高中数学《充分条件与必要条件》导学案 北师大版选修11(1)

《充分条件与必要条件》一、背景分析1、学习任务分析：充要条件主要讨论了命题的条件与结论之间的逻辑关系，目的是为今后的数学学习特别是数学推理的学习打下基础。

教学重点：充分条件、必要条件和充要条件三个概念的定义。

2、学生情况分析：学生在学习充要条件这一概念时的知识储备不够丰富，逻辑思维能力的训练不够充分，这也为教师的教学带来一定的困难。

所以教师在充要条件这一内容的新授教学时，不可拔高要求追求一步到位，而要在今后的教学中滚动式逐步深化，使之与学生的知识结构同步发展完善。

教学难点：“充要条件”这一节介绍了充分条件,必要条件和充要条件三个概念,由于这些概念比较抽象,中学生不易理解,用它们去解决具体问题则更为困难,因此“充要条件”的教学成为中学数学的难点之一,而必要条件的定义又是本节内容的难点.根据多年教学实践,学生对”充分条件”的概念较易接受,而必要条件的概念都难以理解.对于“B=>A”,称A是B的必要条件难于接受,A本是B推出的结论,怎么又变成条件了呢?对这学生难于理解。

教学关键：找出A、B，根据定义判断A=>B与B=>A是否成立。

教学中，要强调先找出A、B，否则，学生可能会对必要条件难以理解。

二、教学目标设计：（一）知识目标：1、正确理解充分条件、必要条件、充要条件三个概念。

2、能利用充分条件、必要条件、充要条件三个概念，熟练判断四种命题间的关系。

3、在理解定义的基础上，可以自觉地对定义进行转化，转化成推理关系及集合的包含关系。

（二）能力目标：1、培养学生的观察与类比能力：“会观察”，通过大量的问题，会观察其共性及个性。

2、培养学生的归纳能力：“敢归纳”，敢于对一些事例，观察后进行归纳，总结出一般规律。

3、培养学生的建构能力：“善建构”，通过反复的观察分析和类比，对归纳出的结论，建构于自己的知识体系中。

（三）情感目标：1、通过以学生为主体的教学方法，让学生自己构造数学命题，发展体验获取知识的感受。

§2充分条件与必要条件[对应学生用书P5]充分条件与必要条件古时候有个卖油郎叫洛孝，一天他在卖油回家的路上捡到30两银子，回家后其母亲叫洛孝把银子还给失主．当洛孝把银子还给失主时，失主却说自己丢了50两银子，叫洛孝拿出自己私留的20两银子．两人为此争执不休，告到县衙，县官听了两人的供述后，把银子判给洛孝，失主含羞离去．设：A：洛孝主动归还所拾银两．B：洛孝无赖银之情．C：洛孝拾到30两银子，失主丢失50两银子．D：洛孝所拾银子不是失主所丢．问题1：县官得到结论B的依据是什么？它是B的什么条件？提示：A，充分条件．问题2：县官由C得出什么结论？它是C的什么条件？提示：D，必要条件．充分条件和必要条件如果“若p，则q”形式的命题为真命题，即p⇒q，称p是q的充分条件，同时称q是p的必要条件.充要条件已知：p：前年在伦敦举行第30届夏季奥运会．q：前年是2012年．问题1：“若p，则q”为真命题吗？p是q的什么条件？提示：是真命题，充分条件．问题2：“若q，则p”是真命题吗？p是q的什么条件？提示：是真命题，必要条件．问题3：p是q的什么条件？q是p的什么条件？提示：充要条件，充要条件．充要条件(1)如果既有p⇒q，又有q⇒p，通常记作p⇔q，则称p是q的充分必要条件，简称充要条件．(2)p是q的充要条件也可以说成：p成立当且仅当q成立．(3)如果p，q分别表示两个命题，且它们互为充要条件，我们称命题p和命题q是两个相互等价的命题．(4)若p⇒q，但q⇒/ p，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件．(5)若p⇒/ q，且q⇒/ p，则p是q的既不充分也不必要条件．充分条件与必要条件的判断，即对命题“若p，则q”与“若q，则p”进行真假判断，若是一真一假则p是q的充分不必要条件或必要不充分条件；若是两真则p是q的充要条件；若是两假则p是q的即不充分又不必要条件．[对应学生用书P6]充分条件、必要条件的判断[例1](1)p：a，b，c三数成等比数列，q：b＝ac；(2)p：y＋x>4，q：x>1，y>3；(3)p：a>b，q：2a>2b；(4)p：△ABC是直角三角形，q：△ABC为等腰三角形．[思路点拨] 可先看p成立时，q是否成立，再反过来若q成立时，p是否成立，从而判定p，q间的关系．[精解详析] (1)若a，b，c成等比数列，则b2＝ac，b＝±ac，则p⇒/ q；若b＝ac，当a＝0，b＝0时，a，b，c不成等比数列，即q⇒/ p，故p是q的既不充分也不必要条件．(2)y＋x>4不能得出x>1，y>3，即p⇒/ q，而x>1，y>3可得x＋y>4，即q⇒p，故p 是q的必要不充分条件．(3)当a>b时，有2a>2b，即p⇒q，当2a>2b时，可得a>b，即q⇒p，故p是q的充要条件．