二元一次方程组典型例题
【例1】已知方程组的解x,y满足方程5x-y=3,求k的值.
【思考与分析】本题有三种解法,前两种为一般解法,后一种为巧解法.
(1)由已知方程组消去k,得x与y的关系式,再与5x-y=3联立组成方程组求出x,y的值,最后将x,y的值代入方程组中任一方程即可求出k的值.
(2)把k当做已知数,解方程组,再根据5x-y=3建立关于k的方程,便可求出k 的值.
(3)将方程组中的两个方程相加,得5x-y=2k+11,又知5x-y=3,所以整体代入即可求出k的值.
把代入①,得,解得k=-4.
解法二:①×3-②×2,得17y=k-22,
解法三:①+②,得5x-y=2k+11.
又由5x-y=3,得 2k+11=3,解得 k=-4.
【小结】 解题时我们要以一般解法为主,特殊方法虽然巧妙,但是不容易想到,有思考巧妙解法的时间,可能这道题我们已经用一般解法解了一半了,当然,巧妙解法很容易想到的话,那就应该用巧妙解
二元一次方程组能力提升讲义
知识提要
1. 二元一次方程组???=+=+222
1
11c y b x a c y b x a 的解的情况有以下三种:
① 当
2
1
2121c c b b a a ==时,方程组有无数多解。(∵两个方程等效) ② 当
2
1
2121c c b b a a ≠=时,方程组无解。(∵两个方程是矛盾的) ③ 当
2
1
21b b a a ≠(即a 1b 2-a 2b 1≠0)时,方程组有唯一的解: ???
????--=--=12212
11212211221b a b a a c a c y b a b a b c b c x (这个解可用加减消元法求得)
2. 方程的个数少于未知数的个数时,一般是不定解,即有无数多解,若要求整数解,可按
二元一次方程整数解的求法进行。
3. 求方程组中的待定系数的取值,一般是求出方程组的解(把待定系数当己知数),再解
含待定系数的不等式或加以讨论。(见例2、3) 例题
例1. 选择一组a,c 值使方程组??
?=+=+c
y ax y x 27
5 1.有无数多解, 2.无解, 3.有唯一的
【例2】 解方程组
【思考与分析】 本例是一个含字母系数的方程组.解含字母系数的方程组同解含字母系数的方程一样,在方程两边同时乘以或除以字母表示的系数时,也需要弄清字母的取值是否为零.
解:由①,得 y=4-mx , ③ 把③代入②,得 2x+5(4-mx )=8, 解得 (2-5m )x=-12,当2-5m =0, 即m =
时,方程无解,则原方程组无解.
当2-5m ≠0,即m ≠
时,方程解为
将代入③,得
故当m ≠
时,
原方程组的解为
例3. a 取什么值时,方程组??
?=+=+31
35y x a
y x 的解是正数?
例4. m 取何整数值时,方程组?
??=+=+144
2y x my x 的解x 和y 都是整数?
二元一次方程组的特殊解法
1.二元一次方程组的常规解法,是代入消元法和加减消元法。
这两种方法都是从“消元”这个基本思想出发,先把“二元”转化为“一元”把解二元一次方程组的问题归结为解一元一次方程,在“消元”法中,包含了“未知”转化到“已知”的重要数学化归思想。 2、灵活消元 (1)整体代入法
1. 解方程组y x x y +=+-=???
??142
3231
(2)先消常数法
2. 解方程组433132152x y x y +=<>
-=<>
?
?
?
(3)设参代入法
3. 解方程组x y x y -=<>
=<>
?
?
?321432::
(4)换元法
4. 解方程组()()x y x y
x y x y +--=+=-???
?
?23
634
(5)简化系数法
5. 解方程组43313442x y x y -=<>
-=<>
?
?
?
课堂练习
1. 不解方程组,判定下列方程组解的情况:
① ???=-=-96332y x y x ②???=-=-32432y x y x ③?
??=-=+153153y x y x
2. a 取哪些正整数值,方程组??
