

在解分式方程时，我们需要注意化简方程、整理方程以及检查解的步骤，以确保解的正确性。

【例 6】解方程 3x2 15x 2 x2 5x 1 2
3
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，系电，力根通保据过护生管高产线中工敷资艺设料高技试中术卷资，配料不置试仅技卷可术要以是求解指，决机对吊组电顶在气层进设配行备置继进不电行规保空范护载高与中带资负料荷试下卷高问总中题体资，配料而置试且时卷可，调保需控障要试各在验类最；管大对路限设习度备题内进到来行位确调。保整在机使管组其路高在敷中正设资常过料工程试况中卷下，安与要全过加，度强并工看且作护尽下关可都于能可管地以路缩正高小常中故工资障作料高；试中对卷资于连料继接试电管卷保口破护处坏进理范行高围整中，核资或对料者定试对值卷某，弯些审扁异核度常与固高校定中对盒资图位料纸置试，.卷保编工护写况层复进防杂行腐设自跨备动接与处地装理线置，弯高尤曲中其半资要径料避标试免高卷错等调误，试高要方中求案资技，料术编试交写5、卷底重电保。要气护管设设装线备备置敷4高、调动设中电试作技资气高，术料课中并3中试、件资且包卷管中料拒含试路调试绝线验敷试卷动槽方设技作、案技术，管以术来架及避等系免多统不项启必方动要式方高，案中为；资解对料决整试高套卷中启突语动然文过停电程机气中。课高因件中此中资，管料电壁试力薄卷高、电中接气资口设料不备试严进卷等行保问调护题试装，工置合作调理并试利且技用进术管行，线过要敷关求设运电技行力术高保。中护线资装缆料置敷试做设卷到原技准则术确：指灵在导活分。。线对对盒于于处调差，试动当过保不程护同中装电高置压中高回资中路料资交试料叉卷试时技卷，术调应问试采题技用，术金作是属为指隔调发板试电进人机行员一隔，变开需压处要器理在组；事在同前发一掌生线握内槽图部内 纸故，资障强料时电、，回设需路备要须制进同造行时厂外切家部断出电习具源题高高电中中源资资，料料线试试缆卷卷敷试切设验除完报从毕告而，与采要相用进关高行技中检术资查资料和料试检，卷测并主处且要理了保。解护现装场置设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。