(4)法一：若△ABC是直角三角形不能得出△ABC为等腰三角形，即p⇒/ q；若△ABC为等腰三角形也不能得出△ABC为直角三角形，即q⇒/ p，故p是q的既不充分也不必要条件．法二：如图所示：p，q对应集合间无包含关系，故p是q的既不充分也不必要条件．[一点通]充分必要条件判断的常用方法：(1)定义法：分清条件和结论，利用定义判断．(2)等价法：将不易判断的命题转化为它的逆否命题判断．(3)集合法：设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，若x具有性质p，则x∈A；若x具有性质q，则x∈B.①若A B，则p是q的充分不必要条件；②若B A，则p是q的必要不充分条件；③若A＝B，则p是q的充要条件；④若A⃘B且B⃘A，则p是q的既不充分又不必要条件．1．设集合A＝{x|xx－3≤0}，集合B＝{x||x－2|≤1}，那么“m∈A”是“m∈B”的( ) A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件解析：集合A＝{x|0≤x＜3}，集合B＝{x|1≤x≤3}，则由“m∈A”得不到“m∈B”，反之由“m∈B”也得不到“m∈A”，故选D.答案：D2．对任意实数a，b，c给出下列命题：①“a＝b”是“ac＝bc”的充要条件；②“a＋5是无理数”是“a是无理数”的充要条件；③“a>b”是“a2>b2”的充分条件；④“a<5”是“a<3”的必要条件．其中，真命题的序号是________．解析：①由a＝b可得ac＝bc.但ac＝bc时不一定有a＝b，故①为假命题；②由“a＋5为无理数”可得“a为无理数”，由“a为无理数”可得“a＋5为无理数”，②为真命题；③由“a >b ”不能得出a 2>b 2，如a ＝1，b ＝－2，③为假命题；④“由a <5”不能得“a <3”，而由“a <3”可得“a <5”，④为真命题．答案：②④3．指出下列各组命题中p 是q 的什么条件，q 是p 的什么条件，并说明理由． (1)p ：|x |＝|y |，q ：x ＝y ；(2)在△ABC 中，p ：sin A ＞12，q ：A ＞π6.解：(1)因为|x |＝|y |⇒x ＝y 或x ＝－y ，但x ＝y ⇒|x |＝|y |，所以p 是q 的必要不充分条件，q 是p 的充分不必要条件．(2)因为0＜A ＜π时，sin A ∈(0,1]，且A ∈(0，π2]时，sin A 单调递增，A ∈[π2，π)时，sin A 单调递减，所以sin A ＞12⇒A ＞π6，但A ＞π6⇒/ sin A ＞12.所以p 是q 的充分不必要条件，q 是p 的必要不充分条件.充要条件的证明和求解[例2] 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝p n＋q (p ≠0且p ≠1)， 求证：数列{a n }为等比数列的充要条件为q ＝－1.[思路点拨] 本题可分充分性和必要性两种情况证明，即由q ＝－1推证数列{a n }为等比数列和由数列{a n }满足S n ＝p n＋q (p ≠0且p ≠1)为等比数列推证q ＝－1.[精解详析] (充分性)当q ＝－1时，a 1＝S 1＝p －1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝pn －1(p－1)，且n ＝1时也成立．于是a n ＋1a n ＝p n p －1p n －1p －1＝p (p ≠0且p ≠1)，即{a n }为等比数列．(必要性)当n ＝1时，a 1＝S 1＝p ＋q ； 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝pn －1(p －1)．因为p ≠0且p ≠1，所以当n ≥2时，a n ＋1a n ＝p n p －1p n －1p －1＝p ，可知等比数列{a n }的公比为p .故a 2a 1＝p p －1p ＋q＝p ，即p －1＝p ＋q ，求得q ＝－1.综上可知，q ＝－1是数列{a n }为等比数列的充要条件． [一点通]充要条件的证明问题，要证明两个方面，一是充分性，二是必要性．为此必须要搞清条件，在“A 是B 的充要条件”中，A ⇒B 是充分性，B ⇒A 是必要性；在“A 的充要条件是B ”中，A ⇒B 是必要性，B ⇒A 是充分性．4．不等式x 2－ax ＋1>0的解集为R 的充要条件是____________．解析：若x 2－ax ＋1>0的解集为R ，则Δ＝a 2－4<0，即－2<a <2.又当a ∈(－2,2)时，Δ<0，可得x 2－ax ＋1>0的解集为R ，故不等式x 2－ax ＋1>0的解集为R 的充要条件是－2<a <2.答案：－2<a <25．等差数列{a n }的首项为a ，公差为d ，其前n 项和为S n ，则数列{S n }为递增数列的充要条件是________．