浅谈数列极限与函数极限在解题中的区别和联系

云南大学数学分析习作课（1）读书报告题目：数列极限与函数极限的异同（定义，存在条件，性质，运算四方面的对比）学院：物理科学技术学院专业：数理基础科学姓名、学号：任课教师：时间： 2009-12-26 摘要极限是数学中极其重要的概念之一，极限的思想是人们认知数学世界解决数学问题的重要武器，是高等数学这个庞大的数学体系得以建立的基础和基石；极限在数学中处于基础的地位，它是解决微积分等一系列重要数学问题的前提和基础；极限是一种思维，在学习高数时最好理解透彻了，在线代中没什么用.但是概率中用的比较多，另外物理中许多都用到了极限的思维，它也能帮助更好的理解一些物理知识；在高等数学中，极限是一个重要的概念，极限可分为数列极限与函数极限，下面是关于两种极限的简要联系与说明。

关键词：数列极限与函数极限的定义，存在条件，性质，运算一数列极限与函数极限的定义1、数列与函数：a、数列的定义：数列是指按自然数编了号的一串数：x1，x2，x3，…，x n，….通常记作{x n}，也可将其看作定义在自然数集N上的函数x n=N(，),nnf∈故也称之为整标函数。

b、函数的定义：如果对某个范围X内的每一个实数x，可以按照确定的规律f，得到Y内唯一一个实数y和这个x对应，我们就称f是X上的函数，它在x的数值（称为函数值）是y，记为)fy=。

(x(xf，即)称x是自变量，y是因变量，又称X是函数的定义域，当x遍取X内的所有实数时，在f的作用下有意义，并且相应的函数值)f的全体所组成的范围叫作(x函数f 的值域，要注意的是：值域不一定就是Y ，它当然不会比Y 大，但它可能比Y 小。

2、 （一） 数列极限的定义：对数列}{x n ，若存在常数A ，对N n N >∀∈∃>∀,N ,0ε，有ε<-A xn，则称数列收敛且收敛于A ，并称数列}{x n的极限为A ，记为xnn lim ∞→=A.例1.试用定义验证：01lim =∞→nn .证明：分析过程，欲使,101ε<=-nn只需ε1>n 即可，故εεε<->∀+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=∃>∀01:,11,0n N n N .例2.试用定义验证：).11(lim <<-=∞→q n证明：分析过程.欲使[]ε<=-nn q q 0，只需qn lg lg ε>（注意0lg <q ）。

数列极限与函数极限的区别与联系在数学中，极限是一个非常基础的概念，而数列极限和函数极限则是极限的两种形式。

数列极限和函数极限都是极限的具体表现形式，但是它们之间还是存在很多的区别和联系。

本文将从数列极限和函数极限的定义、性质、求解方法等方面，分析数列极限和函数极限之间的区别和联系。

一、数列极限和函数极限的定义1. 数列极限的定义数列极限是指当数列的项数趋向于无穷大时，数列中的每个项都趋向于某个固定的数。

数列极限的定义可以用符号表示为：$$lim_{n to infty} a_n = a$$其中，$a_n$ 表示数列的第 $n$ 项，$a$ 表示数列的极限。

2. 函数极限的定义函数极限是指当自变量趋向于某个值时，函数值趋向于某个固定的数。

函数极限的定义可以用符号表示为：$$lim_{x to x_0} f(x) = A$$其中，$f(x)$ 表示函数的值，$x$ 表示自变量，$x_0$ 表示自变量的趋向值，$A$ 表示函数的极限。

二、数列极限和函数极限的性质1. 数列极限和函数极限的唯一性数列极限和函数极限都具有唯一性。

即数列和函数只有一个极限值。

2. 数列极限和函数极限的保号性对于数列极限和函数极限，如果它们的极限值是正数，那么它们的项或函数值都可以取到正数。

如果它们的极限值是负数，那么它们的项或函数值都可以取到负数。

3. 数列极限和函数极限的夹逼定理夹逼定理是数列极限和函数极限中的一个重要定理。

它可以用来求解一些难以直接求解的极限。

夹逼定理的表述如下：设数列 ${a_n}$，${b_n}$，${c_n}$ 满足 $a_n leq b_n leq c_n$，且 $lim_{n to infty} a_n = lim_{n to infty} c_n = A$，则 $lim_{n to infty} b_n = A$。