分式方程的解法
分式方程的解法：1.将分式方程整理成整式方程〔即乘以公分母〕2.去括号，移项，合并同类项；3.求解；4.检验。

分式方程的解法：1.将分式方程整理成整式方程〔即乘以公分母〕2.去括号，移项，合并同类项；3.求解；4.检验。

分式方程的解法第一步，去分母，方程两边同乘各分母的最简公分母，解3÷(x+1)=5÷(x+3)。

同乘(x+1)(x+3)就可以去掉分母了。

第二步，去括号，系数分别乘以括号里的数。

第三步，移项，含有未知数的式子挪动到方程左边，常数挪动到方程右边。

第四步，合并同类项
第五步，系数化为1，方程的根本性质就是同时乘以或除以一个数，方程不变，和天平一样的。

这里除以-2。

第六步，检验，把方程的解代入分式方程，检验是否正确。

1。

无理方程的解法未知数含在根号下的方程叫作无理方程（或根式方程），这是数学竞赛中经常出现的一些特殊形式的方程中的一种•解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，在变形时要注意根据方程的结构特征选择解题方法•常用的方法有：乘方法、配方法、因式分解法、设辅助元素法、利用比例性质法等•本讲将通过例题来说明这些方法的运用.例1解方程卜冷-72X+8 = 0.解移项得73K-3-^+8=7気 79,两边平方后整理得J（強-3）（2蛊+ 8）=12,再两边平方后整理得2x + 3x-28= 0,所以x 1=4, X2=-7.经检验知，X2=-7为增根，所以原方程的根为x=4.说明用乘方法（即将方程两边各自乘同次方来消去方程中的根号）来解无理方程，往往会产生增根，应注意验根.分折与解需要注恙旳是1缶曲*可盲成是2^*屈匸？这就启发找们是否可用“两项和的半方",即显全平方公式将方程的左端配方•将原方程变形为〔了/ +x) + Z X V3K 2 + x 十/二氛 (V3?+x+ x)^ = 3,所以_绮解得筍=-|由+3：=门得= d ，9经检验"原方程的根为籃严左两边平方得 3x 2+X =9"6X +x 2,两边平方得 3x 2 2+x=x + 6x + 9,解得"空浮.而当“卑7吋，dKQ,是闻虽故垃=辰 + 7K + 2 + 2^/x2+ 2K= 4 -|解考虑到辰• <772 = J宀加于是将方槎化为（X + 27x J+ 2x 4- x + 2）+ （五4-血+ 2） -6=0.即（長* J蛊+ 2）' +（丘+ J盘十2；-6 = 0,所以（■+■+ 2 -2）（+ 订芸+2十3）= 0・因为厶十4 Vs + 2 +了>0 > 0 u所以Jx-f-Vs'+2-2=0.移项得_ 2 = r 厶 + 2 ’平方后解得“卜经检脸.V是原方程的根.晶* JyT+ 社-2 = 4-y+ 2）.解三个未知量、一个方程，要有确定的解，则方程的结构必然是极其特殊的•将原方程变形为x+ y + r -2^/7 -2^/y -1 -2VF-2 —0,& —2东4 1）十（y —] —27?^ + 1） +（5-2-2"戸+ 1）=0.配方得|（血_1）2 ——=0・利用非负数的性质得•丘二1,丽兀-],7E ---1.所以x=1，y=2，z=3.经检验，x=1，y=2，z=3是原方程的根.例6解方程经检验.X 忑是原方程的根.- 2x + 号+ - 2x-4 = IN ①解观察到题中两个根号的平方差是13,即(V3x a- 2H + - - 2忑一4)玄=13. ②②宁①便得- 2x4-9 - V^x3—4 = L ③由①，③得曲_2囂+9 T, 3K2-2z-40=0,所以乂 =耳「^ = 4.经检验"H L= -£ ,巧=4都是原方程的根.例7解方程V2?-] + ^/x2- ~ 2 * 3+ 3 + d 分析与解注意到2 2 2 2(2x -1)-(x -3x-2)=(2x +2x+3)-(x -x+2).设J2F _ [ = u r% _ 2 = v rJ2云4 2耳斗勺=科,-耳十2匸t,则u2_v2= w/-t 2, ①u+v=w+t. ②因为u+v=w+t=O无解，所以①*②得u-v=w-t .②+③得u=w,即+2K+ 3.解得x=-2.经检验，x=-2是原方程的根.例8解方程例9解方程V2 + z = 1 ™ ・|解设R 予 贝=y 2-2・因此 原方程变为y = l-7/ _1-整理得y 3-1=(1-y)2, 即(y-1)(y 2+2)=0.解得y=1,即x=-1.经检验知，x=-1是原方程的根. 这道题也可设戶 二八・原方程化为整理得y 3-2y 2+3y=0.解得y=0,从而x=-1.2a - -/K- 2a E- 2a + 4 2a 2乳分析与解对于形式为比例式1=^的方程.若方程的一边或两B D 边的分式的分子与分母只有一些项的符号不同，则可用合分比定理化简方程.根据合分比定理得两边平方得x + 2a x a 4as ■+ 4 x 2a x2- 4as + 4a 再用合分比定理得x J 十4/2a 4 ax化简得x2=4aT解得x=± 2a.经检验，x=± 2a是原方程的根.。

分式方程和无理方程知识点总结一．分式方程、无理方程的相关概念：1．分式方程：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。

2．无理方程：根号内含有未知数的方程。

（无理方程又叫根式方程）3．有理方程：整式方程与分式方程的统称。

二．分式方程与无理方程的解法：1．去分母法：用去分母法解分式方程的一般步骤是：①在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程；②解这个整式方程；③把整式方程的根代入最简公分母，看结果是不是零，使最简公分母不为零的根是原方程的根，使最简公分母为零的根是增根，必须舍去。

