江苏省华罗庚中学2011届高三数学高考模拟试题2 精品

江苏省常州市华罗庚高级中学高三数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知直线和直线，抛物线上一动点到直线和直线的距离之和的最小值是A．B．2 C．D．3参考答案：B略2. 已知a是函数的零点，a，则的值满足( )A．＝0 B．＞0 C．＜0 D．的符号不确定参考答案：3. 对任意实数ｘ，y，定义运算ｘ* y=aｘ+by+cxy，其中ａ，ｂ，c是常数，等式右边的运算是通常的加法和乘法运算，已知l*2＝3，2*3＝4，并且有一个非零常数m，使得对任意实数ｘ，都有ｘ*m＝ｘ，则ｍ的值是（）A ．4 Ｂ．－4 C．－5 Ｄ．６参考答案：A4. 复数z满足（z﹣2）（1﹣i）=2（i为虚数单位），则z的共轭复数为（）A．1﹣i B．1+i C．3﹣i D．3+i参考答案：C 略5. （2016郑州一测）已知函数，，若，使得，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．参考答案：C∵，，当且仅当时，．时，∴．依题意，∴．6. 函数的图象恒过定点A，若点A在直线上，其中的最小值为A．1 B．2 C．3 D．4参考答案：B7. 已知平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，若A. B. C.6 D.8参考答案：D略8. 已知数列的前n项和,则此数列奇数项的前n项和为(A. B. C. D.(参考答案：C9. 原命题：“设，若，则”的逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个数有------------------ --( )A．B．C．D．参考答案：B10. 已知数列{a n}满足a1=1，且，且n∈N*），则数列{a n}的通项公式为( )A．a n=B．a n=C．a n=n+2 D．a n=（n+2）3n参考答案：B考点：数列递推式．分析：由题意及足a1=1，且，且n∈N*），则构造新的等差数列进而求解．解答：解：因为，且n∈N*）?，即，则数列{b n}为首项，公差为1的等差数列，所以b n=b1+（n﹣1）×1=3+n﹣1=n+2，所以，故答案为：B 点评：此题考查了构造新的等差数列，等差数列的通项公式．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知f（x）=3x﹣2，若f（x）的图象关于点A（2，1）对称的图象对应的函数为g（x），则g （x）的表达式为．参考答案：g（x）=3x﹣8【考点】函数解析式的求解及常用方法．【分析】根据f（x）的解析式以及A（2，1）求出g（x）=f（x﹣2），从而求出g（x）的解析式．【解答】解：已知f（x）=3x﹣2，若f（x）的图象关于点A（2，1）对称的图象对应的函数为g（x），则g（x）为f（x）向右平移2个单位即g（x）=f（x﹣2）=3（x﹣2）﹣2=3x﹣8，故答案为：g（x）=3x﹣8．12.已知集合，，则= 。

2011——2015江苏省高考数学题汇编2（解答题）15题考查三角函数（14分）15.在ABC V 中，已知2,3,60.AB AC A ===o(1)求BC 的长；（2）求sin 2C 的值。

15.(本小题满分14分) 已知),2(ππα∈,55sin =α. (1)求)4sin(απ+的值； (2)求)265cos(απ-的值. 15、（本小题满分14分） 已知向量(cos ,sin ),(cos ,sin ),0a b ααβββαπ==<<< 。

（1）若||2a b -= ，求证：a b ⊥ ；（2）设(0,1)c = ，若a b c += ，求βα,的值。

15．（本小题满分14分）在ABC ∆中，已知3AB AC BA BC = ．（1）求证：tan 3tan B A =；（2）若5cos 5C =，求A 的值．15.(本小题满分14分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.(Ⅰ)若sin 6A π⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝2cos A ，求A 的值； (Ⅱ)若cos A ＝13，b ＝3c ，求sin C 的值.16题立体几何（14分）16.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，已知1,AC BC BC CC ⊥=.设1AB 的中点为D ，11.B C BC E ⋂=求证：（1）11//DE AACC 平面(2)11BC AB ⊥16.(本小题满分14分)如图，在三棱锥ABC P -中，D ，E ，F 分别为棱AB AC PC ,,的中点.已知AC PA ⊥,,6=PA .5,8==DF BC求证: (1)直线//PA 平面DEF ；(2)平面⊥BDE 平面ABC .16、（本小题满分14分）如图，在三棱锥S-ABC 中，平面⊥SAB 平面SBC,BC AB ⊥，AS=AB 。

