人教B版2019高中数学必修3教学案：第三章 3.4 概率的应用_含解析

概率的应用

概率在决策中的应用

[典例] 某地政府准备对当地的农村产业结构进行调整，为此政府进行了一次民意调查.100个人接受了调查，要求他们在赞成调整、反对调整、对这次调整不发表看法中任选一项．调查结果如下表所示：

男 女 总计

赞成 18 9 27

反对 12 25 37

不发表看法 20 16 36

总计 50 50

100

随机选取一个被调查者，他对这次调整表示反对或不发表看法的概率是多少？

[解] 用A表示事件“对这次调整表示反对”，B表示“对这次调整不发表看法”，由互斥事件的概率加法公式，得P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝37100＋36100＝73100＝0.73，因此随机选取一个被调查者，他对这次调整表示反对或不发表看法的概率是0.73.

概率在决策问题中的应用

(1)由于概率反映了随机事件发生的可能性的大小，概率是频率的近似值与稳定值，所以可以用样本出现的频率近似地估计总体中该结果出现的概率．

(2)实际生活与生产中常常用随机事件发生的概率来估计某个生物种群中个别生物种类的数量、某批次的产品中不合格产品的数量等．

[活学活用]

某食品公司因新产品上市拟举办促销活动以促进销量，方法是买一份糖果摸一次彩．公司准备了一些黄、白两色乒乓球，这些乒乓球的大小与质地完全相同，另有一个棱长约为30厘米密封良好且不透光的长方体木箱(木箱上方可容一只手伸入)．该公司拟按1%的中奖率设置大奖，其余99%则为小奖，大奖的奖品价值400元，小奖的奖品价值2元．请你按公司的要求设计一个摸彩方案．

解：可以提出如下2个方案(答案不唯一)．

(方案1)在箱内放置100个乒乓球，其中1个为黄球，99个为白球．顾客一次摸出一个乒乓球，摸到黄球为中大奖，否则中小奖．

(方案2)在箱内放置25个乒乓球，其中3个为黄球，22个为白球，顾客一次摸出2个乒乓球，摸到2个黄球中大奖，否则中小奖.

概率在整体估计中的应用

[典例] 为了调查某野生动物保护区内某种野生动物的数量，调查人员某天逮到这种动物1 200只作好标记后放回，经过一星期后，又逮到这种动物1 000只，其中作过标记的有100只，按概率的方法估算，保护区内有多少只该种动物．

[解] 设保护区内这种野生动物有x只，假定每只动物被逮到的可能性是相同的，那么从这种野生动物中任逮一只，设事件A＝{带有记号的动物}，则由古典概型可知，P(A)＝1 200x.第二次被逮到的1 000只中，有100只带有记号，即事件A发生的频数m＝100，由概率的统计定义可知P(A)≈1001 000＝110，故1 200x≈110，解得x≈12 000.

所以，保护区内约有12 000只该种动物．

利用频率与概率的关系求未知量的步骤

(1)抽出m个样本进行标记，设总体为未知量n，则标记概率为mn.

(2)随机抽取n1个个体，出现其中m1个被标记，则标记频率为m1n1.

(3)用频率近似等于概率，建立等式mn≈m1n1.

(4)求得n≈m·n1m1.

[活学活用]

若10个鸡蛋能孵化出8只小鸡，根据此情况，估计某小鸡孵化厂20 000个鸡蛋能孵化出多少只小鸡．

解：假定每个鸡蛋能孵化出小鸡的可能性是相等的，从中任选一个，记事件A＝{鸡蛋能孵化出小鸡}，此试验为古典概型，则P(A)＝810①

设20 000个鸡蛋能孵化出小鸡m只，

则P(A)≈m20 000，②

由①②得m20 000≈810，解得m≈16 000.所以20 000个鸡蛋大约能孵化出小鸡16 000只．

[层级一 学业水平达标]

1．若经检验，某厂的产品合格率为98%，估算该厂8 000件产品中的次品件数为( )

A．7 840 B．160

C．16 D．784

解析：选B 在8 000件产品中，合格品约有8 000×98%＝7 840件，故次品约有8 000－7 840＝160(件)．

2．如图所示，边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域，在正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率是13，则阴影区域的面积为(

)

A.34 B.43

C.23 D．无法计算

解析：选B 在正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率P＝S阴影S正方形＝13，又因为S正方形＝4，所以S阴影＝43，故选B.

3．设有外形完全相同的两个箱子，甲箱中有99个白球1个黑球，乙箱中有1个白球99个黑球．随机地抽取一箱，再从取出的一箱中抽取一球，结果取得白球，我们可以认为这球是从__________箱中取出的．

解析：甲箱中有99个白球1个黑球，故随机地取出一球，得到白球的可能性是99100，乙箱中有1个白球99个黑球，从中任取一球，得到白球的可能性是1100.由此可知，这一白球从甲箱中取出的概率比从乙箱中取出的概率大得多，既然在一次抽样中抽到白球，当然可以认为是由概率大的箱子中取出的，所以我们可以认为该球是从甲箱中取出的．

答案：甲

4．为了检测山上某个森林内松鼠的数量，可以使用以下方法：先从山上捕捉松鼠100只，在每只松鼠的尾巴上作上记号，然后再把它放回森林．经过半年后，再从森林中捕捉50只，尾巴上有记号的松鼠共5只，试根据上述数据，估计此森林内松鼠的数量．

解：假定每只松鼠被捕捉的可能性是相等的，从山上任捕一只，设事件A为“带有记号的松鼠”，则由古典概型可知

P(A)＝100n.①

第二次从山上捕捉50只，有记号的松鼠共有5只，即事件A发生的频数m＝5，由此知

P(A)≈550＝110，②

由①②可得100n≈110，所以n≈1 000.

