几何中的尺规作图法
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第七讲尺规作图尺规作图的基本知识一、几何作图的含义和意义含义：给定条件，设法作具备这些条件的图形，能据条件作出图形或作不出图形，故几何作图是存在问题的证明。
意义：建立学生具体几何观念的重要手段，是克服死记硬背定理的好办法；学以致用；为制图学提供理论基础；培养逻辑思维能力。
二、作图公法（1）通过两个已知点可作一直线；（2）已知圆心和半径作圆；（3）若两已知直线相交，或一已知直线和一已知圆（或圆弧）相交，或两已知圆相交，则可作出其交点。
上面三条叫作图公法。
若一个图不能有限次根据作图公理作出图形，则叫几何作图（或尺规作图）不能问题。
三、作图成法我们把根据作图公法或一些已经解决的作图题而完成的作图，叫做作图成法。
它可以在以后的作图中直接应用。
下面列举一些：（1）任意延长已知线段。
（2）在已知射线上自端点起截一线段等于已知线段。
（3）以已知射线为一边，在指定一侧作角等于已知角。
（4）已知三边，或两边及夹角，或两角及夹边作三角形。
（5）已知一直角边和斜边，作直角三角形。
（6）作已知线段的中点。
（7）作已知线段的垂直平分线。
（8）作已知角的平分线。
（9）过已知直线上或直线外一已知点，作此直线的垂线。
（10）过已知直线外已知点，作此直线的平行线。
（11）已知边长作正方形。
（12）以定线段为弦，已知角为圆周角，作弓形弧。
（13）作已知三角形的外接圆，内切圆，旁切圆。
（14）过圆上或圆外一点作圆的切线。
（15）作两已知圆的内、外公切线。
（16）作已知圆的内接（外切）正三角形、正方形，或正六边形。
（17）作一线段，使之等于两已知线段的和或差。
（18）作一线段，使之等于已知线段的n 倍或n 等分。
（19）内分或外分一已知线段，它们的比等于已知比。
（20）作已知三线段,,a b c 的第四比例项。
（21）作已知两线段,a b 的比例中项。
（22）已知线段,a b 作一线段为x =，或作一线段为)x a b =>。
四、解作图题的步骤① 分析：遇到不是一目了然的作图题，常假定符合条件的图已做出，研究已知件和求作件间的关系，从而得到作图的线索。
这个过程就是分析，是解题重要的一步。
②作法：利用已知作图题时，只需说明清楚，不必一一累述。
③证明：证所作图确实具有所设条件。
④讨论：作图题解的有无，多与寡，定与不定，决定于已知条件的大小、位置及相互关系。
尺规作图法举例一、交轨法一个作图题的解决，往往归结到某一点的确定，而一点的确定，须用两个条件1C 和2C ，如果能求出合于条件1C 的轨迹1F 和合于条件2C 的轨迹2F ，那么1F 和2F 的交点同时满足1C 和2C ，这种由轨迹相交以解作图题的方法，称为交轨法。
决定某一点的轨迹有若干个，选择熟知的和简易的。
例1 在已知弧AmB 上求一点M ，使弦的比为::1MA MB p q =≠。
分析：设点M 已求到，满足::MA MB p q =，则点M 既在弧AmB 上，又在一个阿氏圆上，内分、外分AB 于C 、D ，使:::AC CB AD BD p q ==，阿氏圆是以CD 为直径的圆。
作法：如分析过程定出C 、D 两点，以CD 为直径作圆，它与AmB 相交于所求点M 。
图形略。
证明：略（阿氏圆的性质知显然） 讨论：本题恒有一解。
（C 在圆内而D 在圆外，两圆相交于两点，但其中一点必在阿氏圆直径CD 的另一侧，不在AmB 上）。
解法二：由角平分线性质知，∠AMB 的平分线MN 必过C 点，故不必作阿氏圆，只要定出C 和N 即可，而N 为AB 的中点，作AB 的中垂线即可。
如下图所示。
例2 已知△ABC 的底边a ，顶角A 以及余二边的平方和222b c k +=，求作这三角形。
分析：如图，设△ABC 已作成，,BC a A α==，且222AB AC k +=。
任作BC a =后，A 的一个轨迹是以BC 为弦而内接角等于α的圆弧。
若以M 表示BC 的中点，则22222122k AB AC AM a =+=+ （斯特瓦尔特定理）即A 点的另一轨迹是以M A 点定。
作法：作线段BC a =，在BC 上作内接角等于α的圆弧；作221(,22M ；圆与圆弧的交点为所求的A 点。
证明：略。
讨论：显然a >，否则无意义；若A 为锐角，当cot 222a a α<<时，221(,22M 与圆弧AmB 有两交点A 与A '，但A B C ABC '∆≅∆，只算作一解；否则无解。
若A 为钝角，当cot 222a a α≤时有一解，否则无解。
若A 为直角，a=k 时显然有无穷多解，当a ≠k 时无解。
二、三角形奠基法作图题中，往往可先作图形的一个三角形，从而奠定全部图形的基础，进而作出其它图形，这种三角形称为基础三角形。
该方法称为三角形奠基法。
例3 已知ABC ∆的三中线,,a b c m m m 的长度，求作该三角形。
分析：设ABC ∆已作出，G 为重心，图中无奠基的三角形。
延长GL 到K , 使LK GL =，则BGK ∆三边已知，各为中线长的2/3。
作法：作BGK ∆，使(2/3)a G K m =，(2/3)b GB m =，(2/3)c BK m =，作GK 的中点L ，并延长BL 到C 使LC BL =。