解析：由S n ＋1＞S n (n ∈N ＋)⇔(n ＋1)a ＋n n ＋12d ＞na ＋n n －12d (n ∈N ＋)⇔dn ＋a ＞0(n ∈N ＋)⇔d ≥0且d ＋a ＞0.因此数列{S n }为递增数列的充要条件是d ≥0且d ＋a ＞0.答案：d ≥0且d ＋a ＞06．求证：关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根为1的充要条件是a ＋b ＋c ＝0. 证明：先证必要性：∵方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根为1， ∴x ＝1满足方程ax 2＋bx ＋c ＝0. ∴a ×12＋b ×1＋c ＝0，即a ＋b ＋c ＝0. ∴必要性成立．再证充分性：∵a ＋b ＋c ＝0，∴c ＝－a －b . 代入方程ax 2＋bx ＋c ＝0中可得：ax 2＋bx －a －b ＝0，即(x －1)(ax ＋b ＋a )＝0.故方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根为1.故关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根为1的充要条件是a ＋b ＋c ＝0.充分条件、必要条件的应用[例3] 已知p ：关于x 的不等式3－m 2＜x ＜3＋m2，q ：x (x －3)＜0，若p 是q 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围．[思路点拨] 求出q 对应的集合，然后把问题转化为集合间的包含关系求解． [精解详析] 记A ＝{x |3－m 2＜x ＜3＋m2}，B ＝{x |x (x －3)＜0}＝{x |0＜x ＜3}， 若p 是q 的充分不必要条件，则A B . 注意到B ＝{x |0＜x ＜3}≠∅，分两种情况讨论： (1)若A ＝∅，即3－m 2≥3＋m2，解得m ≤0，此时AB ，符合题意；(2)若A ≠∅，即3－m 2＜3＋m2，解得m ＞0，要使AB ，应有⎩⎪⎨⎪⎧3－m2＞0，3＋m2＜3，解得0＜m ＜3.m ＞0，综上可得，实数m 的取值范围是(－∞，3)． [一点通]将充分、必要条件转化为集合的包含关系，是解决该类问题的一种有效的方法，关键是准确把p ，q 用集合表示，借助数轴，利用数形结合的方法建立方程或不等式，求参数的范围．7．已知条件p ：x 2＋x －6＝0，条件q ：mx ＋1＝0(m ≠0)，且q 是p 的充分不必要条件，求m 的值．解：解x 2＋x －6＝0得x ＝2或x ＝－3，令A ＝{2，－3}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1m ，∵q 是p 的充分不必要条件，∴B A . 当－1m ＝2时，m ＝－12；当－1m ＝－3时，m ＝13.所以m ＝－12或m ＝13.8．已知M ＝{x |(x －a )2<1}，N ＝{x |x 2－5x －24<0}，若x ∈M 是x ∈N 的充分条件，求a 的取值范围．解：由(x －a )2<1得x 2－2ax ＋(a －1)(a ＋1)<0，∴a －1<x <a ＋1，M ＝{x |a －1<x <a ＋1}．又由x 2－5x －24<0得－3<x <8，N ＝{x |－3<x <8}． ∵x ∈M 是x ∈N 的充分条件，∴M ⊆N ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a －1≥－3，a ＋1≤8，解得－2≤a ≤7.故a 的取值范围是[－2,7]．1．充分必要条件与四种命题之间的对应关系；(1)若p 是q 的充分条件，则原命题“若p ，则q ”及它的逆否命题都是真命题； (2)若p 是q 的必要条件，则逆命题及否命题为真命题；(3)若p 是q 的充要条件，则四种命题均为真命题．2．涉及利用充分条件、必要条件、充要条件求参数的取值范围时，常利用命题的等价性进行转化，从集合的包含、相等关系上来考虑制约关系．[对应课时跟踪训练二]1．“1＜x ＜2”是“x ＜2”成立的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：当1＜x ＜2时，必有x ＜2；而x ＜2时，如x ＝0，推不出1＜x ＜2，所以“1＜x ＜2”是“x ＜2”的充分不必要条件．答案：A2．函数f (x )＝x 2＋mx ＋1的图像关于直线x ＝1对称的充要条件是( ) A ．m ＝－2 B ．m ＝2 C ．m ＝－1D ．m ＝1解析：函数f (x )＝x 2＋mx ＋1的图像关于x ＝1对称⇔－m2＝1⇔m ＝－2.答案：A3．