?=--=+a
y x a
y x 24352的解x 和y 都是正整数?
3. 要使方程组?
?
?=-=+12y x k
ky x 的解都是整数, k 应取哪些整数值?
二元一次方程组应用探索
【知识链接】
列二元一次方程组解应用题的一般步骤可概括为“审、找、列、解、答”五步,即: (1)审:通过审题,把实际问题抽象成数学问题,分析已知数和未知数,并用字母表示其中的两个未知数;
(2)找:找出能够表示题意两个相等关系;
(3)列:根据这两个相等关系列出必需的代数式,从而列出方程组; (4)解:解这个方程组,求出两个未知数的值;
(5)答:在对求出的方程的解做出是否合理判断的基础上,写出答案.
二元一次方程组是最简单的方程组,其应用广泛,尤其是生活、生产实践中的许多问题,
大多需要通过设元、布列二元一次方程组来加以解决,现将常见的几种题型归纳如下:
一、数字问题
例1 一个两位数,比它十位上的数与个位上的数的和大9;如果交换十位上的数与个位上的数,所得两位数比原两位数大27,求这个两位数.
分析:设这个两位数十位上的数为x,个位上的数为y,则这个两位数及新两位数及其之间的关系可用下表表示:
解方程组
109
101027
x y x y
y x x y
+=++
?
?
+=++
?
,得
1
4
x
y
=
?
?
=
?
,因此,所求的两位数是14.
点评:由于受一元一次方程先入为主的影响,不少同学习惯于只设一元,然后列一元一次方程求解,虽然这种方法十有八九可以奏效,但对有些问题是无能为力的,象本题,如果直接设这个两位数为x,或只设十位上的数为x,那将很难或根本就想象不出关于x的方程.一般地,与数位上的数字有关的求数问题,一般应设各个数位上的数为“元”,然后列多元方程组解之.
二、利润问题
例2一件商品如果按定价打九折出售可以盈利20%;如果打八折出售可以盈利10元,问此商品的定价是多少?
分析:商品的利润涉及到进价、定价和卖出价,因此,设此商品的定价为x元,进价为y元,则打九折时的卖出价为0.9x元,获利(0.9x-y)元,因此得方程0.9x-y=20%y;打八
折时的卖出价为0.8x 元,获利(0.8x-y)元,可得方程0.8x-y=10.
解方程组0.920%0.810x y y x y -=??-=?,解得200
150x y =??=?
,
因此,此商品定价为200元.
点评:商品销售盈利百分数是相对于进价而言的,不要误为是相对于定价或卖出价.利润的计算一般有两种方法,一是:利润=卖出价-进价;二是:利润=进价×利润率(盈利百分数).特别注意“利润”和“利润率”是不同的两个概念.
三、配套问题
例3 某厂共有120名生产工人,每个工人每天可生产螺栓25个或螺母20个,如果一个螺栓与两个螺母配成一套,那么每天安排多名工人生产螺栓,多少名工人生产螺母,才能使每天生产出来的产品配成最多套?
分析:要使生产出来的产品配成最多套,只须生产出来的螺栓和螺母全部配上套,根据题意,每天生产的螺栓与螺母应满足关系式:每天生产的螺栓数×2=每天生产的螺母数×1.因此,设安排x人生产螺栓,y人生产螺母,则每天可生产螺栓25x个,螺母20y个,依题意,得
120502201x y x y +=???=??,解之,得20
100
x y =??
=?. 故应安排20人生产螺栓,100人生产螺母.
