第五讲 三阶幻方

三阶幻方中的规律及证明三阶幻方是一个3×3的正方形网格，其中填入了1到9的数字，使得每行、每列和每条对角线上的数字之和都相等。

下面我们将探讨三阶幻方的规律及证明。

首先，我们可以观察到三阶幻方的特点是，中心数字始终为5，而其他数字则根据位置的不同而有所变化。

因此，我们可以将幻方表示为：```abcd5efgh```其中a、b、c、d、e、f、g、h分别代表1到9之间的数字，不重不漏。

根据幻方的定义，我们可以列出一系列等式：1.a+b+c=15(第一行之和)2.d+5+e=15(第二行之和)3.f+g+h=15(第三行之和)4.a+d+f=15(第一列之和)5.b+5+g=15(第二列之和)6.c+e+h=15(第三列之和)7.a+5+h=15(正对角线之和)8.c+5+f=15(反对角线之和)现在我们来推导幻方的规律。

首先，我们可以将式(2)、(4)、(7)和(8)分别改写为：2.d+e=104.a+f=107.a+h=108.c+f=10由于a、d、f、h是1到9之间的数字，且不重不漏，我们可以得出以下结论：1.a+d+f+h的值必须为固定的常数，即15-10=52.c+e的值也必须为固定的常数，即10。

因此，我们可以得出以下结论：1.第一行、第一列、两条对角线的和都必须为15、即a+b+c=d+5+e=f+g+h=a+d+f=b+5+h=c+e+g=a+5+h=c+5+f=152.第二行、第二列的和都必须为10。

即d+5+e=b+5+g=10。

基于以上推论，我们可以根据“顺序原则”来构建三阶幻方。

顺序原则即我们将数字按照顺序依次填入幻方中，从1开始到9结束。

根据顺序原则，我们可以完成以下构造过程：```276951438```其中，每行、每列和每条对角线的和都为15，满足幻方的定义。

接下来，我们来证明三阶幻方的唯一性。

假设存在两个不同的三阶幻方，我们将它们表示为：```abcxyzd5e和m5nfghopq```根据幻方的定义，我们可以列出以下等式：1.a+b+c=x+y+z2.d+5+e=m+5+n3.f+g+h=o+p+q4.a+d+f=x+m+o5.b+5+g=y+5+p6.c+e+h=z+n+q7.a+5+h=x+5+q8.c+5+f=z+5+o将等式1~6代入等式7和等式8中，我们可以得到以下等式：9.x+m+o=x+5+q10.z+n+q=z+5+o由于等式9和等式10的左侧相等，右侧也必须相等。

三阶幻方原理及填法嗨，朋友们！今天咱们来聊聊一个超级有趣的数学小玩意儿——三阶幻方。

这三阶幻方啊，就像是数学世界里的一个神秘小魔法阵，可有意思啦。

我先给你们说说啥是三阶幻方。

简单来讲，就是用1到9这九个数字，填在一个3×3的方格里面，使得每行、每列还有两条对角线上的数字之和都相等。

这个相等的和呢，就叫幻和。

你想啊，这九个数字就像九个调皮的小娃娃，要把它们安排在这九个格子里，还得让每行每列和对角线上的数字之和都一样，是不是感觉像在玩一个超级有挑战性的数字拼图游戏呢？那这个幻和是多少呢？这可不难算哦。

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45，因为三阶幻方有三行（或者三列），所以幻和就是45÷3 = 15。

这就像是我们找到了这个魔法阵的一个关键密码一样。

我有个朋友，之前第一次接触三阶幻方的时候，就皱着眉头跟我说：“这怎么填啊？感觉无从下手呢！”我就跟他说：“嘿，别急，这里面可有不少小窍门呢。

”有一种比较简单的填法。

咱们先把1放在这个3×3方格的最中间那一行最左边的那个格子里。

这就像是先在魔法阵里种下一颗数字的种子。

然后呢，按照斜着往上走的规则来填数字。

如果斜着往上走的时候，走出了这个方格，那就像这个数字小娃娃调皮地跑到方格外面去了，怎么办呢？这时候就把它拉回来，拉到这个方格相对应的另一边的位置上。

比如说，如果斜着往上走，数字跑到方格的左上角外面去了，那就把它放到右下角的格子里。

当我们按照这个方法填到数字3的时候，就会发现如果再斜着往上走，那个格子已经有数字1了。

这就像两个小娃娃抢一个小格子，那可不行。

这时候呢，我们就把数字3填在数字2的下面。

就像数字3说：“既然上面的地方被占了，那我就乖乖在2下面呆着吧。

”按照这个规则一直填下去，就能把这个三阶幻方填出来啦。

哇，当你把最后一个数字填好的时候，那种成就感就像是你自己创造了一个小奇迹一样。

不过呢，还有其他的填法哦。

1、三阶幻方是最简单的幻方，又叫九宫格，是由1,2,3,4,5,6,7,8,9九个数字组成的一个三行三列的矩阵（如右图示），其对角线、横行、纵向的和都为15，称这个最简单的幻方的幻和为15。

