§1.2 数列的极限 §1.3 函数的极限

1 x, 设 f ( x) 2 x 1, 证明lim f ( x ) 1.
x 0
x0 x0
y 1 x
y
1
y x2 1
o
分x 0和x 0两种情况分别讨论
x从左侧无限趋近 x0 , 记作x x 0 ;
x从右侧无限趋近 x0 , 记作x x 0 ;
x x x
3x 1 3 例1 证明： lim x x
1.3.2 函数在一点的极限
问题: 函数 y f ( x ) 在 x x 0 的过程中,对应 函数值 f ( x ) 无限趋近于确定值 A.
f ( x) A 表示 f ( x) 与 A的接近程度 ;
0 x x0 表示x x0的过程 . 体现x接近x0程度.
定义2 " " 定义
0, 0, 当0 x x0 时, 恒有 f ( x) A .
常数 A 就叫函数 f ( x ) 当x x 0 时的极限,记作
x x0
lim f ( x ) A 或
1 sin 不存在. 二者不相等, 故 lim x 0 x
x 情形 : lim f ( x) A
x
0, X 0, 使当 x X时, 恒有 f ( x ) A .
常数 A 就叫函数 f ( x ) 当x 时的极限,记作
lim f ( x ) A 或
x
f ( x ) A(当x )
注: x X 表示x 的过程.
且 lim xn x ，有 lim f ( xn ) A 。
n n
xn ，xn x ， lim xn x ， ①若存在某个数列 说明：

高等数学 1.2.２ 函数的极限 ２.当
x x0 时，函数 f ( x)的极限
x x0的左右极限定义
定义1· 5
1.2 极限的概念
高等数学 1.2.２ 函数的极限 ２.当
x x0 时，函数 f ( x)的极限
左极限与右极限的关系
定理1· 2
1.2 极限的概念
高等数学 1.2.２ 函数的极限 ２.当
1
lim cosx 不存在 ［Ｂ］（4）limarc cotx 不存在（5） x x
2,x 0 f(x) f(x) ［Ｃ］ （6）设 ，则 xlim 2,x 0
不存在
1.2 极限的概念
高等数学 1.2.２ 函数的极限 ２.当
x x0 时，函数 f ( x)的极限
（２）定义中考虑的是xx0时函数f(x)的变化趋势,并不 考虑在x0处f(x)的情况 .
( 3 ) 由极限的定义1．9容易得到以下两个结论：
1.2 极限的概念
高等数学 1.2.２ 函数的极限 ２.当 例1
x x0 时，函数 f ( x)的极限
考察下列函数，写出当x 2时函数的极限并作图验证 （１）y = c (c为常数) （２）y = x
高等数学 1.2.２ 函数的极限 ２.当
x x0 时，函数 f ( x)的极限
x0 3, 3、 f(x) x 3， x 0
x 0
limf(x) 3 limf(x) lim (x 3) 3
x 0 x 0 x 0
x 0
因为 lim f(x) lim f(x) 3
x 时，函数 f ( x)的极限
例3
解： 作y
1 图象 x

称此常数为数列的极限。
1
极限的定义
如果对于任意给定的正数 0 (不论它多么
小),总存在正数 N ,使得对于 n N 时的一切 xn,
不等式
xn a
都成立 ,则称 数列 xn 收敛于 a ,常数 a 称为数列 xn
的极限 ,
记为lim n
xn
a,或xn
a
(n ).
如果数列没有极限, 就说数列是发散的.
0
说明 (1) 给定后， 的选择并不唯一， 依赖于 x0 与 。
(2) 此极限的定义中，0 | x x0 | ，指出 x x0，有两层含义：
I. x0 可以不在 f ( x) 的定义域内； II. x0 可以属于 f ( x) 的定义域，但此时极限值与 f ( x) 在 x0
处的函数值无关。
第二 章 极限与连续
§2.1 数列的极限 §2.2 函数的极限 §2.3 极限的运算法则和存在准则 §2.4 无穷小与无穷大 §2.5 函数的连续性 §2.6 闭区间上连续函数的性质
一. 数列
§2.1 数列的极限
定义 按照一定顺序排成的一 列实数
x1, x2 , x3 , , xn ,
称为数列，记为 { xn}．其中 xn 称为第 n 项或通项， 通项 xn 的表达式称为通项公式．
例如 (1) 2, 4, 8, ,2n, 表示为{2n}； 通项 xn 2n；
(2)
1,
1 2
,
1 3
,
,
1 n
,
(3) 0, 1, 0, 2,,0, n,
{ 1 }； n
xn
1； n
{ xn}； xx22kk1k，0，k 1, 2,
整标函数 数列是定义在正整数集 N 上的一个函数， 若记此函数为 f (n)，并记 xn f (n), 则数列即为 x1 f (1), x2 f (2), , xn f (n),. 记为 { xn}．

观察函数
x
x
1当x
时的变化趋势
当x 时f (x)无限接近于 1
定义 若自变量 x 无限增大时,函数 f (x) 无限趋近于 某个确定的常数A ,则称常数 A为函数 f (x)当 x
时的极限，记为 lim f (x) A 或 f (x) A x ． x x 时函数极限的定义,可仿照上面定义给出.
x
当x 0 时 f (x)无限接近于
定义 设函数 f (x) 在x0 的某邻域内有定义( x0可以除 外）,如果当自变量 x 趋近于 x0 ( x x0 )时,函数 f (x) 的函数值无限趋近于某个确定的常数 A ,则称 A 为
函数 f (x)当x x0 时的极限,记为
lim f (x) A
单调递增的数列 单调递减的数列
数列{un}对于每一个正整数 n , 都有 un≤ un1 数列{un}对于每一个正整数n ， 都有un ≥ un1
有界数列 对于数列{un}存在一个固定的常数 M ,使 得对于其每一项 un ,都有 un ≤ M
结论: 单调有界数列必有极限.
例1 考察下列数列的极限：
在
x
0
点处是否有
解 函数 f (x) 在x 0 处的左、右极限
lim f (x) lim(1 x) 1
x0
x0
lim f (x) lim cos x 1
x0
x0
因为
lim
x0
f (x)
lim
x0
f (x)
,所以由定理２可知
lim f (x) 1存在．
x0
函数极限的定义可以统一于如下定义．
定义 如果变量 Y 在自变量的某一变化过程中， 无限趋近于某一常数 A ，则称 A 为变量Y 的极限，