在上述步骤中，去分母是关键，验根只需代入最简公分母。

2．换元法：用换元法解分式方程的一般步骤是：②换元：换元的目的就是把分式方程转化成整式方程，要注意整体代换的思想；③三解：解这个分式方程，将得出来的解代入换的元中再求解；④四验：把求出来的解代入各分式的最简公分母检验，若结果是零，则是原方程的增根，必须舍去；若使最简公分母不为零，则是原方程的根。

解无理方程也大多利用换元法，换元的目的是将无理方程转化成有理方程。

三．增根问题：1．增根的产生：分式方程本身隐含着分母不为0的条件，当把分式方程转化为整式方程后，方程中未知数允许取值的范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好使原方程中分母的值为0，那么就会出现不适合原方程的增根。

2．验根：因为解分式方程可能出现增根，所以解分式方程必须验根。

3．增根的特点：增根是原分式方程转化为整式方程的根，增根必定使各分式的最简公分母为0。

解分式方程的思想就是转化，即把分式方程整式方程。

常见考法（1）考查分式方程的概念、分式方程解和增根的机会比较少，通常与其他知识综合起来命题，题型以选择、填空为主；（2）分式方程的解法，是段考、中考考查的重点。

误区提醒（1）去分母时漏乘整数项；（2）去分母时弄错符号；（3）换元出错；（4）忘记验根。

【典型例题】。

第七讲分式方程和无理方程的解法初中大家已经学习了可化为一元一次方程的分式方程的解法. 本讲将要学习可化为一元 .次方程的分式方程的解法以及无理方程的解法•并且只要求掌握 的分式方程的解法，会用”去分母”或”换元法”求方程的根，并会验根；(2) 了解无理方程概念,、可化为一元二次方程的分式方程1 .去分母化分式方程为一兀二次方程分析：去分母，转化为整式方程.解：原方程可化为:1 4xx 2 (x 2)( x 2)2方程两边各项都乘以 x 4 :(x 2) 4x 2(x 2) x 2422即3x 6 x 4 , 整理得：x 3x 2 0解得：x 1或x 2.能产生的增根，就是使分式方程的分母为 0的根.因此我们只要检验一元二次方程的根， 是 否使分式方程两边同乘的各分式的最简公分母为 0•若为0，即为增根；若不为 0,即为原 方程的解.2 •用换元法化分式方程为一元二次方程2x2【例2】解方程()x 1把x 2代入x 24 ，等于0,所以x 2是增根.所以，原方程的解是 x1说明：(1)去分母解分式方程的步骤：①把各分式的分母因式分解；②在方程两边同乘以各分式的最简公分母；③去括号， 把所有项都移到左边，合并同类项；④解一兀二次方程； ⑤验根.4，不等于0，所以x 1是原方程的解;(2)验根的基本方法是代入原方程进行检验，但代入原方程计算量较大•而分式方程可(1)不超过三个分式构成【例1】解方程1F_24x 2 x 2 4 x 2检验：把x 1代入x 2分析：本题若直接去分母，会得到一个四次方程，解方程很困难•但注意到方程的结构2特点，设y ，即得到一个关于 y 的一元二次方程•最后在已知 y 的值的情况下，用x 1..52检验：把各根分别代入原方程的分母，各分母都不为1 CE所以，x 2 , x都是原方程的解.2说明：用换元法解分式方程常见的错误是只求出 y 的值, 的值.(1)当y 1时，2x 2x 1 2小x 2x2 .x 1x1 ；;22x 13⑵当y2x 22x38x 216x2 23x 3 5x16x 3 0 x 3或 x~8x 1 85检验：把把各根分别代入原方程的分母， 各分母都不为 0.去分母的方法解方程2xy•2x解：设 -xy ，则原方程可化为:2 小y 3y解得(1)当24时，-x4 ,去分母, x 1得x 24(x 1)x 24x 4 ⑵当而没有求到原方程的解，即x【例3】解方程8(x 2 2x) x 2 13(x 2 1)x 2 2x 11 •分析：注意观察方程特点，可以看到分式2小x 2x_— 与x 12x 2x11互为倒数•因此,可以设2xx 2 2xx 2 1y ，即可将原方程化为一个较为简单的分式方程.解:2x 1x 2 1 x 2 2x原方程可化为：8y -11 y28y 11y 31 1所以，原方程的解是x,x 3, x2 5说明：解决分式方程的方法就是采取去分母、换元等法，将分式方程转化为整式方程, 体现了化归思想.