已知命题p ：“a ，b ，c 成等差数列”，命题q ：“a b ＋c b＝2”，则命题p 是命题q 的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：若a b ＋c b＝2，则a ＋c ＝2b ，由此可得a ，b ，c 成等差数列；当a ，b ，c 成等差数列时，可得a ＋c ＝2b ，但不一定得出a b ＋c b＝2，如a ＝－1，b ＝0，c ＝1.所以命题p 是命题q 的必要不充分条件，故选A.答案：A4．“a ＞3”是“函数f (x )＝ax ＋2在区间[－1,2]上存在零点”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：当a ＞3时，f (－1)f (2)＝(－a ＋2)(2a ＋2)＜0，即函数f (x )＝ax ＋2在区间[－1,2]上存在零点；但当函数f (x )＝ax ＋2在区间[－1,2]上存在零点；不一定是a ＞3，如当a ＝－3时，函数f (x )＝ax ＋2＝－3x ＋2在区间[－1,2]上存在零点．所以“a ＞3”是“函数f (x )＝ax ＋2在区间[－1,2]上存在零点”的充分不必要条件，故选A.答案：A5．直线l ：x －y ＋m ＝0与圆C ：(x ＋1)2＋y 2＝2有公共点的充要条件是________． 解析：直线l 与圆C 有公共点⇔|－1＋m |2≤2⇔|m －1|≤2⇔－1≤m ≤3.答案：m ∈[－1,3]6．在下列各项中选择一项填空： ①充分不必要条件 ②必要不充分条件 ③充要条件④既不充分也不必要条件(1)记集合A ＝{－1，p,2}，B ＝{2,3}，则“p ＝3”是“A ∩B ＝B ”的________；(2)“a ＝1”是“函数f (x )＝|2x －a |在区间⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞上为增函数”的________． 解析：(1)当p ＝3时，A ＝{－1,2,3}，此时A ∩B ＝B ；若A ∩B ＝B ，则必有p ＝3.因此“p ＝3”是“A ∩B ＝B ”的充要条件．(2)当a ＝1时，f (x )＝|2x －a |＝|2x －1|在⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞上是增函数；但由f (x )＝|2x －a |在区间[12，＋∞)上是增函数不能得到a ＝1，如当a ＝0时，函数f (x )＝|2x －a |＝|2x |在区间⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞上是增函数．因此“a ＝1”是“函数f (x )＝|2x －a |在区间[12，＋∞)上为增函数”的充分不必要条件．答案：(1)③ (2)①7．指出下列各组命题中，p 是q 的什么条件(充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件，既不充分也不必要条件)?(1)p ：△ABC 中，b 2＞a 2＋c 2，q ：△ABC 为钝角三角形； (2)p ：△ABC 有两个角相等，q ：△ABC 是正三角形； (3)若a ，b ∈R ，p ：a 2＋b 2＝0，q ：a ＝b ＝0； (4)p ：△ABC 中，A ≠30°，q ：sin A ≠12.解：(1)△ABC 中，∵b 2＞a 2＋c 2，∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac＜0，∴B 为钝角，即△ABC 为钝角三角形，反之若△ABC 为钝角三角形，B 可能为锐角，这时b 2＜a 2＋c 2.∴p ⇒q ，q ⇒/ p ，故p 是q 的充分不必要条件． (2)有两个角相等不一定是等边三角形，反之一定成立， ∴p ⇒/ q ，q ⇒p ，故p 是q 的必要不充分条件．(3)若a 2＋b 2＝0，则a ＝b ＝0，故p ⇒q ；若a ＝b ＝0，则a 2＋b 2＝0，即q ⇒p ，所以p 是q 的充要条件．(4)转化为△ABC 中sin A ＝12是A ＝30°的什么条件．∵A ＝30°⇒sin A ＝12，但是sin A ＝12⇒/ A ＝30°，∴△ABC 中sin A ＝12是A ＝30°的必要不充分条件．即p 是q 的必要不充分条件．8．求方程ax 2＋2x ＋1＝0有两个不相等的负实根的充要条件．解：①当a ＝0时，方程为一元一次方程，其根为x ＝－12，不符合要求；②当a ≠0时，方程ax 2＋2x ＋1＝0为一元二次方程，有两个不相等的负实根的充要条件为⎩⎪⎨⎪⎧4－4a >0，－2a <0，1a >0，解得0<a <1.所以ax 2＋2x ＋1＝0有两个不相等的负实根的充要条件是0<a <1.。

