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小学奥数数论讲义 5-数的整除之性质与求法强化篇

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1．整除的定义
所谓“一个自然数a能被另一个自然数b整除”就是说“商ab是一个整数”；或者换句话说：存
在着第三个自然数c，使得abc。这时我们就说“b整除a”或者“a被b整除”，其中b叫a的约
数，a是b的倍数，记作：“b|a”。
2．常用的数的整除特征
常用的特殊自然数的整除特征
⑴2系列：被2整除只需看末位能否被2整除
被4整除只需看末两位能否被4整除
被8整除只需看末三位能否被8整除，依此类推
⑵5系列：被5整除只需看末位是否为0或5
被25整除只需看末两位能否被25整除，即只可能是00，25，50，75
我们以被8整除看末三位为例证明以上两个系列的性质。假设一个多位数末三位是abc，末三位
之前的部分为x，那么该数1000xabc，由于8|1000，所以8|1000x，因此该数能否被8整除就决
定于末三位abc能否被8整除，证毕。
⑶3系列：被3整除只需看各位数字之和能否被3整除
被9整除只需看各位数字之和能否被9整除
我们以三位数为例来证明被9整除只需看各位数字之和这一性质。假设该三位数为abc100
a

10bc(99a9b)(abc)，很明显第一个括号里的数是9的倍数，因此只要abc，即各位
数字之和能被9整除，那么这个三位数abc就能被9整除，反之亦然。推广到任意位数的自然数，该
证明方法仍然成立，请大家自己尝试一下。
⑷7，11，13系列：看多位数的末三位和前面部分之差能否被7，11，13整除
为什么要从末三位把这个数一分为二呢？仔细想一想我们会发现711131001，正好比1000
大1，由此我们可以得到如下证明：
和2系列的证明类似，我们仍然设一个多位数的末三位是abc，前面部分是x，那么我们要证明
的就是这个多位数能否被7，11，13整除决定于abcx能否被7，11，13整除。
由于该数1000 xabc1001 x(abcx)，又1001同时是7，11，13的倍数，所以这个多位
数能否被7，11，13整除决定于abcx能否被7，11，13整除，证毕。
特别的，我们还有另外一种判别能否被11整除的性质，就是看奇数位数字之和与偶数位数字之
和的差能否被11整除，若能整除则原数可被11整除，反之亦然。
3．整除的性质
⑴传递性 若c|b，b|a，则c|a
⑵可加性 若c|a，c|b，则c|( a±b)

【例1】173□是一个四位数。数学老师说：“我在其中的方框内先后填入3个数字，所得到的3个四
位数依次可被9，11，6整除。”问：数学老师先后填入的3个数字的和是多少？

数的整除之性质与求法
【拓展】在方框中填上两个数字，可以相同也可以不同，使4□32□是9的倍数。
⑴请随便填出一种，并检查自己填的是否正确；
⑵一共有多少种满足条件的填法？

【例2】(2008年全国小学数学资优生水平测试试题)资优测试测优资是一个七位回文数，其中相同的
汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字。已知这个七位数第1位能被2整除，前
2位组成的2位数能被3整除，前3位组成的3位数能被4整除，…，前7位数组成的七位
数能被8整除。那么资优测试测优资 。

【巩固】用1，2，3，4，5，6组成一个六位数ABCDEF，要求AB是2的倍数，ABC是3的倍数，
ABCD
是4的倍数，ABCDE是5的倍数，ABCDEF是6的倍数，那么这样的六位数有多少个？

【例3】从5、6、7、8、9五个数中取出三个数字组成被18整除的三位数，这样的三位数有几个？
分别是？

【巩固】已知九位数2007□12□2既是9的倍数，又是11的倍数；那么，这个九位数是多少？
【例4】已知两个三位数abc与def的和abcdef能被37整除，试说明：六位数abcdef也能被37
整除。
【巩固】如果abcde能被6整除，那么2(abcd)e也能被6整除。
【例5】三位数的百位、十位和个位的数字分别是5，a和b，将它连续再重复写2008次成为：
5ab5ab…5ab。如果此数能被91整除，那么这个三位数5ab是多少？
2009个5ab

【巩固】一个19位数77…77○444…44能被13整除，求○内的数字。
9个 9个

〖答案〗
【例1】 19
【拓展】 ⑴43326，⑵12
【例2】 4285824
【巩固】 2
【例3】 两个 576，756
【巩固】 200731212
【例4】 abcdef abc1000def abc999(abcdef )
因为999能被37整除，所以abc999能被37整除
而(abcdef )也能被37整除，所以其和也能被37整除，即abcdef能被37整除