、可化为一元二次方程的无理方程根号下含有未知数的方程，叫做无理方程.1•平方法解无理方程【例4】解方程,x 7 x 1分析：移项、平方，转化为有理方程求解.解：移项得：.x 7 x 1两边平方得：x 7x2 2x 1移项，合并同类项x2x 6 0得：解得：x 3或x2检验：把x 3代入原方程，左边右边，所以x 3是增根.把x 2代入原方程，左边=右边，所以x 2是原方程的根所以，原方程的解是x 2.说明：含未知数的二次根式恰有一个的无理方程的一般步骤：边同时平方，得到一个整式方程；③解整式方程；④验根.【例5】解方程、3x 2 3分析：直接平方将很困难. 可以把一个根式移右边再平方，这样就可以转化为上例的模式，再用例4的方法解方程.解：原方程可化为：3x 2 3两边平方得：3x 2 9 6.. x 3x3整理得:6.x 314 2x 3.x37x两边平方得：9(x3) 49 14x 2 x整理得 2 x23x22 0 ,解得：x1或x 22.检验：把x1代入原方程，左边=右边，所以x 1是原方程的根把x22代入原方程，左边右边，所以x 22是增根.所以，原方程的解是x 1 .说明：含未知数的二次根式恰有两个的无理方程的一般步骤：①移项，使方程的左边只保留一个含未知数的二次根式；②两边平方，得到含未知数的二次根式恰有一个的无理方程；③一下步骤同例4的说明.2 •换元法解无理方程【例6】解方程3x215x 2. x25x 1 2分析：本题若直接平方，会得到一个一元四次方程，难度较大. 注意观察方程中含未知数的二次根式与其余有理式的关系，可以发现：3x2 15x 3 3(x2 5x 1).因此，可以设x25x 1 y，这样就可将原方程先转化为关于y的一元二次方程处理.解:设/ 5x 1 y, 则x25x‘ 2 小21 y 3x15x3(y21)原方程可化为：3( y1)2y 2 ,即3y22y 5 0, 解得: y 1或y 5.3(1)当y 1 时，x25时，因为35x 1 1x25x 0x1或X0；(2)当y、x25x 1 y 0,所以方程无解.检验：把x 1,x 0分别代入原方程，都适合.所以，原方程的解是x 1,x 0.说明：解决根式方程的方法就是采取平方、换元等法，将根式方程转化为有理方程，体现了化归思想.72A 组1解下列方程：15 2 x 2 4 2 x242 •用换元法解方程： x — 4x3. 解下列方程：(1) .x 2 x (2) \ x 5 x 7(3) . x 32 x4. 解下列方程:2. 用换元法解下列方程:x 4 2x 21 x 21⑶厂(1)2x 1 (x 1)(x 2)x 5 (x 2)(x 3)x 22x 11x21 x 7~2x 12x 35(1) \ 3x 1, x 415. 用换元法解下列方程：(1) x 12 x 0⑵ 2x 4. x 5 12 2⑵ x 3x x 3x 6B 组1.解下列方程：2x 5 4 1(1)~ ~x 3x 2 x 4 x 21 x 11(3)—x 7 (2x 1)(x 7) 2x 3x 1x 41 x 6⑵ x 2 x 2 x 1x 2 4x 1 2x x 1 x 14x x 2 1(1)x 2 5xx 1 24(X " 14x(x 5) 2(x 21) 6(x 1)2x 1 x 1x x7253. 若X 1是方程4的解，试求a 的值.第七讲分式方程和无理方程的解法答案A 组⑴X1 ,(2) x 1,x21,(3)y 0,y1,(4) x 3,x5x2(1)x1,(2) x 6,(3) x5 3 2(1)x5. (2) x 20 .(1)x 9,(2) x 1,x4B 组(1)x1 13,(2) x 3,(3) x 5,x11,(4) x 3(1)x 1,x 2,x3,x4,(2) x 1、2,x317—,(3) x 1 4迈2(1)x 0, x 2, x212 —,(2) x a2 (1)x迈(2) x26,(3) x 3,x14. 5. 1.2.3. 4. 5.1.2.3.4.5.解下列万程： 3 2⑴飞 2x 4x 1x 2 2x 3 解下列方程： (1) x 2 x 2 1 3(3) 2x 2 4x 3 x 2 2x 6 153x x a6x 2 a 2x 26、、x 10。

