【小初高学习】高考数学一轮复习第2章基本初等函数导数及其应用第9讲函数与方程知能训练轻松闯关文北师大

(2)一个工厂生产某种产品每年需要固定投资 100 万元，此 外每生产 1 件该产品还需要增加投资 1 万元，年产量为 x(x∈N*)件．当 x≤20 时，年销售总收入为(33x－x2)万元；当 x>20 时，年销售总收 入为 260 万元．记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为 y 万元， 则 y(万 元 )与 x(件 )的 函 数 关 系 式 为 ________， 该 工 厂 的 年 产 量 ________件时，所得年利润最大．(年利润＝年销售总收入－年总投 资)
第二章 函数、导数及其应用
第九节 函数模型及其应用
小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了 一段时间，后为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图 象是( )
解析：小明匀速运动时，所得图象为一条直线，且距离学校越来 越近，故排除 A.因交通堵塞停留了一段时间，与学校的距离不变， 故排除 D.后来为了赶时间加快速度行驶，故排除 B.
解析：由已知条件，得 192＝eb，∴b＝ln 192. 又∵48＝e22k＋b＝e22k＋ln192＝192e22k＝192(e11k)2， ∴e11k＝1498212＝1412＝21.设该食品在 33℃的保鲜时间为 t 小时， 则 t＝e33k＋ln 192＝192e33k ＝192(e11k)3＝192×123＝24. 答案：24
求解所给函数模型解决实际问题的关注点 1．认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数． 2．根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数． 3．利用该模型求解实际问题． 提醒：解决实际问题时要注意自变量的取值范围．
(2015·四川卷)某食品的保鲜时间 y(单位：小时)与储藏温度 x(单位：℃)满足函数关系 y＝ekx＋b(e＝2.718…为自然对数的底数，k， b 为常数)．若该食品在 0℃的保鲜时间是 192 小时，在 22℃的保鲜 时间是 48 小时，则该食品在 33℃的保鲜时间是________小时．

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第9节 函数模型及其应用 第二十页，共四十三页。
【反思归纳】 (1)在实际问题中，有很多问题的两个变量之间 的关系是一次函数模型，其增长特点是直线上升(自变量的系数大于 0)或直线下降(自变量的系数小于 0)，构建一次函数模型，利用一次 函数的图象与单调性求解．
(2)有些问题的两个变量之间是二次函数关系，如面积问题、利 润问题、产量问题等．构建二次函数模型，利用二次函数的图象与 单调性解决．
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第9节 函数模型及其应用 第二十四页，共四十三页。
【反思归纳】 (1)与幂函数、指数函数、对数函数三类函数模 型有关的实际问题，在求解时，要先学会合理选择模型，在三类模 型中，指数函数模型是增长速度越来越快(底数大于 1)的一类函数模 型，与增长率、银行利率有关的问题都属于指数函数模型．
(3)在解决二次函数的应用问题时，一定要注意定义域．
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第9节 函数模型及其应用 第二十一页，共四十三页。
考点二 指数函数、对数函数与幂函数模型 某县目前有 100 万人，经过 x 年后有 y 万人．如果年平
均增长率是 1.2%，请回答下列问题： (1)写出 y 关于 x 的函数解析式； (2)计算 10 年后该县的人口总数(精确到 0.1 万人)； (3)计算大约多少年后该县的人口总数将达到 120 万(精确到 1
第9节 函数模型及其应用 第十六页，共四十三页。
5．某种储蓄按复利计算利息，若本金为 a 元，每期利率为 r， 存期是 x，本利和(本金加利息)为 y 元，则本利和 y 随存期 x 变化的 函数关系式是________．
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第9节 函数模型及其应用 第十七页，共四十三页。

