人教版数学高一B版必修4课前导引 3.2.1倍角公式

12/9/2021
第二十三页，共三十八页。
(2)由(1)，得 f(x)＝12(sin 2x＋cos 2x)＋12 ＝ 22sin2x＋π4＋12. 由 x∈1π2，π2，得 2x＋π4∈51π2，54π， 所以 sin2x＋π4∈－ 22，1， 从而 f(x)＝ 22sin2x＋π4＋12∈0，1＋2 2. 即 f(x)的取值范围是0，1＋2 2.
12/9/2021
第四页，共三十八页。
2．已知 sin α＝35，cos α＝45，则 sin 2α 等于( )
A．75
B．152
C．1225
D．2245
答案：D
12/9/2021
第五页，共三十八页。
3．计算 sin2 π8－cos2 π8的值是(
)
A．12
B．－12
C．
2 2
D．－
2 2
答案：D
A．274 C．274
1.已知 x∈－π2，0，cos x＝45，则 tan 2x＝(
)
B．－274
D．－274
12/9/2021
第十八页，共三十八页。
解析：选 D.由 cos x＝45，x∈－π2，0， 得 sin x＝－35， 所以 tan x＝－34， 所以 tan 2x＝1－2tatannx2x＝12－×－－34342＝－274，故选 D.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
12/9/2021
第六页，共三十八页。
4．已知 tan α＝43，则 tan 2α＝________． 答案：－274
12/9/2021
第七页，共三十八页。
求下列各式的值； (1)sin 1π2cos 1π2； (2)1－2sin2750°；
2tan 150° (3)1－tan2150°.

§3.2.1《倍角公式》学案【学习目标】1. 学会利用两角和的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，知道各公式之间的内在联系，认识整个公式体系的生成过程 2. 能记住二倍角公式及相关变形 3. 能用二倍角公式进行化简，求值 【重难点】重点：二倍角公式的推导及应用 难点：二倍角公式的变形式的应用 【学法指导】自主探究公式的内在联系 【知识链接】两角和的正弦、余弦、正切公式cos(βα+)= sin(βα+)= tan(βα+)= 【学习过程】阅读课本第132页到133页的内容，尝试回答下面的问题 知识点1.二倍角公式的推导在上面和角公式中，若令αβ=，会得到怎样结果α2sin = α2cos = tan α2=（其中tan α有意义α≠ ，tan α2有意义α≠ ）知识点2.二倍角公式的变形 由sin2α+cos 2α=1，你能填写下面的结果吗cos2α=αα22sin cos -= =它们还可以写成α2c o s1+ = α2cos 1- = α2sin =α2cos =基础训练：你能根据上面的公式解答下列问题吗？ 化简求值：(1)2015cos 15sin (2)cos8sin 822ππ-(3)0205.22tan 15.22tan - (4)15.22cos 202-例题分析： 例题1.已知5sin ,132πααπ=<<,求sin 2α,cos 2α,tan 2α的值问题：若条件5sin 13α=改为sin α+cos α=713-，怎么做？变式练习：已知sin α+cos α=31,0<α<π,求sin2α,cos2α,tan2α. 分析导引：1.先根据条件可以求sin2α 2.求cos2α的两种思路 （1）sin α+cos α=)1,0()4sin(2∈+πα，故有)22,0()4sin(∈+πα， 所以4πα+的范围是 ，从而得到α2的范围故cos2α的符号为负，由平方关系即可求解（2）你能分析ααcos ,sin 的符号，结合条件计算sin α-cos α的值吗，从而联立方程算出ααcos ,sin ，再由倍角公式求α2cos小结：sin α+cos α，sin α-cos α,sin ααcos ,知一求二,但要注意符号的判断 例题2. 在△ABC 中，cosA=54,tanB=2,求tan(2A+2B)的值 思路1：先求tan2A,tan2B思路2：先求tan(A+B),2A+2B 是A+B 的倍角问题：若求tan(A+2B)的值呢？你能写出几种思路？【当堂检测】 化简(1)θθtan 11tan 11+-- (2)αααα4cos 4sin 14cos 4sin 1++-+【学习反思】本节课我最大的收获是什么？【课后练习】 一．选择题1.已知θπθ2sin -1),4,0(则∈为 （ ）A.θθsin cos -B.θθcos sin -C.θcos 2D.θcos 22.已知==-∈x x x 2tan ,54cos ),0,2(则π（ ）A.247B.245-C.724D.724-3.已知则),2,4(,412sin ππαα∈=ααsin cos -= ( )A.23-B.43C.23 D.43-二．填空题1. (1)sinxcosxcos2xcos4x= (2)sin100sin300sin500sin700=2. 若tan()4πα+=223+，则αα2sin 2cos 1- =3.已知=-=+)232cos(,31)6sin(απαπ则 4.已知=∈=αππαααtan ),,2(,2cos sin 则5.函数x x x f 2sin cos 2)(2+=的最小值是 三．解答题1.已知sin()4απ+sin()4απ-=61,且),2(ππα∈，求sin α42.已知)4sin(21sin 2cos 2),,2(2,222tan 2θθθππθθ+--∈-=求3.已知向量(sin ,cos 2sin ),(1,2).a b θθθ=-= （Ⅰ）若//a b ，求tan θ的值；（Ⅱ）若||||,0,a b θπ=<<求θ的值。

