城东蜊市阳光实验学校§函数的极限课时安排 2课时 沉着说课从建构主义观点出发来引入函数极限的概念,建构函数的极限的定义.数列是一种特殊函数.我们已经研究了数列的极限的概念.本小节要解决当x→∞时,函数f(x)的极限；当x→x0时函数f(x)的极限,函数的左、右极限的概念.着重弄清以下三个问题：(1)常数C 与x 不发生关系,为什么有C C x x =→lim 0或者者C C x =±∞→lim 呢？这是因为C=C·1x,所以可把常数看成“变化率〞为0的函数,它实际上与自变量x 是有关系的,f(x)=C,不管x 取何值,其函数值都是C,其图象是一条程度直线(与x 轴平行或者者重合).(2)“当x→x0时,函数f(x)的极限是A 〞,这一用语是否与f(x)在点x0处的情况有关？这一用语仅与f(x)在点x0附近的函数值变化有关,而与f(x)在点x0处的情况无关.例如,函数f(x)=x3+3x2-1在点x0=1处有定义,而分式函数xx x f +-=24)(2在点x0=-2处无定义,但它们当x→+1,x→-2时的极限都是存在的.(3)是否所有函数都有极限呢？学生容易糊涂,教师应该举例说明. 答案是否认的.例如,函数xx x f ||)(=,当x→∞时的极限是不存在的.事实上, 当x→+∞时,f(x)的值恒等于1,所以f(x)的变化趋势是无限接近于1； 而当x→-∞时,f(x)的值恒等于-1,所以f(x)的变化趋势是无限趋近于-1.因此,当x→∞时,f(x)的变化趋势不是无限趋近于同一常数,即当x→∞时,f(x)的极限不存在.第七课时课题§ 2.3.1 函数的极限(一)教学目的一、教学知识点1.当x→+∞时,函数f(x)的极限的概念.2.当x→-∞时,函数f(x)的极限的概念.3.当x→∞时,函数f(x)的极限的概念.4.常数函数f(x)=C的极限.二、才能训练要求1.从函数的变化趋势,理解掌握函数极限的概念.2.会求当函数的自变量分别趋于+∞、-∞、∞时的极限.三、德育浸透目的1.培养学生以运动的目光来对待数学问题的才能和极限思想.2.培养学生从“特殊〞到“一般〞的归纳的才能.教学重点从函数的变化趋势来理解极限的概念,体会极限思想.这是本章内容的根底,也是本章后续内容(导数,积分)的根底.教学难点对极限概念如何从变化趋势的角度来正确理解.可以结合详细例子,通过比较数值的变化及图象,从中提炼、概括涉及极限的本质特征.教学方法启发式教学法.教学过程 Ⅰ.课题导入［师］什么是数列{an}的极限？［生1］当项数n 无限增大时,假设数列{an}的项an 无限趋近于某个常数a,就说当n 趋向于无穷大时,数列{an}的极限是a,记作a ann =∞→lim 或者者者当n→∞时,an→a.［师］那么我们是否可以将an 看成是n 的函数？即an=f(n),自变量n∈N*,an 就是一个特殊的函数.对于一般的函数f(x),自变量x∈R,是否有同样的结论呢？这节课就来研究当x→∞时,函数f(x)的极限.Ⅱ.讲授新课 (一)举特殊例子 ［师］我们先来看函数xy 1=(x∈R,x≠0),画出它的图象或者者者列表观察:当x 取正值并无限增大时和当x 取负值并绝对值无限增大时,函数值的变化趋势.［板书］xy 1=(x∈R,x≠0). 1.图象图2－132.列表(请学生答复y 的值)［师］我们从图或者者表中可以发现什么呢？当x 取正值增大或者者x 取负值绝对值增大时,函数值y 如何变化？［生2］从图中或者者表中可以看出,当x 取正值增大时,y 的值趋于0；当x 取负值并绝对值增大时,y 的值也趋于0.［师］那我们假设也用数列中的极限符号怎么表示呢？［板书］01lim =+∞→x x ,01lim =-∞→xx . (二)函数极限的定义1.当自变量x 取正值并且无限增大时,假设函数f(x)无限趋近于一个常数a.就说当x 趋向于正无穷大时,函数f(x)的极限是a,记作lim +∞→x f(x)=a,或者者者当x→+∞时,f(x)→a,2.