第9讲函数与方程最新考纲考向预测结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数.命题趋势利用函数零点的存在性定理或函数的图象，对函数是否存在零点进行判断或利用零点(方程实根)的存在情况求相关参数的范围，是高考的热点，题型以选择、填空题为主，也可和导数等知识交汇出现解答题，中高档难度.核心素养直观想象、逻辑推理1．函数零点(1)定义：对于函数y＝f(x)(x∈D)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点．(2)三个等价关系(3)存在性定理2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与零点的关系Δ＞0Δ＝0Δ＜0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与x轴(x1，0)，(x2，0)(x1，0)无交点的交点零点x1，x2x1无常用结论有关函数零点的三个结论(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点．(2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．(3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号．常见误区1．函数f(x)的零点是一个实数，是方程f(x)＝0的根，也是函数y＝f(x)的图象与x 轴交点的横坐标．2．函数零点存在性定理是零点存在的一个充分条件，而不是必要条件；判断零点个数还要根据函数的单调性、对称性或结合函数图象等综合考虑．1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则f(a)·f(b)<0.()(2)只要函数有零点，我们就可以用二分法求出零点的近似值．()(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b2－4ac<0时没有零点．()(4)若函数f(x)在(a，b)上连续单调且f(a)·f(b)<0，则函数f(x)在[a，b]上有且只有一个零点．()答案：(1)×(2)×(3)√(4)√2．(易错题)(多选)下列说法中正确的是()A．函数f(x)＝x＋1的零点为(－1，0)B．函数f(x)＝x＋1的零点为－1C．函数f(x)的零点，即函数f(x)的图象与x轴的交点D．函数f(x)的零点，即函数f(x)的图象与x轴的交点的横坐标解析：选BD.根据函数零点的定义，可知f(x)＝x＋1的零点为－1.函数y ＝f (x )的零点，即函数y ＝f (x )的图象与x 轴的交点的横坐标，因此B ，D 正确，A ，C 错误．3．函数f (x )＝ln x －2x 的零点所在的大致范围是( ) A ．(1，2)B ．(2，3)C ．⎝⎛⎭⎪⎫1e ，1和(3，4)D ．(4，＋∞)解析：选B.易知f (x )为增函数，由f (2)＝ln 2－1＜0，f (3)＝ln 3－23＞0，得f (2)·f (3)＜0.故选B.4．已知函数y ＝f (x )的图象是连续不断的曲线，且有如下的对应值表：则函数y ＝f 解析：依题意，f (2)>0，f (3)<0，f (4)>0，f (5)<0，根据零点存在性定理可知，f (x )在区间(2，3)，(3，4)，(4，5)上均至少含有一个零点，故函数y ＝f (x )在区间[1，6]上的零点至少有3个．答案：35．已知函数f (x )＝2ax －a ＋3，若∃x 0∈(－1，1)，使得f (x 0)＝0，则实数a 的取值范围是________．解析：依题意可得f (－1)·f (1)<0，即(－2a －a ＋3)(2a －a ＋3)<0，解得a <－3或a >1.答案：(－∞，－3)∪(1，＋∞)函数零点所在区间的判断(一题多解)函数f(x)＝log3x＋x－2的零点所在的区间为() A．(0，1)B．(1，2)C．(2，3) D．(3，4)【解析】方法一(定理法)：函数f(x)＝log3x＋x－2的定义域为(0，＋∞)，并且f(x)在(0，＋∞)上单调递增，图象是一条连续曲线．由题意知f(1)＝－1<0，f(2)＝log32>0，f(3)＝2>0，根据零点存在性定理可知，函数f(x)＝log3x＋x－2有唯一零点，且零点在区间(1，2)内．方法二(图象法)：函数f(x)的零点所在的区间转化为函数g(x)＝log3x，h(x)＝－x＋2图象交点的横坐标所在的范围．作出两个函数的图象如图所示，可知f(x)的零点所在的区间为(1，2)．故选B.【答案】 B判断函数零点所在区间的方法方法解读适合题型定理法利用函数零点的存在性定理进行判断能够容易判断区间端点值所对应函数值的正负图象法画出函数图象，通过观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断容易画出函数的图象1．已知实数a >1，0<b <1，则函数f (x )＝a x ＋x －b 的零点所在的区间是( ) A ．(－2，－1) B ．(－1，0) C ．(0，1)D ．(1，2)解析：选 B.因为a >1，0<b <1，f (x )＝a x ＋x －b ，所以f (－1)＝1a －1－b <0，f (0)＝1－b >0，由零点存在性定理可知f (x )在区间(－1，0)上存在零点．2．设函数f (x )＝13x －ln x ，则函数y ＝f (x )( )A ．