过A 作SB AF ⊥，垂足为F ，点E 、G 分别为线段SA 、SC 的中点。

2011年江苏省南京市某校高三摸底数学试卷一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1. 若复数(2+a)−ai（i为虚数单位）是纯虚数，则实数a的值为________．2. 若sin(π6−α)=−13，则cos(π3+α)=________．3. 过原点作曲线y=1nx的切线，则切线方程为________．4. 设集合A={x|13<3x<√3}，B={x|x−1x<0}，则A∪B=________．5. 根据《中华人民共和国道路交通安全法》规定：车辆驾驶员血液酒精浓度在20−80mg/100ml（不含80）之间，属于酒后驾车，处暂扣一个月以上三个月以下驾驶证，并处200元以上500元以下罚款；血液酒精浓度在80mg/100ml（含80）以上时，属醉酒驾车，处十五日以下拘留和暂扣三个月以上六个月以下驾驶证，并处500元以上2000元以下罚款．据《法制晚报》报道，2009年8月15日至8月28日，全国查处酒后驾车和醉酒驾车共28800人，如图是对这28800人血液中酒精含量进行检测所得结果的频率分布直方图，则属于醉酒驾车的人数约为________人．6. 已知扇形的半径为10cm，圆心角为120∘，则扇形的面积为________cm2．7. 将函数y=sin2x的图象向左平移π4个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是________．8. 把一根均匀木棒随机地按任意点拆成两段，则“其中一段长度大于另一段长度2倍”的概率为________．9. 学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽出了一个容量为n的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在[50, 60)元的同学有30人，则n的值为________．10. 已知抛物线y2=2px(p>0)焦点F恰好是双曲线x2a2−y2b2=1的右焦点，且双曲线过点(3a2 p ,2b2p)，则该双曲线的渐近线方程为________11. 已知函数f(x)={2x−1,x>0−x2−2x,x≤0，若函数g(x)=f(x)−m有3个零点，则实数m的取值范围是________．12. 当0≤x ≤12时，|ax −2x 3|≤12恒成立，则实数a 的取值范围是________．13. 首项为正数的数列{a n }满足a n+1=14(a n 2+3)，n ∈N +，若对一切n ∈N +都有a n+1>a n ，则a 1的取值范围是________．14. 已知函数f(x)=|x|−1，关于x 的方程f 2(x)−|f(x)|+k =0，给出下列四个命题： ①存在实数k ，使得方程恰有2个不同的实根； ②存在实数k ，使得方程恰有4个不同的实根； ③存在实数k ，使得方程恰有5个不同的实根； ④存在实数k ，使得方程恰有8个不同的实根． 其中真命题的序号为________．二、解答题（共6小题，满分90分）15. 已知A 、B 、C 为△ABC 的三个内角，且其对边分别为a 、b 、c ，且2cos 2A2+cosA =0．（1）求角A 的值；（2）若a =2√3，b +c =4，求△ABC 的面积．16. 如图：PA ⊥平面ABCD ，ABCD 是矩形，PA ＝AB ＝1，AD =√3，点F 是PB 的中点，点E 在边BC 上移动．(Ⅰ)求三棱锥E −PAD 的体积；(Ⅱ)当点E 为BC 的中点时，试判断EF 与平面PAC 的位置关系，并说明理由； (Ⅲ)证明：无论点E 在边BC 的何处，都有PE ⊥AF ．17. 某公园准备建一个摩天轮，摩天轮的外围是一个周长为k 米的圆．在这个圆上安装座位，且每个座位和圆心处的支点都有一根直的钢管相连．经预算，摩天轮上的每个座位与支点相连的钢管的费用为8k 元/根，且当两相邻的座位之间的圆弧长为x 米时，相邻两座位之间的钢管和其中一个座位的总费用为[(1024√x+20)x100+2]k 元．