点评:产品配套是工厂生产中基本原则之一,如何分配生产力,使生产出来的产品恰好配套成为主管生产人员常见的问题,解决配套问题的关键是利用配套本身所存在的相等关系,其中两种最常见的配套问题的等量关系是:
(1)“二合一”问题:如果a件甲产品和b件乙产品配成一套,那么甲产品数的b倍等于乙产品数的a倍,即
a b
=甲产品数乙产品数
;
(2)“三合一”问题:如果甲产品a件,乙产品b件,丙产品c件配成一套,那么各种产品数应满足的相等关系式是:
a b c
==甲产品数乙产品数丙产品数
. 四、行程问题
例4 在某条高速公路上依次排列着A 、B 、C 三个加油站,A 到B 的距离为120千米,B 到C 的距离也是120千米.分别在A 、C 两个加油站实施抢劫的两个犯罪团伙作案后同时以相同的速度驾车沿高速公路逃离现场,正在B 站待命的两辆巡逻车接到指挥中心的命令后立即以相同的速度分别往A 、C 两个加油站驶去,结果往B 站驶来的团伙在1小时后就被其中一辆迎面而上的巡逻车堵截住,而另一团伙经过3小时后才被另一辆巡逻车追赶上.问巡逻车和犯罪团伙的车的速度各是多少?
【研析】设巡逻车、犯罪团伙的车的速度分别为x 、y 千米/时,则
()3120
120x y x y -=???
+=??
,整理,得40120x y x y -=??+=?,解得8040x y =??=?, 因此,巡逻车的速度是80千米/时,犯罪团伙的车的速度是40千米/时.
点评:“相向而遇”和“同向追及”是行程问题中最常见的两种题型,在这两种题型中都存在着一个相等关系,这个关系涉及到两者的速度、原来的距离以及行走的时间,具体表现在:
“相向而遇”时,两者所走的路程之和等于它们原来的距离;
“同向追及”时,快者所走的路程减去慢者所走的路程等于它们原来的距离. 五、货运问题
典例5 某船的载重量为300吨,容积为1200立方米,现有甲、乙两种货物要运,其中甲种货物每吨体积为6立方米,乙种货物每吨的体积为2立方米,要充分利用这艘船的载重和容积,甲、乙两重货物应各装多少吨?
分析:“充分利用这艘船的载重和容积”的意思是“货物的总重量等于船的载重量”且“货物的体积等于船的容积”.设甲种货物装x 吨,乙种货物装y 吨,则
300621200x y x y +=??+=?,整理,得3003600x y x y +=??+=?,解得150
150x y =??
=?
, 因此,甲、乙两重货物应各装150吨.
点评:由实际问题列出的方程组一般都可以再化简,因此,解实际问题的方程组时要注意先化简,再考虑消元和解法,这样可以减少计算量,增加准确度.化简时一般是去分母或两边同时除以各项系数的最大公约数或移项、合并同类项等.
六、工程问题
例6 某服装厂接到生产一种工作服的订货任务,要求在规定期限内完成,按照这个服装厂原来的生产能力,每天可生产这种服装150套,按这样的生产进度在客户要求的期限内只能完成订货的
4
5
;现在工厂改进了人员组织结构和生产流程,每天可生产这种工作服200套,这样不仅比规定时间少用1天,而且比订货量多生产25套,求订做的工作服是几套?要求的期限是几天?
分析:设订做的工作服是x 套,要求的期限是y 天,依题意,得
()41505200125
y x
y x ?
=???-=+?
,解得337518x y =??
=?. 点评:工程问题与行程问题相类似,关键要抓好三个基本量的关系,即“工作量=工作时间×工作效率”以及它们的变式“工作时间=工作量÷工作效率,工作效率=工作量÷工作时间”.其次注意当题目与工作量大小、多少无关时,通常用“1”表示总工作量.
【例7】某种商品价格为每件33元,某人身边只带有2元和5元两种面值的人民币各若干张,买了一件这种商品. 若无需找零钱,则付款方式有哪几种(指付出2元和5元钱的张数)?哪种付款方式付出的张数最少?
【思考与分析】本题我们可以运用方程思想将此问题转化为方程来求解. 我们先找出问题中的数量关系,再找出最主要的数量关系,构建等式. 然后找出已知量和未知量设元,列方程组求解.
最后,比较各个解对应的x+y的值,即可知道哪种付款方式付出的张数最少.