在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1，(1，e)内均有零点 B ．在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1，(1，e)内均无零点C ．在区间⎝⎛⎭⎪⎫1e ，1内有零点，在区间(1，e)内无零点 D ．在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1内无零点，在区间(1，e)内有零点 解析：选D.令f (x )＝0得13x ＝ln x . 作出函数y ＝13x 和y ＝ln x 的图象，如图，显然y ＝f (x )在区间⎝⎛⎭⎪⎫1e ，1内无零点，在区间(1，e)内有零点．函数零点个数的判断(一题多解)函数f (x )＝⎩⎨⎧x2＋x －2，x≤0，－1＋ln x ，x>0的零点个数为( )A ．3B ．2C ．1D ．0【解析】 方法一(方程法)：由f (x )＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x≤0，x2＋x －2＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x>0，－1＋ln x ＝0， 解得x ＝－2或x ＝e. 因此函数f (x )共有2个零点．方法二(图形法)：函数f (x )的图象如图所示，由图象知函数f (x )共有2个零点． 【答案】 B判断函数零点个数的3种方法(1)方程法：令f (x )＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)定理法：利用定理不仅要求函数在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )<0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点．(3)图形法：转化为两个函数的图象的交点个数问题．先画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x2－2x ，x≤0，1＋1x ，x>0，则函数y ＝f (x )＋3x 的零点个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选C.令f (x )＋3x ＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧x≤0，x2－2x ＋3x ＝0或⎩⎨⎧x>0，1＋1x ＋3x ＝0，解得x ＝0或x ＝－1，所以函数y ＝f (x )＋3x 的零点个数是2.2．函数f (x )＝3x ＋x 3－2在区间(0，1)内的零点个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：选 B.由题意知f (x )单调递增，且f (0)＝1＋0－2＝－1<0，f (1)＝3＋1－2＝2>0，即f (0)·f (1)<0且函数f (x )在(0，1)内连续不断，所以f (x )在区间(0，1)内有一个零点．3．函数f (x )＝|x －2|－ln x 在定义域内的零点个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：选 C.由题意可知f (x )的定义域为(0，＋∞)．在同一平面直角坐标系中画出函数y ＝|x －2|(x >0)，y ＝ln x (x >0)的图象．如图所示．由图可知函数f (x )在定义域内的零点个数为2.故选C.函数零点的应用(1)函数f (x )＝x 2－ax ＋1在区间⎝⎛⎭⎪⎫12，3上有零点，则实数a 的取值范围是( )A ．(2，＋∞)B ．[2，＋∞)C ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫2，52D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫2，103(2)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧ex ， x≤0，ln x ， x>0，g (x )＝f (x )＋x ＋a .若g (x )存在2个零点，则a 的取值范围是________．【解析】 (1)由题意知方程ax ＝x 2＋1在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3上有解，即a ＝x ＋1x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3上有解，设t ＝x ＋1x ，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3，则t 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫2，103.所以实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫2，103.