尺规作图法简介

尺规作图的原理及应用1. 原理尺规作图是一种使用尺子和圆规进行几何图形绘制的方法。

它基于尺规定律，即使用尺子测量长度和圆规绘制圆弧，从而实现几何图形的构建。

尺规作图的基本原理如下： 1. 使用尺子进行直线的绘制：尺子是一个有刻度的直尺，可以用来测量和绘制直线段。

通过使用尺子确定两个点的距离，可以绘制直线段。

2. 使用圆规进行圆弧的绘制：圆规由两个可开合的脚和一个铅笔构成，可以用来绘制圆弧。

通过调整圆规的开张程度，并以一个固定点为圆心，可以绘制圆弧。

3. 利用尺规定律进行角度的构建：尺规定律是尺规作图的基础规则，包括绘制垂线、平行线、等分线等。

通过尺规定律的应用，可以构建几何图形中的各种角度。

2. 应用尺规作图具有广泛的应用领域，其中一些典型的应用包括：2.1 建筑设计尺规作图在建筑设计中起到了重要的作用。

建筑师可以使用尺规作图来绘制建筑平面图、立面图和剖面图等。

通过准确地使用尺子和圆规，可以绘制建筑物的各个部分，包括墙体、窗户、门等。

2.2 工程制图在工程制图中，尺规作图被广泛应用于机械制图、电路设计等领域。

例如，在机械制图中，可以使用尺规作图来绘制零件的几何形状和尺寸，从而为加工和制造提供准确的参考。

2.3 数学教学尺规作图在数学教学中也扮演着重要的角色。

通过让学生亲自进行尺规作图，可以帮助他们更好地理解几何图形的定义和性质。

此外，尺规作图还可以用于解决几何问题，例如求解三角形的外心和内心等。

2.4 艺术绘画在艺术绘画领域，尺规作图可以用来帮助艺术家绘制准确的比例和透视。

尺规作图技巧可以用于绘制人物、风景等作品，使其更加真实且具有艺术感。

3. 总结尺规作图是一种传统的几何图形绘制方法，基于尺子和圆规的使用。

它的原理基于尺规定律，通过测量长度和绘制圆弧来构建几何图形。

尺规作图在建筑设计、工程制图、数学教学和艺术绘画等领域具有广泛的应用。

通过学习和应用尺规作图，可以提高几何图形的构建能力，帮助解决实际问题和提高创作的准确性。

尺规作图方法尺规作图，是古代数学中一种重要的几何学方法，它是利用尺子和圆规进行的一种几何图形的绘制方法。

尺规作图方法在古希腊时期就已经被广泛运用，而且在欧几里得的《几何原本》中也有详细的介绍。

尺规作图方法的重要性不言而喻，它不仅在古代被广泛应用，而且在现代数学中也有着重要的地位。

下面我们就来详细了解一下尺规作图方法的相关知识。

首先，我们需要了解尺规作图的基本工具，即尺子和圆规。

尺子是用来测量长度的工具，而圆规则是用来画圆的工具。

利用这两种工具，我们可以进行各种几何图形的绘制。

在尺规作图中，我们需要遵循一些基本原则，比如只能使用尺子和圆规，不能使用其他工具，也不能进行测量。

这些原则的遵循是尺规作图方法得以实现的基础。

其次，我们需要了解尺规作图的基本步骤。

在进行尺规作图时，我们首先需要根据给定的条件，利用尺子和圆规进行一些基本的构图，比如画直线、画圆等。

然后，根据已经构图的基本图形，我们可以进行一些运算，比如加减乘除等，从而得到我们需要的几何图形。

尺规作图的基本步骤并不复杂，但需要我们严格遵循规则，才能得到准确的结果。

接着，我们需要了解尺规作图方法的应用范围。

尺规作图方法不仅可以用来绘制一些简单的几何图形，比如直线、圆等，还可以用来解决一些复杂的几何问题，比如三角形的平分线、三角形的内切圆等。

尺规作图方法在解决这些几何问题时，往往能够给出简洁而优美的解决方案，因此在数学研究和教学中得到了广泛的应用。

最后，我们需要了解尺规作图方法的现代意义。

尽管在现代数学中，我们已经有了更加先进的工具和方法，比如解析几何、向量几何等，但尺规作图方法仍然具有重要的意义。

尺规作图方法所展现的严密的逻辑推理和简洁的解决方案，对于培养学生的逻辑思维能力和创造力有着重要的作用。

因此，尺规作图方法在现代数学教学中仍然占据着重要的地位。

总之，尺规作图方法是古代数学中一种重要的几何学方法，它不仅在古代被广泛应用，而且在现代数学中也具有重要的意义。

五种基本尺规作图原理
人们使用基本尺规作图原理来实现建筑设计的梦想，它的最大优势是清楚明确的把握，使得建筑几何复杂的形状得以精准描绘。

一般来说，基本尺规作图原理分为5种：法线法、角线法、圆心角法、线段步进正交正切法和自然对对称法。

法线法，是通过已知直线指定一个圆，利用该圆的极点、切点来组合形成一个特定的平面结构。

角线法，是一种构造复杂几何形状的方法，它可以用直角构造多边形，而伴随的弧线则是角线法的补充，可以拓展出多边形的轮廓。

圆心角法，又称极角法，依据圆心角的角度来绘制各种曲线。

线段步进正交正切法，是根据给定的形状，利用正切正交线段连线来拓展出和原线段相似的形状。

自然对称法，是一种以正交正切线段为基础的拓展形状的方法，采用延伸的方式拓展出和原线段相似的曲线。

这些基本尺规作图原理是当代建筑设计最重要的方法之一，可将单纯的几何形状转化为复杂的几何结构，既能满足建筑物的外观、功能，又能节约施工费用，更能确保施工准确，具有极大的应用价值。

