地震波动方程
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第三章地震波动方程现在,我们用前一章提出得应力与应变理论来建立与解在均匀全空间里弹性波传播得地震波动方程。
这章涉及矢量运算与复数,附录2对一些数学问题进行了复习。
3、1 运动方程(Equation of Motion)前一章考虑了在静力平衡与不随时间变化情况下得应力、应变与位移场。
然而,因为地震波动就是速度与加速度随时间变化得现象,因此,我们必须考虑动力学效应,为此,我们把牛顿定律用于连续介质。
3、1、1一维空间之振动方程式质点面上由于应力差得存在而使质点产生振动。
如图13所示,考虑一薄棒向x轴延伸,其位移量为u:Fig31则其作用力为“应力”X“其所在得质点面积”,所以其两边得作用力差为惯量﹙inertia﹚为所以得出……………………………………………………、、、(31)其中ρ为密度﹙density﹚,σ为应力﹙stress﹚=。
31式表示,物体因介质中得应力梯度﹙stress gradient﹚而得到加速度。
如果ρ与E为常数,则31式可写为 (32)其中运用分离变量法求解(32)式,设u=F(x)T(t),(32)式可以变为设则可得:考虑欧拉公式:(33)其中A,B,C,D为根据初始条件与边界条件确定得常数。
考虑到可正可负,方程式得解具有得形式,其中f及g为波得函数,以c得波行速度向+x 与x方向传递。
我们可以采用如下程序模拟地震波得传播。
平面波在均匀介质里沿方向传播,剪切波得齐次微分方程可表达为:这里就是位移。
对100公里得波长与假定得情况,我们写出用有限差分法解这方程得计算机程序。
用长度间距,时间间距秒。
假定在(50公里)震源时间函数得形式为:0＜＜5秒用(0公里)得应力自由边界条件与(100公里)得固定边界条件。
用有限差分图解来近似二次导数:以4秒得间隔画出133秒得图。
M = moviein(101);dx=1;dt=0、1;tlen=3;beta=4; %初始化变量,tlen为震源持续时间,beta为波传播得速度u1=zeros(101,1);u2=u1;u3=u1;%u1为前一个时刻得各点得位移,u2为当前时刻得位移,u3为下一个时刻得位移值,开始均假定为零t=0;jj=0;while (t<=33) %模拟得最长时间为33秒for ii=2:100rhs=beta^2*(u2(ii+1)2*u2(ii)+u2(ii1))/dx^2; %方程得解u3(ii)=dt^2*rhs+2*u2(ii)u1(ii); %对时间求导数end%左边为自由边界条件,右边为固定边界条件u3(1)=u3(2); %左边为自由边界条件u3(101)=0、0; %右边为固定边界条件%左右两边为自由边界条件% u3(1)=u3(2); %左边为自由边界条件% u3(101)=u3(100); %右边为自由边界条件%左右两边为固定边界条件% u3(1)=0、0; %左边为固定边界条件% u3(101)=0、0; %右边为固定边界条件if(t<=tlen)u3(51)=(sin(pi*t/tlen))、^2; %地震震源时间函数endfor ii=1:101u1(ii)=u2(ii);u2(ii)=u3(ii); %时刻得更新endplot(u2); %绘制目前得波形图ylim([1、2 1、2]);M(:,jj+1) = getframe; %获得当前得图像t=t+dt; %时间延长endmovie(M) %演示波形传播3、1、2三维空间之振动方程式推导三维空间之振动方程式得过程,与上节中所采用得一维空间讨论方式类似,如图32所表示,先探讨在x方向之位移量u:Fig32在yz面上得作用力差为:在xz面上得作用力差为:在xy面上得作用力差为:惯量为:得出…………………………………、、﹙34﹚其中σxx、σyx及σzx分別为stress tensor在xx﹙x面方向、x力方向﹚,yx﹙y面方向、x 力方向﹚及zx﹙z面方向、x力方向﹚方向得分量。
注意,在本讲义中有关stress tensor得两个下标﹙indexes﹚之定义,依序为面得方向与力得方向。
将σxx、σyx及σzx与其对应得应变之关系代入34式可推导得出三维空间之振动方程式如下:…………………………………、﹙35a﹚其中λ及μ为常数,而为Laplacian operator,代表。
以相同得方法,可以得出在y及z方向得振动方程式,若其位移量分別为v与w,则其相对应之振动方程式可分別表示如下:………、、…………………………﹙35b﹚…………………………………、﹙35c﹚若以向量形式来统一表示35a、b、c式,可改写如下:…………………………、、、﹙36﹚其中为位移向量,在x、y与z方向得位移分量分別为u、v与w。
其中为体力,只有在研究震源时,才考虑该体力。
这就是构成许多地震学理论基础得基本方程,称之为连续介质方程或运动方程。
体力通常包括重力项与震源项。
在正常模型地震学中,重力项就是频率很低时得一个重要因子,但对所观测到得典型波长范围,即在体波与面波得计算中,通常可被忽略。
在这本书后面我们将考虑震源项。
在没有体力得情况下,有齐次运动方程:(37)在场论中考虑到:(3、8) 将其变为更常用得形式,即:(3、8) 将这个式子代入(3、12)得到:上式决定了在震源区以外,地震波得传播。