解:设付出2元钱的张数为x,付出5元钱的张数为y,则x,y的取值均为自然数. 依题意可得方程:2x+5y=33.
因为5y个位上的数只可能是0或5,
所以2x个位上数应为3或8.
又因为2x是偶数,所以2x个位上的数是8,从而此方程的解为:
由得x+y=12;由得x+y=15. 所以第一种付款方式付出的张数最少.
答:付款方式有3种,分别是:付出4张2元钱和5张5元钱;付出9张2元钱和3张5元钱;付出14张2元钱和1张5元钱. 其中第一种付款方式付出的张数最少.
【例8】某中学新建了一栋4层的教学大楼,每层楼有8间教室,这栋大楼共有4道门,其中两道正门大小相同,两道侧门大小也相同.安全检查中,对4道门进行了训练:当同时开启一道正门和两道侧门时,2分钟内可以通过560名学生;当同时开启一道正门和一道侧门时,4分钟可以通过800名学生.
(1)求平均每分钟一道正门和一道侧门各可以通过多少名学生?
(2)检查中发现,紧急情况时因学生拥挤,出门的效率将降低20%.安全检查规定,在紧急情况下全大楼的学生应在5分钟内通过这4道门安全撤离.假设这栋教学大楼每间教室最多有45名学生,问:建造的这4道门是否符合安全规定?请说明理由.
【思考与解】(1)设平均每分钟一道正门可通过x名学生,一道侧门可以通过y名学生.
根据题意,得
所以平均每分钟一道正门可以通过学生120人,一道侧门可以通过学生80人.
(2)这栋楼最多有学生4×8×45=1440(人).拥挤时5分钟4道门能通过
5×2×(120+80)×(1-20%)=1600(人).
因为1600>1440,所以建造的4道门符合安全规定.
答:平均每分钟一道正门和一道侧门各可以通过120名学生、80名学生;建造的这4道门符合安全规定.
【例9】某水果批发市场香蕉的价格如下表:
张强两次共购买香蕉50千克(第二次多于第一次),共付款264元,请问张强第一次、第二次分别购买香蕉多少千克?
【思考与分析】要想知道张强第一次、第二次分别购买香蕉多少千克,我们可以从香蕉的价格和张强买的香蕉的千克数以及付的钱数来入手.通过观察图表我们可知香蕉的价格分三段,分别是6元、5元、4元.相对应的香蕉的千克数也分为三段,我们可以假设张强两次买的香蕉的千克数分别在某段范围内,利用分类讨论的方法求得张强第一次、第二次分别购买香蕉的千克数.
解:设张强第一次购买香蕉x千克,第二次购买香蕉y千克.由题意,得0 ①当0 ②当0 ③当20 综合①②③可知,张强第一次购买香蕉14千克,第二次购买香蕉36千克. 答:张强第一次、第二次分别购买香蕉14千克、36千克. 【反思】我们在做这道题的时候,一定要考虑周全,不能说想出了一种情况就认为万事大吉了,要进行分类讨论,考虑所有的可能性,看有几种情况符合题意. 【例10】用如图1中的长方形和正方形纸板做侧面和底面,做成如图2的竖式和横式两种无盖纸盒. 现在仓库里有1000张正方形纸板和2000张长方形纸板,问两种纸盒各做多少个,恰好将库存的纸板用完? 【思考与分析】我们已经知道已知量有正方形纸板的总数1000,长方形纸板的总数2000,未知量是竖式纸盒的个数和横式纸盒的个数. 而且每个竖式纸盒和横式纸盒都要用一定数量的正方形纸板和长方形纸板做成,如果我们知道这两种纸盒分别要用多少张正方形纸板和长方形纸板,就能建立起如下的等量关系: 每个竖式纸盒要用的正方形纸板数×竖式纸盒个数+ 每个横式纸盒要用的正方形纸板数×横式纸盒个数= 正方形纸板的总数 每个竖式纸盒要用的长方形纸板数×竖式纸盒个数+ 每个横式纸盒要用的长方形纸板数×横式纸盒个数= 长方形纸板的总数 通过观察图形,可知每个竖式纸盒分别要用1张正方形纸板和4张长方形纸板,每个横式纸盒分别要用2张正方形纸板和3张长方形纸板. 