中心数为5。

2、一居上行正中央，依次斜填切莫忘，上出框界往下写，右出框时左边放，重复便在下格填，出角重复一个样。

3、居上行正中央——数字1 放在首行最中间的格子中，依次向右上方填入2、3、4…；4、依次斜填切莫忘——向右上角斜行，依次填入数字；5、上出框界往下写——如果右上方向出了上边界，就以出框后的虚拟方格位置为基准，将数字竖直降落至底行对应的格子中；6、右出框时左边放——同上，向右出了边界，就以出框后的虚拟方格位置为基准，将数字平移至最左列对应的格子中；7、重复便在下格填——如果数字｛N｝右上的格子已被其它数字占领，就将｛N ＋1｝填写在｛N｝下面的格子中；8、出角重复一个样——如果朝右上角出界，和“重复”的情况做同样处理，、也可将所填数在幻方中所对应的数填在幻方中对应的位置。

扩展资料：1、相传，大禹治水时，洛水中出现了一个“神龟”背上有美妙的图案，史称“洛书”，用现在的数字翻译出来，就是三阶幻方。

2、3阶幻方不止一种填法，只要间1放于四个变格的正中，向幻方外侧依次斜填其余数字；若出边，将数字另一侧；若目标格已有数字或出角，回一步填写数字，再继续按一开始的相同方向依次斜填其余数字。

3、将组成幻方的三组数（如：1-9组成的幻方为【1、2、3】【4、5、6】【7、8、9】这三组）乘以A（A≠0），再分别加X、Y、Z（X、Y、Z为等差的数），幻方亦成立。

也就是3个一组的数，组与组等差，每组数与数等差，这样的数能构成3阶幻方。

4、幻方的每个数乘以A（A≠0），再加X，幻方亦成立。

例如把1-9构成的3阶幻方的每个数乘以3，再加3：27 6 2112 18 2415 30 9幻和值=54。

三阶幻方阵原理三阶幻方阵是一种基于数学原理的特殊矩阵，其每行、每列和对角线上的元素之和都相等。

在这篇文章中，我们将探讨三阶幻方阵的原理及其特点。

让我们来了解一下三阶幻方阵的基本概念。

三阶幻方阵是一个3×3的矩阵，其中包含从1到9的不重复数字。

这些数字被排列在矩阵的九个位置上，使得每行、每列和对角线上的数字之和都相等。

这个相等的和被称为幻方阵的常数。

三阶幻方阵的原理可以用数学方法来解释。

首先，我们可以确定幻方阵的中心位置必然是5，因为它是1到9之间唯一的奇数。

接下来，我们可以根据对角线的对称性，将幻方阵分为四个小的2×2的子矩阵。

通过观察我们可以发现，每个子矩阵中的对角线上的两个数字之和必然等于10。

这是因为每个子矩阵中的两个数字都是对称的，它们的和必然等于10。

因此，我们可以根据这个特点来构建三阶幻方阵。

我们将5放置在幻方阵的中心位置。

然后，我们根据对角线的对称性，将1放置在右上角的位置，将9放置在左下角的位置。

接下来，我们将3放置在左上角的位置，将7放置在右下角的位置。

现在，我们可以根据对角线的对称性，将2放置在左上角的位置，将8放置在右下角的位置。

然后，我们将4放置在右上角的位置，将6放置在左下角的位置。

我们得到了一个符合三阶幻方阵原理的矩阵：2 9 47 5 36 1 8我们可以验证一下这个矩阵是否满足幻方阵的条件。

首先，我们可以计算每行、每列和对角线上的数字之和：第一行：2 + 9 + 4 = 15第二行：7 + 5 + 3 = 15第三行：6 + 1 + 8 = 15第一列：2 + 7 + 6 = 15第二列：9 + 5 + 1 = 15第三列：4 + 3 + 8 = 15主对角线：2 + 5 + 8 = 15副对角线：4 + 5 + 6 = 15我们可以看到，每行、每列和每个对角线上的数字之和都等于15，这证明了这个矩阵是一个三阶幻方阵。