假设座位等距离分布，且至少有两个座位，所有座位都视为点，且不考虑其他因素，记摩天轮的总造价为y 元． （1）试写出y 关于x 的函数关系式，并写出定义域；（2）当k =100米时，试确定座位的个数，使得总造价最低？18. 已知椭圆P 的中心O 在坐标原点，焦点在x 轴上，且经过点A(0, 2√3)，离心率为12 (1)求椭圆P 的方程；(2)是否存在过点E(0, −4)的直线l 交椭圆P 于点R ，T ，且满足OR →⋅OT →=167．若存在，求直线l 的方程；若不存在，请说明理由．19. 数列{a n }满足：a n+1=3a n −3a n 2，n =1，2，3，…， （1）若数列{a n }为常数列，求a 1的值；（2）若a 1=12，求证：23<a 2n ≤34；（3）在（2）的条件下，求证：数列{a 2n }单调递减． 20. 已知函数f(x)=a |x|+2a x(a >0, a ≠1)，（1）若a >1，且关于x 的方程f(x)=m 有两个不同的正数解，求实数m 的取值范围； （2）设函数g(x)=f(−x)，x ∈[−2, +∞)，g(x)满足如下性质：若存在最大（小）值，则最大（小）值与a 无关．试求a 的取值范围．2011年江苏省南京市某校高三摸底数学试卷答案1. −22. −133. y =1e x4. {x|−1<x <1}5. 43206.1003π7. y =2cos 2x 8. 239. 100 10. y =±√104x 11. (0, 1) 12. −12≤a ≤32 13. 0<a 1<1或a 1>3 14. ①②③④15. 解：（1）由2cos 2A2+cosA =0，得1+cosA +cosA =0，即cosA =−12，∵ A 为△ABC 的内角，∴ A =2π3，（2）由余弦定理：a 2=b 2+c 2−2bccosA∴ a 2=(b +c)2−bc 即12=42−bc∴ bc =4 ∴ S △ABC =12bcsinA =√3．16. （1）三棱锥E −PAD 的体积V =13PA ⋅S △ADE =13PA ⋅(12AD ⋅AB)=√36．（2）当点E 为BC 的中点时，EF 与平面PAC 平行． ∵ 在△PBC 中，E 、F 分别为BC 、PB 的中点，∴ EF // PC ，又EF ⊄平面PAC ，而PC ⊂平面PAC ， ∴ EF // 平面PAC ． (Ⅲ)证明：∵ PA ⊥平面ABCD ，BE ⊂平面ABCD ，∴ EB ⊥PA ，又EB ⊥AB ，AB ∩AP ＝A ，AB ，AP ⊂平面PAB ， ∴ EB ⊥平面PAB ，又AF ⊂平面PAB ， ∴ AF ⊥BE ．又PA ＝AB ＝1，点F 是PB 的中点， ∴ AF ⊥PB ，又∵ PB ∩BE ＝B ，PB ，BE ⊂平面PBE ， ∴ AF ⊥平面PBE ． ∵ PE ⊂平面PBE ， ∴ AF ⊥PE ．17. 解：（1）设摩天轮上总共有n 个座位，则x =kn即n =kx，y =8k kx+k x [(1024√x+20)x100+2]k =k 2(10x+1024√x+20100)，定义域{x|0<x ≤k2，kx ∈Z}； （2）当k =100时，令y =100(1000x+1024√x +20)f(x)=1000x+1024√x ，则f′(x)=−1000x 2+√x=−1000+512x 32x 2=0，∴ x 32=12564⇒x =(12564)23=2516，当x ∈(0,2516)时，f′(x)<0，即f(x)在x ∈(0,2516)上单调减， 当x ∈(2516，50)时，f′(x)>0，即f(x)在x ∈(2516，50)上单调增，y min 在x =2516时取到，此时座位个数为1002516=64个．18. 解：(1)设椭圆P 的方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)， 由题意得b =2√3，ca =12， ∴ a =2c ，b 2=a 2−c 2=3c 2， ∴ c =2，a =4，∴ 椭圆P 的方程为：x 216+y 212=1．(2)假设存在满足题意的直线L ．易知当直线的斜率不存在时，OR →⋅OT →<0，不满足题意． 故设直线L 的斜率为k ，R(x 1, y 1)，T （x 2, y 2 ）．