分式方程求解在高中数学中，我们学习了各种各样的方程，其中分式方程是一种特殊的形式。

分式方程通常包括一个或多个含有未知数的分式，并且我们的目标是求解出未知数的值。

在本文中，我们将介绍一些常见的分式方程，并讨论如何求解它们。

1. 一元分式方程求解一元分式方程是指只含有一个未知数的分式方程。

我们以一个简单的例子来说明如何求解一元分式方程：假设我们要求解以下方程：x/3 = 5首先，我们可以通过将方程两边乘以3来消除分母，得到：x = 5 * 3x = 15因此，解析解是x = 15。

2. 二元分式方程求解二元分式方程是指含有两个未知数的分式方程。

我们以一个简单的例子来说明如何求解二元分式方程：假设我们要求解以下方程：x/x = 22x/3x = 6我们可以通过消除分母的方式，将以上两个方程联立起来求解。

具体步骤如下：将第一个方程两边同乘以x，得到：x = 2x然后，将上述结果代入第二个方程中，得到：2(2x)/3x = 6简化上述方程，得到：4x/3x = 6进一步简化，得到：4/3 = 6由上式可知，该方程无解。

这意味着原始的二元分式方程组也无解。

3. 分式方程的注意事项在求解分式方程时，我们需要注意以下几点：a. 分母不能为零在分式方程中，我们需要避免出现分母为零的情况。

如果方程中存在分母为零的项，则该方程无解。

b. 变量范围分式方程的解通常是有条件的，即变量的取值范围受到限制。

例如，方程x/x+1 = 2的解是x≠ -1。

c. 检验解在求解分式方程后，我们可以通过将结果代入原始方程中进行检验，以确认解是否正确。

综上所述，分式方程求解是数学中的一个重要概念。

无论是一元分式方程还是二元分式方程，在求解过程中，我们需要注意消除分母，进行代数运算，并最终得出解析解。

在实际应用中，分式方程常常出现在物理、经济等领域，有助于解决实际问题。

分式方程和无理方程的解法分式方程的意义分母中含有未知数的方程叫做分式方程。

①去分母{方程两边同时乘以最简公分母(最简公分母：①系数取最小公倍数②出现的字母取最高次幂③出现的因式取最高次幂)，将分式方程化为整式方程;若遇到互为相反数时。

不要忘了改变符号};②按解整式方程的步骤(移项，若有括号应去括号，注意变号，合并同类项，系数化为1)求出未知数的值;③验根(求出未知数的值后必须验根，因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根).一般地验根，只需把整式方程的根代入最简公分母，如果最简公分母等于0，这个根就是增根，否则这个根就是原分式方程的根。

若解出的根是增根，则原方程无解。

如果分式本身约分了，也要代进去检验。

分式方程的解题步骤去分母方程两边同时乘以最简公分母，将分式方程化为整式方程;若遇到互为相反数时。

不要忘了改变符号。

(最简公分母：①系数取最小公倍数②未知数取最高次幂③出现的因式取最高次幂)移项移项，若有括号应先去括号，注意变号，合并同类项，把系数化为1求出未知数的值;验根求出未知数的值后必须验根，因为在把分式方程化为整式方程的'过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根。