解:由题中的等量关系我们可以得到下面图表所示的关系. 设竖式纸盒做x个,横式纸盒做y个. 根据题意,得 ①×4-②,得5y=2000,解得y=400. 把y=400代入①,得x+800=1000,解得x=200. 所以方程组的解为 因为200和400均为自然数,所以这个解符合题意. 答:竖式纸盒做200个,横式纸盒做400个,恰好将库存的纸板用完. 实际问题与二元一次方程组题型归纳(练习题答案) 类型一:列二元一次方程组解决——行程问题 【变式1】甲、乙两人相距36千米,相向而行,如果甲比乙先走2小时,那么他们在乙出发2.5小时后相遇;如果乙比甲先走2小时,那么他们在甲出发3小时后相遇,甲、乙两人每小时各走多少千米? 解:设甲,乙速度分别为x,y千米/时,依题意得: (2.5+2)x+2.5y=36 3x+(3+2)y=36 解得:x=6,y=3.6 答:甲的速度是6千米/每小时,乙的速度是3.6千米/每小时。 【变式2】两地相距280千米,一艘船在其间航行,顺流用14小时,逆流用20小时,求船在静水中的速度和水流速度。 解:设这艘轮船在静水中的速度x千米/小时,则水流速度y千米/小时,有: 20(x-y)=280 14(x+y)=280 解得:x=17,y=3 答:这艘轮船在静水中的速度17千米/小时、水流速度3千米/小时, 类型二:列二元一次方程组解决——工程问题 【变式】小明家准备装修一套新住房,若甲、乙两个装饰公司合作6周完成需工钱5.2万元;若甲公司单独做4周后,剩下的由乙公司来做,还需9周完成,需工钱4.8万元.若只选一个公司单独完成,从节约开支的角度考虑,小明家应选甲公司还是乙公司?请你说明理由. 解: 类型三:列二元一次方程组解决——商品销售利润问题 【变式1】(2011湖南衡阳)李大叔去年承包了10亩地种植甲、乙两种蔬菜,共获利18000元,其中甲种蔬菜每亩获利2000元,乙种蔬菜每亩获利1500元,李大叔去年甲、乙两种蔬菜各种植了多少亩? 解:设甲、乙两种蔬菜各种植了x、y亩,依题意得: ①x+y=10 ②2000x+1500y=18000 解得:x=6,y=4 答:李大叔去年甲、乙两种蔬菜各种植了6亩、4亩 类型四:列二元一次方程组解决——银行储蓄问题 【变式1】李明以两种形式分别储蓄了2000元和1000元,一年后全部取出,扣除利息所得税可得利息43.92元.已知两种储蓄年利率的和为3.24%,问这两种储蓄的年利率各是百分之几?(注:公民应缴利息所得税=利息金额×20%) 解:设2000的存款利率是X,则1000的存款利率是3.24%-X,则有: 2000*X*(1-20%)+1000*(3.24%-X)*(1-20%)=43.92 即:1600X+25.92-800X=43.92 800X=18 X=2.25% 3.24%-2.25%=0.99% 所以,2000的存款利率是2.25%,1000的存款的利息率是0.99%. 法二:也可用二元一次方程组解。 【变式2】小敏的爸爸为了给她筹备上高中的费用,在银行同时用两种方式共存了4000元钱.第一种,一年期整存整取,共反复存了3次,每次存款数都相同,这种存款银行利率为年息2.25%;第二种,三年期整存整取,这种存款银行年利率为2.70%.三年后同时取出共得利息303.75元(不计利息税),问小敏的爸爸两种存款各存入了多少元? 二元一次方程组竞赛题集 【点拨】 含字母系数的一次方程组的解法和数字系数的方程组的解法相同,但注意求解时需要讨论字母系数的取值情况. 对于x 、y 的方程组中,a 1、b 1、c 1、a 2、b 2、c 2均为已知数,且a 1与b 1、a 2与b 2都至少有一个不等于零,则 ①时,原方程组有惟一解; ②时,原方程组有无穷多组解; ③时,原方程组无解. 