三、数列极限和函数极限的求解方法1. 数列极限的求解方法数列极限的求解方法有很多种，下面介绍几种常用的方法。

使得其后的所有项都位于这个开区间内，而在该区间之外，最多只有{an}的有限项(N项).对于正整数N 应该注意两点:其一，N是随着ε而存在的，一般来讲，N随着ε的减小而增大，但N不是唯一存在的;其二，定义中只强调了正整数N的存在性，而并非找到最小，我们只关注第N项以后的各项均能保持与常数a的距离小于给定的任意小正数ε即可. 的N2(性质收敛数列有如下性质:(1)极限唯一性;(2)若数列{an}收敛，则{an}为有界数列;(3)若数列{an}有极限A，则其任一子列{ank}也有极限A;(4)保号性，即若极限A>0，则存在正整数N1，n>N1时an>0;(5)保序性，即若，且A<B，则存在正整数N1，使得n>N1时an<bn，反之亦成立.定理1 (收敛数列与其奇、偶项数列间的关系)数列{an}收敛于a的充分必要条件是它的奇数项数列{a2k-1}和偶数项数列{a2k}都收敛，且收敛于a.函数极限 1(定义(1)自变量趋于有限值时函数的极限:-函数f(x)在点x0的某一去心邻域内有定义，如果对于任意给定的正数ε(无论它多么小)，总存在正数δ，使得对于满足不等式的一切x，对应的函数值f(x)都满足不等式，则常数A为函数f(x)在x?x0时的极限，记作上述定义的几何意义是:将极限定义中的四段话用几何语言表述为1对:任意以两直线为边界的带形区域;2总:总存在(以点x0位中心的)半径;3当时:当点x位于以点x0位中心的δ空心邻域内时;4有:相应的函数f(x)的图像位于这个带形区域之内. (2)自变量趋于无穷大时函数的极限:设函数f(x)在|x|大于某一正数时有定义，如果任给ε>0，总存在着正数Χ，使得对于适合不等式|x|>Χ的一切x，对应的函数值f(x)都满足不等式|f(x)-A|<ε，则称常数A为函数f(x)当x??时的极限，记作并称y=A为函数y=f(x)的图形的水平渐近线.2(性质(1)极限唯一性;(2)局部有界性若存在，则存在δ1>0，使得f(x)在去心邻域内是有界的，当x趋于无穷大时，亦成立;)局部保号性 (3若，则存在δ1>0，使得时，f(x)>0，当x趋于无穷大时，亦成立;(4)局部保序性若，，且A<B，则存在δ1>0，使得时f(x)<g(x)，当x趋于无穷大时，亦成立.定理2 函数f(x)当x?x0时，极限存在的充分必要条件是函数f(x)当x?x0时的左、右极限都存在些相等，即利用定义证明极限下面介绍用“ε-δ(或N)”证明极限的一般步骤.1.极限值为有限的情形:(1)给定任意小正数ε;(2)解不等式或，找δ或N;(3)取定δ或N;(4)令或，由或成立，推出或.2. 极限值为无穷大的情形(仅以极限为+?与自变量为例): ) 给定任意大正数G; (2) 解不等式; (3) 取定; (4)令，由成立，推出. (1利用极限的定义证明问题关键是步骤(2)，应该非常清楚从哪一种形式的不等式推起，最后得到一个什么形式的式子，由此即可找到所需要的(或N). 极限存在准则1(夹逼准则 (1)数列极限的夹逼准则如果数列{an}，{bn}及{cn}满足下列条件:1存在N，n>N时，bn?an?cn;2则数列{an}的极限存在，且 .(2)函数极限的夹逼准则(以x?x0和x??为例)如果1(或|x|>M)时，有2(或)，则(或)(3)一个重要不等式时，2(单调有界数列必有极限3(柯西(Cauchy)极限存在准则数列{an}收敛的充分必要条件是:对于任意给定的正数ε，存在着这样的正整数N，使得当m，n>N时，有|xn-xm|<ε. 数列极限与函数极限的联系数列可看作一个定义域为自然数集的函数,当自变量从小到大依次取自然数时,便得到相应的一系列函数值, 其解析表达式为an=f(n);函数是连续的,数列相当于一个函数中的一些独立的点，表现在图形上数列是无数的点，而函数是一段曲线;把数列中的n用x来替换后如果函数f(x)存在极限则数列也必定有极限，但是反之不成立。