尺规作图是一种古老而神奇的工具，能够用简单的工具和技巧绘制出精确的几何图形。

在初中数学中，尺规作图是一个必修的内容，对于学生来说，掌握它是非常重要的。

本文将详细介绍尺规作图的基础知识、步骤和实践技巧。

一、什么是尺规作图？尺规作图，又称欧氏几何作图，是一种利用尺子和圆规进行的几何作图方法。

它的基本原理是：利用尺子测量长度，用圆规画出圆和弧，然后通过将这些线段和圆弧相交、平移、旋转等操作，得到所需的几何图形。

尺规作图是欧几里得几何的基础，也是很多复杂几何问题的解决方法之一。

二、尺规作图的基本步骤1. 给定图形尺规作图的第一步是给定一个几何图形，通常是已知几条线段或者角度的大小关系。

例如，给定一个直角三角形，其中两条直角边的长度分别为3cm和4cm，要求作出这个三角形。

2. 作出基础线段根据给定的条件，用尺子和圆规作出基础线段。

例如，在一个纸上画一条长度为3cm的线段AB，再画一条长度为4cm的线段AC，其中∠BAC为直角。

3. 作出辅助线段根据需要，作出一些辅助线段，以便通过相交、平移、旋转等操作得到所需的图形。

例如，可以在线段AB上取一点D，再以点C为圆心、AC为半径画一个圆，得到一个圆弧，将其与线段AB相交于点E，再连接线段AE和BE，就得到了一个直角三角形ABC。

三、尺规作图的实践技巧1. 细心测量尺规作图需要精确测量线段的长度和角度的大小，因此必须细心认真地进行测量，避免出现误差。

特别是在作大型图形时，必须使用长尺和精密测量工具，以确保准确性。

2. 多加练习尺规作图需要的是手眼协调能力和灵活性，这些技能需要通过不断地练习才能掌握。

建议初学者多做练习题，逐渐提高自己的技巧和速度。

3. 熟练运用尺规尺规作图需要灵活运用圆规和尺子，掌握不同的测量技巧和作图方法。

例如，可以利用圆规的不同刻度测量半径和角度，或者利用尺子的折叠功能作出垂线等。

四、总结归纳尺规作图是一种重要的几何工具，能够在解决复杂几何问题时提供有力的支持。

一、尺规作图在中学就知道，几何作图所使用的工具是严格限制的，只准用圆规和直尺，直尺不能有刻度，不能使用量角器及其他任何工具．其实，这种限制自古希腊就有而且沿用至今．为什么要加以这样的限制呢？比如说，要找出一个线段的中点来，就不可以先用(有刻度的)尺去量，看它的长度是多少，然后取这个长的一半，再用这一半去量就找出中点来了．何必一定要用无刻度的直尺和圆规去寻求呢？是自己跟自己过不去吗？古希腊认为，所有的几何图形是由直线段和圆弧构成的，圆是最完美的，他们确信仅靠直尺和圆规就可绘出图形来．古希腊人十分讲究理性思维，讲究精确、严谨．他们认为依据从少数假定出发的、经由逻辑把握的东西最可靠．例如前面所说的寻求一已知线段AB的中点问题，作图的步骤是：1．以A为圆心，以一适当长度为半径画弧；2．又以B为圆心，以同样的长度为半径画弧；3．这两弧相交于两点，作两点连线，此连线与已知直线之交点即为所求之中点．然后，要根据已知几何命题来证明这个点必是中点．人们认为，这不仅是最可靠地找到了中点，而且体现了一种完美的思路和做法．正多边形的尺规作图是大家感兴趣的．正三边形很好做；正四边形稍难一点；正六边形也很好做；正五边形就更难一点，但人们也找到了正五边形的直规作图方法．确实，有的困难一些，有的容易一些．正七边形的尺规作图是容易一些，还是困难一些呢？人们很久很久未找到作正七边形的办法，这一事实本身就说明作正七边形不容易；一直未找到这种作法，也使人怀疑：究竟用尺规能否作出正七边形来？数学不容许有这样的判断：至今一直没有人找到正七边形的尺规作图方法来，所以断言它是不能用尺规作出的．人们迅速地解决了正三、四、五、六边形的尺规作图问题，却在正七边形面前止步了：究竟能作不能作，得不出结论来．这个悬案一直悬而未决两千余年．17世纪的费马，就是我们在前面已两次提到了的那个法国业余数学家，他研究了形如F i＝22i＋1的数．费马的一个著名猜想是，当n≥3时，不定方程x n＋y n＝z n没有正整数解．现在他又猜测F i都是素数，对于i＝0，1，2，3，4时，容易算出来相应的F i：F0＝3，F1＝5，F2＝17，F3=257，F4=65 537验证一下，这五个数的确是素数．F5=225+1是否素数呢？仅这么一个问题就差不多一百年之后才有了一个结论，伟大的欧拉发现它竟不是素数，因而，伟大的费马这回可是猜错了！F5是两素数之积：F5＝641×6 700 417．当然，这一事例多少也说明：判断一个较大的数是否素数也决不是件简单的事，不然，何以需要等近百年？何以需要欧拉这样的人来解决问题？更奇怪的是，不仅F5不是素数，F6，F7也不是素数，F8，F9，F10，F11等还不是素数，甚至，对于F14也能判断它不是素数，但是它的任何真因数还不知道．至今，人们还只知F0，F1，F2，F3，F4这样5个数是素数．由于除此而外还未发现其他素数，于是人们产生了一个与费马的猜想大相径庭的猜想，形如22i＋1的素数只有有限个．但对此也未能加以证明．当然，形如F i=22i+1的素数被称为费马素数．由于素数分解的艰难，不仅对形如F i=22i+1的数的一般结论很难做出，而且具体分解某个F i也不是一件简单的事．更加令人惊奇的事情发生在距欧拉发现F5不是素数之后的60多年，一位德国数学家高斯，在他仅20岁左右之时发现，当正多边形的边数是费马素数时是可以尺规作图的，他发现了更一般的结论：正n边形可尺规作图的充分且必要的条件是n=2k或2k×p1×p2×…×p s，其中，p1，p2，…，p s是费马素数．正7边形可否尺规作图呢？否！因为7是素数，但不是费马素数．倒是正17边形可尺规作图，高斯最初的一项成就就是作出了正17边形．根据高斯的理论，还有一位德国格丁根大学教授作了正257边形．就这样，一个悬而未决两千余年的古老几何问题得到了圆满的解决，而这一问题解决的过程是如此的蹊跷，它竟与一个没有猜对的猜想相关连．正17边形被用最简单的圆规和直尺作出来了，而正多边形可以换个角度被视为是对圆的等分，那么这也相当于仅用圆规和直尺对圆作了17等分，其图形更觉完美、好看．高斯本人对此也颇为欣赏，由此引导他走上数学道路(他早期曾在语言学与数学之间犹豫过)，而且在他逝后的墓碑上就镌刻着一个正17边形图案．