3、注意二倍角正弦、余弦、正切公式的正向和逆向运用及变形的运用。
教学方法与手段：
本节课采用观察、赋值、启发探究相结合的教学方法，运用现代化多媒体教学手段，进行教学活动。通过设置问题引导学生观察分析，使学生在独立思考的基础上进行合作交流，在思考、探索和交流的过程中获得倍角公式，对于倍角公式的应用采取讲、练结合的方式进行处理，使学生边学边练，及时巩固，同时设计问题，探究问题，深化对公式的记忆。
例题1学生对刚才学到的应用进行巩固再一次强化倍角的概念，倍角是相对的，只要有二倍的关系就可以用倍角公式。
例题2要求逆向使用公式,由于对思维的灵活性要求高,所以前3道小题仅是逆向套用公式；第4、5小题在式子结构上有变化,要进行凑配才具备使用倍角正切公式的条件；第6小题在式子结构上稍加变化,但经过分析结构,使用诱导公式变形后容易得到二倍角正弦公式,继而解决问题
情感与ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ度目标
通过学习,养成认真参与、积极交流的习惯；增强了善于发现问题的规律和及时解决问题的意识.
重点
（3）掌握二倍角公式的推导，能运用二倍角公式求值、化简、证明.
难点
通过倍角公式的推导，以及对公式的综合运用
关键
倍角公式
教学过程：
一、通过复习已学公式，学生容易发现“二倍角”与“两角和”的内在联系，创设问题情境，自然流畅地提出问题，揭示课题，引发学生思考。
例题3让学生体会化简题中的障碍，让其思考如何一步步破除，体会直接逆向应用。
例题4复习一般恒等式是由繁到简，“异”化为“同”证明过程，进一步体会公式的直接应用。
6.作业布置层级一、课本P144练习A：2、4，练习B：1、2、3、4.
层级二、
板书设计：
一.倍角公式
1、复习和角公式例题

求解．
[解析]
sin2θ＋1－cos2θ 解法一：左边＝ sin2θ＋1＋cos2θ
2sinθcosθ＋2sin2θ sinθcosθ＋sinθ ＝ 2 ＝ 2sinθcosθ＋2cos θ cosθcosθ＋sinθ ＝tanθ＝右边． sin2θ＋cos2θ＋sin2θ＋sin2θ－cos2θ 解法二：左边＝ 2 sin θ＋cos2θ＋sin2θ＋cos2θ－sin2θ sin2θ＋2sin2θ ＝ sin2θ＋2cos2θ 2sinθsinθ＋cosθ ＝ ＝tanθ＝右边． 2cosθsinθ＋cosθ
3．2 倍角公式和半角公式
3.2.1
倍角公式
二倍角的正弦、余弦、正切公式：
S2α：sin2α＝ C2α：cos2α＝ . 2α 1－2sin 2sinαcosα . 2cos2 α－1 ＝ cos2α－sin2α ＝
T2α：tan2α＝
.
重点：倍角公式的推导及应用． 难点：倍角公式及其等价变式的灵活应用． 1．在公式 S2α，C2α 中，α 是任意角，但公式 T2α 中，只 π π kπ 有当 α≠kπ＋2及 α≠4＋ 2 (k∈Z)时才成立． 2．要理解倍角公式与两角和 (差)公式的内在关系，他 们的内在联系如下：
2
2α
2α
③1＋cos2α＝2cos2α，1－cos2α＝2sin2α 经常用于消除 式子中的“1”． C2α 公式的不同形式的逆用， 在三角函数的化简、 求值、 证明中应用广泛．
[解析]
解法一：因为
π π sin4＋α· sin4－α
π π 1 ＝sin4＋αcos4＋α＝6，
1＋sin2θ－cos2θ 解法三：左边＝ 1＋sin2θ＋cos2θ sin2θ＋cos2θ＋2sinθ· cosθ－cos2θ－sin2θ ＝ 2 sin θ＋cos2θ＋2sinθ· cosθ＋cos2θ－sin2θ sinθ＋cosθ2－cosθ＋sinθcosθ－sinθ ＝ sinθ＋cosθ2＋cosθ＋sinθcosθ－sinθ sinθ＋cosθsinθ＋cosθ＋sinθ－cosθ ＝ sinθ＋cosθsinv＋cosθ＋cosθ－sinθ sinθ＋cosθ· 2sinθ ＝ ＝tanθ＝右边． sinθ＋cosθ· 2cosθ