验根时把整式方程的根代入最简公分母，如果最简公分母等于0，这个根就是增根。

否则这个根就是原分式方程的根。

若解出的根都是增根，则原方程无解。

如果分式本身约分了，也要代入进去检验。

在列分式方程解应用题时，不仅要检验所得解的是否满足方程式，还要检验是否符合题意。

注意(1)注意去分母时，不要漏乘整式项。

(2)増根是分式方程去分母后化成的整式方程的根，但不是原分式方程的根。

(3)増根使最简公分母等于0。

(4)分式方程中，如果某为分母，则某应不等于0。

第07讲无理方程目录考点一：无理方程的概念和解法考点二：无理方程的根的讨论考点三：无理方程的应用【基础知识】一、无理方程的概念和解法1．无理方程的概念方程中含有根式，且被开方数是含有未知数的代数式，这样的方程叫做无理方程．2．解无理方程的方法通过平方把无理方程转化为整式方程，再求解．3．解无理方程的一般步骤（1）方程两边平方，化成整式方程；（2）解这个整式方程，求出整式方程的根；（3）检验．直接代入原方程中，看其是否成立．如果成立，则这个根为原方程的根，从而解出原方程的解；如果不成立，则这个根为增根，方程无解．二、无理方程的根的讨论增根的概念无理方程在化整式方程求解过程中，整式方程的解如果使得无理方程左右两边不相等，那么这个解就是方程的增根.三、无理方程的应用应用寻找题目中的等量关系，列方程，求解，根据实际情况进行取舍．【考点剖析】【考点1】无理方程的概念和解法例1.下列方程是哪些是关于x 的无理方程?（1）33429x ； （2）2236250x --=； （3）1211x -=；（4241x a x -=； （5）2137x a -=；（6）22113x x x --=例2.下列哪个方程有实数解（ ）A 110x x +-=B 530x ++=C 142x x ---=D 2x x -=-例3.若方程12x k -=有解，则k 的取值范围是________．例4.不解方程，说明下列方程是否有实数根：（112120x x --=；（2）22()4()()a b x x a b a b ---≤．例5.用换元法解方程223351x x x x --+时，设235x x y -+=．则该方程转换整式方程是____________． 例6.解下列方程：（123x x +； （21263x x x -+=．【变式1】解下列方程：（1）2510x x +=-； （2）()310x x +-=；【变式2】.解下列方程：（12721x x +=-+；（2）5415x x -=．例7.1113113x x x x -++-．【变式1】解方程：（1）222352393x x x x +-++-；（2）22513(5)2x x x x +++=．例8.解下列方程：（1437x x +-=； （22151x x -+．【变式1】2116x x x ---例9.解下列方程：2266220x x x x x -----．【考点2】无理方程的根的讨论例1.关于x 241x x a -+有一个增根x =4，求：（1） a 的值；（2） 方程的根．【变式1】2222x m x m +-有一个根是1x =，求实数m 的值．【变式2】.若关于x 4220x kx -+=有实数根，求k 的取值范围．【变式3】.若关于x 320x x m +++=只有一个实数根，求m 的取值范围．【考点3】无理方程的应用例1.用一根56厘米的细铁丝弯折成一个直角三角形，使它的一条直角边长为7厘米，求这个直角三角形的另两条边的长度．例2.建一块场地，用600块正方形的砖头铺成，如果把场地的面积扩大到原来面积的2 倍还多0.6平方米，且正方形的砖头的边长增加10厘米，则需要铺540块方砖，求原场地的面积．例3.若Q 点在直线21y x =+上，且Q 到点P (0，2)的距离为2，求Q 点的坐标．