【巩固】 ∵623
∴2|abcde
∴2|e
∴6|3e
∵3| abcde
∴3| abcde
∴6|2(abcde)
∴6|2(abcde)3e
∴6|2(abcd)e

【例5】 546
【巩固】 6

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小学五年级奥数：数的整除知识点汇总+例题解析

小学五年级奥数：数的整除知识点汇总+例题解析

小学五年级奥数：数的整除知识点汇总+例题解析数的整除数的整除问题，内容丰富，思维技巧性强。

它是小学数学中的重要课题，也是小学数学竞赛命题的内容之一。

一、基本概念和知识1.整除——约数和倍数例如：15÷3=5，63÷7=9一般地，如a、b、c为整数，b≠0，且a÷b=c，即整数a除以整除b（b不等于0），除得的商c正好是整数而没有余数（或者说余数是0），我们就说，a能被b整除（或者说b能整除a）。

记作b｜a.否则，称为a不能被b整除，（或b不能整除a），记作ba。

如果整数a能被整数b整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a 的约数。

例如：在上面算式中，15是3的倍数，3是15的约数；63是7的倍数，7是63的约数。

2.数的整除性质性质1：如果a、b都能被c整除，那么它们的和与差也能被c整除。

即：如果c｜a，c｜b，那么c｜（a±b）。

例如：如果2｜10，2｜6，那么2｜（10＋6），并且2｜（10—6）。

性质2：如果b与c的积能整除a，那么b与c都能整除a.即：如果bc｜a，那么b｜a，c｜a。

性质3：如果b、c都能整除a，且b和c互质，那么b与c 的积能整除a。

即：如果b｜a，c｜a，且（b，c）=1，那么bc｜a。

例如：如果2｜28，7｜28，且（2，7）=1,那么（2×7）｜28。

性质4：如果c能整除b，b能整除a，那么c能整除a。

即：如果c｜b，b｜a，那么c｜a。

例如：如果3｜9，9｜27，那么3｜27。

3.数的整除特征①能被2整除的数的特征：个位数字是0、2、4、6、8的整数.“特征”包含两方面的意义：一方面，个位数字是偶数（包括0）的整数，必能被2整除；另一方面，能被2整除的数，其个位数字只能是偶数（包括0）.下面“特征”含义相似。