高斯把问题是解决得如此彻底，以致有了高斯的定理，我们对于早已知道如何具体作图的正三边形、正五边形，还进而知道了它们为什么能用尺规作图，就因为3和5都是费马素数(3=F0，5＝F1)；对于很久以来未找到办法来作出的正七边形，乃至于正11边形、正13边形，现在我们能有把握地说，它们不可能由尺规作图，因为7、11、13都不是费马素数；对于正257边形、正65 537边形，即使我们不知道具体如何作，可是理论上我们已经知道它们是可尺规作图的；此外，为什么正四边形、正六边形可尺规作图呢？因为4＝22，因为6= 2· 3而3=F0．从古希腊流传下来的几何作图还有三大难题，一个是化圆为方问题，即求作一正方形，使其面积等于已知圆的面积；二是倍立方体问题，即求作一立方体，使其体积等于已知立方体的体积；三是将一任意角三等分．某些特殊角的三等分并不困难，例如将90°的角、135°的角三等分并不难，但是任意角就不一样了．例如，60°的角，你试试看，能否将它三等分？现在已有了结论，告诉你不要再试了，否则是白费时间了．可以取单位圆作代表，其面积即为π．那么，化圆为方的问题相当能吗？古希腊人对化圆为方的问题有极大兴趣，许多人进行研究．这一研究推动了圆面积的近似计算，促进了极限思想的萌生，但是并没有解决化圆为方的问题．另外两大难题虽也没解决，但也促进了对另一些数学问题的研究．尺规作图的实质在于限制只使用两种工具的条件下通过有限步骤完成作图．长度为任一有理数平方根的线段来．当然还可通过有限步骤作出长度为一有理数平方根的平方根的线段来．我们把凡能用尺规经有限次步骤作出的线段或量叫做“可作几何量”．可以证明，“可作几何量”就是那些有理数经有限次+、－、×、÷和开方这类运算得到的量．否则叫“不可作几何量”．化圆为方的问题直至19世纪才得到答案：它是不可能的．因为可作几何量”．这一悬而未决、延宕两千多年的古老问题，最终得以解决．属“不可作几何量”，所以，倍立方体问题的答案也明确了：不可能！再以60°角为例来分析任意角的三等分问题．为把60°三等分，必然要用尺规作出量cos 20°或sin 20°．以下三角恒等式是我们熟知的：cos 3x＝4cos3x－3cos x，将x＝20°代入，得将cos 20°换写为y，即是三次代数方程：这个三次方程的一个正实根当为其所需之解，然而，它必会有有理数的立方根表示．因而y＝cos 20°也是一个“不可作几何量”．故三等分问题亦属不可能．难怪古希腊人对这三个问题久久未找到答案，难怪这是真正的难题．不是古希腊人不智，确实是当时的数学水平还难以使他们得出三大几何作图难题均以“不可能”为结局的结论来．二、解析几何与微积分数学以两千多年的历史伴随人类文明．从公元前到公元16世纪，几何与代数各自平行发展着，几何则以更大的魅力影响着人类文明．但几何似乎仅是关于形的科学而与数无关；代数则似乎与形无关而仅是关于数的科学．代数与几何难以被联系起来的原因是，人们心目中的数是一个个孤立的定数，因而难以从数想到由无穷多个点连成的线条等图形；而对于形，例如，线段和封闭图形，它们与数的联系似乎仅有由数刻画的长度和面积，因而难以从图形想到数的其他表现能力．把数与形密切联系起来的关键是变量概念的形成；另一个同等重要的问题是把图形如线条视为是由动点形成的．只有变动的数与变动的点联系起来，才使数与形的密切关系被深刻地揭示出来了．这里，决定性的工具是坐标，有了坐标，数就是点，点就是数，变动的点就是变动的数，变动的数就是变动的点，于是变数与图形结合在一块了．真正的困难还在于，任何一个具体的图形都不带有一个坐标在身上，亦即，人们在现实生活中是不能直接看到坐标的．当然，稍稍想一想，生活中也有根本感受不到的坐标存在着．例如，在我们说东、南、西、北的时候，一般是确定的站在某一点来说，比如说“北京在东面”，这对站在兰州的人来讲是对的，对站在济南的人来讲是不对的．同样，站在郑州应当说“武汉在南面”，而站在广州，则只能说“武汉在北面”．这实际上就是有了坐标原点的概念，有了坐标的思想．可是，问题还没有那样简单，还需要有运动的观念，还需要有更精确的描述，才能借以刻画几何图形，才能实现数与形的有效融合．数与形的充分结合才产生解析几何．解析几何的主要创始人笛卡儿的有关工作也经历了一个发展过程，所以解析几何并不是瞬间的、偶然出现的产物．让我们看一个实例．首先，我们回顾一下已知两线段而由尺规作出比例中项的办法，如果两线段一样长，那它们本身就是比例中项．如果不一样，那么，可在较长的线段AC上取一点B，使AB等于较短线段的长．再以AC为直径画圆，然后过B作AC的垂线交圆于D，连接AD，AD即为所求之比例中项．在右图中，我们按以上方式作出了AB与AC的比例中项，即接着，我们容易作出E、F、G、H、…使得如果设AB＝1，AD＝x，上式就变成了从线段看，AD=x时AF=x3，AF＝AD＋DF，若记DF=a，我们得到x3=x+a．反过来看，a作为已知数，容易作出一长度为a的线段DF，根据由以上分析所得之启示可作出AD，那么，AD实际上便是三次方程式x3=x＋a的根．这就是笛卡儿在正式形成其明确的解析几何思想之前的一例，把代数方程与几何结合起来的一例．他还曾利用几何方法探寻四次代数方程求根的方法．这是把几何与代数问题结合的一个方面．另一方面，笛卡儿对几何问题又运用了代数方法，例如，研究几何轨迹的问题．解析几何的精华在于把几何曲线用代数方程来表达，同时又利用代数的研究方法来研究几何．从进一步的分析还可发现，这种方法其所以十分强有力，是因为形与数的联系比人们想象的要紧密得多，许多复杂的几何现象是通过解析的方法发现的，许多复杂的几何问题是通过解析方法解决的．这不仅是一个手段问题，也是对世界本质的看法问题．所以，笛卡儿的解析几何具有深远的意义．我们从所熟知的内容来看看解析几何的意义．例如，我们知道椭圆、双曲线、抛物线的标准方程是：y2＝2px我们并不需要画出图形来而只要一看式子就知道它是个什么样子．所谓标准方程，是从代数表达形式来看的，而从几何上看，则是其图形摆得方方正正，例如，标准椭圆方程实际上是其圆心摆在原点，其长短半轴分别与平面的两条坐标轴重合．