当自变量x 取负值并且绝对值无限增大时,假设函数f(x)无限趋近于一个常数a,就说当x 趋向于负无穷大时,函数f(x)的极限是a,记作lim -∞→x f(x)=a 或者者者当x→-∞时,f(x)→a.3.假设lim +∞→x f(x)=a 且lim -∞→x f(x)=a,那么就说当x 趋向于无穷大时,函数f(x)的极限是a,记作lim -∞→x f(x)=a,或者者者当x→∞时,f(x)→a.4.常数函数f(x)=C(x∈R),有lim ∞→x f(x)=C.注意：lim ∞→x f(x)存在,表示lim +∞→x f(x)和lim -∞→x f(x)都存在且两者相等.所以lim ∞→x f(x)中的∞既有+∞,又有-∞的意义,而数列极限nn alim ∞→中的∞仅有+∞的意义.(三)课本例题［例1］分别就自变量x 趋向于+∞和-∞的情况, 讨论以下函数的变化趋势. (1)x y )21(=(教师板演).［师生一一共析］对于这个函数的图象能否作出,由图不难看出.［师］解：由图2－14可知,当x→+∞时,x y )21(=无限趋近于0,即0)21(lim =+∞→x x ；当x→-∞时,x y )21(=无限趋近于+∞.图2－14图2－15(2)y=2x(学生板演).解：由图2－15可知,当x→+∞时,y=2x 无限趋近于+∞;当x→-∞时,y=2x 无限趋近于0,即02lim =-∞→xx .(3)⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=).0(1)(),0(0),0(1)(x x x x f 学生板演 图2－16解：由图2－16可知,当x→+∞时,f(x)的值是1,即lim +∞→x f(x)=1;当x→-∞时,f(x)的值是-1,即lim -∞→x f(x)=-1.［师］当x→+∞时,f(x)不是无限趋近于某个常数a,而是f(x)的值等于常数a,那么函数f(x)当x→+∞时的极限也就是a.x→-∞时,情况也是如此.Ⅲ.课堂练习 1.对于函数21y =,填写上上下表并画出函数的图象,观察当x→∞时,函数y 的变化趋势.当x→∞时,21x y =无限趋近于0,即012lim =-∞→xx . 2.写出以下函数极限的值.(1)01lim=+∞→xx ；图2－17(2)010lim =-∞→x x ； 图2－18(3)053lim =+∞→x x ；图2－19(4)012lim =++∞→x x . 图2－203.k∈N*,求kn k n n kC C k n 11)(lim --∞→- . 解:原式1)!(!!)!()!1()!1()(lim lim=-=-⋅----=∞→∞→n k n k n k n k k n k n k n n n .Ⅳ.课时小结本节学习了当x 分别趋向于+∞、-∞、∞时,函数f(x)的极限,以及常数函数的极限,并且注意lim ∞→x f(x)中的∞和数列极限nn alim ∞→中的∞的不同意义.以概念为根据,结合函数图象,学会求一些函数的极限.Ⅴ.课后作业(一)课本P83习题2(1)(2)(3)(4). (二)1.预习内容：课本P79~83. 2.预习提纲：(1)预习当x→x0时,函数f(x)的极限的概念. (2)预习函数的左、右极限. 板书设计 §2.3.1 函数的极限(一)一、几个定义1.当x→+∞时,函数f(x)的极限.2.当x→-∞时,函数f(x)的极限.3.当x→∞时,函数f(x)的极限.4.常数函数f(x)=C 的极限. 二、举特殊例子 1.图象 2.列表 3.记作 课本例题 例1.(1)y=(21)x (2)y=2x(3)⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=)0( 1)0(0)0(1)(x x x x f 课堂练习 课后作业。