高中数学知识点总结数列极限与函数极限高中数学知识点总结：数列极限与函数极限数学是一门基础性的学科，而数学中的数列极限与函数极限在高中阶段被广泛研究和应用。

本文将对高中数学中的数列极限与函数极限进行总结和解析。

以下是各章节的内容：一、数列极限数列极限是高中数学中的重要概念，它在解析几何、微积分等数学领域中都有着重要的应用。

数列极限的定义是指当数列的项趋于无穷大时，数列中的元素也趋于某个确定的数。

数列极限可以分为收敛和发散两种情况。

1. 收敛数列收敛数列是指当数列的项趋于无穷大时，数列中的元素趋于某个确定的数。

收敛数列的定义涉及到两个重要概念：极限和无穷大。

在对数列进行分析时，可以通过计算数列的通项公式或者观察数列的性质来确定数列的极限。

2. 发散数列发散数列是指当数列的项趋于无穷大时，数列中的元素趋于无穷大或者无穷小。

发散数列在数学中也有重要的研究价值，它们常常与函数极限或者无穷小量相联系。

二、函数极限函数极限是指当自变量趋向于某个值时，函数值趋向于某个确定的数。

函数极限也分为收敛和发散两种情况。

1. 左极限和右极限函数在一点的左极限是指当自变量趋向于这个点时，函数值从左边逼近的极限值。

同理，右极限是指当自变量趋向于这个点时，函数值从右边逼近的极限值。

左极限和右极限在研究函数的连续性和间断点时起着重要的作用。

2. 无穷极限当自变量趋于无穷大时，函数的极限被称为无穷极限。

无穷极限有正无穷和负无穷两种情况。

通过研究函数的无穷极限，可以了解函数在无穷远处的行为特征。

三、数列极限与函数极限的关系数列极限和函数极限实际上是密切相关的。

当函数的自变量取数列中的元素，并且这个数列收敛时，函数的极限可以与数列的极限相联系。

这种联系在高等数学的各个领域中都有着重要的应用。

综上所述，数列极限与函数极限是高中数学中的重要知识点。

通过深入理解数列极限和函数极限的概念以及它们之间的关系，可以更好地应用于解决实际问题和推导更高级的数学理论。

函数极限与数列极限的关系两者之间的联系虽然数列极限与函数极限是分别独立定义的,但是两者是有联系的。

海涅定理深刻地揭示了变量变化的整体与部分、连续与离散之间的关系,从而给数列极限与函数极限之间架起了一座可以互相沟通的桥梁。

它指出...2.两者之间的区别 1、从研究的对象看区别:数列极限是函数极限的一种特殊情况,数列是离散型函数。

而函数极限研究的对象主要是具有(哪怕局部具有)连续性的函数。

2、取值方面的区别:数列中的下标n仅取正整数.数字特性掌握一些最基本的数字特性规律，有利于我们迅速的解题。

（下列规律仅限自然数内讨论）（一）奇偶运算基本法则【基础】奇数±奇数=偶数；偶数±偶数=偶数；偶数±奇数=奇数；奇数±偶数=奇数。

【推论】1．任意两个数的和如果是奇数，那么差也是奇数；如果和是偶数，那么差也是偶数。

2．任意两个数的和或差是奇数，则两数奇偶相反；和或差是偶数，则两数奇偶相同。

（二）整除判定基本法则1．能被2、4、8、5、25、125整除的数的数字特性能被2（或5）整除的数，末一位数字能被2（或5）整除；能被4（或 25）整除的数，末两位数字能被4（或 25）整除；能被8（或125）整除的数，末三位数字能被8（或125）整除一个数被2（或5）除得的余数，就是其末一位数字被2（或5）除得的余数；一个数被4（或 25）除得的余数，就是其末两位数字被4（或 25）除得的余数；一个数被8（或125）除得的余数，就是其末三位数字被8（或125）除得的余数。

2．能被3、9整除的数的数字特性能被3（或9）整除的数，各位数字和能被3（或9）整除。

一个数被3（或9）除得的余数，就是其各位相加后被3（或9）除得的余数。

3．能被11整除的数的数字特性能被11整除的数，奇数位的和与偶数位的和之差，能被11整除。

（三）倍数关系核心判定特征如果a∶b=m∶n（m，n互质），则a是m的倍数；b是n的倍数。

2014届本科毕业论文(设计)题目：数列极限与函数极限的关系与区别所在学院：数学科学学院专业班级：数学与应用数学09-3班学生姓名：指导教师：答辩日期：2014年5月5日新疆师范大学教务处目录引言 (2)1.数列极限 (3)1.2数列极限的ε-N定义及注意点： (3)1.3数列极限的两点说明 (4)1.4数列收敛的条件 (4)1.5数列极限的性质 (6)1.6 收敛数列的四则运算 (8)1.7.数列极限的判别法 (9)2. 函数极限 (9)2.1函数极限的定义 (9)2.2 函数极限的εδ-定义及注意点 (10)2.3 函数极限存在的条件 (10)2.4 函数极限的性质 (10)2.5 函数极限的四则运算 (12)2.6 函数极限的判别法 (12)参考文献： (15)致谢 (16)摘要：数列极限和函数极限是数学分析中最重要的部分，数学中的极限包括数列极限和函数极限，“极限”是我们研究函数的最重要的工具方法，用极限来定义：函数的连续性，导数，积分等数学分析中的最重要的概念。

数列极限和函数极限即有区别又有联系，正确理解极限理论和性质是对学习微积分的基础，数列极限的N -ε定义和函数极限的δε-定义往往使学习者感到学习数学分析的难度程度，如果用几何意义来解释比较易掌握，研究数列极限时常考虑到该数列是否存在极限，研究函数极限时，从函数值的变化趋势来判断着极限是否存在极限。

关键词：数列极限；函数极限；关系；区别引言数学分析中的极限分为数列极限和函数极限，数列极限和函数极限是对学习数学分析的最重要的方法，即极限概念是研究数列和函数的重要工具，这是数学分析区别于初等数学的重要标志。

我们通过极限理论来定义数学分析中的连续ε定义和函数极限的性，导数，积分等重要概念，极限概念中的数列极限的N-δε-定义的难度比较大，难以理解，我们常用几何方法来解释内容，同时意识到极限对学数学分析中最重要的概念。

- 2 -1.数列极限1.1数列极限的定义：设{}n x 是一个数列，a 是实数，如果对任意给定的0ε>，总存在一个整数N ，当n N >时，都有n x a ε-<,我们就称a 是数列{}n x 的极限或者称数列{}n x 收敛，且收敛于a ,记为：lim n n x a →∞=或n x a →（n →∞）n →∞就读作“当趋n 于无穷大时，{}n x 的极限等于a 或{}n x 趋于a 数列极限存在，称数列极限。

浅谈数列极限与函数极限在解题中的区别和联系.浅谈数列极限与函数极限在解题中的区别和联系摘要在数学分析中，极限的知识体系包括数列极限和函数极限。

在求解数列极限的方法中，我们从极限的定义出发，根据极限的性质以及相关的定理法则，例如单调有界收敛来论证极限；在求解函数极限时，其方法与数列极限有着相同之处，同时又有所区别。