∵ OR →⋅OT →=167，∴ x 1⋅x 2+y 1⋅y 2=167，由{y =kx −4x 216+y 212=1 ，可得（3+4k 2 ）x 2−32kx +16=0， 由Δ=(−32k)2−4(3+4k 2)⋅16>0， 解得k 2>14 ①． ∴ x 1+x 2=32k 3+4k2，x 1⋅x 2=163+4k 2，∴ y 1⋅y 2=（kx 1−4 ）(kx 2−4)=k 2 x 1⋅x 2−4k(x 1+x 2)+16， ∴ x 1⋅x 2+y 1⋅y 2=163+4k 2+16k 23+4k 2−128k 23+4k 2+16=167，∴ k 2=1 ②，由①、②解得k =±1，∴ 直线l 的方程为y =±x −4， 故存在直线l:x +y +4=0，或x −y −4=0，满足题意． 19. 解：（1）因为数列{a n }为常数列， 所以a n+1=a n ，a n =√a n +32，解得a n =0或a n =23，由n 的任意性知，a 1=0或a 1=23，所以a =0，或a =23；（2）用数学归纳法证明23<a 2n ≤34， 1当n =1时，a 2=34，符合上式， ②假设当n =k(k ≥1)时，23<a 2k ≤34，因为23<a 2k ≤34，所以916≤3a 2k −3a 2k 2<23，即916≤a 2k+1<23，从而23<3a 2k+1−3a 2k+12≤189256，即23<a 2k+2≤189256， 因为189256<34，所以，当n =k +1时，23<a 2k+2≤34成立，由①，②知，23<a 2k ≤34；（3）因为a 2n −a 2n−2=3(3a 2n−2−3a 2n−22)−3(3a 2n−2−3a 2n−22)2−a 2n−2=−27a 2n−24+54a 2n−23−36a 2n−22+8a 2n−2(n ≥2)，所以只要证明−27a 2n−24+54a 2n−23−36a 2n−22+8a 2n−2<0，由（2）可知，a 2n−2>0，所以只要证明−27a 2n−23+54a 2n−22−36a 2n−2+8<0，即只要证明27a 2n−23−54a 2n−22+36a 2n−2−8>0， 令f(x)=27x 3−54x 2+36x −8，f ′(x)=27×3x 2−54×2x +36=9(9x 2−12x +4)=9(3x −2)2≥0， 所以函数f(x)在R 上单调递增，因为23<a 2n−2≤34，所以f(a 2n−2)>f(23)=0，即27a 2n−23−54a 2n−22+36a 2n−2−8>0成立， 故a 2n <a 2n−2，所以数列{a 2n }单调递减． 20. 解：（1）令a x =t ，x >0， ∵ a >1，所以t >1，∴ 关于x 的方程f(x)=m 有两个不同的正数解转化为：方程t +2t=m 有相异的且均大于1的两根，∴ {△=m 2−8>0m2>112−m +2>0解得2√2<m <3，故实数m 的取值范围是(2√2，3)．（2）g(x)=a |x|+2a x ，x ∈[−2, +∞) ①当a >1时，x ≥0时，a x ≥1，g(x)=3a x ，所以g(x)∈[3, +∞)，−2≤x <0时，1a 2≤a x <1，g(x)=a −x +2a x ，所以g′(x)=−a −x lna +2a x lna =2(a x )2−1a xlnaⅰ当1a 2>√12即1<a <√24时，对∀x ∈(−2, 0)，g′(x)>0，所以g(x)在[−2, 0)上递增，所以g(x)∈[a 2+2a 2，3)，综上：g(x)有最小值为a 2+2a 2与a 有关，不符合ⅱ当1a 2≤√12即a ≥√24时，由g′(x)=0得x =−12log a 2， 且当−2<x <−12log a 2时，g′(x)<0， 当−12log a 2<x <0时，g′(x)>0，所以g(x)在[−2,−12log a2]上递减，在[−12log a2，0]上递增，所以g(x)min=g(−12log a2)=2√2，综上：g(x)有最小值为2√2与a无关，符合要求．②当0<a<1时，a)x≥0时，0<a x≤1，g(x)=3a x，所以g(x)∈(0, 3]b)−2≤x<0时，1<a x≤1a2，g(x)=a−x+2a x，所以g′(x)=−a−x lna+2a x lna=2(a x)2−1a xlna<0，g(x)在[−2, 0)上递减，所以g(x)∈(3,a2+2a2]，综上：a)b)g(x)有最大值为a2+2a2与a有关，不符合综上所述，实数a的取值范围是a≥√24．。