②能被5整除的数的特征：个位是0或5。

③能被3（或9）整除的数的特征：各个数位数字之和能被3（或9）整除。

④能被4（或25）整除的数的特征：末两位数能被4（或25）整除。

小升初数学培优讲义全46讲—第05讲 数的整除

小升初数学培优讲义全46讲—第05讲 数的整除

第5讲数的整除考点解读1、考察范围：因数与倍数；余数（包括同余法解题）。

2、考察重点：判断几个常见数字的倍数；求最大公因数和最小公倍数；有关余数的计算。

3、命题趋势：常见数字的倍数，与公因数、公倍数及余数有关的实际应用。

知识梳理1、常见倍数特征.2的倍数特征：个位上是0,2,4,6,8的数，都能被2整除。

3的倍数特征：一个数各数位上的数字之和能被3整除，这个数就能被3整除。

4的倍数特征：一个数的末两位数字组成的数能被4整除，这个数就能被4整除。

5的倍数特征：个位上是0或5的数，都能被5整除。

7的倍数特征：末三位上的数字组成的数与末三位以前的数字组成的数之差能被7整除，这个数就能被7整除。

9的倍数特征：一个数各数位上的数字之和能被9整除，这个数就能被9整除。

11的倍数特征：奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除，这个数就能被11整除。

13的倍数特征：末三位上的数字组成的数与末三位以前的数字组成的数之差能被13整除，这个数就能被13整除。

典例剖析【例1】用10以内三个不同的数组成一个能同时被3和5整除的三位数，你写出一个数是，写出满足题意最大的和最小的三位数分别是和。

【变式练习】1、在947后面添上三个不同数字，组成一个被2、3、5同时整除的最小六位数，这个数是。

2、能被2、3、5整除的最大四位数是，最小三位数是。

【例2】有三个数：667628,735588,987129，其中能被13整除的有。

【变式练习】1、有三个数：323532,38380,978768，其中能被11整除的有。

2、有一个四位数3AA1能被9整除，那么A是。

【例3】一个小数的小数点向右移动一位与向左移动一位所得的两数之差为34.65，则原来的是。

1、 把A 数的小数点向右移动一位变成B 数，已知B 数比A 数多67.5，那么A 数是 。

【例4】 一个减法算式中，被减数、减数与差的和是240，而减数是差的5倍。

问：被减数是 。

五年级奥数.数论.整除性（A级）.教师版

五年级奥数.数论.整除性（A级）.教师版

五年级奥数.数论.整除性（A级）.教师版九进制乔治·兰伯特是美国加利福尼亚州⼀所中学的数学教师，他对数学特别敏感⽽且有极⼤的研究兴趣。

他常年与数字、公式打交道，深感数学的神秘与魅⼒。

他开始注意⼀些巧合的事件，⼒图⽤数学的⽅式来破解巧合。

他发现：法国皇帝拿破仑与纳粹元⾸希特勒相隔⼀个多世纪，但是他们之间有很多数字巧合。

拿破仑1804年执政，希特勒1933年上台，相隔129年。

拿破仑1816年战败，希特勒1945年战败，相隔129年。

拿破仑1809年占领维也纳，希特勒在1938年攻⼈维也纳，也是相隔129年。

拿破仑1812年进攻俄国，希特勒在相隔129年后进攻苏联。

美国第16届总统林肯于1861年任总统，美国第35届总统肯尼迪于1961年任总统，时隔100年。

两⼈同在星期五并在⼥⼈的参与下被刺遇害。

接任肯尼迪和林肯的总统的名字都叫约翰逊。

更巧的是，杀害林肯的凶⼿出⽣于1829年，杀害肯尼迪的凶⼿出⽣于1929年，相隔⼜是100年。

兰伯特被这些数字迷住了，他经常将这些数字翻来覆去地分解组合。

他惊奇地发现，拿破仑和希特勒的巧合数129与林肯和肯尼迪的巧合数100，把它们颠倒过去分别是921和001，⽤921减去129，⽤100减去001，得数都能被9除尽：921-129=792，100-001=99；792+9=88，99÷9=11，结果都有⼀个⼗位和个位都相同的两位数的商。

兰伯特⾮常吃惊，他对9着了迷。

他发现将l 、2、3、4、5、6、7、8、9加在⼀起是45，⽽4+5=9。

他还发现，⽤9乘以任何⼀个数，将所得到的积的各位数字相加，所得到的和总是9。

取任何⼀个数，⽐如说2004，将每位数加起来是2+0+0+4=6，⽤2004减去6结果得到1998，⽽1998÷9=222，能被9除尽。

他还总结出这样⼀个规律：把⼀个⼤数的各位数字相加得到⼀个和，再把这个和的各位数字相加⼜得到⼀个和。

小学校奥林匹克数学课本_小学生5年级_奥数

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小学校奥林匹克数学课本_小学生5年级_奥数华罗庚学校数学课本（五年级修订版）华罗庚学校数学课本（五年级修订版）上册上册第一讲数的整除问题第一讲数的整除问题数的整除问题，内容丰富，思维技巧性强。

它是小学数学中的重要课题，也是小学数学竞赛命题的内容之一。

一、基本概念和知识1.整除――约数和倍数例如：15÷3=5，63÷7=9一般地，如a、b、c为整数，b≠0，且a÷b=c，即整数a除以整除b （b不等于0），除得的商c正好是整数而没有余数（或者说余数是0），我们就说，a能被b整除（或者说b能整除a）。

记作b｜a.否则，称为a 不能被b整除，（或b不能整除a），记作ba。

如果整数a能被整数b整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的约数。

例如：在上面算式中，15是3的倍数，3是15的约数；63是7的倍数，7是63的约数。

2.数的整除性质性质1：如果a、b都能被c整除，那么它们的和与差也能被c整除。

即：如果c｜a，c｜b，那么c｜（a±b）。

例如：如果2｜10，2｜6，那么2｜（10＋6），并且2｜（10―6）。

性质2：如果b与c的积能整除a，那么b与c都能整除a.即：如果bc｜a，那么b｜a，c｜a。

性质3：如果b、c都能整除a，且b和c互质，那么b与c的积能整除a。

即：如果b｜a，c｜a，且（b，c）=1，那么bc｜a。

例如：如果2｜28，7｜28，且（2，7）=1,那么（2×7）｜28。

性质4：如果c能整除b，b能整除a，那么c能整除a。

即：如果c｜b，b｜a，那么c｜a。

例如：如果3｜9，9｜27，那么3｜27。

3.数的整除特征①能被2整除的数的特征：个位数字是0、2、4、6、8的整数.“特征”包含两方面的意义：一方面，个位数字是偶数（包括0）的整数，必能被2整除；另一方面，能被2整除的数，其个位数字只能是偶数（包括0）.下面“特征”含义相似。

②能被5整除的数的特征：个位是0或5。