本文重点在于分析数列极限与函数极限在解题中的相似之处与不同之处，同时研究数列极限与函数极限的关系。

关键词：数列极限；函数极限；区别；联系目录1 数列极限与函数极限在解题中的相似之处 (2)1.1 定义法在极限解题中的应用 (2)1.1.1 定义法概述 (2)1.1.2 定义法解题实例分析 (2)1.2 迫敛性在极限解题中的应用 (3)1.2.1 迫敛性概述 (3)1.2.2 迫敛性解题实例分析 (3)1.3 积分中值定理在极限解题中的应用 (4)1.3.1 积分中值定理概述 ..................................................... 4 1.3.2 积分中值定理实例分析 ............................................. 4 1.4 本章小结 ............................................................................. 4 2 数列极限与函数极限在解题中的不同之处 . (5)2.1 存在条件不同 (5)2.1.1 数列极限存在条件 ..................................................... 5 2.1.2 函数极限存在条件 ..................................................... 6 2.2 特殊形式的极限 .. (7)2.2.1 数列极限的特殊解法研究 ......................................... 7 2.2.3 两个重要形式的函数极限解法研究 .. (8)3数列极限与函数极限的关系 (9)3.1海涅定理 .............................................................................. 9 3.2海涅定理的应用 .................................................................. 9 4 结论 . (10)1 数列极限与函数极限在解题中的相似之处数列极限与函数极限在解题过程中，存在着很多的相似之处。

数列极限和函数极限的区别和联系
函数的极限和数列的极限都是高等数学的基础概念之一。

函数极限的性质和数列极限的性质都包含唯一性。

海涅定理深刻地揭示了变量变化的整体与部分、连续与离散之间的关系，从而给数列极限与函数极限之间架起了一座可以互相沟通的桥梁。

函数的极限与数列的极限联系
虽然数列极限与函数极限是分别独立定义的，但是两者是有联系的。

海涅定理深刻地揭示了变量变化的整体与部分、连续与离散之间的关系，从而给数列极限与函数极限之间架起了一座可以互相沟通的桥梁。

它指出函数极限可化为数列极限，反之亦然。

在极限论中海涅定理处于重要地位。

有了海涅定理之后，有关函数极限的定理都可借助已知相应的数列极限的定理予以证明。

两者之间的区别
1、从研究的对象看区别：数列极限是函数极限的一种特殊情况，数列是离散型函数。

而函数极限研究的对象主要是具有（哪怕局部具有）连续性的函数。

2、取值方面的区别：数列中的下标n仅取正整数，而对函数而言其自变量x取值为实数。

函数极限f(X)与X的取值有关，而数列极限Xn则只是n趋向于无穷是Xn的值。

3、从因变量趋近方式看区别：数列趋近于常数的方式有三种：左趋近，右趋近，跳跃趋近。

而函数没有跳跃趋近，函数极限的几种趋近形式：x趋于正无穷大；x趋于负无穷大；x趋于无穷大；x左趋近于x0；x右趋近于x0;x趋近于x0，并且是连续增大。

而函数极限只是n趋于正无穷大一种，而且是离散的增大。

高中数学知识点归纳数列与函数的极限高中数学知识点归纳：数列与函数的极限数列与函数的极限是高中数学中的重要部分，它们涉及到数学分析和数学推理的重要思想。

本文将对数列和函数的极限理论进行归纳总结，以帮助学生更好地理解和掌握这一知识点。

一、数列的极限数列是由一系列实数按照一定规律排列而成的序列。

在数学中，数列的极限是指随着自变量无限接近某个值时，函数值的变化趋势。

下面将分别介绍数列的极限的两个重要概念。

1.1 数列的收敛对于数列{an}，如果存在实数a，使得对于任意给定的正数ε（无论多么小），都存在一个正整数N，使得当n>N时，满足|an - a| < ε，那么称数列{an}收敛于a，记为lim（n→∞）an = a。

简单来说，数列的极限是指数列中的元素随着序号的增大无限接近一个固定的值。

1.2 数列的发散如果不存在实数a，使得对于任意给定的正数ε，都存在一个正整数N，当n>N时，满足|an - a| < ε，那么称数列{an}发散。

换句话说，发散的数列没有随着序号的增大趋于一个确定的数。

二、函数的极限函数是一种关系：对于给定的自变量值，通过某种规则可以确定唯一的函数值。

函数的极限是指当自变量无线贴近某个值时，函数值的变化趋势。

下面将介绍函数的极限的概念。

2.1 函数在无穷远处的极限对于定义在区间(a, +∞)上的函数f(x)，如果存在实数L，对于任意给定的正数ε，存在实数M，当x>M时，满足|f(x) - L| < ε，那么称函数f(x)在无穷远处的极限为L，记为lim（x→+∞）f(x) = L。

2.2 函数在有限点的极限对于定义在区间(a, b)上的函数f(x)，如果存在实数L，对于任意给定的正数ε，存在一个实数δ，当0 < |x - x0| < δ时，满足|f(x) - L| < ε，那么称函数f(x)在点x0处的极限为L，记为lim（x→x0）f(x) = L。

数列极限与函数极限的异同及其本质原因数列极限与函数极限的异同及其本质原因数学中，极限是一个非常重要的概念，被应用在微积分、实分析等诸多领域，且有着不同的表现方式：数列极限和函数极限。