【关键字】素材充分条件与必要条件教材点拨一、充分条件命题的条件和结论是构成命题的两个部分，并且条件和结论可以互相转化。

当一个命题为假命题时，可以说条件不能推出结论；而当命题为真命题时，可以说由此条件能推出结论。

所以一个命题从条件和结论的角度看，条件与结论有着一定的关系，即：由条件能否推出结论？如果由命题的条件能推出结论，那么命题就是真命题，此时条件就叫结论的充分条件。

物理模型的直观解释：如图电路图，当开关A紧闭时，灯泡B亮，而当灯泡B亮时，开关A却不一定是紧闭的；即要使灯泡B亮，只要开关A紧闭着一个条件就够了，我们就称“开关A紧闭”是“灯泡B亮”的充分条件。

一般地，“若，则”是一个真命题，是指由通过推理可以得出，即由可推出，记作，那么，就称条件是结论的充分条件（sufficient condition）。

“若，则”是一个真命题，是指由通过推理可以得出，即由可推出，记作，那么，就称是的充分条件（sufficient condition）。

例如：①，那么，“”是“”成立的充分条件；②，那么，“”是“”成立的充分条件；③三边对应相等的两个三角形全等：“三边对应相等”是“两个三角形全等”的充分条件；④“”是函数为幂函数的充分条件；警示：充分条件就是某一个结论成立应该具备的条件，当命题具备此条件时，就可以得出此结论，或者要是此结论成立，只要具备此条件就够了，而当命题不具备此条件时，结论也有可能成立。

例如，当时，成立，但是，当时，也可以成立，即时，也成立，所以，是成立的充分条件，也是成立的充分条件。

【例】仿照示例改写下列命题，并判断条件是否为充分条件：示例：若，则，可以改写成：；是充分条件；（1）个位数字是0的自然数能被5整除；（2）对角线相等的四边形是矩形；（3）与同一平面所成的角相等的两条直线平行；（4）若定义域为的函数为奇函数，则解：（1）个位数字是0的自然数这个自然数能被5整除；是充分条件；（2）四边形的对角线相等这个四边形是矩形；不是充分条件；（3）两条直线与同一平面所成的角相等这两条直线平行；不是充分条件；（4）定义域为的函数为奇函数；是充分条件。

