充分条件与必要条件预习课本P9～11,思考并完成以下问题 1．什么是充分条件、必要条件？2．什么是充要条件？[新知初探]1．充分条件与必要条件命题真假 “若p,则q”是真命题 “若p,则q”是假命题推出关系 p ⇒q p ⇒/ q 条件关系p 是q 的充分条件 q 是p 的必要条件p 不是q 的充分条件 q 不是p 的必要条件2若p ⇒q 且q ⇒p,则记作p ⇔q,此时p 是q 的充分必要条件,简称充要条件．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)x ＝1是(x －1)(x －2)＝0的充分条件( ) (2)α＝π6是sin α＝12的必要条件( )(3)若p 是q 的充要条件,则命题p 和q 是两个相互等价的命题( )(4)“若綈p,则綈q”是真命题,则p 是q 的必要条件( ) 答案：(1)√ (2)× (3)√ (4)√2．已知向量a ＝(x －1,2),b ＝(2,1),则a ⊥b 的充要条件是( ) A ．x ＝－12B ．x ＝－1C ．x ＝5D ．x ＝0答案：D3．设集合M ＝{x|0<x≤3},N ＝{x|0<x≤2},那么“a∈M”是“a∈N”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分条件 D ．既不充分也不必要条件答案：B4．“a>0,b>0”是“ab>0”的________条件(填“充分”或“必要”)． 答案：充分充分条件、必要条件、充要条件的判断[典例] (1)(2017·天津高考)设x ∈R,则“2－x≥0”是“|x－1|≤1”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件(2)(2017·北京高考)设m,n 为非零向量,则“存在负数λ,使得m ＝λn”是“m·n<0”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件(3)如果x,y 是实数,那么“x≠y”是“cos x≠cos y”的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件 [解析] (1)由2－x≥0,得x≤2,由|x －1|≤1,得0≤x≤2.∵0≤x≤2⇒x≤2,x≤2⇒/ 0≤x≤2,故“2－x≥0”是“|x－1|≤1”的必要而不充分条件． (2)∵m ＝λn ,∴m·n＝λn·n＝λ|n|2. ∴当λ<0,n≠0时,m·n<0.反之,由m·n＝|m||n|cos 〈m,n 〉<0⇔cos 〈m,n 〉<0⇔〈m,n 〉∈⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，π, 当〈m,n 〉∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π时,m,n 不共线．故“存在负数λ,使得m ＝λn”是“m·n<0”的充分而不必要条件．(3)命题“若x≠y ,则cos x≠cos y”等价于命题“若cos x ＝cos y,则x ＝y”,这个命题是假命题,故x≠y ⇒/ cos x≠cos y；命题“若cos x≠cos y ,则x≠y”等价于命题“若x ＝y,则cos x ＝cos y”,这个命题是真命题,故c os x≠cos y ⇒x≠y.故“x≠y”是“cos x≠cos y”的必要不充分条件．[答案] (1)B (2)A (3)C充要条件的判断方法(1)定义法：①分清条件p 和结论q ：分清哪个是条件,哪个是结论；②找推式：判断“p ⇒q”及“q ⇒p”的真假；③下结论：根据定义下结论．(2)等价法：将命题转化为另一个与之等价的、又便于判断真假的命题．(3)集合法：写出集合A ＝{x|p(x)}及B ＝{x|q(x)},利用集合之间的包含关系加以判断．用集合法判断时,要尽可能用Venn 图、数轴、直角坐标平面等几何方法,图形形象、直观,能简化解题过程,降低思维难度．[活学活用]1．