在学习过程中，我们不仅要了解数列极限和函数极限的异同，还要了解它们的本质原因。

一、数列极限与函数极限的异同数列极限和函数极限都是在无限趋近于某一值的过程中进行研究的，并且它们在一定程度上具有一些相似性，但是它们也有很多的区别。

1.定义数列极限：如果数列$a_1,a_2,a_3, \ldots, a_n, \ldots$当$n$趋近于无穷的时候逐步趋近于某个确定的常数$A$，则称常数$A$为数列$a_1,a_2,a_3, \ldots, a_n, \ldots$的极限，记为$\lim\limits_{n \to \infty} a_n=A$。

函数极限：如果当$x$无限趋近于某个确定值$x_0(x_0\in R)$ 的过程中，函数$f(x)$的取值{臶}次逐步趋向一个确定的常数$A$，则称常数$A$为函数$f(x)$在$x_0$处的极限，记为$\lim\limits_{x \to x_0}f(x)=A$。

在定义上，数列极限只考虑数列，而函数极限包含了更多的复杂性，因为函数可以属于不同的类型，数列只有一种。

2.表达式数列极限的表达式只包含$n$和$a_n$两个元素，形式上来说比函数极限简单，也容易理解。

函数极限的表达式不仅包含自变量$x$和函数$f(x)$，还要包括函数定义域中的其他变量，通常也需要一些不等式和符号。

“当$x\rightarrow x_0$时$f(x)\rightarrow A$”或者是“当$x\rightarrow x_0^+$时$f(x)\rightarrow A$，当$x\rightarrowx_0^-$时$f(x)\rightarrow B$”等等。

因此，函数极限的表达式更多元化，更丰富复杂。

3.图形表达数列极限用数列图简单直观地表现，当$n$趋近于无穷时，$a_n$逐渐趋向于某个数值$A$。

数列极限与函数极限是微积分中的两个重要概念，也是数学分析的基础内容之一。

虽然它们有着相似的定义和性质，但在实际应用中，两者之间存在着一些差异和联系。

本文将从数列极限和函数极限的定义、计算方法和比较等方面进行探讨。

首先，数列极限的定义是指当自变量趋近于无穷大时，数列的各项逐渐趋近于某一固定的值。

通常用符号“lim”表示，例如lim(1/n)=0。

而函数极限的定义是指当自变量趋近于某个特定的值时，函数值逐渐趋近于某一固定的值。

通常用符号“lim”表示，例如lim(x→0)(sin(x)/x)=1。

可以看出，数列极限和函数极限在定义上有所差异，但都是研究数值趋势的重要方法。

其次，计算数列极限和函数极限的方法也有一定的区别。

对于数列极限，可以通过递推公式或特殊的求和方法来计算。

例如，对于递推数列an=an-1+an-2，可以通过不断迭代前几项的值来逼近极限；对于等差数列an=a1+(n-1)d，可以通过求和公式Sn=(a1+an)n/2来直接计算极限。

而对于函数极限，一般通过代数运算、极坐标转换、夹逼准则等方法进行计算。

例如，要计算lim(x→0)(sin(x)/x)，可以通过将该函数转化为lim(x→0)(1/x)lim(x→0)(sin(x))，再利用夹逼准则来进行计算。

最后，数列极限与函数极限之间存在着一些比较的关系。

在实际应用中，可以利用数列极限与函数极限之间的比较来求取更为复杂的极限值。

例如，当计算函数极限时，可以把函数转化为数列的形式，再计算数列极限来求取函数极限。

这种方法称为“数列夹逼准则”。

例如，要计算lim(x→0)(x2sin(1/x))，可以令xn=1/n，再计算lim(n→∞)(xn2sin(1/xn))，由于1/n趋近于0，而x2sin(1/x)的极限值在0附近保持不变，所以得到lim(n→∞)(xn2sin(1/xn))=lim(n→∞)(1/n^2sin(n))=0。

通过这样的比较，可以简化极限问题的求解过程。

函数极限和数列极限的关系在高等数学中，极限是一个非常重要的概念，它是数学分析中的基础，涉及到许多重要的定理和推论。

而函数极限和数列极限是极限中的两个重要分支。

虽然它们有着不同的定义和性质，但是它们之间存在着密切的联系和关系。

本文将从函数极限和数列极限的定义、性质和联系三个方面来探讨它们之间的关系。

一、函数极限和数列极限的定义函数极限是指当自变量趋近于某个值时，函数值的极限存在，且唯一。

也就是说，如果函数f(x)在点x0的某个邻域内有定义，那么当x趋近于x0时，f(x)的极限存在，且唯一。

数列极限是指当数列的项数n趋近于无穷大时，数列的极限存在，且唯一。

也就是说，如果数列{an}有极限L，那么当n趋近于无穷大时，an的值趋近于L。

二、函数极限和数列极限的性质函数极限和数列极限都有着一些基本的性质。

首先，它们都是唯一的。

其次，它们都有着保号性和夹逼定理。

保号性指的是，如果函数或数列的极限存在且大于0（或小于0），那么它们的邻域内的函数值或数列项都大于0（或小于0）；夹逼定理指的是，如果函数或数列的极限存在且在某个邻域内，那么存在两个函数或数列，一个上界和一个下界，它们的极限都等于该函数或数列的极限。

三、函数极限和数列极限的联系函数极限和数列极限之间有着密切的联系和关系。

首先，函数极限可以用数列极限来表示。

例如，如果函数f(x)在x0的邻域内有定义，那么当x趋近于x0时，可以构造一个数列{an}，其中an=f(x)，那么当n趋近于无穷大时，an的极限就是f(x)的极限。