三阶幻方阵具有一些特点。

首先，它的中心位置必然是5，这是因为它是1到9之间唯一的奇数。

趣谈三阶幻方王凯成(陕西省小学教师培训中心 710600)一、什么是三阶幻方把9个自然数填在3行3列的方阵中，使每行每列及两条对角线上3个数的和都相等,这样的方阵就叫做三阶幻方。

相等的和叫做幻和。

传说古代夏禹治水时，洛水出了个神龟，背上刻有文字，大禹就照此写出了《洪范. 九筹》(治国的九种大法)。

实际上，神龟背上刻的文字，就是三阶幻方，也叫九宫图。

我国的少数民族如藏族和纳西族都曾有“九宫图”,有诗赞美九宫: 四海三山八洞仙， 九龙五子一枝莲。

二七六郎赏月半， 周围十五月团圆。

根据数学史家考证，这个三阶幻方最早见于公元前500年左右春秋时期的《大戴礼记》中。

汉朝徐岳把它叫做“九宫算”，后人的注解是：“九宫者，二四为肩，六八为足，左三右七，戴九履一，五居其中。

”宋代数学家杨辉把九宫算叫做“纵横图”。

公元15世纪，住在拜占庭君士坦丁堡的摩索普拉斯把我国的“纵横图”介绍到欧洲，并取名为“幻方”。

古印度有许多少女在胸前佩戴一个三阶幻方，当做“护身符”，认为这样可以“避邪”。

也有人把它贴在门板上，“驱邪避灾”(中世纪的欧洲也有这种习惯)。

金庸大侠还把三阶幻方写进他的的小说《射雕英雄传》中：一天, 黄蓉被裘千仞的铁掌所伤，几乎致命。

郭靖带着她去找“神算子”瑛姑求医。

两人在一片泥沼中七弯八拐，闯过重重机关终于来到了神算子的门前。

只见屋里一白发女子正凝神细算一道题，黄蓉暗点算 子数目，报出了得数。

那女子惊诧之余，拿出自己深思多日的一些题目，黄蓉均一一破解。

那女子呆了半晌问道：“你是人吗？”接着白发女子又甩出一招：“将一至九这九个数字排成三行三列，不论纵横斜角，每三数相加都是十五，如何排法？”病黄蓉低声诵道：“九宫之义，法以灵龟，二四为肩，六八为足，左三右七，戴九履一，五居中央。

”边说边画，在沙上画了一个九宫之图。

闻听此言，那女子面如死灰。

正是在这段有名的“九宫阵”里，金庸先生将黄蓉的聪敏机智刻画得淋漓尽致。

二、数学教材中的三阶幻方人教版和北师大版小学数学教材及人教版初中数学教材有三阶幻方的内容，这是对数学文化的传承与发扬。

简单的三阶幻方1、什么是幻方？幻方起源于中国. 传说在大禹治水时，有只神龟在洛水中浮起，龟背上有奇特的图案，如右图. 人们称之为洛书.如果将龟背上的数字翻译出来，如下图.观察，你发现了什么？观察发现，上图的每行每列，斜着的三个数之和都是15. 像这样，将九个不同的自然数填在3×3（三行三列）的正方形内，使每行、每列以及每条对角线上的三个数和都相等，这样的图形就叫三阶幻方. 三阶幻方是一种特殊的数阵图.上面的三阶幻方中，15是这个幻方的和，简称幻和. 5是幻方最中心的数字，简称中心数. 罗伯法构造三阶幻方游戏：把1~9这9个数字按照要求填入下面的九宫格中？（1）把1~9依次按照从右上到左下的斜行顺序填入9个空白格中；（2）把最上面的“1”调到粗线框中第三行中间，最小面的“9”调到粗线框中第一行的中间。

最左边的“3”调到粗线框中第列的中间，最右边的“7”调到粗线框中第一列的中间。

（3）把粗线框中最后的结果填入右边的九宫格中算一算，九宫格中各行、各列及斜行的数字和，你有什么发现？三阶幻方的规律：1、幻和：各行、各列及斜行的和都是15，我们称它为幻和；幻和= 九个数之和 ÷3；2、中心数：幻和是中心数字的3倍；中间数=幻和÷3=(3+7)÷2=(1+9)÷2=(2+8)÷2=(6+4)÷23、左上角、右上角、左下角、右下角的四个数字依次是第2、第4、第6、第8个数字672159834四个角上的数字2=(3＋1)÷2，8=(9＋7)÷2；6=(3＋9)÷2；4=(1＋7)÷22、小试牛刀你能用上面的方法把2、4、6、8、10、12、、14、16、18这九个数字填入右面的九宫格中，使它构成三阶幻方吗？例1在图中填上合适的数，使每行、每列、每一条对角线的三个数的和都相等。