在△ABC 中,角A,B,C 所对应的边分别为a,b,c,则“a≤b”是“sin A≤sin B”的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件 解析：选A 由正弦定理,得a sin A ＝bsin B, 故a≤b ⇔sin A≤sin B ,选A.2．指出下列各组命题中,p 是q 的什么条件．(1)p ：四边形的对角线相等,q ：四边形是平行四边形； (2)p ：(x －1)2＋(y －2)2＝0,q ：(x －1)(y －2)＝0.解：(1)∵四边形的对角线相等⇒/ 四边形是平行四边形,四边形是平行四边形⇒/ 四边形的对角线相等,∴p 是q 的既不充分也不必要条件．(2)∵(x －1)2＋(y －2)2＝0⇒x ＝1且y ＝2⇒(x －1)·(y－2)＝0, 而(x －1)(y －2)＝0⇒/ (x －1)2＋(y －2)2＝0, ∴p 是q 的充分不必要条件.充分条件与必要条件的应用[典例] 已知222p 是綈q 的必要条件,求实数a 的取值范围．[解] 由x 2－4ax ＋3a 2<0且a<0得3a<x<a, 所以p ：3a<x<a,即集合A ＝{x|3a<x<a}． 由x 2－x －6≤0得－2≤x≤3,所以q ：－2≤x≤3,即集合B ＝{x|－2≤x≤3}． 因为綈q ⇒綈p,所以p ⇒q,所以A ⊆B, 所以⎩⎪⎨⎪⎧3a≥－2，a≤3，a<0⇒－23≤a<0,所以a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－23，0. [一题多变]1．[变条件]本例中条件“a<0”改为“a>0”,若綈p 是綈q 的充分条件,求实数a 的取值范围． 解：由x 2－4ax ＋3a 2<0且a>0得a<x<3a, 所以p ：a<x<3a,即集合A ＝{x|a<x<3a}． 由x 2－x －6≤0得－2≤x≤3,所以q ：－2≤x≤3,即集合B ＝{x|－2≤x≤3}． 因为綈p ⇒綈q,所以q ⇒p,所以B ⊆A, 所以⎩⎪⎨⎪⎧3a≥3，a≤－2，⇒a ∈∅.a>02．[变条件]将“q：实数x 满足x 2－x －6≤0”改为“q：实数x 满足x 2＋3x≤0”其他条件不变,求实数a 的取值范围．解：由x 2－4ax ＋3a 2<0且a<0得3a<x<a. 所以p ：3a<x<a,即集合A ＝{x|3a<x<a}． 由x 2＋3x≤0得－3≤x≤0,所以q ：－3≤x≤0,即集合B ＝{x|－3≤x≤0}． 因为綈q ⇒綈p,所以p ⇒q,所以A ⊆B, 所以⎩⎪⎨⎪⎧3a≥－3，a≤0，a<0⇒－1≤a<0.所以a 的取值范围是[－1,0)．充分条件与必要条件的应用技巧(1)应用：可利用充分性与必要性进行相关问题的求解,特别是求参数的值或取值范围问题． (2)求解步骤：先把p,q 等价转化,利用充分条件、必要条件与集合间的包含关系,建立关于参数的不等式(组)进行求解．充要条件的证明[典例] 证明：一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个正根和一个负根的充要条件是ac<0. [证明] (1)充分性：∵ac<0, ∴Δ＝b 2－4ac>0,c a<0.∴方程ax 2＋bx ＋c ＝0有两个实数根． 设方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根分别为x 1,x 2, 则x 1·x 2＝ca<0,∴一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个正根和一个负根．(2)必要性：∵一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个正根和一个负根,∴Δ＝b 2－4ac>0,x 1·x 2＝c a <0,∴ac<0.故一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个正根和一个负根的充要条件是ac<0.