必要条件》教案•课程介绍与目标•充分条件与必要条件概念解析•逻辑关系判断方法论述•典型例题解析与讨论目•学生自主练习与互动环节•课堂小结与作业布置录01课程介绍与目标使学生理解充分条件、必要条件的定义，掌握判断充分条件、必要条件的方法。

知识与技能过程与方法情感态度与价值观通过实例分析、讨论探究等方式，培养学生的逻辑思维能力和分析问题的能力。

引导学生认识数学在解决实际问题中的重要作用，培养学生的数学应用意识。

030201充分条件、必要条件的定义及判断方法充分条件、必要条件的性质及关系充分条件、必要条件在实际问题中的应用教学方法与手段教学方法采用讲解、讨论、探究等教学方法，引导学生积极参与课堂活动，激发学生的学习兴趣和主动性。

教学手段利用多媒体课件、实物展示等教学手段，帮助学生更好地理解充分条件、必要条件的概念和性质。

同时，结合实际问题进行分析和讨论，提高学生的数学应用能力和解决问题的能力。

02充分条件与必要条件概念解析定义如果命题A的成立导致命题B的成立，那么称A是B的充分条件。

示例若一个数是偶数（命题A），则这个数能被2整除（命题B）。

在这个例子中，“一个数是偶数”是“这个数能被2整除”的充分条件。

定义如果命题B的成立必须依赖于命题A的成立，那么称A是B的必要条件。

示例若一个三角形是等边三角形（命题B），则这个三角形的三个内角都是60度（命题A）。

在这个例子中，“这个三角形的三个内角都是60度”是“这个三角形是等边三角形”的必要条件。

充分必要条件和充分非必要条件区分充分必要条件如果命题A既是命题B的充分条件，又是命题B的必要条件，那么称A是B的充分必要条件。

这意味着A和B是等价的，即A⇔B。

充分非必要条件如果命题A是命题B的充分条件，但不是命题B的必要条件，那么称A是B的充分非必要条件。

这意味着A能推出B，但B不能推出A，即A⇒B但B⇏A。

03逻辑关系判断方法论述03判断方法通过判断两命题间的因果关系，确定谁是充分条件，谁是必要条件。

高中数学《充分条件与必要条件》导学案北师大版选修11（1）第2课时充分条件与必要条件1.理解充分条件和必要条件的含义.2.会判断两个条件间的充分必要关系.3.能利用条件间的充分必要关系求参数的取值范围.函数y=x cos x+sin x的图像大致为().图像分析题是高考中比较常见的一种试题,做这类题的主要思想是排除法,从解析式结合图像我们很容易找到三个角度来排除,一是利用函数是奇函数可以排除B,二是利用x=时,y=1,可以排除C,三是利用x=π时,y=-π,可以排除A,所以答案选D.问题1: 一般地,“若p,则q”为真命题,是指由p通过推理可以得出q.这时,我们就说,由p可推出q,记作, 并且说p是q的充分条件,q是p 的必要条件.根据上述情境,结合充分条件、必要条件的定义我们用充分和必要进行填空:(1)“图像关于原点对称”是“该图像是函数y=x cos x+sin x的图像”的条件;(2)“ y=f(x)的图像是y=x cos x+sin x的图像”是“f()>0”的条件;(3)“ f(π)>0”是“y=f(x)的图像不是y=x cos x+sin x的图像”的条件.问题2:p与q的推出情况和p与q的充分、必要性有何联系?(1)若,则p是q的充分不必要条件;(2)若,则p是q的必要不充分条件;(3)若,则p是q的充要条件;(4)若,则p是q的既不充分也不必要条件.问题3:如何从集合的角度理解充分条件、必要条件和充要条件?建立与p、q相应的集合,即p:A={x|p(x)},q:B={x|q(x)}.集合A与B的关系Venn图表示法若A?B,则p是q的,若A?B,则p是q的若B?A,则p是q的,若B?A,则p是q的若A?B且B?A,则p既不是q的,也不是q的若A?B且B?A,即A=B,则p是q的1.在下列电路图中,表示开关A闭合是灯泡B亮的必要但不充分条件的线路图是( ).2.在△ABC中,“sin A>”是“A>”的( ).A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.已知q是等比数列{a n}的公比,则“q<1”是“数列{a n}是递减数列”的条件.4.指出下列各题中,p是q的什么条件?(1)p:∠A=∠B,q:∠A和∠B是对顶角.