【例1】 k 、b 为何值时,方程组?? ?+-=+=2)13(x k y b kx y (1)有惟一一组解;(2)无解;(3)有无穷多组解? 2、已知关于x ,y 的方程组?? ?=+=+-b y x y x a 5)1(当a ,b 满足什么条件时,方程组有唯一解,无解,有无数解? 3、已知方程组? ??=+=-b ay x y x 91243有无穷多个解,试求a 、b 的值。 4、已知关于x、y的二元一次方程(a -1)x +(a +2)y -2a +5=0,当a 每取一个值时,都可得到一个方程,而这些方程有一个公共解,求这个公共解;并证明对于任何a 值,它都能使方程成立。 5、若方程组?? ?=+=+222111c y b x a c y b x a 的解是???=-=1514y x ,求方程组???=+=+222111957957c y b x a c y b x a 的解。 6、 已知m 是整数,方程组?? ?=+=-26 6634my x y x 有整数解,求m 的值 7、已知xyz ≠0,且? ??=-+=--0720634z y x z y x ,求2222 2275632z y x z y x ++-+的值 8、若a 、c 、d 是整数,b 是正整数,且满足a+b=c ,b+c=d ,c+d=a ,那么a+b+c+d 的最大值是( ) A .-1 B .-5 C .0 D . 1 精品文档 ax?3y?9?a yx,的值为(、若关于的方程组无解,则)5?2x1?y??二元一次方程组测试题?66930. D C.. B A. x?2y?3z?0?: : 得分姓名x:yy,z:zx,是(都不为0,由方程组可得6、若)?0z?2x?3y?4? 1:2:11:(?2):1(?1):2:11:2:(?1) C .DA..B.分)30一.选择题(每小题3分,共2016 ?x?y?12,()ab+1|=0+|2a1、若﹣,则(b﹣)= ?的解的个数为(7 .方程组).?6?x?y20152015?﹣5 5 D..1 .1 A.﹣B C?(A)1 (B)2(C) 3 (D)4 ,下列做法正确的是(2、利用加减消元法解方程组) 8、某商店出售某种商品每件可获利m元,利润为20%,若这种商品的进价提高25%,而商店将这种商品的售价提高到每件仍可获利B ,可以将要消去.A y①×5+②×2 .要消去m元,则提价后的利润率为(5①×3+②×,可以将(﹣))x A. 25% B. 20% C. 16% D. 12.5% ,可以将要消去.C y①×5+②×3 )+②×25①×,可以将xD.要消去(﹣53+cx-5当x= --2时的值是7,那么当x= 2时该式的值是(ax9、如果代数式6540、为推进课改,王老师把班级里3名学生分成若干小组,每小组只能是人或人,则有几种+bx) A. 7 B. -12 C. --17 D. 8 )分组方案(10.3 .B4 .A C 、一对夫妇现在年龄的和是其子女年龄和的61 .D2 倍,他们两年前年龄和是其子女两年前年龄和的10倍,他们、如图为甲、乙、丙三根笔直的木棍平行摆放在地面上的情形.已知乙有一部分只与甲重迭,46年后的年龄和是其子其女6年后年龄和的3倍。问这对夫妇共多少个子女? ( ) 其余部分只与丙重迭,甲没有与乙重迭的部分的长度为1公尺,丙没有与乙重迭的部分的长度A. 2 B. 3 C.4 D.5 公尺,则乙的长公尺.若乙的长度最长且甲、乙的长度相差2为y公尺,乙、丙的长度相差x 度为多少公尺?() 请将选择题答案填入下表(完整版)二元一次方程组应用题经典题及答案
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