充要条件的证明思路(1)在证明有关充要条件的问题时,通常从“充分性”和“必要性”两个方面来证明．在证明时,要注意：若证明“p 的充要条件是q”,那么“充分性”是q ⇒p,“必要性”是p ⇒q ；若证明“p 是q 的充要条件”,则与之相反．(2)证明充要条件问题,其实质就是证明一个命题的原命题和其逆命题都成立．若不易直接证明,可根据命题之间的关系进行等价转换,然后加以证明．[注意] 证明时一定要注意证明的方向性,分清充分性与必要性的证明方向． [活学活用]已知x,y 都是非零实数,且x>y,求证：1x <1y 的充要条件是xy>0.证明：(1)必要性：由1x <1y ,得1x －1y <0,即y －xxy <0,又由x>y,得y －x<0,所以xy>0. (2)充分性：由xy>0及x>y, 得x xy >y xy ,即1x <1y. 综上所述,1x <1y 的充要条件是xy>0.层级一学业水平达标1．设p ：x<3,q ：－1<x<3,则p 是q 成立的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C 因为(－1,3)(－∞,3),所以p 是q 成立的必要不充分条件． 2．下面四个条件中,使a>b 成立的充分不必要条件是( ) A ．a≥b＋1 B ．a>b －1 C ．a 2>b 2D ．a 3>b 3解析：选A 由a≥b＋1>b,从而a≥b＋1⇒a>b ；反之,如a ＝4,b ＝3.5,则4>3.5/⇒4≥3.5＋1,故a>b/⇒a≥b＋1,故A 正确．3．已知a,b 是实数,则“|a＋b|＝|a|＋|b|”是“ab>0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B 因为|a ＋b|＝|a|＋|b|⇔a 2＋2ab ＋b 2＝a 2＋2|ab|＋b 2⇔|ab|＝ab ⇔ab≥0,而由ab≥0不能推出ab>0,由ab>0能推出ab≥0,所以由|a ＋b|＝|a|＋|b|不能推出ab>0,由ab>0能推出|a ＋b|＝|a|＋|b|,故选B.4．设φ∈R,则“φ＝0”是“f(x )＝cos(x ＋φ)(x∈R)为偶函数”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A φ＝0时,函数f(x)＝cos(x ＋φ)＝cos x 是偶函数,而f(x)＝cos(x ＋φ)是偶函数时,φ＝π＋kπ(k∈Z)．故“φ＝0”是“函数f(x)＝cos(x ＋φ)为偶函数”的充分不必要条件．5．使|x|＝x 成立的一个必要不充分条件是( ) A ．x≥0 B ．x 2≥－x C ．log 2(x ＋1)>0D ．2x<1解析：选B ∵|x|＝x ⇔x≥0,∴选项A 是充要条件．选项C 、D 均不符合题意． 对于选项B,∵由x 2≥－x 得x(x ＋1)≥0, ∴x≥0或x≤－1.故选项B 是使|x|＝x 成立的必要不充分条件．6．如果命题“若A,则B”的否命题是真命题,而它的逆否命题是假命题,则A 是B 的________________条件．解析：因为逆否命题为假,所以原命题为假,即A ⇒/ B. 又因否命题为真,所以逆命题为真,即B ⇒A, 所以A 是B 的必要不充分条件． 答案：必要不充分7．条件p ：1－x<0,条件q ：x>a,若p 是q 的充分不必要条件,则a 的取值范围是________． 解析：p ：x>1,若p 是q 的充分不必要条件,则p ⇒q,但q ⇒/ p ,也就是说,p 对应集合是q 对应集合的真子集,所以a<1.答案：(－∞,1) 8．下列命题：①“x>2且y>3”是“x＋y>5”的充要条件；②b 2－4ac<0是一元二次不等式ax 2＋bx ＋c<0解集为R 的充要条件； ③“a＝2”是“直线ax ＋2y ＝0平行于直线x ＋y ＝1”的充分不必要条件； ④“xy＝1”是“lg x＋lg y ＝0”的必要不充分条件． 其中真命题的序号为______________．解析：①x>2且y>3时,x ＋y>5成立,反之不一定,如x ＝0,y ＝6.