例4.1l 与2l 为两条互相垂直的大路，小李和老王从十字路口O 点同时出发，分别沿着 图示的方向以1千米/小时和2千米/小时的速度前进，到达A 与B 地，一座学校座落于 距1l 8千米，距2l 5千米的P 处，问：经过多少时间，两人距离学校的路程刚好相等？ 是几千米？例5.有一群蜜蜂，一部分飞进了枸杞里，其个数等于总数的一半的平方根，还有全体的89遗留在后面，此外，这群里还有一个小蜜蜂在莲花旁徘徊着，它被一个坠入香花陷阱的同伴的呻吟声所吸引．试问：这群蜜蜂共有多少个?例6.m 、n 为两段互相垂直的笔直的公路，工厂A 在公路n 上，距离公路m 为1千米．工 厂B 距离公路m 为2千米，且距离公路n 为3千米，现在要在公路m 上选一个地址造 一个车站P ，使它与A 、B 两厂的距离和为5P 的位置?【过关检测】一、单选题1．（2022秋·上海奉贤·八年级校考期末）下列关于x 的方程中，没有实数解的是（ ）A ．(1)20x x --=；B (1)(2)0x x --=；C 120x x --=；D (1)(2)0x x --．2．（2022秋·上海宝山·八年级校考阶段练习）下列方程中，有实数解的方程是（ ）A ．2+2=0xB ．2222x x x x +=--C ．320x +=D 320x -=3．（2022春·上海静安·八年级新中初级中学校考期末）下列说法正确的是（ ）A ．22x y +=B ．20x x -=是二项方程C ．223x x -=是分式方程D ．22x x x-= 二、填空题4．（2022秋·上海浦东新·31x x +=+的根是______．5．（2022春·上海虹口·八年级上外附中校考阶段练习）2482x x --时采用了下面的方法：由()()2224824824824816x x x x x x x x ----=---=---=，2482x x --=2488x x --=，将这两式相加可得24583x x -=-=， 245x -两边平方可解得=1x -，经检验=1x -是原方程的解．请你学习小明的方法，解决下列问题：（122221032a a --222210a a --___________．（2224654254x x x x x +---=，得方程的解为___________．6．（2022秋·上海杨浦·1x -x ﹣2）＝0的根是 _____．7．（2022秋·上海普陀·21x k -=无实数解，那么k 的取值范围是______．三、解答题8．（2022秋·上海浦东新·282x x +-．9．（2022秋·上海杨浦·1x +2x =1．10．（2022秋·上海·八年级校考期中）解方程：11x x -=．11．（2022秋·上海·279x x +-=．12．（2022秋·上海·八年级专题练习）解方程(1)5x+x1；(2)已知关于x2m x-m+x＝3有一个实数根是x＝1，试求m的值．13．（2022秋·上海·八年级专题练习）下面是小明同学解无理方程323x-x的过程：原方程可变形为3﹣x23x-（第一步）两边平方，得3﹣x＝2x﹣3……（第二步）整理，得﹣3x＝6……（第三步）解得x＝2……（第四步）检验：把x＝2分别代入原方程的两边，左边＝323x-2，右边＝2，左边＝右边，可知x＝2是原方程的解．……（第五步）所以，原方程的解是x＝2．……（第六步）请阅读上述小明的解题过程，并完成下列问题：（1）以上小明的解题过程中，从第步开始出错；（2）请完成正确求解方程323x-x的过程．14215212 x xx x-=-15.有一个数，它的平方根比它的倒数的正平方根的3倍多2，求这个数．16.已知点P是x轴上一点，它与点A(-9，3)之间的距离是15，求点P的坐标．17.某学校修建两块面积相等的绿地，一块是长方形，另一块是正方形．已知长方形绿地的长比宽多14米，且这两块绿地的周长之和为196米，那么长方形绿地的宽是多少?11。