但是，实际的情况并不总是以标准的形式呈现在我们面前的．直线也有其标准形式，但一般形式是ax＋by＋c＝0；二次曲线的一般方程式是ax2＋2bxy＋cy2＋dx＋ey＋f＝0．然后，我们可以通过解析的方法、代数的方法把它们化为标准形式，例如，对二次方程，我们可以通过以下的变换来做这件事情：通过这样的变换，就可以把一般方程化为标准方程．这一过程，这种工作，从表面看来似与几何毫无关系，我们只是在做着代数的工作．通过上面的变换，原来的方程就变为一个新的形式了，现在把它们并列写下来：ax2＋2bxy＋cy2＋dx+ey＋f＝0a′x′2+2b′x′y′+c′y′2+d′x′+e′y′+f′=0这成了两个不同的式子，却有3个相等的式子：a+c=a′+c′，换句话说，在前述变换之下，有两个东西不变(对此，我们前面曾提到过)．至此，我们对一般二次代数方程所作的叙述全是代数的，对方程进行代数变换(两种线性变换)，以及这种变换之下的不变量．接下去我们还可以说明，一般二次方程能在变换之下化为标准方程．下面将用全套的几何语言来叙述与以上相关的全套代数涵义，或说明全套代数语言的几何涵义：在给出了一般二次曲线之后，我们总可以通过平移和旋转，把它摆在标准位置上．以椭圆为例，即把它的圆心移到原点来，把它的长短轴移至坐标轴上来，而二次曲线的原形是不变的．可见，用几何的语言来说，也是很简单的．那么，代数的讨论有什么实际的意义呢？在一般地给出了一个二次代数方程后，你很难看出它会是怎样一条曲线，如果一点一点地描绘也不是件简单的事．然而，代数的讨论告诉我们有几个不变式在那里，我们甚至不必最终化成标准表达式，就能由几个不变式看出曲线的类型和性质．这是重要的定性分析．此外，这种分析也使我们能把所有的二次曲线准确无误地详尽无遗地予以归类了．从哲学上说，笛卡儿的解析几何可说是他理性主义的产物．上面以二次曲线为例，表明代数方法与几何问题的结合，产生了最充分的理论说明．笛卡儿们认为世界是十分有秩序有条理的，是可以用方程来表达的．奇异就出在这种有序的世界和有序的运动里面．在解析几何出现后不久，微积分被发现了．微积分与解析几何不仅是伟大的数学发现，而且为近代科学开辟了道路；它们不仅是17世纪的伟大发现，而且在人类文明史上写下了极其灿烂的一页；它们不仅为近代科学开辟了道路，而且它们本身就是划时代的成果．在微积分产生之前，人们已比较普遍地接触这样几类问题：物理方面，求速度、求距离的问题；几何方面，求切线、求长度、求面积、求体积、求物体重心的问题；在各种实际问题中，求极大、极小的问题等．因此，在微积分正式诞生之前，关于极限的思想，关于微分的思想，关于积分的思想，已经零星可见．关于极限的思想在我国古代早已出现．求速度，求切线，这就会接近微分；求距离，求长度和面积、体积，这就会接近积分．古代中国的祖暅原理与近代西方的卡瓦列里原理说的是同一原理，前者先于后者约1100年左右．这一原理当为一般大学生所熟悉：当两立体介入两平行平面之间，又为平行于这两平面的任何一平行平面所截得之截面面积相等时，那么两立体之体积相等．用符号来表达，用同一平面截得两立体之截面面积分别表示为f(x)dx和g(x)dx，原理说的是：当对于所有的x有f(x)dx=g(x)dx时，便有：作为一个著名例子，我们看看半球体积的计算．这一计算，现在看来似乎是轻而易举的，但在没有微积分之前是十分困难的．所以下面的计算方式在当时是很有意义的，它利用了祖暅——卡瓦列里原理．设半球的半径为r．以半球的大圆为底面，球顶朝上．作一平面与底面平行并与底面之距离为h．这个平面截半球所得之截面为一圆，该π(r2－h2)．再看看一个截面半径为r的圆柱，其高度也为r．其下底与上面所说的半球底面摆在一个平面．现在将以此圆柱的上底为底、以下底圆的圆心为顶点作一圆锥．这一圆锥完全含于圆柱，现在把这一圆锥挖去，并考虑被挖去一圆锥的圆柱所形成的立体．当用一平行于底面的平面去截它时，其截面为一圆环，设这一平行于底面的平面距底面h，那么，这一圆环的面积也等于πr2－πh2=π(r2－h2)．可见，这一立体与半球被任何同一平行平面所截之截面面积相等．根据祖暅原理，半球体积应与被挖去一圆锥的圆柱体积相等．而被挖去一圆锥的圆柱体积是：尽管在牛顿和莱布尼茨之前，人们从不同的角度接触到了微分和积分，但是对于微分与积分的关系并没有真正弄清楚．而真正的困难亦在此．很容易明白，加法与减法是互逆的运算，也不难明白，乘法与除法是互逆的运算．开方作为乘方的逆运算，在技术上更困难了；作为指数运算逆运算的对数运算的产生并不容易．逆运算常常带来一些新问题，程序性问题，多值性问题．对于微分与积分之间的联系，认识上更有特殊的困难，这样两个似乎十分不同的两种运算竟然是互逆的，这正是使人惊讶不已的地方，也是使人感到其发现之特别不易的地方．以具体问题来说，求一曲线所围成图形的面积运算怎么会与求这一曲线的切线的运算是互逆的运算呢？微积分的创立正是以发现微分与积分的互逆关系为标志的．如今我们所说的牛顿—莱布尼茨定理即微积分基本定理，讲的就是两者关系．微积分基本定理可主要以微分的形式出现，亦可主要以积分的形式出现．我们分别叙述如下：微分形式．(x)在[a，b]上可微，且积分形式．可微，且发现f(x)的积分的微分正是它自己(在一定条件下即可保证)．只有在这一发现得到之后，才能说微积分产生了，因为这一定理奠定了微积分的理论基础．牛顿的发现在莱布尼茨之前，但发表的时间在莱布尼茨之后，他们两人又确系各自独立的发现，而且背景也有所不同．因此，虽然后来也曾出现过关于发现的优先权的争议，最终的看法却达成一致：牛顿和莱布尼茨共同创立了微积分的基本定理．微积分的伟大意义可以从4个方面去看．1．对数学自身的作用．自从有了解析几何和微积分，就开辟了变量数学的时代，因而数学开始描述变化，描述运动．微积分改变了整个数学世界的面貌．牛顿、莱布尼茨17世纪创立的微积分还存在着明显的逻辑缺陷，但是这种缺陷并未抑制它旺盛的生命力．18世纪的数学家们在微积分提供的思维和工具的基础上阔步前进，迅速创立了许多数学分支，诸如微分方程，无穷级数，变分法等．在进入19世纪之后，还有诸多与微积分直接相关的数学分支产生，原有的一些数学分支也开始利用微积分的方法，前者包括复变函数，微分几何等，后者包括数论，概率论等．