(2)函数g (x )＝f (x )＋x ＋a 存在2个零点，即关于x 的方程f (x )＝－x －a 有2个不同的实根，即函数f (x )的图象与直线y ＝－x －a 有2个交点，作出直线y ＝－x －a 与函数f (x )的图象，如图所示，由图可知，－a ≤1，解得a ≥－1.【答案】 (1)D (2)[－1，＋∞)根据函数零点的情况求参数有三种常用方法(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决．(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后数形结合求解．1．函数f (x )＝2x －2x －a 的一个零点在区间(1，2)内，则实数a 的取值范围是( ) A ．(1，3) B ．(1，2) C ．(0，3) D ．(0，2)解析：选C.由题意，知函数f (x )在(1，2)上单调递增，又函数一个零点在区间(1，2)内，所以⎩⎪⎨⎪⎧f （1）<0，f （2）>0，即⎩⎪⎨⎪⎧－a<0，4－1－a>0，解得0<a <3，故选C.2．若函数f (x )＝|2x －4|－a 存在两个零点，且一个为正数，另一个为负数，则a 的取值范围为( )A ．(0，4)B ．(0，＋∞)C ．(3，4)D ．(3，＋∞)解析：选C.令g (x )＝|2x －4|，其图象如图所示，若f (x )＝|2x －4|－a 存在两个零点，且一个为正数，另一个为负数，则a ∈(3，4)．思想方法系列6 破解嵌套函数的零点问题函数的零点是高考命题的热点，主要涉及判断函数零点的个数或范围，常考查三次函数与复合函数相关零点，与函数的性质和相关问题交汇．对于嵌套函数的零点，通常先“换元解套”，将复合函数拆解为两个相对简单的函数，借助函数的图象、性质求解．类型一 嵌套函数零点个数的判断(2021·沈阳市教学质量监测(一))已知函数f (x )是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的偶函数，且当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝⎩⎨⎧（x －1）2，0<x≤2f （x －2）＋1，x>2，则函数g (x )＝f 2(x )－f (x )的零点个数为( )A ．4B ．5C ．6D ．7【解析】 因为当x ∈(0，2]时，f (x )＝(x －1)2，当x >2时，f (x )＝f (x －2)＋1，所以将f (x )在区间(0，2]上的图象向右平移2个单位长度，同时再向上平移1个单位长度，得到函数f (x )在(2，4]上的图象．同理可得到f (x )在(4，6]，(6，8]，…上的图象．再由f (x )的图象关于y 轴对称得到f (x )在(－∞，0)上的图象，从而得到f (x )在其定义域内的图象，如图所示：令g (x )＝0，得f (x )＝0或f (x )＝1，由图可知直线y ＝0与y ＝1和函数y ＝f (x )的图象共有6个交点，所以函数g (x )共有6个零点．故选C.【答案】 C破解此类问题的主要步骤(1)换元解套，转化为t ＝g (x )与y ＝f (t )的零点．(2)依次解方程，令f (t )＝0，求t ，代入t ＝g (x )求出x 的值或判断图象交点个数． 类型二 求嵌套函数零点中的参数函数f (x )＝⎩⎨⎧ln （－x －1），x<－1，2x ＋1，x≥－1，若函数g (x )＝f (f (x ))－a 有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是________．【解析】 设t ＝f (x )，令g (x )＝f (f (x ))－a ＝0，则a ＝f (t )．在同一平面直角坐标系内作y ＝a ，y ＝f (t )的图象(如图)．当a ≥－1时，y ＝a 与y ＝f (t )的图象有两个交点．设交点的横坐标为t 1，t 2(不妨设t 2>t 1)，则t 1<－1，t 2≥－1.当t 1<－1时，t 1＝f (x )有一解；当t 2≥－1时，t 2＝f (x )有两解．综上，当a ≥－1时，函数g (x )＝f (f (x ))－a 有三个不同的零点．【答案】 [－1，＋∞)(1)求解本题抓住分段函数的图象性质，由y ＝a 与y ＝f (t )的图象，确定t 1，t 2的取值范围，进而由t ＝f (x )的图象确定零点的个数．(2)含参数的嵌套函数方程，还应注意让参数的取值“动起来”，抓临界位置，动静结合．设定义域为R 的函数f (x )＝⎩⎨⎧|lg|x －2||，x≠2，0，x ＝2.若b <0，则关于x 的方程[f (x )]2＋bf (x )＝0的不同实数根共有( )A ．4个B ．5个C ．7个D ．8个解析：选C.由[f (x )]2＋bf (x )＝0，得f (x )＝0或f (x )＝－b .所以方程[f (x )]2＋bf (x )＝0的根的个数即为函数y ＝f (x )与函数y ＝0，y ＝－b (b <0)的图象的交点个数．