(2)p:x=1,q:x2=1.充分条件、必要条件、充要条件的判断分析下面的各组命题中p是q的什么条件.(从“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选一个)(1)在△ABC中,p:∠A=∠B,q:sin A=sin B.(2)非空集合A、B中,p:x∈A∪B,q:x∈B.根据充分条件、必要条件求参数的取值范围已知p:A={x∈R|x2+ax+1≤0},q:B={x∈R|x2-3x+2≤0},若p是q的充分不必要条件,求实数a的取值范围.充要条件的探求与证明已知方程x2+(2k-1)x+k2=0,求使方程有两个大于1的根的充要条件.判断下列各题中p是q的什么条件.(1)p:a>b,q:>.(2)p:a>b,q:2a>2b-1.(3)p:△ABC中,∠A≠60°,q:sin A≠.已知命题p:1-c<x0),命题q:x>7或x<-1,并且p是q的既不充分又不必要条件,则c的取值范围是.</x求关于x的方程ax2+2x+1=0至少有一个负的实根的充要条件.1.设集合A,B,则“A?B”是“A∩B=A成立”的( ).A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.已知平面α,β,直线m?平面α,则“平面α∥平面β”是“直线m∥平面β”的( ).A.充分不必要条件B.充要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件3.设有如下三个命题:甲: m∩l=A,m,l?α,m,l?β;乙:直线m,l中至少有一条与平面β相交;丙:平面α与平面β相交.当甲成立时,乙是丙的条件.4.判断下列各题中p是q的什么条件.(1)p:a>0且b>0, q:ab>0.(2)p:>1, q:x>y.。

第一章集合与常用逻辑用语《1.4充分条件与必要条件》教案【教材分析】本节内容比较抽象，首先从命题出发，分清命题的条件和结论，看条件能否推出结论，从而判断命题的真假；然后从命题出发结合实例引出充分条件、必要条件、充要条件这三个概念，再详细讲述概念，最后再应用概念进行论证.【教学目标与核心素养】课程目标1．理解充分条件、必要条件与充要条件的意义．2．结合具体命题掌握判断充分条件、必要条件、充要条件的方法．3．能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要性的证明．数学学科素养1.数学抽象：充分条件、必要条件与充要条件含义的理解；2.逻辑推理：通过命题的判定得出充分条件、必要条件的含义，通过定义或集合关系进行充分条件、必要条件、充要条件的判断；3.数学运算：利用充分、必要条件求参数的范围，常见包含一元二次方程及其不等式和不等式组；4.数据分析：充要条件的探求与证明：将原命题进行等价变形或转换，直至获得其成立的充要条件，探求的过程同时也是证明的过程；5.数学建模：通过对充分条件、必要条件的概念的理解和运用，培养学生分析、判断和归纳的逻辑思维能力。

【教学重难点】重点：充分条件、必要条件、充要条件的概念．．难点：能够利用命题之间的关系判定充要关系．【教学方法】：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。

【教学过程】一、问题导入：写出下列两个命题的条件和结论，并判断是真命题还是假命题？（1）若x＞a2+b2，则x＞2ab,（2）若ab＝0，则a＝0.学生容易得出结论；命题(1)为真命题，命题(２)为假命题．提问：对于命题“若p，则q”，有时是真命题，有时是假命题．如何判断其真假的？结论：看p能不能推出q，如果p能推出q，则原命题是真命题，否则就是假命题．要求：让学生自由发言，教师不做判断。

而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本17-22页，思考并完成以下问题1.什么是充分条件？2.什么是必要条件？3.什么是充要条件？5.什么是充分不必要条件？6.什么是必要不充分条件？7.什么是既不充分也不必要条件？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题，教师巡视指导，解答学生在自主学习中遇到的困惑过程。