可以说，在有了微积分之后的两、三百年期间，数学获得了极大的发展，获得了空前的繁荣．微积分的严密逻辑基础也在19世纪完善地建立起来．微积分基本定理的表现形式在多维空间和一般拓扑空间中也获得了拓广，在更广阔的领域中延伸，进一步显示了它在数学领域里的普遍意义．2．对其他自然科学和工程技术的作用．有了微积分，整个力学、物理学都得以它为工具来加以改造，微积分成了物理学的基本语言，而且，许多物理学问题要依靠微积分来寻求解答．“数理不分家”，这句话在有了微积分之后就具有了真实的意义，离开了微积分不可能有现代物理，无论是力学、电学还是光学、热学．微积分的创立得到了天文学的启示，此后，天文学再也离不开微积分．19世纪上半叶可能还认为化学只需要简单的代数知识，而生物学基本上与数学没有联系．现在，化学、生物学、地理学等都必须深入地同微积分打交道．3．对人类物质文明的影响工程技术是最直接影响人类物质生活的，然而工程技术的基础即数理科学，也可以说，现代工程技术少不了微积分的支撑．从机械到材料力学，从大坝到电站的建设，都要利用微积分的思想和方法．如果说在落后的生产方式之下，只需要少量的几何、三角知识就可以工作的话，如今，任何一个未学过微积分的人都不可能从事科学技术工作．在有了微积分和万有引力原理之后，人们就预见了人造卫星及宇宙飞行的可能，并且早已利用微积分计算出了宇宙速度．今日满天飞行的人造卫星早在微积分产生之初就已在学者们的预料之中．在今天人类广泛的经济活动、金融活动中，微积分也成了必不可少的工具．微积分诞生之初的主要背景是物理学和几何学，而今，它几乎为一切领域所运用．它对人类物质生活的影响是越来越大．4．对人类文化的影响只要研究变化规律就要用上微积分，在人文、社会科学领域亦如此，因而微积分也渗透于人文、社会科学，用它来描述和研究规律性的东西．哲学尤其关注微积分，那是因为微积分给了哲学许多的启示，它不仅影响到哲学方法，也影响到世界观．辩证唯物主义更关注微积分．马克思十分关心数学，何止是关心，他对数学还曾有过广泛而深入的研究，特别对微积分有专门的研究．马克思在1863年7月6日致恩格斯的信中说：“有空时我研究微积分．顺便说说，我有许多关于这方面的书籍，如果您愿意研究，我准备寄给您一本．”①1865年5月20日，马克思又在给恩格斯的一封信中说到：“在工作之余——西，任何其他读物总是把我赶回写字台来．”②马克思不只研究牛顿、莱布尼茨，而且研究了牛顿、莱布尼茨之后一个多世纪内的一批著名数学家，如达朗贝尔，欧拉，拉格朗日等人．1882年11月22日，马克思在致恩格斯的一封信中还说到：“我未尝不可用同样的态度去对待所谓微分方法的全部发展——这种方法始于牛顿和莱布尼茨的神秘方法，继之以达朗贝尔和欧拉的唯理论的方法，终于拉格朗日的严格的代数方法(但始终是从牛顿—莱布尼茨的原始的基本原理出发的)，——我未尝不可以用这样的话去对待分析的这一整个发展过程，说它在利用几何方法于微分学方面，也就是使之几何形象化方面，实际上并未引起任何实质性的改变．”③马克思那个时代写到了“终于拉格朗日”表明马克思已站在前沿，他可能还未看到柯西、魏尔斯特拉斯的分析方法、极限方法，但也是从“牛顿—莱布尼茨”那里出发的．从1863年的信到1882年的信，从信中表现出来的对微积分越来越深入的分析，可以看出，马克思是多么认真、多么深入又在多么漫长的时间里关注和研究着微积分！我们可以想一想，马克思作为一位哲学家、思想家、经济学家、政治家为何如此深切地关心和深入地研究数学尤其是微积分？再看看恩格斯本人．恩格斯在《自然辩证法》中有一段许多人熟悉的话：“数学中的转折点是笛卡儿的变数．有了变数，运动进入了数学，有了变数，辩证法进入了数学，有了变数，微分学和积分学也就立刻成为必要的了，而它们也就立刻产生，并且是由牛顿和莱布尼茨大体上完成的，但不是由他们发明的．”①当然，应当说大体上是由他们发现的，另一位可以说接近这一发现的是牛顿的老师——巴罗．恩格斯还在《反杜林论》这部著作中说到：“因为辩证法突破了形式逻辑的狭隘界限，所以它包含着更广的世界观的萌芽．在数学中也存在着同样的关系．初等数学，即常数的数学，是在形式逻辑的范围内活动的，至少总的说来是这样，而变数的数学——其中最重要的部分是微积分——本质上不外是辩证法在数学方面的运用．”②事实上，恩格斯不只是注意深入研究微积分，研究数学，他还令人敬佩地广泛地研究了他所处时代的数十个自然科学领域的最新成果．也许，恩格斯是一个杰出的榜样，是从社会文化的角度深刻分析过自然科学的榜样．顺便说说，列宁对于数学，尤其是物理学，也有过浓厚的兴趣．似乎在马克思、恩格斯、列宁之后的马克思主义者很少有这种兴趣，更少有这样深刻的见解．这是不是一种遗憾呢？也许，不一定每位马克思主义者都需要有如此广博而深刻的自然科学见解，也许学识与智慧及其表现形式也不一样．然而，有一点似乎应当是共同的，任何一位真正的马克思主义者必然是对自然科学的各种进步寄予深切关注和满腔热情的支持，并且特别关注它们对社会进步的巨大影响．邓小平具有这样的品质，邓小平亦可算这一方面的典范，虽然他没有可能熟悉现代意义下的微积分，但他把社会文化与自然文化也联系在一起．三、非欧几何直到现在，知道非欧几何的大学生还少得可怜，甚至大学数学专业本科毕业了，学习了大约15年以上的数学，不少人还是不知道非欧几何．这一事实，让人在赞美非欧几何之时多少有些遗憾．为了使我们的叙述更实在些，不能不以尽可能简洁的方式介绍一下有关背景．欧几里得几何在公元前300年就产生了，现在简称欧氏几何．中学生所学的几何基本上是欧氏几何，这种几何已流传两千多年，至今每个学生仍然学习它，多多少少要学习；它的影响遍及世界各国．欧氏几何的主要特征是首开公理方法，不仅是在数学领域，而且是在整个科学领域开创了公理方法．公理方法的基本要点是，从少数几个概念(原始概念)和少数几个命题(原始命题，又称公理)出发；演绎出本学科其他所有概念和命题，从而构成这一学科的全貌．运用这种方法的学科因而自然地被认为具有最严密的演绎体系，做到了这一点的学科就被认为是严谨的科学，也被认为是十分成熟的学科门类．所以，几何被认为是最早成熟的自然科学分支．由于几何在数学领域长期作为主要的代表，。