作出函数f (x )的图象如图所示，结合图象可知，f (x )＝0有3个实数根，f (x )＝－b (b <0)有4个实数根，所以[f (x )]2＋bf (x )＝0共有7个不同的实数根．故选C.[A 级 基础练]1．(2021·河南商丘九校联考)函数f (x )＝(x 2－1)·x2－4的零点个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选B.要使函数有意义，则x 2－4≥0，解得x ≥2或x ≤－2.由f (x )＝0得x 2－4＝0或x 2－1＝0(不成立舍去)，即x ＝2或x ＝－2.所以函数的零点个数为2.故选B.2．(2021·重庆模拟)函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －15x 的零点位于区间( )A ．(0，1)B ．(1，2)C ．(2，3)D ．(3，4)解析：选B.函数f (x )在R 上为减函数，其图象为一条不间断的曲线． 因为f (1)＝12－15＝310>0，f (2)＝14－25＝－320<0，所以f (1)·f (2)<0，所以由零点存在性定理可知，函数f (x )的零点位于区间(1，2)．故选B.3．(2021·南充市第一次适应性考试)函数f (x )＝⎩⎨⎧1－x2，|x|≤1，|x|，|x|>1，若方程f (x )＝a 有且只有一个实数根，则实数a 满足( )A ．a ＝1B ．a >1C ．0≤a <1D ．a <0解析：选A.方程f (x )＝a 有且只有一个实数根，即直线y ＝a 与f (x )的图象有且只有一个交点，作出函数f (x )的图象如图所示，当a ＝1时，直线y ＝a 与函数f (x )的图象有且只有一个交点，故选A.4．(多选)给出以下四个方程，其中有唯一解的是( ) A ．ln x ＝1－x B ．e x ＝1x C ．2－x 2＝lg |x |D ．cos x ＝|x |＋1解析：选ABD.对于A ，设f (x )＝ln x ＋x －1，易知y ＝f (x )为增函数，又f (1)＝0，故ln x ＝1－x 有唯一解，符合题意；对于B ，设g (x )＝e x －1x ，易知y ＝g (x )为增函数，又g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝e －2＜0，g (1)＝e －1＞0，由函数零点存在定理可得e x ＝1x 有唯一解，符合题意；对于C ，设h (x )＝x 2＋lg x －2，易知y ＝h (x )为增函数，由h (1)＝1－2＜0，h (2)＝2＋lg 2＞0，由函数零点存在定理可得h (x )＝x 2＋lg x －2有唯一零点，又h (x )＝2－x 2－lg|x |为偶函数，则2－x 2＝lg|x |有两个解，不符合题意；对于D ，因为cos x ∈[－1，1]，|x |＋1≥1，当且仅当x ＝0时，cos x ＝x ＋1，即cos x ＝|x |＋1有唯一解，符合题意．5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x≤0，1x ，x>0，则使方程x ＋f (x )＝m 有解的实数m 的取值范围是( )A ．(1，2)B ．(－∞，－2]C ．(－∞，1)∪(2，＋∞)D ．(－∞，1]∪[2，＋∞)解析：选D.当x ≤0时，x ＋f (x )＝m ，即x ＋1＝m ，解得m ≤1；当x >0时，x ＋f (x )＝m ，即x ＋1x ＝m ，解得m ≥2，即实数m 的取值范围是(－∞，1]∪[2，＋∞)．故选D.6．已知函数f (x )＝23x ＋1＋a 的零点为1，则实数a 的值为________．解析：由已知得f (1)＝0，即231＋1＋a ＝0，解得a ＝－12.答案：－127．函数f (x )＝⎩⎨⎧ln x －x2＋2x ，x>0，4x ＋1，x≤0的零点个数是________．解析：当x >0时，作出函数y ＝ln x 和y ＝x 2－2x 的图象，由图知，当x >0时，f (x )有2个零点；当x ≤0时，由f (x )＝0，得x ＝－14. 综上，f (x )有3个零点． 答案：38．若函数f (x )＝⎩⎨⎧2x －a ，x≤0，ln x ，x>0有两个不同的零点，则实数a 的取值范围是________．解析：当x >0时，由f (x )＝ln x ＝0，得x ＝1.因为函数f (x )有两个不同的零点，则当x ≤0时，函数f (x )＝2x －a 有一个零点．令f (x )＝0，得a ＝2x .因为0<2x ≤20＝1，所以0<a ≤1，所以实数a 的取值范围是(0，1]．答案：(0，1]9．设函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－1x (x >0)．(1)作出函数f (x )的图象；(2)若方程f (x )＝m 有两个不相等的正根，求m 的取值范围． 解：(1)如图所示．(2)由函数f (x )的图象可知，当0<m <1时，方程f (x )＝m 有两个不相等的正根． 