基础 数列极限与函数极限
一、实验目的
从刘徽的割圆术、裴波那奇数列研究数列的收敛性并抽象出极限的定义；理解数列收敛的准则；理解函数极限与数列极限的关系。
二、实验材料
1.1割圆术
中国古代数学家刘徽在《九章算术注》方田章圆田术中创造了割圆术计算圆周率π。刘徽先注意到圆内接正多边形的面积小于圆面积；其次，当将边数屡次加倍时，正多边形的面积增大，边数愈大则正多边形面积愈近于圆的面积。
“割之弥细，所失弥少。割之又割以至不可割，则与圆合体而无所失矣。”这几句话明确地表明了刘徽的极限思想。
以n S 表示单位圆的圆内接正123-⨯n 多边形面积，则其极限为圆周率π。用下列
Mathematica 程序可以从量和形两个角度考察数列{n S }的收敛情况：
m=2;n=15;k=10; For[i=2,i<=n,i++, l[i_]:=N[2*Sin[Pi/(3*2^i)],k]; (圆内接正123-⨯n 多边形边长)
s[i_]:=N[3*2^(i-1)*l[i]*Sqrt[1-(l[i])^2/4],k]; (圆内接正123-⨯n 多边形面积)
r[i_]:=Pi-s[i]; d[i_]:=s[i]-s[i-1];
Print[i," ",r[i]," ",l[i]," ",s[i]," ",d[i]]
]
t=Table[{i,s[i]},{i,m,n}] (数组)
ListPlot[t] (散点图)
1.2裴波那奇数列和黄金分割
由2110;1;0--+===n n n F F F F F 有著名的裴波那奇数列}{n F 。 如果令n
n n F F R 11--=，由n F 递推公式可得出 11111/11---+=+=+=n n n n n n n R F F F F F R ，]251251[511
1++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=n n n F ； 2
15lim lim 1-==+∞→∞→n n n n n F F R 。 用下列Mathematica 程序可以从量和形两个角度考察数列{n R }的收敛情况：
n=14,k=10; For[i=3,i<=n,i++, t1=(Sqrt[5]+1)/2; t2=(1-Sqrt[5])/2;
f[i_]:=N[(t1^(i+1)-t2^(i+1))/Sqrt[5],k]; (定义裴波那奇数列通项)
rn=(5^(1/2)-1)/2-f[i-1]/f[i];Rn=f[i-1]/f[i];dn=f[i-1]/f[i]-f[i-2]/f[i-1];
Print[i," ",rn," ",Rn," ",dn];
] t=Table[{i,f[i-1]/f[i]},{i,3,n}] ListPlot[t]
1.3收敛与发散的数列
数列}{1∑=-n
i p i 当1>p 时收敛，1≤p 时发散；数列}{sin n 发散。 1.4函数极限与数列极限的关系
用Mathematica 程序
m=0;r=10^m;x0=0;
f[x_]=x*Sin[1/x]
Plot[f[x],{x,-r,r}]
Limit[f[x],x->x0]
观察1sin )(-=x x x f 的图象可以发现，函数在0=x 点处不连续，且函数值不存在，但在0=x 点处有极限。
令100,,2,1,/1 ===n n a x n ，作函数的取值表，画散点图看其子列的趋向情况
k=10;p=25;
a[n_]=1/n;
tf=Table[{n,N[f[a[n]],k]},{n,1,p}]
ListPlot[tf]
Limit[f[a[n]],n→Infinity,Direction→1]
分别取不同的数列n a (要求0→n a )，重做上述过程，并将各次所得图形的分析结果比
较，可知各子列的极限值均为上述函数的极限值。
对于1sin )(-=x x g ，类似地考察在0=x 点处的极限。
三、实验准备
认真阅读实验目的与实验材料后要正确地解读实验，在此基础上制定实验计划（修改、补充或编写程序，提出实验思路，明确实验步骤），为上机实验做好准备。
四、实验思路提示
3.1考察数列敛散性
改变或增大n ，观察更多的项（量、形），例如，n 分别取50，100，200，…；扩展有效数字k ，观察随n 增大数列的变化趋势，例如，k 分别取20，30，50；或固定50；或随n 增大而适当增加。对实验要思考，例如，定义中的指标与柯西准则中的指标间的差异；数列收敛方式；又例如，如何估计极限近似值的误差。
3.2考察函数极限与数列极限的关系
改变函数及极限类型，例如，考虑六种函数极限，既选取极限存在也选取极限不存在的例子；改变数列，改变参数观察更多的量，考察形的变化趋势；扩展有效数字k ，提高计算精度。要对实验思考，归纳数列敛散与函数敛散的关系。