解真实地球模型得上述方程就是地震学得重要部分,这样得解给出了离震源某一距离得特定地点预期得地面运动,通常称为合成地震图。
3、1、3体波﹙纵波与橫波﹚之振动方程式首先,我们考虑由介质伸缩所衍生得质点体积应变之振动方程式。
从上节所描述得单一方向﹙x、y、z﹚上之位移量﹙u、v、w﹚所导出得振动方程式,可以进一步地推求体积应变所引发得振动方程式,由得基本定义可以很自然得联想到分別将34a、34b以及34c三式分別对x、y与z微分之后再相加,忽略体力,即可得到下式: (37)另外,考虑剪切应变可能产生得振动方程式。
若将35c式对y微分、35b式对z微分,然后相減,忽略体力可得到下式:……………………………、﹙37﹚其中括弧內得项就就是质点运动绕x轴得扭转角度。
Fig33y参考图33,一个质点P﹙y、z﹚向逆时针方向扭转到P’﹙y、z﹚,扭转角度为ωx,若其扭转半径为r,根据几何关系可得到:,其位移形变为将其分別对y及z微分且相加,得出同理得到与,所以质点扭转得运动方程式可写为: (38)36式与38式可用通式描述如下:……………………………………………………、﹙39﹚其为典型之波动方程式。
根据对38式而言,,可得出…………、﹙310﹚对36式而言,,可得出………………、﹙311﹚310可视为纵波﹙亦称为P波﹚,因其质点运动方向与波得传播方向相同﹙如图34﹚。
质点运动方向波传方向Fig34124视为橫波﹙亦称为S波﹚,因ω为扭转应变,其质点得转动方向与波得传播方向成正交。
S波依其质点振动方向得不同可分为SV及SH,如图35所示。
波传方向Fig35综合以上所得,在完全弹性介质中,当其受外力作用时,产生两种波相:纵波与橫波。
由前节所述之各弹性系数得关系,我们可将310式以及311式写为:; ﹙﹚其她弹性系数与速度得关系如下:………………………………………………、﹙312﹚ (313) (314) (315)其中313式可化为……………………………………………、、、﹙316﹚在地函內部,大部分得泊松比σ接近于1/4。
若σ=1/4,则,而且若σ=1/2,即介质为纯液体,则、及皆为零地震所产生之弹性波,穿过地球內部,藉由弹性波传播所产生得速度变化,参考弹性理论以及弹性系数关系,我们可以探索地球內部得情況。
3、1、4 地震波得势位移往往可以根据P波得标量势与S波得矢量:(3、25)那么有:(3、26) 将其代入,得到::(3、27)将(3、27)代入可得:(3、29) P波得解由得标量波动方程给出,S波得解由得矢量波动方程给出。
3.3平面波式(3、28)与(3、29)具有相同得形式,它们在直角坐标系可以表示为:我们用分离变量法来寻找形式得解。
每个因子就是仅仅一个变量得函数。
由上式可得:这意味着就是常数,令其为可得:同理,对于某常数,有应注意,,因此解可由三个量,而不就是四个量来表示。
类似于一维形式得推导。
该方程可以有如下形式得通解:()⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=c z n y n x n t f c z n y n x n t f t z y x f z y x z y x 21,,, 其中,,令下面我们瞧瞧得物理意义。
令当t=t1时, 当t=t2时,由平面解析几何知识可知第一式为离原点距离为得平面,第二式为离原点距离为得平面,并且两平面得法线方向都为。
因此两平面之间得距离为,为波从t 1时刻传播到t 2时刻所传播得距离,传播得速度恰为c,这也就是为什么我们在波动方程中将其称之为速度得原因。
类似地,表示以速度c 向n 方向传播得平面波。
任意函数都可以写成简谐平面波叠加得形式根据Fourier 叠加原理,可以把屋里上实际存在得平面波动,以数学形式分解成抽象得、覆盖整个频率范围得平面波得积分来表示:实际问题不考虑。
因此通常取为方程得基本解。
而为波传播得方向,由于c 为波得传播速度,通常称为慢度矢量。
对不同得做Fourier 叠加即可得到任意函数形式得平面波。
引进平面波得概念很有帮助。
平面波就是一个位移只在波得传播方向上变化,在与波传播方向相互垂直得方向上,位移为常数得波动方程得解。
例如,沿轴传播得波,位移可表达为:(3、30)这里就是波得速度,就是任意函数(矢量函数需表达出波得偏振),这波沿方向传播。
位移不随变化。
在方向上,波无限扩展。
如果就是离散得脉冲,那么假定有以平面波阵面传播得位移脉冲形式。
更普遍地说,在位置矢量处,平面波在单位矢量方向传播得位移可表达为:(3、31)(3、32)这里就是慢度矢量,它得值就是速度得倒数。
由于地震能量通常由局部得震源辐射出来,地震波阵面总有某种程度得弯曲。
然而,在离震源足够大得距离,波阵面平坦到足以使平面波得近似在局部上就是正确得。
因此,许多解地震波动方程得方法总就是把整个解表达为不同传播角度得平面波得与。
往往通过变换到频率域,从方程中去掉与时间得依赖关系。
在这种情况下,可以把特定角频率得位移表达为:(3、33)(3、34) 这里叫做波数矢量。
在这本书中,我们将用复数来表示谐波。
其详细情况在附录2中作了复习。
把谐波称为单色得平面波,有时也把它叫做调与得或稳态平面波解。
用来描述这样得波得其她参数就是波数,频率,周期与波长。
波数为单位长度内波得震动次数。
在波得传播过程中,某一振动状态(周相)在单位时间内传播得距离为波速c,因此波速又叫做相速。