（1（2巩固练习：在下图的方格中填上适合的数，使每行、每列、每一条对角线的三个数的和都等于21。

第五讲三阶幻方一、知识要点三阶幻方是最简单的幻方，又叫九宫格，是由1,2,3,4,5,6,7,8,9九个数字组成的一个三行三列的矩阵（如右图示），其对角线、横行、纵向的的和都为15，称这个最简单的幻方的幻和为15。

中心数为5。

二、自我探究【例1】将1—9这九个数，填入下面的方格中，使每行、每列、两条对角线上三个数字的和都相等。

（想一想，除了上述填法，还有其它什么方法）【例2】在下图中的A、B、C、D处填上适当的数，使下图成为一个三阶幻方。

A 12 DB 15 2016 C 11【例3】图中的数重新排列，使得横行、竖行、对角线上的三个数的和都相等。

22 30 3822 30 3822 30 38【例4】在九宫图中，第一行第三列的位置上填5，第二行第一列位置上填6，如下左图.请你在其他方格中填上适当的数，使方阵横、纵、斜三个方向的三个数之和均为27.56三、自我挑战第一关：1.把7、10、13、16、19、22、25、28、31这九个数填入图中的空格，使每一行、每一列和每条对角线上的数的和都相等。

2.在下图中，A= ,B= ,C= ,D= ,E= 时，它才能都成一个三阶幻方。

19 A 1410 B CD 18 E3. 在下图的空格中任意填入不大于12且互不相同的九个自然数（已填一个），使每一横行、竖行及对角线上的三个数之和都等于21(1) (2)115第二关：1.在下图的每个方格中填入一个数字，使得每行、每列即每条对角线上的四个放个中的数字都是1、3、5、7，那么带★的两个方格中的数字之和等于多少？1 3 5 77★★2.下图为3×3的数阵，请选择9个不同的自然数填入下面的9个方格，使得其中最大的数为20，最小的数大于5，并且每行、每列以及两条对角线上三个数相加的和都相等。

3.请编出一个三阶幻方，使其幻和为24.第三关：1.在下图的空格中任意填入八个自然数（可以相同），使每边的数字之和为5，而八个数的总和为12，如果八个数的总和为13,14,又应怎样填呢？和12和15。

三阶幻方什么是幻方？幻方是一个由数字组成的方形矩阵，其中每行、每列以及对角线上的数字之和都相等。

这种特殊的矩阵在数学和游戏领域都有广泛的应用。

幻方可以划分为奇阶幻方和偶阶幻方两种类型，根据矩阵边长的奇偶性质进行分类。

三阶幻方三阶幻方是指边长为3的幻方。

三阶幻方是最简单的幻方之一，它是一种非常有趣且充满挑战性的问题，吸引了许多数学家和爱好者的研究。

在三阶幻方中，矩阵由3行3列的方格组成，每个方格填入1到9之间的不重复数字。

对于一个三阶幻方，要求每行、每列以及对角线上的数字之和都相等。

下面是一个例子，展示了一个三阶幻方的布局：2 9 47 5 36 1 8该幻方的每行、每列以及对角线上的数字之和都是15。

如何构造三阶幻方？构造一个符合条件的三阶幻方是一个具有一定难度的问题。

目前，已经有多种方法被开发出来用于构造三阶幻方。

阶梯法阶梯法是一种基于填充数字的规律来构造三阶幻方的方法。

这种方法是通过按照一定的规则，依次填充数字到矩阵的不同位置上来实现的。

具体步骤如下： 1. 矩阵的中间行第一列为1； 2. 从2开始依次填充数字，如果当前的位置已经被填充，则向下一行移动，并将数字填充到下一行的同一列。

如果下一行超出边界，则返回到当前行第一列的下一行； 3. 如果当前位置为空，则将数字填充到此位置。

以下是根据阶梯法构造的一个三阶幻方的示例：8 1 63 5 74 9 2奇偶交换法奇偶交换法是另一种常用的构造三阶幻方的方法。

这种方法是通过将两个已知的三阶幻方进行特定的交换来构造新的三阶幻方。

具体步骤如下： 1. 构造两个已知的三阶幻方，可以使用任何已知的三阶幻方；2. 将两个已知的幻方中的某些数字进行交换，并保持每行、每列以及对角线上的数字之和不变。

以下是一个使用奇偶交换法构造的三阶幻方的示例：已知幻方A：2 9 47 5 36 1 8已知幻方B：4 9 23 5 78 1 6通过交换A和B的2和4，以及6和8，得到以下新的三阶幻方：4 9 27 5 36 1 8总结三阶幻方是一种非常有趣且具有挑战性的问题。