初中几何尺规作图的基本方法与技巧一、基本概念1.尺规作图：在几何里，用没有刻度的直尺和圆规来画图，叫做尺规作图。

2.基本作图：最基本、最常用的尺规作图，通常称基本作图。

3.五种常用的基本作图：(1)作一条线段等于已知线段；(2)作一个角等于已知角；(3)平分已知角；(4)作线段的垂直平分线．(5)经过一点作已知直线的垂线4.掌握以下几何作图语句：(1)过点×、点×作直线××；或作直线××，或作射线××；(2)连结两点×、×；或连结××；(3)在××上截取××=××；(4)以点×为圆心，××为半径作圆（或弧）；(5)以点×为圆心，××为半径作弧，交××于点×；(6)分别以点×、点×为圆心，以××、××为半径作弧，两弧相交于点××；(7)延长××到点×，或延长××到点×，使××=××．5.学过基本作图后，在以后的作图中，遇到属于基本作图的地方，只须用一句话概括叙述就可以了，如：(1)作线段××=××；(2)作∠×××=∠×××；(3)作××（射线）平分∠×××；(4)过点×作××⊥××，垂足为×；(5)作线段××的垂直平分线××．二、五种基本作图方法演示尺规作图的基本步骤和作图语言：一、作线段等于已知线段：已知：线段a求作：线段AB，使AB＝a作法：1.作射线AC2.在射线AC上截取AB＝a ，则线段AB就是所要求作的线段二、作角等于已知角：已知：∠AOB求作：∠A′O′B′,使∠A′O′B′=∠AOB.作法：(1)作射线O′A′(2)以点O为圆心，以任意长为半径画弧，交OA于点C，交OB 于点D(3)以点O′为圆心，以OC长为半径画弧，交O′A′于点C′(4)以点C′为圆心，以CD长为半径画弧，交前面的弧于点D′(5)过点D′作射线O′B′，∠A′O′B′就是所求作的角三、作角的平分线：已知：∠AOB,求作：∠AOB内部射线OC，使：∠AOC=∠BOC作法：(1)在OA和OB上，分别截取OD、OE，使OD=OE(2)分别以D、E为圆心，大于1/2DE的长为半径作弧，在∠AOB 内，两弧交于点C(3)作射线OC，OC就是所求作的射线四、作线段的垂直平分线（中垂线）或中点：已知：线段AB求作：线段AB的垂直平分线作法：(1)分别以A、B为圆心，以大于AB的一半为半径在AB两侧画弧，分别相交于E、F两点(2)经过E、F，作直线EF（作直线EF交AB于点O）直线EF就是所求作的垂直平分线（点O就是所求作的中点）五、过直线外一点作直线的垂线：（1）已知点在直线外已知：直线a、及直线a外一点A(画出直线a、点A)求作：直线a的垂线直线b，使得直线b经过点A作法：(1)以点A为圆心，以适当长为半径画弧，交直线a于点C、D.(2)以点C为圆心，以AD长为半径在直线另一侧画弧(3)以点D为圆心，以AD长为半径在直线另一侧画弧，交前一条弧于点B.(4)经过点A、B作直线AB，直线AB就是所画的垂线b(如图)（2）已知点在直线上已知：直线a、及直线a上一点A求作：直线a的垂线直线b，使得直线b经过点A作法：(1)以A为圆心，任一线段的长为半径画弧，交a于C、B 两点(2)点C为圆心，以大于CB一半的长为半径画弧；(3)以点B为圆心，以同样的长为半径画弧，两弧的交点分别记为M、N(4)经过M、N，作直线MN直线MN就是所求作的垂线b常用的作图语言：（1）过点×、×作线段或射线、直线；（2）连结两点××；（3）在线段××或射线××上截取××＝××；（4）以点×为圆心，以××的长为半径作圆（或画弧），交××于点×；（5）分别以点×，点×为圆心，以××，××的长为半径作弧，两弧相交于点×；（6）延长××到点×，使××＝××。

