二重极限 二次极限 方向极限 点列极限四者之关系
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摘南师食学报(综合版)一九八七年第一翔
二重极限二次极限方向极限点列极限
四
者之关系
朱长贵
在讨论研究多元函数的有关理论和概念时,
重点是研究二元函数。
因为二元函数所
讨论的一切结论都能相应地推广到n
(n
>2)元函数上去。
其多元函数的极限理论也是
如此。
设二元函数
Z一f(x,
y),
P(x,
y)〔DcR艺,
P。
(x。,
y。
)为D的聚点
一、
由定义讨论它们之间的关系
二有极限:
V仑>0,
习色>O,
当0
j
1im
P
净Po}f(p)一f(p。
)1
f(p)二A
(A为常数)
这就是说当点P(x,
y)以任何方式、
沿任何路径趋向于定翻点P。
(x。,
y。
)时始终都
有f(p),A
二次极限:
当固定y(y今y。
)时,
若有
limf(x,
y)=g(y)、
且limg(y)~A:2
存在,
则有二次极限
X
一Xo
y申yo
l:
mlimf(x,
y)一A::
y
今yoX
今Xo
类似地可以定义另一个二次极限
11ml1mf(x,
y)=A::
x
~xoy
~yo
可见二次极限是先后对两个不同变量取极限的过程,
而且不能随便更换次序,
其实
质是连续进行两次一元函数的极限运算
方向极限:
当点P(x,
y)沿射线y=y(x
)(该射线与二,
y轴所成的角分别为a,
日
且y。
=了(x。
))趋向于P。
(x。,
y。
)时,
有f(p)~A。
则称A。
是f(x,
y)沿方向(eos。,
eos
日)的极限,
由于这条射线的参数方程为:
x
~x。+
Peosa
y=y。
+Peos
日(P>0)
毅方向极限可以表示为:DOI:10.15924/j.cnki.1009-5128.1987.01.018
11urf(。+peosa,
y。+pcos
p).A。
P`0+
由定义可知,
方向极限是动点P(二,
y
)沿着
固定的:
加句(cosa.eos
日)趋向于P。
(x。,
y。
)
时,
函数f(x,
y
)的极限,
显然,
方向极限是二
重极限的特殊情形。
点列极限:
设{Pn
(xn,
yn
)}是平面上的一个
无穷点列。
我们称{Pn
}以点P。
为极限,
即有
11mPn
=P6尸fX,
,)lr
{兮
土小
几《苏。,
丫。
)二..
!
…
口甘口r
、r
ne卜弓盆,。
!
意思是说:
V它>0,
日N>0,
当n
>N时,
恒有
}Pn一P。
}
我们很容易证明:
Pn
(xn,
yn
)一p。
(二.,
y。
)当且仅当二n
`二。,
yn
`y。
(当n
`o时)
由以上定义粗略可知:
①二重极限与二次极限是完全不同的两个概念,
其中一个存在并不能断定另一个是
否存在,
关系较为复杂,
必须分别不同情况详细讨论。
②方向极限是二重极限的特例,
二重极限存在等于A是方向极限存在等于A的充分
条件,
但并非必要条件。
⑧二次极限与方向极限也是不同的两个概念,
一般没有什么关系,
一个存在也不能
保证另一个存在,
二次极限也绝不是方向极限的特殊情形。
二、
分别不同情况,
具体讨论
1,
两个二次极限之间的关系
①一个存在不能断定另一个存在,
或者两个都不存在
如函数f(x,
y).:,in或f(:,
,)一,s、n
告1一y
(x。,
了。
)一(0,
0
)时,
前者:
同理
又如,1imli也
y
申O入
峥0XSin二二.~O驾片5
`一
夸不““1ìy
1imlim
x
.oy`0y5In
丁而ilmilm
工
~ox
,Oy5In
叹不存在,
_、
1
t(x,
y少~LX十yj5In二马
人J(x。,
y。
)一(o,
o)
读者可以看出两个二次极限都不存在。
②两个二次极限都存在,
但不相等,
如,
f(x.