(第6题图)江苏省华罗庚中学高考数学模拟试卷第Ⅰ卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1、已知集合{}{}x N x M ,1,,12==，且集合N M =，则实数x 的值为 ▲ . 2、设复数122z i =+，222z i =-，则12z z = ▲ . 3、某单位有职工52人，现将所有职工按l 、2、3、…、52随机编号，若采用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知6号、32号、45号职工在样本中，则样本中还有一个职工的编号是 ▲ .4、在数字1、2、3、4四个数中，任取两个不同的数，其和大于积的 概率是 ▲ .5、设双曲线22145x y -=的左、右焦点分别为1F ,2F ,点P 为双曲线上位于第一象限内一点，且21F PF ∆的面积为6，则点P 的坐标为 ▲ .6. 右图是一个算法流程图，若输入x 的值为－4，则输出y 的值为 ▲ .7. 已知正方形ABCD 的边长为2，E ，F 分别为BC ，DC 的中点，沿AE ，EF ，AF 折成一个四面体，使B ，C ，D 三点重合，则这个四面体的体积为 ▲ .8、正三角形ABC 边长为2，设3,2==，则BE AD ⋅= ▲ .9. 设a R ∈,s : 数列{}2()n a -是递增数列；t :a 1≤,则s 是t 的 ▲ 条件.（请在“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中选择填写） 10. 二维空间中，圆的一维测度（周长）l ＝2πr ，二维测度（面积）S ＝πr 2；三维空间中，球的二维测度（表面积）S ＝4πr 2，三维测度（体积）V ＝43πr 3.应用合情推理，若四维空间中，“超球”的三维测度V ＝8πr 3，则其四维测度W ＝ ▲ .11. 如图，已知圆M ：()()43322=-+-y x ，四边形ABCD 为圆M 的内接正方形，E 为边AB 的中点，当正方形ABCD 绕圆心M 转动，同时点F 在边AD 上运动时OF ME ⋅，的最大值是 ▲ .12. 已知六个点11(,1)A x ，12(,1)B x -,23(,1)A x ,24(,1)B x -,35(,1)A x ,36(,1)B x -(123456x x x x x x <<<<<,615x x π-=)都在函数f (x )=sin (x +3π)的图象C 上，如果这六个点中不同两点的连线的中点仍在曲线C 上，则称此两点为“好点组”，则上述六点中好点组的个数为 ▲ .（两点不计顺序）13. 已知f (x )= 222mx m ++,0,,m m R x R ≠∈∈.若121x x +=，则12()()f x f x 的取值范围是 ▲ .14. 定义区间(][)()[].,,,,,,,c d c d d c d c d c d c >-，其中的长度均为若a 、b 为实数，且PAb a >，则满足不等式111≥-+-bx a x 的x 构成的区间长度之和为 ▲ .二、解答题（本大题共6道题90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. （本题满分14分）已知向量(sin ,1)m x =-，向量1(3cos ,)2n x =，函数()()f x m n =+·m . （Ⅰ）求f （x ）的最小正周期T ; （Ⅱ）若不等式f （x ）－t =0在[,]42x ππ∈上有解，求实数t 的取值范围．16．（本题满分14分）如图，四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为菱形，BD ⊥面P AC ,AC =10，P A =6,cos ∠PCA =45，M 是PC 的中点．（Ⅰ）证明PC ⊥平面BMD ;（Ⅱ）若三棱锥M －BCD 的体积为14，求菱形ABCD 的边长．17. （本题满分14分）如图，一个半圆和长方形组成的铁皮，长方形的边AD 为半圆的直径，O 为半圆的圆心，AB =1,BC =2,现要将此铁皮剪出一个等腰三角形PMN ，其底边MN ⊥BC . （1）设,30=∠MOD 求三角形铁皮PMN 的面积； （2）求剪下的铁皮三角形PMN 面积的最大值.18. （本小题满分16分）已知椭圆C ：22221x y a b+=(a >b >0)的上顶点为A ，左，右焦点分别为F 1，F 2,且椭圆C过点P (43，b3)，以AP 为直径的圆恰好过右焦点F 2.(1)求椭圆C 的方程；(2)若动直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，试问：在x 轴上是否存在两定点，使其到直线l 的距离之积为1？若存在，请求出两定点坐标；若不存在，请说明理由.19．