所以，森林内约有松鼠1 000只．

[层级二 应试能力达标]

1．“今天北京的降雨概率是60%，上海的降雨概率是70%”，下列说法不．正确的是( )

A．可能北京今天降雨了，而上海没有降雨

B．可能上海今天降雨了，而北京没有降雨

C．可能北京和上海都没有降雨

D．北京降雨的可能性比上海大

解析：选D 因为北京的降雨概率比上海的降雨概率小，故D说法不正确．

2．调查运动员服用兴奋剂的时候，应用Warner随机化应答方法调查300名运动员，得到80个“是”的回答，由此，我们估计服用过兴奋剂的人占这群人的( )

A．3.33% B．53%

C．5% D．26%

解析：选A 应用Warner随机化应答方法调查300名运动员，我们期望有150人回答了第一个问题，而在这150人中又有大约一半的人即75人回答了“是”．其余5个回答“是”的人服用过兴奋剂，由此估计这群人中服用过兴奋剂的大约占5150≈3.33%.

3．乘客在某电车站等候26路或16路电车，在该站停靠的有16,22,26,31四路电车，若各路电车先停靠的概率相等，则乘客等候的电车首先停靠的概率等于( )

A.12 B.13

C.23 D.34

解析：选A 因为各路电车先停靠的概率都等于14，所以乘客等候的电车首先停靠的概率为14＋14＝12.

4．某人手表停了，他打开电视机想利用电视机上整点显示时间来校正他的手表，则他等待不超过一刻钟的概率为( ) A.16 B.15

C.14 D.13

解析：选C 由于电视机每隔1小时显示整点一次，并且在0～60之间任何一个时刻显示整点是等可能的，所以在哪个时间显示整点的概率只与该时间段的长度有关．而与该时间段的位置无关，这符合几何概型的条件，这是一个与时间长度有关的几何概型，P＝1560＝14.

5．某人捡到不规则形状的五面体石块，他在每个面上都作了记号，投掷了100次，并且记录了每个面落在桌面上的次数(如下表)．如果再投掷一次，估计该石块的第4面落在桌面上的概率约是________.

石块的面 1 2 3

4 5

频数 32

18 15

13

22

解析：第四面落在桌面上的概率为P＝13100＝0.13.

答案：0.13

6．地球上的山地、水和平原面积比约为3∶6∶1，那么太空的一块陨石恰好落在平原上的概率为________．

解析：因为平原所占比例为13＋6＋1＝110，所以陨石恰好落在平原上的概率为110.

答案：110

7．在等腰直角三角形ABC中，斜边BC＝22，在该三角形内任取一点，则该点到直角顶点A的距离不大于1的概率为________．

解析：由已知可得S△ABC＝12×2×2＝2，该三角形内到点A距离不大于1的点构成扇形面积S1＝π4，所以P＝π42＝π8.

答案：π8

8.有一个转盘游戏，转盘被平均分成10等份(如图所示)．转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字即为转出的数字．游戏规则如下：两个人参加，先确定猜数方案，甲转动转盘，乙猜，若猜出的结果与转盘转出的数字所表示的特征相符，则乙获胜，否则甲获胜．猜数方案从以下三种方案中选一种： A．猜“是奇数”或“是偶数”

B．猜“是4的整数倍数”或“不是4的整数倍数”

C．猜“是大于4的数”或“不是大于4的数”

请回答下列问题：

(1)如果你是乙，为了尽可能获胜，你会选哪种猜数方案，并且怎样猜？为什么？

(2)为了保证游戏的公平性，你认为应选哪种猜数方案？为什么？

(3)请你设计一种其他的猜数方案，并保证游戏的公平性．

解：(1)可以选择B，猜“不是4的整数倍数”或C，猜“是大于4的数”．“不是4的整数倍数”的概率为810＝0.8，“是大于4的数”的概率为610＝0.6，它们都超过了0.5，故乙获胜的机会大．

(2)为了保证游戏的公平性，应当选择方案A.因为方案A猜“是奇数”或“是偶数”的概率均为0.5，从而保证了该游戏是公平的．

(3)设计为猜“是大于5的数”或“小于6的数”，也可以保证游戏的公平性．

9．小红家的晚报在下午5：30～6：30之间的任何一个时间随机地被送到，小红一家人在下午6：00～7：00之间的任何一个时间随机地开始进晚餐．

(1)你认为晚报在晚餐开始之前被送到和在晚餐开始之后被送到哪种可能性更大些？

(2)晚报在晚餐开始之前被送到的概率是多少？

解：(1)晚报在晚餐开始之前被送到的可能性更大些．

(2)如图所示，试验的所有可能结果与图中区域D(右上方小正方形)内的所有点一一对应，晚报在晚餐开始之前送到等价于晚报到达时间y