y)=X
一y
x
+y(x。,
y,
)。(0,
o)
’’
1imlim
y
净ox
令0X一了
x+y~一1今二_叉
一y
骂粼子不歹
由以上两种情况可知,
先后对两个不同变量取极限时,
不能随便更换次序,
否则可
能出现错误。
③两个二次极限存在而相等,
二~,,__、工
y
只目,1Lx,y夕~王干y在这种情况下自然可以更换求极限的次序。
(二。,
y。
)=(0,
0
)
羚。
止瑞
病=1imlim
;
~Dy
~0Xy。
一六二二二二二U
x一y
在数学分析中许多重要问题与二次极限交换次序有关,
那么,
在什么条件下极限次
序可以更换呢?下面我们介绍两个更换极限次序的充分性定理。
定理1设下面三个极限都存在:
11mf(x,
y)=A,
11mf(x,
y)~g(y),
11mf(x,
y)=h(x
)
(x,
y)~(二。,
y。
)::
`x。y
`y。
则
两个二次极限存在且相等(都等于A)即
1imlimf(x,
y)一11m11mf(x,
y)=A
y
申y.丫
~艾。X
~xoy
今y。
定理2,
设连续的函数列福fn
(x
)}在区间I上一致收敛,
则
1imlilnfn
(,
)~11,11,f。
(二
)=f(二。
)
五
今工。n
净con
净OX一
+x。
其中:
几limfn
(x
)=f(:
)二
任I
n一卜C屹】
2。
二重极限与二次极限
①二重极限存在,
并不能保证二次极限存在,
女口,
f(二,
y)一(x+y)、
in
共
人J(1.,
y.
)一
(o,
o)
___
_1_、
1
一里破p民11
mLx一y少sin二不~u
(二,
y)`(0,
0)
但是两个二次极限却都不存在。
又如,
f(x,
y
)一,s
、n
毛,
或f(二,
y)一二s;
碟,
(二。,
y。
)一(。.
。)
矗J
显然,
二重极限存在,
但二次极限中一个存在,
另一个却不存在。
②两个二次极限存在相等,
也不能保证二重极限的存在性,
如,
f(x,
y)~xy
xz+yZ(x。,
y。
)=(0,
0)
显然,
二次极限存在相等,
即
1im1im
y`ox
,0Xy
xl+ya=1imXy
0
二乌厂
粉
但,
二重极限11
(x,
y)~,
月
孕认却不存在,
(0,
0)`因为
令y=mx
时(x
今。
)
f(二,
y
)~f(x,
m;
)=m义.
(1+mZ
)、:
一
代奋一
荞护(`
一。时)
③若二重极限与两个二次极限都存在,
则三者必相等。
由此可以推出:
若两个二次极限存在而不相等,
则二重极限必不存在(以上结论见
《数学分析》
有关定理)
一般用这个结论来否定二重极限的存在性,
如,
_、x一yl,。、
1Lx,y,=
砰丁,、“,“夕
~一二_
二_x
一y』
二__x一y
匕)刹1I
ln11
m二百二二=一1年1111111
m丁二厂二~1
一_~n_
一n人、一J__
一n一_
~八五门「J
J
~称孟一~U`
~UJ
~U飞
___
_
二x一y__一二_
则一
酬卜民(二,
犷)
瑞,
o)
而小
杜’
争头上
令y~m二
(m年一1)时
f(x,
y
)=f(二,
mx
)_(1一m)
一(1+m)x
l一ml一m
—二二二甲丁
—---一~,,,丁一几一呀尸
xl一ml十m(当二
`。时)
3二重极限与数列极限的关系
定理:
设点函数f
(p
)p(`,
y)〔D=cRa
且
1imPn
=P。
则
n~~卜OC,
1im
P`p之
f(P)=A,卜
对一切收敛p。
的点列笼Pn
}都有
1imf(Pn
)=A
ne门卜C心
应用此定理证明
11mf(x,
了
)~人成立’
(x,
y)`(xo,
vo
)
实难办到,
因为“
一切”“
都有”
这个条件要求太高。
但是该定理却是证明二重极限
不存在的有力工具。
其方法是:
找到两个不同的点列玉Pn
}和{P价(Pn
钾P。,
P;
f今
P。
)均有
Pn
,Po,
但1imf(Pn
)寺P`
~P。
(当n
一o时)
ne月卜`》O11切
n~刁卜CK,(P
石)
如,
f(二,
y
)一妥Xy
2
+yZ(x。,
y.
)~(o,
o)