初二尺规作图五个方法
尺规作图，是一种利用尺规来绘制图形的一种方法。

它包括五种方法：
一、直线图法：用尺规将两个点之间的直线绘制出来，即可构成图形。

可以用来绘制简单的几何图形，如矩形、梯形、三角形等。

二、折线图法：用尺规将多个点之间的折线绘制出来，即可构成图形。

可以用来绘制复杂的曲线图形，如抛物线、椭圆等。

三、圆弧图法：用尺规将一个圆或一些圆弧绘制出来，即可构成图形。

可以用来绘制圆形的几何图形，如圆、圆环等。

四、线环图法：用尺规将一个线环绘制出来，即可构成图形。

可以用来绘制复杂的几何图形，如圆环、环形等。

五、投影法：用尺规将投影绘制出来，即可构成图形。

可以用来绘制立体图形，如体积图、投影图等。

以上就是尺规作图的五种方法。

尺规作图是一种简单实用的绘图方法，可以用来绘制各种几何图形和立体图形。

它的最大优势在于可以准确控制作图的尺寸和准确性，从而获得精确的图形。

由于尺规作图的优点，在日常工作中，它被广泛应用于设计图纸、绘制图形等方面。

尺规作图的五种方法都是绘图中必不可少的工具，因此，在绘制图形时，应该根据自身的需求充分考虑这五种方法，以求最佳的作图效果。

第七讲尺规作图尺规作图的基本知识一、几何作图的含义和意义含义：给定条件，设法作具备这些条件的图形，能据条件作出图形或作不出图形，故几何作图是存在问题的证明。

意义：建立学生具体几何观念的重要手段，是克服死记硬背定理的好办法；学以致用；为制图学提供理论基础；培养逻辑思维能力。

二、作图公法（1）通过两个已知点可作一直线；（2）已知圆心和半径作圆；（3）若两已知直线相交，或一已知直线和一已知圆（或圆弧）相交，或两已知圆相交，则可作出其交点。

上面三条叫作图公法。

若一个图不能有限次根据作图公理作出图形，则叫几何作图（或尺规作图）不能问题。

三、作图成法我们把根据作图公法或一些已经解决的作图题而完成的作图，叫做作图成法。

它可以在以后的作图中直接应用。

下面列举一些：（1）任意延长已知线段。

（2）在已知射线上自端点起截一线段等于已知线段。

（3）以已知射线为一边，在指定一侧作角等于已知角。

（4）已知三边，或两边及夹角，或两角及夹边作三角形。

（5）已知一直角边和斜边，作直角三角形。

（6）作已知线段的中点。

（7）作已知线段的垂直平分线。

（8）作已知角的平分线。

（9）过已知直线上或直线外一已知点，作此直线的垂线。

（10）过已知直线外已知点，作此直线的平行线。

（11）已知边长作正方形。

（12）以定线段为弦，已知角为圆周角，作弓形弧。

（13）作已知三角形的外接圆，内切圆，旁切圆。

（14）过圆上或圆外一点作圆的切线。

（15）作两已知圆的内、外公切线。

（16）作已知圆的内接（外切）正三角形、正方形，或正六边形。

（17）作一线段，使之等于两已知线段的和或差。

（18）作一线段，使之等于已知线段的n 倍或n 等分。

（19）内分或外分一已知线段，它们的比等于已知比。

（20）作已知三线段,,a b c 的第四比例项。

（21）作已知两线段,a b 的比例中项。

（22）已知线段,a b 作一线段为x =，或作一线段为)x a b =>。

用尺规作图的方法
使用尺规作图的方法通常是指使用直尺和圆规来绘制几何图形。

下面是一些常见的尺规作图方法：
1. 画直线：使用直尺将两点连接起来，得到直线段。

2. 作等分线段：给定一条线段AB，使用直尺从A点和B点分别向外画出等长的线段AC和BD，然后使用圆规以AC为半径或以BD为半径在A点或B点上作圆弧，两个圆弧的交点C即为原线段AB的中点。

3. 作平行线：给定一条直线AB和一点C，使用尺规方法如下：
a. 以C为中心，任意取一条长度大于AC的线段CD；
b. 使用圆规以C为中心，以线段CD的长度作圆弧，在直线AB上作出EF 两个交点；
c. 使用直尺连接线段EF，得到平行于直线AB的直线。

4. 作垂直线：给定一条直线AB和一点C，使用尺规方法如下：
a. 使用直尺连接点C与直线AB上的任意一点D；
b. 以点D为中心，调整圆规的宽度，绘制一个圆弧，与直线AB相交于E 和F两个点；
c. 使用直尺连接点C和点E或F，得到垂直于直线AB的直线。

5. 作角的平分线：给定一个角ACB，使用尺规方法如下：
a. 以点C为中心，绘制一个圆弧，与直线CA和CB分别相交于D和E两个点；
b. 以点D和E为中心，调整圆规的宽度，分别绘制两个圆弧，使得两个圆弧相交于F；
c. 使用尺子连接点C和F，得到角ACB的平分线。