所以“x>2且y>3”是“x＋y>5”的充分不必要条件；②不等式解集为R 的充要条件是a<0且b 2－4ac<0,故②为假命题；③当a ＝2时,两直线平行,反之,若两直线平行,则a 1＝21,∴a ＝2.因此,“a＝2”是“两直线平行”的充要条件；④lg x ＋lg y ＝lg(xy)＝0,∴xy ＝1且x>0,y>0. 所以“lg x＋lg y ＝0”成立,xy ＝1必成立,反之不然．因此“xy＝1”是“lg x＋lg y ＝0”的必要不充分条件． 综上可知,真命题是④. 答案：④9．下列命题中,判断条件p 是条件q 的什么条件． (1)p ：|x|＝|y|,q ：x ＝y ；(2)p ：△ABC 是直角三角形,q ：△ABC 是等腰三角形； (3)p ：四边形的对角线互相平分,q ：四边形是矩形；(4)p ：圆x 2＋y 2＝r 2与直线ax ＋by ＋c ＝0相切,q ：c 2＝(a 2＋b 2)r 2. 解：(1)∵|x|＝|y|⇒/ x ＝y,但x ＝y ⇒|x|＝|y|, ∴p 是q 的必要不充分条件．(2)∵△ABC 是直角三角形⇒/ △ABC 是等腰三角形, △ABC 是等腰三角形⇒/ △ABC 是直角三角形, ∴p 是q 的既不充分也不必要条件．(3)∵四边形的对角线互相平分⇒/ 四边形是矩形, 四边形是矩形⇒四边形的对角线互相平分, ∴p 是q 的必要不充分条件．(4)若圆x 2＋y 2＝r 2与直线ax ＋by ＋c ＝0相切,则圆心到直线ax ＋by ＋c ＝0的距离等于r,即r ＝|c|a 2＋b2,所以c 2＝(a 2＋b 2)r 2； 反过来,若c 2＝(a 2＋b 2)r 2,则|c|a 2＋b2＝r 成立,说明x 2＋y 2＝r 2的圆心(0,0)到直线ax ＋by ＋c ＝0的距离等于r, 即圆x 2＋y 2＝r 2与直线ax ＋by ＋c ＝0相切, 故p 是q 的充要条件．10．已知命题p ：对数函数f(x)＝log a (－2t 2＋7t －5)(a>0,且a≠1)有意义,q ：关于实数t 的不等式t 2－(a ＋3)t ＋(a ＋2)<0.(1)若命题p 为真,求实数t 的取值范围；(2)若命题p 是q 的充分条件,求实数a 的取值范围． 解：(1)因为命题p 为真,则对数函数的真数 －2t 2＋7t －5>0,解得1<t<52.所以实数t 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫1，52.(2)因为命题p 是q 的充分条件,所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫t1<t<52是不等式t 2－(a ＋3)t ＋(a ＋2)<0的解集的子集．因为方程t 2－(a ＋3)t ＋(a ＋2)＝0的两根为1和a ＋2,所以只需a ＋2≥52,解得a≥12.即实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞.层级二 应试能力达标1．“0<a<b”是“⎝ ⎛⎭⎪⎫13a >⎝ ⎛⎭⎪⎫13b”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 当0<a<b 时,⎝ ⎛⎭⎪⎫13a >⎝ ⎛⎭⎪⎫13b成立,所以是充分条件；当⎝ ⎛⎭⎪⎫13a >⎝ ⎛⎭⎪⎫13b时,有a<b,不能推出0<a<b, 所以不是必要条件,故选A. 2．下列说法正确的是( ) A ．“x>0”是“x>1”的必要条件B ．已知向量m,n,则“m∥n”是“m＝n”的充分条件C ．“a 4>b 4”是“a>b”的必要条件D ．在△ABC 中,“a>b”不是“A>B”的充分条件解析：选A A 中,当x>1时,有x>0,所以A 正确；B 中,当m∥n 时,m ＝n 不一定成立,所以B 不正确；C 中,当a>b 时,a 4>b 4不一定成立,所以C 不正确；D 中,当a>b 时,有A>B,所以“a>b”是“A>B”的充分条件,所以D 不正确．故选A.3．