10．设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋b －1(a ≠0)． (1)当a ＝1，b ＝－2时，求函数f (x )的零点；(2)若对任意b ∈R ，函数f (x )恒有两个不同的零点，求实数a 的取值范围． 解：(1)当a ＝1，b ＝－2时，f (x )＝x 2－2x －3，令f (x )＝0，得x ＝3或x ＝－1. 所以函数f (x )的零点为3或－1.(2)依题意，f (x )＝ax 2＋bx ＋b －1＝0有两个不同的实根，所以b 2－4a (b －1)>0恒成立，即对于任意b ∈R ，b 2－4ab ＋4a >0恒成立，所以有(－4a )2－4×(4a )<0⇒a 2－a <0，解得0<a <1，因此实数a 的取值范围是(0，1)．[B 级 综合练]11．已知奇函数f (x )是R 上的单调函数，若函数y ＝f (2x 2＋1)＋f (λ－x )只有一个零点，则实数λ的值是( )A ．14B ．18C ．－78D ．－38解析：选C.因为函数y ＝f (2x 2＋1)＋f (λ－x )只有一个零点，所以方程f (2x 2＋1)＋f (λ－x )＝0只有一个实数根，又函数f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (2x 2＋1)＋f (λ－x )＝0⇔f (2x 2＋1)＝f (x －λ)⇔2x 2＋1＝x －λ，所以方程2x 2－x ＋1＋λ＝0只有一个实数根，所以Δ＝(－1)2－4×2×(1＋λ)＝0，解得λ＝－78.故选C 项．12．(多选)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧－x2－2x ，x≤0，|log2x|，x>0，若x 1<x 2<x 3<x 4，且f (x 1)＝f (x 2)＝f (x 3)＝f (x 4)，则下列结论正确的是( )A ．x 1＋x 2＝－1B ．x 3x 4＝1C ．1<x 4<2D ．0<x 1x 2x 3x 4<1解析：选BCD.由函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x2－2x ，x≤0，|log2x|，x>0，作出其函数图象：由图可知，x 1＋x 2＝－2，－2<x 1<－1； 当y ＝1时，|log 2x |＝1，有x ＝12，2，所以12<x 3<1<x 4<2；由f (x 3)＝f (x 4)，有|log 2x 3|＝|log 2x 4|， 即log 2x 3＋log 2x 4＝0， 所以x 3x 4＝1，则x 1x 2x 3x 4＝x 1x 2＝x 1(－2－x 1)＝－(x 1＋1)2＋1∈(0，1)．故选BCD. 13．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，满足f (0)＝2，f (x ＋1)－f (x )＝2x －1. (1)求函数f (x )的解析式；(2)若函数g (x )＝f (x )－mx 的两个零点分别在区间(－1，2)和(2，4)内，求m 的取值范围．解：(1)由f (0)＝2得c ＝2，又f (x ＋1)－f (x )＝2x －1，得2ax ＋a ＋b ＝2x －1，故⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝2，a ＋b ＝－1，解得a ＝1，b ＝－2，所以f (x )＝x 2－2x ＋2. (2)g (x )＝x 2－(2＋m )x ＋2，若g (x )的两个零点分别在区间(－1，2)和(2，4)内，则满足⎩⎪⎨⎪⎧g （－1）>0，g （2）<0，g （4）>0⇒⎩⎪⎨⎪⎧5＋m>0，2－2m<0，10－4m>0，解得1<m <52.所以m 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，52. 14．已知函数f (x )＝－x 2－2x ，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋14x ，x>0，x ＋1，x≤0.(1)求g [f (1)]的值；(2)若方程g [f (x )]－a ＝0有4个实数根，求实数a 的取值范围． 解：(1)利用解析式直接求解得g [f (1)]＝g (－3)＝－3＋1＝－2.(2)令f (x )＝t ，则原方程化为g (t )＝a ，易知方程f (x )＝t 在t ∈(－∞，1)上有2个不同的解，则原方程有4个解等价于函数y ＝g (t )(t <1)与y ＝a 的图象有2个不同的交点，作出函数y ＝g (t )(t <1)的图象，如图，由图象可知，当1≤a <54时，函数y ＝g (t )(t <1)与y ＝a有2个不同的交点，即所求a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，54.[C 级 创新练]15．已知a ，b ∈R ，定义运算“⊗”：a ⊗b ＝⎩⎨⎧a ，a －b≤1，b ，a －b>1.