工程力学第4节 空间力系平衡条件

F1
F2 M2
M o Fo
An Mn
Fn
Fn
F1 A1 A2
F2
F1
M1
F2 M2
M o Fo
An Mn
Fn
Fn
其中
F1 F1，F2 F2， ，Fn Fn M1 MO (F1 )，M2 MO (F2 )， ，Mn MO (Fn )
n n i 1 i 1
n
空间力系向任一指定点简化，一般情况下可得到 一个力和一个力偶，该力作用于简化中心O，其大小 和方向等于力系的主矢；该力偶的力偶矩矢量等于该 力系对简化中心的主矩。主矢与简化中心的选取无关， 主矩一般与简化中心选取有关。
三、空间一般力系的平衡方程 • 空间一般力系可通过向一点的简化，得到一个空 间汇交力系和一个空间力偶系，进而得到平衡条 件。 • 若物体在空间一般力系作用下保持平衡，则必须 同时满足以下两点： 1）对于平行移动，物体在 x﹑y﹑z 轴保持平衡（静 止或匀速直线运动），空间一般力系各力在 x﹑ y﹑z 轴投影的代数和为零； 2）对于转动，物体对 x﹑y﹑z 轴保持平衡，空间一 般力系各力对 x﹑y﹑z 轴之矩的代数和为零。
解：受力分析
Fix 0 Fiy 0 Fiz 0 M x ( Fi ) 0
i 1 n i 1 n i 1 n i 1 n i 1 n
n
Fx FAx FBx FQ cos 0 Fy FAy 0
Fz FAz FBz FQ sin 0 (b c)Fz bFBz aFQ sin 0
i 1
n
注意 对于给定的力系，主矢的大小和方向仅取决于力 系中各力的大小和方向，而与简化中心的选择无关！
主矢、主矩 在三个坐标 轴上的投影 分别式为：
Fix FRx Fiy FRy Fiz FRz
i 1 i 1 n i 1 n
n
M Ox M ix M Oy M iy M Oz M iz
Fix 0 Fiy 0
空间一般力 系的平衡方 程的解析式
i 1 n i 1 n i 1 n i 1 n i 1 n i 1
n
Fiz 0 M x ( Fi ) 0 M y ( Fi ) 0 M z ( Fi ) 0
即空间一般 力系平衡的充分 必要条件：各力 在直角坐标系的 三个坐标轴上的 投影的代数和以 及各力对此三轴 之矩的代数和分 别等于零。
i 1 i 1 n i 1 n
n
主矢、主矩 在三个坐标 轴上的投影 分别式为： 结论
Fix FRx Fiy FRy Fiz FRz
i 1 i 1 n i 1 n
n
M Ox M ix M Oy M iy M Oz M iz
i 1 i 1 n i 1 n
一、空间力系向指定点简化
，Fn ，如 作用于刚体的空间任意力系 F1，F2， 图所示。任选一指定点O，称为简化中心。将力系中 各力平行移动到O点，由力的平移定理，将得到一个 F2 作用于O点的共点力系 F1， ， ，Fn，和一个由附 加力偶组成的空间力偶系 M1，M 2， ，M n：
F1 A1 A2 F2 M1
(1) (2)
(3) (4) (5)
M y ( Fi ) 0 rD Fz rc FQ cos 0
M z ( Fi ) 0 (b c)Fx rD Fy bFBx aFQ cos 0 (6) i 1
由（2）式得： 由（5）式得： 由（6）式得： 由（1）式得： 由（5）式得：
FAy Fy 325N FQ 774.2 N
FBx 597.8 N FAx 594.7 N
FBz 2325N FAz 605.2 N
由（3）式得：
例4-10 均质等厚度板ABCD质量为10kg，用光 滑球铰A和蝶铰B与墙壁连接，并用绳索CE拉住。在 水平位置保持静止，如图所示，AB = awk.baidu.comAD = b。已 知A、E两点在 同一铅垂线上， 且ECA=30， BAC=30， 试求绳索的拉 力和铰A、B 的约束反力。
Fo Fi Fi
M O M i M O ( Fi )
i 1 i 1
n
n
二、主矢和主矩
• 主矢：空间力系各力的矢量和称 为力系的主矢，即
Fi FR
i 1
n
M o Fo
• 主矩：空间力系中各力对简化中 心O之矩的矢量和称为力系对简 化中心的主矩，即
M O M O ( Fi )
例4-9 如图所示，数控车床主轴安装在向心推 力轴承A和向心轴承B上，圆柱直齿轮C的节圆半径 rC = 120mm，其下与另一齿轮啮合，压力角 =20。 在轴的右端固定一半径为 rD = 60mm的圆柱体工件。 已知a = 60mm，b = 400mm，c = 250mm。车刀刀尖 对工件的力作用在H处，HD水平。测量得到切削力 在 x﹑y﹑z 轴上的 分量为：Fx=465N， Fy=325N， Fz=1455 N。试求齿轮所受 的啮合力 FQ 和两 轴承的约束反力。
Fix 0 Fiy 0 Fiz 0
i 1 n i 1 n i 1 n
n
FAx FBy FT cos30 sin 30 0 (1)
0 0
FAy FT cos 30 0
2 0
(2)
0
FAz FBz mg FT sin 30 0
解：取ABCD 为研究对象， 进行受力分析
首先将绳索拉力 分解，得到平行于z 轴的分力和位于平面 Axy内的分力，有
FT1 FT sin 30 0 FT 2 FT cos30
0
进而得到：
FTx FT 3 sin 300 FT cos300 sin 300 0 2 0 FTy FT 2 cos30 FT cos 30 0 FTz FT1 FT sin 30