已知直线l,m,平面α,且m ⊂α,则( ) A ．“l⊥α”是“l⊥m”的必要条件 B ．“l⊥m”是“l⊥α”的必要条件 C ．l ∥m ⇒l ∥α D ．l ∥α⇒l ∥m解析：选B 很明显l ⊥α⇒l ⊥m,l ⊥m ⇒/ l ⊥α,l ∥m ⇒/ l ∥α,l ∥α ⇒/ l ∥m,故选B. 4．设p ：12≤x≤1；q ：(x －a)(x －a －1)≤0,若p 是q 的充分不必要条件,则实数a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，12 D.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12解析：选B ∵q ：a≤x≤a＋1,p 是q 的充分不必要条件, ∴⎩⎪⎨⎪⎧a<12，a ＋1≥1或⎩⎪⎨⎪⎧a ≤12，a ＋1>1，解得0≤a≤12.5．已知关于x 的方程(1－a)x 2＋(a ＋2)x －4＝0(a ∈R),则该方程有两个正根的充要条件是________．解析：方程(1－a)x 2＋(a ＋2)x －4＝0有两个实根的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧1－a≠0，Δ≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧a≠1，a ＋22＋161－a ≥0⇔⎩⎪⎨⎪⎧a≠1，a≤2或a≥10.设此时方程的两根分别为x 1,x 2,则方程有两个正根的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧a≠1，a≤2或a≥10，x 1＋x 2>0，x 1x 2>0⇔⎩⎪⎨⎪⎧a≠1，a≤2或a≥10，a ＋2a －1>0，4a －1>0⇔1<a≤2或a≥10.答案：(1,2]∪[10,＋∞)6．已知“－1<k<m”是“方程x 2＋y 2＋kx ＋3y ＋k 2＝0表示圆”的充分条件,则实数m 的取值范围是________．解析：当方程x 2＋y 2＋kx ＋3y ＋k 2＝0表示圆时, k 2＋3－4k 2>0,解得－1<k<1, 所以－1<m≤1,即实数m 的取值范围是(－1,1]． 答案：(－1,1]7．已知p ：关于x 的方程4x 2－2ax ＋2a ＋5＝0的解集至多有两个子集,q ：1－m≤a≤1＋m,m>0.若q 是p 的必要不充分条件,求实数m 的取值范围．解：∵q 是p 的必要不充分条件, ∴p 是q 的充分不必要条件．对于p,依题意,知Δ＝(－2a)2－4×4(2a＋5)＝4(a 2－8a －20)≤0,∴－2≤a≤10.设P ＝{a|－2≤a≤10},Q ＝{a|1－m≤a≤1＋m,m>0},由题意知P Q,∴⎩⎪⎨⎪⎧ m>0，1－m<－2，1＋m≥10或⎩⎪⎨⎪⎧ m>0，1－m≤－2，1＋m ＞10，解得m≥9,∴实数m 的取值范围是[9,＋∞)．8．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝(n ＋1)2＋l.(1)证明：l ＝－1是{a n }是等差数列的必要条件．(2)试问：l ＝－1是否为{a n }是等差数列的充要条件？请说明理由．解：(1)证明：∵a 1＝S 1＝4＋l,当n≥2时,a n ＝S n －S n －1＝2n ＋1.∴a 2＝5,a 3＝7.∵{a n }是等差数列,则2a 2＝a 1＋a 3,即2×5＝(4＋l)＋7,解得l ＝－1.故l ＝－1是{a n }是等差数列的必要条件．(2)当l ＝－1时,S n ＝(n ＋1)2－1,a 1＝S 1＝3,当n≥2时,a n ＝S n －S n －1＝2n ＋1.又a 1＝3适合上式,∴a n ＝2n ＋1(n ∈N *)．又∵a n ＋1－a n ＝2,∴{a n }是公差为2,首项为3的等差数列．∴l ＝－1是{a n }是等差数列的充分条件．又由(1)知l ＝－1是{a n }是等差数列的必要条件,∴l ＝－1是{a n }是等差数列的充要条件．。