分式方程的认识与解法一、分式方程的定义分式方程是指在方程中含有未知数的分式表达式的方程。

其一般形式可以表示为：分子和分母都含有未知数的代数式的方程。

二、分式方程的解法1. 清除分母当分式方程中存在分母时，我们首先要通过求通分的方式将分母消去，以便更方便地求解方程。

举例说明：解方程：$\frac{1}{x}+\frac{2}{x-1}=1$首先，我们可以将方程两边的分式的分母进行通分，得到：$\frac{x-1}{x(x-1)}+\frac{2x}{x(x-1)}=\frac{x(x-1)}{x(x-1)}$化简后得到：$x-1+2x=x(x-1)$接着，按照一般方程的求解方法，将方程化简为一般的多项式方程：$3x-1=x^2-x$整理后得到：$x^2-4x+1=0$然后，我们可以使用因式分解、配方法、求根公式等方法求解多项式方程，得到方程的解：$x_1=2+\sqrt{3}$$x_2=2-\sqrt{3}$2. 分式方程的整理和化简有时，分式方程可能非常复杂，我们需要对方程进行整理和化简，以便更方便地进行后续的求解。

举例说明：解方程：$\frac{x^2+1}{x-2}-1=\frac{3x+4}{x-2}$首先，我们可以对方程进行整理和化简，得到：$\frac{x^2+1-x+2}{x-2}=\frac{3x+4}{x-2}$化简后得到：$\frac{x^2-x+3}{x-2}=\frac{3x+4}{x-2}$接着，我们可以将方程两边的分式进行合并，得到：$x^2-x+3=3x+4$化简后得到：$x^2-4x+1=0$然后，我们可以使用因式分解、配方法、求根公式等方法求解多项式方程，得到方程的解：$x_1=2+\sqrt{3}$$x_2=2-\sqrt{3}$3. 分式方程的检验在求得分式方程的解后，我们还需要将解代入方程进行验证，以确认解的可行性。

举例说明：解方程：$\frac{x-2}{2x+3}=\frac{x+1}{3x-1}$假设解为$x=1$，我们将解代入方程中进行检验：$\frac{1-2}{2(1)+3}=\frac{1+1}{3(1)-1}$计算结果为：$\frac{-1}{5}=\frac{2}{2}$显然，左右两边不相等，所以$x=1$不是方程的解。

初高中数学衔接课程（1）目 录第一讲 数与式的运算 第二讲 因式分解第三讲 一元二次方程根与系数的关系 第四讲 不 等 式第五讲 二次函数的最值问题 第六讲 简单的二元二次方程组 第七讲 分式方程和无理方程的解法 第八讲 直线、平面与常见立体图形第一讲 数与式的运算1.１绝对值绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零。

即,0,||0,0,,0.a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩或⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥=）（）（0a a 0a a a绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离。

两个数的差的绝对值的几何意义：b a -表示在数轴上，数a 和数b 之间的距离。

练 习 1．填空：（1）若4-=x ，则x =_________；（2）如果5=+b a ，且1-=a ，则b ＝________； （3）若21=-c ，则c ＝________。

2．选择题：下列叙述正确的是（ ）A 、若a b =，则a b =B 、若a b >，则a b >C 、若a b <，则a b <D 、若a b =，则a b =±3．化简：|x －5|－|2x －13|（6x 5<<）。

4、解答题：已知0)5(4232=++-+-c b a ，求 c b a ++的值。

1.2、乘法公式【公式1】ca bc ab c b a c b a 222)(2222+++++=++ 证明：2222)(2)(])[()(c c b a b a c b a c b a ++++=++=++Θca bc ab c b a c bc ac b ab a 222222222222+++++=+++++=∴等式成立【例1】计算：说明：多项式乘法的结果一般是按某个字母的降幂或升幂排列。

【公式2】3322))((b a b ab a b a +=+-+(立方和公式) 证明: 3332222322))((b a b ab b a ab b a a b ab a b a +=+-++-=+-+ 【例2】计算：))((22b ab a b a ++-【公式3】3322))((b a b ab a b a -=++-(立方差公式)1.3、根式式子(0)a a ≥叫做二次根式，其性质如下：二次根式2a 的意义：2a a ==,0,,0.a a a a ≥⎧⎨-<⎩(1) 2()(0)a a a =≥(2) 2||a a =(3) (0,0)ab a b a b =⋅≥≥ (4)(0,0)bb a b aa=>≥22)312(+-x x例1 将下列式子化为最简二次根式：（1）12b ； （2）2(0)a b a ≥；（3）64(0)x y x <。