设函数f (x )＝2x ＋1⊗(2－4x )，x ∈R .若函数y ＝f (x )－c 的图象与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是( )A ．(0，1)B ．(0，2)∪(2，3)C ．(0，2)D ．(0，3－1)∪(3－1，2)解析：选A.若2x ＋1－(2－4x )≤1，则(2x )2＋2×2x －3≤0，即2x ≤1，解得x ≤0；若2x ＋1－(2－4x )>1，则(2x )2＋2×2x －3>0，解得2x >1或2x <－3(舍去)，即x >0.所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x≤0，2－4x ，x>0.作出函数f (x )的图象和y ＝c 的图象如图所示．因为y ＝f (x )－c 有两个零点，所以f (x )＝c 有两个解，所以0<c <1.故选A.16．定义：设不等式F (x )<0的解集为M ，若M 中只有唯一整数，则称M 是最优解．若关于x 的不等式|x 2－2x －3|－mx ＋2<0有最优解，则实数m 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤23，74B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－72，－2 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－72，－2∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，74 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－72，－2∪⎝⎛⎦⎥⎤23，74 解析：选D.|x 2－2x －3|－mx ＋2<0可转化为|x 2－2x －3|<mx －2，在同一平面直角坐标系中分别作出函数f (x )＝|x 2－2x －3|，g (x )＝mx －2的图象，如图所示．易知m ＝0时不满足题意．当m >0时，要存在唯一的整数x 0，满足f (x 0)<g (x 0)， 则⎩⎪⎨⎪⎧f （2）≥g （2），f （3）<g （3），f （4）≥g （4），即⎩⎪⎨⎪⎧3≥2m －2，0<3m －2，5≥4m －2，解得23<m ≤74. 当m <0时，要存在唯一的整数x 0，满足f (x 0)<g (x 0)， 则⎩⎪⎨⎪⎧f （0）≥g （0），f （－1）<g （－1），f （－2）≥g （－2），即⎩⎪⎨⎪⎧3≥－2，0<－m －2，5≥－2m －2，解得－72≤m <－2. 综上，实数m 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－72，－2∪⎝⎛⎦⎥⎤23，74.故选D.。

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第二章 函数、导数及其应用
考向 1：构造一次、二次、分段函数模型
(2018·安徽铜陵期末)已知华为公司生产某款手机的年固定成本为 40 万 美元，每生产 1 万只还需另投入 16 万美元．设华为公司一年内共生产该款手机 x 万 只 并 全 部 销 售 完 ， 每 万 只 的 销 售 收 入 为 R(x) 万 美 元 ， 且 R(x) ＝
400－6x，0＜x≤40，
7
4x00－40x0200，x＞40.
(1)写出年利润 W(万美元)关于年产量 x(万只)的函数解析式； (2)当年产量为多少万只时，华为公司在该款手机的生产中所获得的利润最大？ 并求出最大利润．
第1轮 ·数学(文科)
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第二章 函数、导数及其应用
解 (1)当 0＜x≤40 时， W＝xR(x)－(16x＋40)＝－6x2＋384x－40， 当 x＞40 时，W＝xR(x)－(16x＋40)＝－40 x000－16x＋7360.
解 析 由 题 意 ， 得 (0,192) 和 (22,48) 是 函 数 y ＝ ekx ＋ b 图 象 上 的 两 个 点 ， 则 192＝eb， 48＝e22k＋b.
解得 e11k＝12.所以当储藏温度为 33℃时，保鲜时间 y＝e33k＋b＝ (e11k)3·eb＝18×192＝24(小时)．
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第二章 函数、导数及其应用
题组二 教材改编⇔VS 最新模拟
2．(P102 例 3 改编)某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计图如图所示， 则下列说法中错误的是( D )
A．收入最高值与收入最低值的比是 3∶1
B．结余最高的月份是7月 C．1至2月份的收入的变化率与4至5 月份的收入的变化率相同 D．前6个月的平均收入为40万元