（本题满分16分）已知数列16n a n =-,(1)15n n b n =--,其中*n N ∈(1)求满足1n a +=n b 的所有正整数n 的集合； （2）n ≠16,求数列nnb a 的最大值和最小值； （3）记数列{}n n a b 的前 n 项和为n S ，求所有满足22m n S S =（m <n ）的有序整数对(m ,n ).20. （本题满分16分）已知函数f (x )=(x -a )2()x b -,a ,b 为常数， （1）若a b ≠,求证：函数f (x )存在极大值和极小值；（2）设（1）中 f (x ) 取得极大值、极小值时自变量的分别为12,x x ，令点A 11(,()x f x )，B 22(,()x f x ),如果直线AB 的斜率为12-，求函数f (x )和()x f '的公共递减区间的长度； （3）若()()x mxf x f /≥对于一切x R ∈ 恒成立，求实数m ，a ，b 满足的条件.江苏省华罗庚中学高考数学模拟试卷第Ⅱ卷（附加题）21.【选做题】在下面A 、B 、C 、D 四个小题中只能选做两题，每小题10分，共20分． A ．选修4－1：几何证明选讲如图，圆O 的直径C AB ,8=为圆周上一点, 4=BC , 过C 作圆的切线, 过A 作直线的垂线AD , D 为垂足, AD 与圆O 交于点E , 求线段AE 的长．B ．选修4—2：矩阵与变换已知点A 在变换T ：2x x x y y y y '+⎡⎤⎡⎤⎡⎤→=⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦作用后，再绕原点逆时针旋转90o，得到点B ．若点B 的坐标为（—3，4），求点A 的坐标．C ．选修4－4：坐标系与参数方程已知曲线C 的极坐标方程是.cos 4θρ=以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程是)(是参数t ty mt x ⎩⎨⎧=+=.若l 与C相交于AB 两点，且AB =14.求实数m 的值.D ．选修4—5：不等式选讲设n a a a ,,,21 都是正数, 且121=⋅n a a a , 求证：()()()nn a a a 211121≥+++ .【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．解答时应写出文字证明、说明过程或演算步骤．22．一个袋中有6个形状大小完全相同的小球，球的编号分别为1,1,1,2,2,3,现从袋中一次随机抽取3个球.（1）若有放回的抽取3次，求恰有2次抽到编号为3的小球的概率； （2）记球的最大编号为X ，求随机变量X 的分布列与数学期望.23．如图，已知抛物线M ：()042>=p py x 的准线为l ，N 为l 上的一个动点，过点N作抛物线M 的两条切线，切点分别为A ,B ，再分别过A ,B 两点作l 的垂线，垂足分别为C ,D .（1）求证：直线AB 必经过y 轴上的一个定点Q ，并写出点Q 的坐标； （2）若ANB BDN ACN ∆∆∆,,的面积依次构成等差数列，求此时点N 的坐标.(第6题图)江苏省华罗庚中学高三数学高考模拟试卷（二）第Ⅰ卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1、已知集合{}{}x N x M ,1,,12==，且集合N M =，则实数x 的值为 ▲ .0 2、设复数122z i =+，222z i =-，则12z z = i 3、某单位有职工52人，现将所有职工按l 、2、3、…、52随机编号，若采用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知6号、32号、45号职工在样本中，则样本中还有一个职工的编号是 .194、在数字1、2、3、4四个数中，任取两个不同的数，其和大于积的概率是 . 125、设双曲线22145x y -=的左、右焦点分别为1F ,2F ,点P 为双曲线上位于第一象限内一点，且21F PF ∆的面积为6，则点P 的坐标为 . ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2,556 6. 右图是一个算法流程图，若输入x 的值为－4，则输出y 的值为 ▲ .27. 已知正方形ABCD 的边长为2，E ，F 分别为BC ，DC 的中点，沿AE ，EF ，AF 折成一个四面体，使B ，C ，D 三点重合，则这个四面体的体积为 ▲ . 138、正三角形ABC 边长为2，设3,2==，则⋅= ▲ .-29. 设a R ∈,s : 数列{}2()n a -是递增数列；t :a 1≤,则s 是t 的 条件.必要不充分 10. 二维空间中，圆的一维测度（周长）l ＝2πr ，二维测度（面积）S ＝πr 2；三维空间中，球的二维测度（表面积）S ＝4πr 2，三维测度（体积）V ＝43πr 3.应用合情推理，若四维空间中，“超球”的三维测度V ＝8πr 3，则其四维测度W ＝ ▲ . 