其次，函数极限和数列极限都有着相同的代数运算法则，例如加法、减法、乘法和除法等，这些运算法则可以用于计算极限。

最后，函数极限和数列极限都有着相同的应用领域，例如微积分、数学分析和物理学等，它们都是这些领域中的基础概念。

结论函数极限和数列极限是极限中的两个重要分支，它们之间存在着密切的联系和关系。

函数极限可以用数列极限来表示，它们都有着相同的代数运算法则，它们都有着相同的应用领域。

函数极限与数列极限的关系数列其实是一种特殊的函数，所以，在定义上，数列的极限和函数的极限极为相似，因而他们具有相类似的性质。

要想完美解答两者所涉及的问题，必须深刻理解两者的定义，不妨对比一下二者的定义，列举一下两者的性质以及两者的判别法则~这有助于加深记忆~ 数列可以看作是定义在正整数集上的函数，即看作是函数的特例，这样数列的极限也就可以归入函数的极限。

1、例如函数arctan(1/x)当x趋向于1时的极限是π/4，那么对于任何一个以1为极限的数列a(n)，当n趋向于∞时，arctan[1/a(n)]的极限一定都是π/4;但是反过来则不然，例如还是这个函数，数列{1/n}的极限为0，当n趋向于∞时，arctan[1/(1/n)]=arctan(n)极限是π/2，我们不能说当x趋向于0时，这个函数的极限是π/2，事实上数列{-1/n}的极限也是0，但当n趋向于∞时，arctan[1/(-1/n)]=arctan(-n)极限是-π/2，即函数arctan(1/x)当x趋向于0时，极限是不存在的。

2、数列可以看作是定义在正整数集上的函数，即看作是函数的特例，这样数列的极限也就可以归入函数的极限。

例如函数arctan(1/x)当x趋向于1时的极限是π/4，那么对于任何一个以1为极限的数列a(n)，当n趋向于∞时，arctan[1/a(n)]的极限一定都是π/4;但是反过来则不然，例如还是这个函数，数列{1/n}的极限为0，当n趋向于∞时，arctan[1/(1/n)]=arctan(n)极限是π/2，我们不能说当x趋向于0时，这个函数的极限是π/2，事实上数列{-1/n}的极限也是0，但当n趋向于∞时，arctan[1/(-1/n)]=arctan(-n)极限是-π/2，即函数arctan(1/x)当x趋向于0时，极限是不存在的。

函数极限与数列极限的关系
函数的极限可以是自变量从左右趋向于某一值时的函数值极限，或者自变量趋向于无穷时的极限。

但数列的极限不同。

可以将数列看做特殊的函数，定义域为全体正整数集合（N+），是一个在零到正无穷上不连续的函数，设数列的项为an=f(n)，因此，可以将数列的极限看做当自变量趋向于正无穷时的函数的极限，数列的极限也可以用函数的极限来运算得到。

lim n→∞an=lim n→∞f(n)
所以，用来计算函数极限的方法也可以用来计算数列的极限，如洛必达法则，等价无穷小的替换，间接计算等等。

a n=f(a n-1)形式计算方法：
设数列的极限为A .则lim n
→∞a n=A，此时A=f(A),带入计算求得极限。

数列极限的性质：1.若数列{an}的极限值存在，则极限值唯一
2.改变数列有限项，不改变数列的收敛与极限值
数列极限的本质：设数列的极限为a，当n>N时an∈（a-ε，a+ε），即|an-a|<ε.。