延长LG 至A 使2GA LG =，则ABC ∆即所求者。
证明：由作法，L 是BC 的中点，因而AL 是ABC ∆的中线。
由于2GA LG =，G 是ABC ∆的重心，并且 3(3/2)a AL LG GK m ===，以M 、N 表CA 、AB 的中点，由于G 是重心，则(3/2)b BM BG m ==，(3/2)(3/2)c CN CG BK m ===，所以ABC ∆合于条件。
讨论：本题有无解，取决于BGK ∆是否存在，存在的条件是：a b c m m m +>，b c a m m m +>，c a b m m m +>.故所给三中线能构成三角形时，有一解，否则无解。
例4 已知△ABC 的,,a a a h t m ，求作该三角形。
分析：△ABC 若已作成，高a AH h =，角平分线a AT t =，中线a AM m =.Rt AHT ∆和AMH ∆都可作出，取AMH ∆为基础三角形，设AT 交外接圆于P ，则P 为BC的中点，P 可由AT 及MH 在M 点的垂线相交决定。
然后定圆心O ，O 在PM 上，也在AP 的中垂线上，故外接圆可作出，从而可定出B 、C 。
作法：作直角AHM ∆，使90AHM ∠=，a AH h =，a AM m =.在射线HM 上作T 点使 a AT t =，过M 作HM 的垂线与直线AT 相交于P 。
作AP 的中垂线交PM 于O 。
以O 为中心，以OA 为半径作圆，设其交直线HM 于B 及C ，则ABC ∆即所求。
证明：因O 在AP 的中垂线上，则OP ＝OA ，从而P 是BC 的中点，从而AM 是ABC ∆的中线，而AP 是BAC ∠的平分线。
可见ABC ∆中，有高a AH h =，中线a AM m =，平分角线a AT t =，即ABC ∆合于所设条件。
讨论：① 当,,a a a h t m 三者有两个相等时，△ABC 为等腰三角形，这时若三者不都相等无解，若都相等便成不定问题，有无穷多解。
② 当,,a a a h t m 互不相等时，解要存在，则△AMH 存在且P 存在，并且P 和A 落在HM的异侧（若a a m t <，则P 与A 落在MH 同侧），才能保证B 、C 存在，要保证这些事项，则必有T 介于H 和M 之间，有解的条件是：a a a h t m <<.例5 求作△ABC ，已知,,a b c m h m .分析：设△ABC 已作出，G 为重心，由重心的性质知13BCG ABC S S ∆∆=，从而1133a GM AH h ==，△BCG 可作。
证明：略（关键是证G 为重心，连AG 交BC 于点F ，证明N 是中点）讨论：△ABC 能否作出决定于△BCG 能否作出。
显然，GM GC <且GM GB <，即2a b h m <且2a c h m <时有一解，否则无解。
三、合同变换法将图形中某些元素施行适当的合同变换，然后借助于各元素的新旧位置关系发现作图的方法。
常用的有对称变换、平移变换和旋转变换。
例6 求作△ABC ，已知,a a h ，两底角之差B C α∠-∠=.分析：△ABC 已作出，先作BC a =，由于a h AH =，故A 点的一个轨迹是BC 的一条平行线XY 。
现为了把α表示在图形上，延长BA 到E ，作C 关于XY 的对称点D ，则B C EAY CAY EAY DAY α=∠-∠=∠-∠=∠-∠ ∴180BAD α∠=-，从而A 的另一轨迹是以BD 为弦内接角等于180α-的弓形弧。
作法证明：略。
讨论：以BD 为弦内接角等于180α-的弓形弧的对称弧交XY 于一点A '，但A BC '∆中，C B α∠-∠=，不符合条件，故本题只有一解。
例7 给定两平行线x 及y 和它们外侧各一点A 、B （如下图 ），求自A 至B 的最短路线，使介于x 、y 间的部分与定直线z 平行。
分析：在x 、y 上任取点X '、Y '满足//X Y z ''，AX X Y Y B ''''++最短在于AX Y B ''+最短。
现()T MN AX CY ''−−−→，C为定点（实际上，()T MN A C −−−→），且AX BY CY BY BC ''''+=+≥.则Y 定，进而X 定。
X 、Y 为所求。
作法：略。
证明：略。
讨论：本题恒有一解。
例8 给定△ABC ，求作一直线平行于BC ，交AB 、AC 于D 、E ，使AD ＝EC.分析：如图，将()T ED EC DF −−−→，则BAF DFA CAF ∠=∠=∠，所以AF 为A ∠的平分线。
由F 定D ，然后定E 即可。
恒有一解。
作法：由分析作法显然。
证明：略。
例9 给三平行线,,a b c ，求以a 上一定点A 为顶点作正三角形ABC ，使余二点分别落在b 、c 上。
分析：设△ABC 已作好，作AH b ⊥，(,60)R A ABH ACH '∆−−−−→∆，这时，b 旋转为b '，b '与c 的交点为C ，进而可定B 。
作法：作AH b ⊥于H ，作60HAH '∠=且AH AH '=，过H '作b AH ''⊥，b '交c 于点C ，再作60BAC ∠=，使BAC ∠与HAH '∠有相同转向，B 是直线AB 与b 的交点。