2πr 4 11. 如图，已知圆M ：()()43322=-+-y x ，四边形ABCD 为圆M 的内接正方形，E 为边AB 的中点，当正方形ABCD 绕圆心M 转动，同时点F 在边AD 上运动时OF ME ⋅，的最大值是▲ 8 12. 已知六个点11(,1)A x ，12(,1)B x -,23(,1)A x ,24(,1)B x -,35(,1)A x ,36(,1)B x -(123456x x x x x x <<<<<,615x x π-=)都在函数f (x )=sin (x +3π)的图象C 上，如果这六个点中不同两点的连线的中点仍在曲线C 上，则称此两点为“好点组”，则上述六点中好点组的个数为 （两点不计顺序）11 13. 已知f (x )= 222mx m ++,0,,m m R x R ≠∈∈.若121x x +=，则12()()f x f x 的取值范围是 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-22,221 14. 定义区间(][)()[].,,,,,,,c d c d d c d c d c d c >-，其中的长度均为若a 、b 为实数，且b a >，则满足不等式111≥-+-bx a x 的x 构成的区间长度之和为______.2二、解答题（本大题共6道题90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. （本题满分14分）已知向量(sin ,1)m x =-，向量1(3cos ,)2n x =，函数()()f x m n =+·m . （Ⅰ）求f （x ）的最小正周期T ; （Ⅱ）若不等式f （x ）－t =0在[,]42x ππ∈上有解，求实数t 的取值范围．16．（本题满分14分）如图，四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为菱形，BD ⊥面P AC ,AC =10，P A =6,cos ∠PCA =45，M 是PC 的中点．（Ⅰ）证明PC ⊥平面BMD ; （Ⅱ）若三棱锥M －BCD 的体积为14，求菱形ABCD 的边长．又.7,421,321=∴====BD PC CM PA MO ……………………………………12分21492752222=⎪⎭⎫⎝⎛+=+=∴BO AO AB 菱形边长.…………………………14分17. （本题满分14分）如图，一个半圆和长方形组成的铁皮，长方形的边AD 为半圆的直径，O 为半圆的圆心，AB =1,BC =2,现要将此铁皮剪出一个等腰三角形PMN ，其底边MN ⊥BC . （1）设,30 =∠MOD 求三角形铁皮PMN 的面积； （2）求剪下的铁皮三角形PMN 面积的最大值. 解：(1)设MN 交AD 交于Q 点∵∠MQD =30°，∴MQ =21，OQ =23（算出一个得2分） S △PMN =21MN ·AQ =21×23×（1+23）=8336+ ……………….……… 6（2）设∠MOQ =θ，∴θ∈［0，2π］，MQ =sin θ，OQ =cos θ∴S △PMN =21MN ·AQ =21(1+sin θ)(1+cos θ) =21(1+sin θcos θ+sin θ+cos θ)……………………………….11分 令sin θ+cos θ=t ∈［1，2］，∴S △PMN =21(t +1+212-t ) θ=4π，当t =2,∴S △PMN 的最大值为4223+.………………………..……………14分18. （本题满分16分）已知椭圆C ：22221x y a b+=(a >b >0)的上顶点为A ，左，右焦点分别为F 1，F 2,且椭圆C过点P (43，b3)，以AP 为直径的圆恰好过右焦点F 2.(1)求椭圆C 的方程；(2)若动直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，试问：在x 轴上是否存在两定点，使其到直线l 的距离之积为1？若存在，请求出两定点坐标；若不存在，请说明理由.解：(1)因为椭圆过点P (43，b 3),所以169a 2+19=1,解得a 2=2, ………2分又以AP 为直径的圆恰好过右焦点F 2.所以AF 2⊥F 2P ,即-b c ⋅b 343-c =-1, b 2=c (4-3c ) (6)分而b 2=a 2-c 2=2-c 2,所以c 2-2c +1=0,解得c 2=1,故椭圆C 的方程是x 22+y 2=1. ………………………8分(2)①当直线l 斜率存在时，设直线l 方程为y =kx +p ，代入椭圆方程得(1+2k 2)x 2+4kpx +2p 2－2=0. 