数列极限与函数极限课程目标知识提要数列极限与函数极限∙数列极限设为实数数列，为常数．若对任意给定的正数，总存在正整数，使得当时，有，则称数列收敛于，常数称为数列的极限．并记作或读作“ 当趋于无穷大时，的极限等于”．若数列没有极限，则称不收敛，或称为发散数列．对于收敛数列有以下两个基本性质，即收敛数列的唯一性和有界性：定理1：如果数列收敛，则其极限是唯一的；定理2：如果数列收敛，则其一定是有界的，即对于一切，总可以找到一个正数，使得．∙函数极限函数极限可以分成三种．设函数在点的某一去心邻域，即内有定义，如果存在常数，对于任意给定的正数（无论它多么小），总存在正数，使得当满足不等式时，对应的函数值都满足不等式，那么常数就叫做函数当时的极限，记作设为定义在上的函数，为常数．若对于任意给定的正数，存在正数，使得当时，有，则称函数当趋于正无穷时以为极限，记作或与此类似．精选例题数列极限与函数极限1. 设无穷等比数列的公比为，若，则．【答案】【分析】易知，且，所以，即．2. ．【答案】3. 如图，抛物线与轴的正半轴交于点，将线段的等分点从左至右依次记为，过这些分点分别作轴的垂线，与抛物线的交点依次为，从而得到个直角三角形，当时，这些三角形的面积之和的极限为．【答案】【分析】4. 计算：．【答案】5. ．【答案】6. ，则常数．【答案】7. ．【答案】8. ．【答案】9. ．【答案】10. ．【答案】11. 有一列正方体，棱长组成以为首项，为公比的等比数列，体积分别记为，则．【答案】12. 若函数在处连续，则，．【答案】；13. = ．【答案】14. 设函数，点表示坐标原点，点，若向量，是与的夹角，（其中），设，则．【答案】【分析】．由题意，得是与轴正方向的夹角，从而．运用裂项相消法，得．15. 设等差数列的前项和为，若，则【答案】【分析】故，所以，．16. ．【答案】17. 计算．【答案】18. (1)若，则常数．(2) ．【答案】；19. 已知无穷等比数列的各项和为，则首项的取值范围是．【答案】20. 已知函数在处连续，则实数的值为．【答案】21. 设函数在处连续，求的值．【解】而，所以22. 已知，求的值．【解】解法一：∵，∴为方程的根．∴．又，∴．∴．解法二：∴．同上可得．23. 在数列中，若，是正整数，且，则称为“绝对差数列”．(1)举出一个前五项不为零的"绝对差数列"（只要求写出前十项）；【解】，，，，，，，，，．（答案不唯一）(2)若“绝对差数列” 中，，，试求出通项；【解】因为在绝对差数列中，，，所以该数列是，，，，，，，，．即自第项开始，每三个相邻的项周期地取值，，，所以(3)证明：任何“绝对差数列”中总含有无穷多个为零的项．【解】根据定义，数列必在有限项后出现零项，证明如下：假设中没有零项，由于，所以对于任意的，都有，从而当时，；当时，；即的值要么比至少小，要么比至少小．令．则．由于是确定的正整数，这样减少下去，必然存在某项，这与矛盾，从而必有零项．若第一次出现的零项为第项，记，则自第项开始，每三个相邻的项周期地取值，，，即所以绝对差数列中有无穷多个为零的项．24. 已知数列的通项公式为，求的值．【解】因为所以25. 已知数列中，为其前项的和，求的值．【解】26. 已知数列，其中，，．记数列的前项和为，数列的前项和为．(1)求；【解】由题意，得是首项为、公差为的等差数列，则其前项和从而因此(2)设，，（其中为的导函数），计算．【解】由（1），得则从而因此27. 已知等差数列的前三项为，，，前项和为，且．(1)求及的值；【解】数列是首项为，公差为的等差数列．即、的值分别为、．(2)求的值．【解】28. 已知数列的前项和，数列满足，，记数列的前项和为．(1)证明：为等比数列；【解】因为数列的前项和，所以．因为时，，也适合上式，所以．因为，所以数列是首项为，公比为的等比数列．(2)求；【解】当时，，将其变形为，即．所以数列是首项为，公差为的等差数列．所以．所以．因为，所以．两式相减得．整理得．(3)设，若对于任意，都有成立，求实数的取值范围．【解】由，得．于是化为（i）当是正奇数时，式可化为，显然，大于，且随着正奇数的增大而减小．由于式对任意正奇数恒成立，所以．（ii）当是正偶数时，式可化为，显然，随着正偶数的增大而减小．由于式对任意正偶数恒成立，所以．综上，实数的取值范围．29. 设函数，其中，已知对一切，有和，求证：．【解】由于则所以由于故有．30. 已知公比为的无穷等比数列各项的和为，无穷等比数列各项的和为．(1)求数列的首项和公比；【解】依题意可知，(2)对给定的，设是首项为，公差为的等差数列，求的前项之和；【解】由（1）知，，所以数列的的首项为，公差，，即数列的前项之和为．(3)设为数列的第项，，求，并求正整数，使得存在且不等于零．（注：无穷等比数列各项的和即当时该无穷等比数列前项和的极限）【解】所以令因为所以故当时，当时，，所以当时，存在且不等于零．31. 已知在轴上有一点列：，，，，，，点分有向线段所成的比为，其中，为常数，，．(1)设，求数列的通项公式；【解】由题意得，又，，又，数列是首项为、公比为的等比数列，．(2)设，当变化时，求的取值范围．【解】因为．，．当时，．32. 已知函数数列满足．(1)求数列的通项公式；【解】，所以所以所以将这个式子相加，得，，所以(2)设轴，直线与函数的图象所围成的封闭图形的面积为，求；【解】为一直角梯形（时为直角三角形）的面积，该梯形的两底边的长分别为，，高为，所以(3)在集合且中，是否存在正整数，使得不等式对一切恒成立？若存在，则这样的正整数共有多少个？并求出满足条件的最小的正整数；若不存在，请说明理由．【解】设满足条件的正整数存在，则又，均满足条件．它们构成首项为，公差为的等差数列．设共有个满足条件的正整数，则解得中满足条件的正整数存在，共有个，所以(4)请构造一个与有关的数列，使得存在，并求出这个极限值．【解】设，即则显然，其极限存在，并且注：（c为非零常数），等都能使存在．33. 