需要注意的是，尺规作图方法不能解决所有的几何问题，只能在一些特定的条件下使用。

同时，尺规作图的精度也受到直尺和圆规的限制，因此绘制出的图形可能会有一定的误差。

在实际应用中，还需要结合其他几何工具和方法来进行精确的绘图。

尺规作图法尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图。

一把没有刻度的直尺看似不能做什么，画一个圆又不知道它的半径，画线段又没有精确的长度。

其实尺规作图的用处很大，比如单用圆规找出一个圆的圆心，量度一个角的角度，等等。

运用尺规作图可以画出与某个角相等的角，十分方便。

尺规作图是起源于古希腊的数学课题。

只使用圆规和直尺，并且只准许使用有限次，来解决不同的平面几何作图题。

平面几何作图，限制只能用直尺、圆规。

在历史上最先明确提出尺规限制的是伊诺皮迪斯。

他发现以下作图法：在已知直线的已知点上作一角与已知角相等。

这件事的重要性并不在于这个角的实际作出，而是在尺规的限制下从理论上去解决这个问题。

在这以前，许多作图题是不限工具的。

伊诺皮迪斯以后，尺规的限制逐渐成为一种公约,最后总结在《几何原本》之中。

若干著名的尺规作图已知是不可能的，而当中很多不可能证明是利用了由19世纪出现的伽罗华理论。

尽管如此，仍有很多业余爱好者尝试这些不可能的题目，当中以化圆为方及三等分任意角最受注意。

数学家Underwood Dudley曾把一些宣告解决了这些不可能问题的错误作法结集成书。

编辑本段基本要求·它使用的直尺和圆规带有想像性质，跟现实中的并非完全相尺规作图同：·直尺必须没有刻度，无限长，且只能使用直尺的固定一侧。

只可以用它来将两个点连在一起，不可以在上画刻度。

·圆规可以开至无限宽，但上面亦不能有刻度。

它只可以拉开成你之前构造过的长度。

编辑本段五种基本作图·作一条线段等于已知线段·作一个角等于已知角·作已知线段的垂直平分线·作已知角的角平分线·过一点作已知直线的垂线编辑本段尺规作图公法以下是尺规作图中可用的基本方法，也称为作图公法，任何尺规作图的步骤均可分解为以下五种方法：·通过两个已知点可作一直线。

·已知圆心和半径可作一个圆。

尺规作图·若两已知直线相交，可求其交点。

尺规作图总结简介尺规作图是一种使用尺子和圆规进行几何图形的构造的方法。

它在数学和工程领域都具有重要的应用价值。

本文将总结尺规作图的基本原理和常见的作图方法。

1. 尺规作图的基本原理尺规作图是基于尺子和圆规这两种工具的。

尺子一般用于测量和绘制直线，而圆规则则用于绘制圆和弧。

基本的尺规作图是通过将已知的几何图形和已知长度进行组合，或通过综合运用尺规的测量和辅助线技巧来构造新的几何图形。

2. 尺规作图的基本要素尺规作图主要包括以下几个基本要素：2.1. 知识库在尺规作图中，需要掌握一定的数学知识。

这些知识包括各种几何图形的性质、尺规作图的基本规则和定理等。

2.2. 工具尺规作图需要使用两种工具，即尺子和圆规。

尺子一般用于绘制直线和测量长度，圆规用于绘制圆和弧。

这两种工具可以协同工作，实现更复杂的图形构造。

2.3. 基本构造尺规作图中的基本构造包括点的标记和线段的绘制。

通过在平面上标记点，并使用尺子绘制线段，可以实现几何图形的构造。

2.4. 测量尺规作图中的测量包括长度的测量以及角度的测量。

通过尺规进行测量，可以获取几何图形中的数据，进而实现图形的构造和计算。

2.5. 辅助线技巧尺规作图中常常使用辅助线来帮助构造几何图形。

辅助线技巧包括平行线的构造、垂直线的构造、角平分线的构造等，通过运用这些技巧可以更方便地进行图形的构造。

3. 常见的尺规作图方法尺规作图有许多常见的方法和技巧。

下面将介绍一些常见的尺规作图方法。

3.1. 构造平行线构造平行线是尺规作图中常见的方法之一。

首先通过给定的两条直线AB和CD 构造角ACD，然后再通过构造与角ACD等大且通过点B的角，在BC上截取一段长度等于线段AB的线段CE，最后连接BE即可得到平行于线段AB的线段BE。

3.2. 构造垂直线构造垂直线是尺规作图中的另一种常见方法。

给定一条直线AB和一个点C，在点C处作一个半径等于线段AB的弧交直线AB于点D和点E，最后连接CD和CE即可得到垂直于线段AB的线段DE。

尺规作图方法
尺规作图方法是一种快速、准确的定位和构图要求的图形绘制方法，
主要用在直线和一些简单的图形的绘制。

其核心思想是通过尺规保持
定位，以及利用尺规完成绘图，从而得到较可靠的几何图形。

它简单、准确，即使是不太熟练的人也可以快速绘制出较为精确的图形。

尺规作图方法主要有两个步骤，定位和构图。

首先，在画图前，要根
据题目提供的数据，利用尺规进行定位，包括定点、计算长度、计算
角度等。

其次，在定位完成之后，开始使用尺规进行构图，分别画出
全部的线段、弧线和圆弧，以此来绘制出所需要的图形。

尺规作图方法可以用于各种几何图形，其中最常见的是平行四边形、
等边三角形和扇形等，最常用到的是斜率表示法。

斜率表示法是一种
线性表达式，它可以描述图形的特征，如斜率、直线的斜角等，从而
使用尺规绘制出所需的图形。

尺规作图方法是解决几何作图问题的一种有效手段，它可以有效提高
图形绘制的准确性，并以更简单的方式完成几何图形的绘制。

因此，
尺规作图方法在解决几何图形绘制问题中有着重要的作用。