因为直线l 与椭圆C 有只有一个公共点，所以 △=16k 2p 2－4(1+2k 2)(2p 2－2)=8(1+2k 2―p 2)=0，即 1+2k 2=p 2. …………………………………10分 设在x 轴上存在两点(s ,0),(t ,0),使其到直线l 的距离之积为1,则 |ks +p |k 2+1 ⋅ |kt +p |k 2+1=|k 2st +kp (s +t )+p 2|k 2+1=1,即(st +1)k +p (s +t )=0(*)，或(st +3)k 2+(s +t )kp +2=0 (**).由(*)恒成立,得⎩⎨⎧st +1=0，s+t =0.解得⎩⎨⎧s =1t =-1,或⎩⎨⎧s =-1t =1, …………………………14分而(**)不恒成立.②当直线l 斜率不存在时，直线方程为x =±2时，定点(－1，0)、F 2(1，0)到直线l 的距离之积d 1⋅ d 2=(2－1)(2+1)=1.综上,存在两个定点(1,0),(-1,0),使其到直线l 的距离之积为定值1. ………16分19．（本题满分16分）已知数列16n a n =-,(1)15n n b n =--,其中*n N ∈(1)求满足1n a +=n b 的所有正整数n 的集合； （2）n ≠16,求数列nnb a 的最大值和最小值； （3）记数列{}n n a b 的前 n 项和为n S ，求所有满足22m n S S =（m <n ）的有序整数对(m ,n ). 解：(1)a n +1=｜b n ｜，n －15=｜n －15｜，当n ≥15时,a n +1=｜b n ｜恒成立， 当n <15时,n －15=－(n －15) ，n =15n 的集合{n ｜n ≥15,n ∈N *}……………………………………….…………….…………….4分(2)nn a b =1615)1(---n n n(i)当n>16时，n 取偶数n n a b =1615--n n =1+161-n ,当n=18时（nn a b）max =23无最小值n 取奇数时n n a b =-1-161-n ,n=17时（nn a b）min =-2无最大值 ………………………………8分(ii)当n<16时，nna b =16)15()1(---n n n当n 为偶数时n n a b =16)15(---n n =-1-161-n ,n=14时（nn a b）max =-21（n n a b ）min =-1413当n 奇数 n n a b =1615--n n =1+161-n ， n=1 ， （nn a b）max =1-151=1514，n =15，（nn a b）min =0 ………………………………………………………………………11分综上，nn a b最大值为23（n =18）最小值-2（n =17） (12)分(3)n≤15时，b n =(-1)n-1(n-15)，a 2k -1b 2k -1+a 2k b 2k =2 (16-2k )≥0 ，n >15时，b n =(-1)n (n -15)，a 2k -1b 2k -1+a 2k b 2k =2 (2k -16) >0，其中a 15b 15+a 16b 16=0∴S 16=S 14 m =7， n =8…………………………………………………………….16分 20. （本题满分16分）已知函数f (x )=(x -a )2()x b -,a ,b 为常数，（1）若a b ≠,求证：函数f (x )存在极大值和极小值；（2）设（1）中 f (x ) 取得极大值、极小值时自变量的分别为12,x x ，令点A 11(,()x f x )，B 22(,()x f x ),如果直线AB 的斜率为12-，求函数f (x )和()x f '的公共递减区间的长度；（3）若/()()f x mf x ≥对于一切x R ∈ 恒成立，求实数m ，a ，b 满足的条件.解：（1）[])2(3)()(/b a x b x x f +--= …………………………………………………1分b a ≠ 32b a b +≠∴0)(,=∴x f 有两不等 b 和32ba + ∴f （x ）存在极大值和极小值 (4)分（2）①若a =b ，f （x ）不存在减区间②若a >b 时由（1）知x 1=b ，x 2=32ba + ∴A （b ,0）B ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--+9)(2,322b a b a 21329)(22-=-+-∴b b a b a ∴)(3)(22b a b a -=- 23=-∴b a③当a <b 时 ，x 1=32b a +,x 2=b 。