已知，且，函数．(1)求函数的定义域，并判断的单调性；【解】由题意知，当时，的定义域是当时，的定义域是因为由此，当时，，因为，，则所以在上是减函数．当时，，因为，，则所以在上是减函数．(2)若，求；【解】因为所以由函数定义域知，因为是正整数，则，所以(3)当（为自然对数的底数）时，设，若函数的极值存在，求实数的取值范围以及函数的极值．【解】由，所以令，即由题意应有，即①当时，有实根在点左右两侧均有，故无极值．②当时，有两个实根当变化时，、的变化情况如下表所示：极大值极小值所以的极大值为的极小值为③当时, 在定义域内有一个实根同上可得的极大值为综上所述，当时的极大值为，的极小值为；当时，的极大值为．34. 已知是直角坐标系平面到自身的一个映射，点在映射下的象为点，记作．设，，，，，如果存在一个圆，使所有的点都在这个圆内或圆上，那么称这个圆为点的一个收敛圆．特别地，当时，则称点为映射下的不动点．若点在映射下的象为点．(1)求映射下不动点的坐标；【解】设不动点的坐标为，由题意，得解得所以此映射下不动点为．(2)若的坐标为，求证：点存在一个半径为的收敛圆．【解】由，得所以因为，，所以，，所以由等比数列定义，得数列是公比为，首项为的等比数列，所以则同理，．所以．设，则因为，所以，所以故所有的点都在以为圆心，为半径的圆内，即点存在一个半径为的收敛圆．35. 设是定义在上的偶函数，其图象关于直线对称，对任意，都有，且．(1)求；【解】因为对任意，都有，所以．，．(2)证明是周期函数；【解】依题设关于直线对称，故，即又由是偶函数知，．将上式中以代换，得这表明是上的周期函数，且是它的一个周期．(3)记，求．【解】由（1）知，，．的一个周期是，因此．．36. 已知点，，…，（为正整数）都在函数的图象上，其中是以为首项，为公差的等差数列．(1)求数列的通项公式，并证明数列是等比数列；【解】，，，（定值），数列是等比数列．(2)设数列的前项的和为，求；【解】是等比数列，且公比，，．当时，；当时，．因此，．(3)设，当时，问的面积是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由；【解】，，设，当最大时，则，解得，，时，取得最大值，因此的面积存在最大值为．37. 如图，已知中，，，，在内有一系列正方形，求所有这些正方形面积之和．【解】设正方形、、的边长分别为，，，．由相似三角形的知识可得，．同理，可得是以为首项，以为公比的等比数列．设是第个正方形的面积，则是以为首项，为公比的等比数列．即所有这些正方形面积之和为．38. 已知数列是等差数列，公差为，，． (1)用表示；【解】因为数列是公差为的等差数列，所以去分母，得由，得(2)若，且，求的值；【解】当时，这与已知矛盾，所以，当时，综上，．(3)在（2）的条件下，求数列的前项和．【解】当，由已知，得解得令则两式相减，得从而而因此，数列的前项和39. 讨论函数在处的左极限、右极限以及在处的极限．【解】函数的图象如图所示：当时，函数无限接近于即当时，函数无限接近于即综上，可知．函数在处极限不存在．40. 已知，数列满足，，．(1)已知数列极限存在且大于零，求（将用表示）；【解】由存在，且对两边取极限得解得又，所以(2)设，，证明：；【解】由，，得所以即对都成立．(3)若对都成立，求的取值范围．【解】令，根据（1）（2）得解得现证明当时，对都成立．（i）当时结论成立（已验证）．（ii）假设当时结论成立，即那么则只须证明即证对成立．由于而当时，所以从而即故当时，即时结论成立．根据（i）和（ii）可知结论对一切正整数都成立．故对都成立的的取值范围为课后练习1. 无限循环小数可以化为有理数，如，，，，请你归纳出（表示成最简分数，且，）．2. 计算：．3. 已知，则，．4. 已知函数是连续函数，则实数的值是．5. 计算：．6. 若，则．7. ．8. ．9. 计算：．10. 若展开式的第三项为，则．11. 已知函数是连续函数，则实数的值是．12. 等差数列的前项的和为，前项的和为，则其首项为，若数列的前项的和为，则．13. 已知在定义域上可导，导函数为，若，，则．（用，表示）．14. 已知定义在正实数集上的连续函数，则实数的值为．15. ．16. ．17. \(\lim\limits \limits_{x \to 1} \left(\dfrac{1}{{x - 1}} - \dfrac{2}{{{x^2} - 1}}\right)=\) ．18. ．19. 等比数列，其前项和为，则．20. 计算．21. 已知数列的前项和．(1)求；(2)证明：．22. 函数定义在上，满足且，在每个区间上，的图象都是平行于轴的直线的一部分．(1)求及的值，并归纳出的表达式；(2)设直线轴及的图象围成的矩形的面积为，求，及的值．23. 已知定义在上的函数和数列满足下列条件：，其中为常数，为非零常数．(1)令，证明数列是等比数列；(2)求数列的通项公式；(3)当时，求24. 已知．(1)当时，求数列的前项和；(2)求．数列极限与函数极限-出门考姓名成绩1. 若，则常数．2. 的值等于．3. 设等差数列的公差是，前项的和为，则．4. 的值等于．5. 极限．6. 各项均为正数的等比数列的公比为，前项和为．若，则，若，则．7. 设常数，展开式中的系数为，则，．8. 设是展开式中的系数，则= ．9. ．10. 设函数在处连续，则实数的值为．11. 若，则，．12. ．13. 等比数列，，，，所有项的和为．14. 若，则实数．15. 已知函数，若在上连续，则．此时．16. 已知点，和点，记的中点为，取和中的一条，记其端点为，，使之满足，记的中点为，取和中的一条，记其端点为，，使之满足．依次下去，得到，，，，，则．17. 在二项式的展开式中，含项的系数记为，则的值为．18. 若的展开式中各项系数的和是，的二项式系数和为，则．19. 已知数列的前项和，则．20. 已知点，其中为正整数．设表示外接圆的面积，则．。