2016-2017学年高中数学苏教版选修1-1课件：第3章 导数及其应用 3.3.1

v 可作为物体在t0时刻的速度的近似值， t 越小，
s 近似的程度就越好。所以当t0时，比值 t
就是物体在t0时刻的瞬时速度，即
f (t0 t ) f (t0 ) v在t0的瞬时速度 t
当t 0时
3、物体在某一时刻的加速度称为瞬时加速度. （即t=t0时速度相对时间的瞬时变化率）
f (t0 t ) f (t0 ) v在t0的瞬时速度 t 当t 0时
导数的概念
沭阳县修远中学 陈永和
一.导数的概念
函数 y f ( x )在区间（ a, b)有定义，x0 （a, b)
如果自变量 x在 x0处有增量 x， 那么函数y相应地有 y 增量y f ( x0 x) f ( x0 ); 比 值 就叫做函数 x y f ( x)在x0到x0 x之间的平均变化率 , 即
y x f ( x0 x ) f ( x0 ) x .
如果当 x 0 时，
y A x
并把A
x x0
我们就说函数 y f ( x)在点x0 处 可导，
叫做函数 y f ( x)在点 x0处的导数
, 记为y
y
x x0
f ( x0 )
'
y x
如果函数 f(x)在开区间 (a,b)内每一点都可导，就说f(x) 在开区间 (a,b)内可导．这时，对于开区间 (a,b)内每一 个确定的值 x0，都对应着一个确定的导数 f '(x0)，这样 就在开区间(a,b)内构成了一个新的函数，我们把这一新 函数叫做 f(x) 在开区间(a,b)内的导函数，简称为导数， 记作
知识照顾
1.曲线在某一点切线的斜率
k PQ
f ( x x) f ( x) ) x

则 实 数 k 的 取 值 范 围 为 ？
变 式 :
3
已 知 函 数 f() x x 1 2 x 在 区 间 ( k 1 , k 1 ) 上 不 是 单 调 函 数 , 则 实 数 k 的 取 值 范 围 为 ？
例题分析
2 例 2 、 已 知 函 数 f( x ) x ( 1 2) ax a l n xa (为 常 数 )
导数在单调性中的应用
小题热身
3 2 1 、 曲 线 y x 3 x 在 点 ( 1 , 2 ) 处 的 切 线 方 程 为
.
3 2 、 若 函 数 f ( x ) a x b x c 的 图 像 在 点 ( 1 , 1 ) 处 的 切 线 方 程 为
y k ( x 2 ) , 则 f (1 )
2 、 已 知 ab ,为 常 数 ， 且 a 0 , 函 数 f( x ) a x b a x l n x , 且 f( e ) 2 . ( 1 ) 求 实 数 b 的 值 ； ( 2 ) 求 函 数 f( x ) 的 单 调 区 间 .
• 自我检测
3 1 、 曲 线 y x 2 x 1 在 点 ( 1 , 4 ) 处 的 切 线 方 程 为
3 2 2 、 若 函 数 f ( x ) f ( 2 ) ( 2 x 6 x 9 ) 3 x , 则 f ( 2 )
.
.
x 3 、 函 数 fx ( ) 的 单 调 递 减 区 间 为 l n x
.
3 4 、 函 数 f ( x ) x a x 在 区 间 ( 1 , 1 ) 上 是 增 函 数 ， 则 a 的 取 值 范 围 为
.
课堂小结：

3 K12课件
3
18
巩固训练：
变2：求函数 y 3ex 3x 的单调区间。
解 : y 3e x 3 3e x 3 0, e x 1, x 0, 单调增区间为(0,); 3e x 3 0, e x 1, x 0, 单调减区间为(,0);
K12课件
K12课件
1
复习引入：
问题1：怎样利用函数单调性的定义 来讨论其在定义域的单调性
1．一般地，对于给定区间上的函数f(x)，如
果对于属于这个区间的任意两个自变量的值
x1，x2，当x1<x2时， (1)若f(x1)<f (x2)，那么f(x)在这个区间
上是增函数.
(2)若f(x1)>f (x2)，那么f(x)在这个区间
(2) y x ln x;
(3) y ex x 1.
K12课件
7
发现问题：用单调性定义讨论 函数单调性虽然可行，但十分 麻烦，尤其是在不知道函数图 象时.例如y=x3+2x2-x.是否有更 为简捷的方法呢？下面我们通 过函数的y=x2－4x＋3图象来考 察单调性与导数有什么关系：
K12课件
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变3：求函数 y 1 的单调区间。
x
解 : y ( 1 ) 1
x
x2


1 x2
0, x

0或x

0,
单调减区间为( ,0), (0, )
K12课件
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2．应用导数信息确定函数大致图象
已知导函数的下列信息：
当2 x 3时，f '( x) 0; 当x 3或x 2时，f '( x) 0; 当x 3或x 2时，f '( x) 0.

解答
设存在一个公共点(x0，y0)，使两曲线的切线垂直， 则在点(x0，y0)处的切线斜率分别为k1＝y′|xx0＝cos x0， k2＝y′| xx0 ＝－sin x0.
要使两切线垂直，必须有k1k2＝cos x0(－sin x0)＝－1， 即sin 2x0＝2，这是不可能的． 所以两条曲线不存在公共点，使在这一点处的两条切线互相垂直．
1 2 3 4 285
2.下列结论：①(sin x)′＝－cos x；②1x′＝x12； ③(log3x)′＝3l1n x；④(ln x)′＝1x. 其中正确的结论是___④_____. 答案 解析 由求导公式知，(sin x)′＝cos x，1x′＝－x12，(log3x)′＝xln1 3，(ln x)′ ＝1x，故④正确.
第3章 §3.2 导数的运算
3.2.1 常见函数的导数
1
学习目标
1.能用导数的定义求比较简单的幂函数的导数. 2.准确记忆基本初等函数的导数公式，并灵活运用公式求
某些函数的导数．
2
内容索引
问题导学 题型探究 当堂训练
3问题导学4知识点一 幂函数与一次函数的导数
思考1
函数y＝kx(k≠0)增(减)的快慢与什么有关？ 答案 当k>0时，函数增加的快慢与系数k有关，k越大，增加的越快； 当k<0时，函数减少的快慢与|k|有关，|k|越大，函数减少的越 快．
7
知识点二 基本初等函数的求导公式
思考1
计算过程(cos π6)′＝－sin π6＝－12正确吗？ 答案 不正确．因为 cos π6＝ 23为常数，其导数为 0.
8
思考2
如何利用(ln x)′推出(logax)′？ 答案 (logax)′＝llnn ax′＝ln1a(ln x)′＝ln1a·1x＝x·l1n a.