《充分条件与必要条件》导学案一、学习目标1、理解充分条件、必要条件、充要条件的概念。

2、能够判断给定命题中条件与结论之间的充分性、必要性。

3、学会运用充分条件、必要条件解决相关的数学问题和实际问题。

二、学习重点1、充分条件、必要条件、充要条件的概念。

2、充分条件、必要条件的判断方法。

三、学习难点1、对充分条件、必要条件概念的理解。

2、区分充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件。

四、知识回顾在数学中，我们经常会遇到各种各样的命题。

命题是指可以判断真假的陈述句。

例如：“三角形的内角和为 180 度”，这是一个真命题；“2 大于5”，这是一个假命题。

一个命题通常由条件和结论两部分组成。

例如，命题“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”，其中“两个角是对顶角”是条件，“这两个角相等”是结论。

五、新课导入我们在判断一个命题的真假时，常常会考虑条件与结论之间的关系。

比如，“如果今天下雨，那么地面会湿”，在这个命题中，如果今天真的下雨了，地面通常会湿，那么“今天下雨”这个条件对于“地面会湿”这个结论来说，有着怎样的特殊关系呢？这就引出了我们今天要学习的充分条件与必要条件的概念。

六、充分条件定义：如果命题“若 p，则q”为真命题，即由 p 可以推出 q，那么我们就说 p 是 q 的充分条件。

例如：“如果 x ＞ 5，那么 x ＞3”，因为当 x ＞ 5 时，必然有 x ＞ 3，所以“x ＞5”是“x ＞3”的充分条件。

通俗地说，有了 p 这个条件，就足以保证 q 成立，那么 p 就是 q 的充分条件。

再比如：“若一个数能被 2 整除，则这个数是偶数”，因为能被 2 整除的数一定是偶数，所以“一个数能被 2 整除”是“这个数是偶数”的充分条件。

七、必要条件定义：如果命题“若 q，则p”为真命题，即由 q 可以推出 p，那么我们就说 p 是 q 的必要条件。

例如：“如果一个数是偶数，那么这个数能被 2 整除”，因为偶数一定能被 2 整除，所以“一个数能被 2 整除”是“这个数是偶数”的必要条件。

《充分条件与必要条件》知识目标：1、理解充分条件、必要条件及充要条件的概念；理解“⇒”的含义。

2、初步掌握充分、必要条件及充要条件的判断方法。

3、在理解定义的基础上，能对定义进行转化，转化成推理关系及集合的包含关系。

能力目标：1、培养学生的阅读理解能力、归纳总结能力和逻辑推理能力。

2、培养学生数学语言与文字、符号、图形的翻译能力。

情感目标：1、把所学的逻辑知识运用到日常的生活、学习中来，让学生感受“生活中的逻辑”，增加对学习逻辑知识的兴趣和信心，克服畏惧感，激发求知欲。

2、通过以学生为主体的教学方法，让学生自己探索，发展体验获取知识的感受。

3、通过师生之间、学生之间的平等的合作与交流，使学生充分体验平等、民主、信任和关爱，形成较为丰富的人生态度和愉悦美好的情感体验。

“教学重难点分析”重点：充分条件、必要条件的概念和判断方法。

难点：1、必要条件的理解（这是学好本大节的关键）。

2、判断一些集合命题的真假（在以往的教学中，我发现学生易把结论判断反，因此我也把它作为本节课的难点）。

关键：找出题目中的p、q，判断p⇒q是否成立，同时．．还需判断q⇒p是否成立，再弄清是问“p是q的什么条件”还是问“q是p的什么条件”。

“教法与学法设计”本节课针对本校高一学生的认知水平和年龄特点以及这节课的内容特点，为了调动学生学习的积极性，使学生变被动学习为主动愉快的学习。

我以“建构主义”理论、教育心理学为指导，精心设计教学情景，激发学生学习兴趣，采用“交往式教学方法”。

本节课以问题为中心，以解决问题为主线展开，学生主要采用“探究式学习法”进行学习。

老师提出启发性、挑战性的问题，引导学生去探究，在探究问题的过程中激发学生的好奇心和创新精神，让学生充分展示自己、主动参与、共同交流，使整个课堂始终处于交互式的学习环境中。

“交往式教学方法”、“探究式学习法”充分体现了“以学生发展为本”的原则，充分体现了以“教师为主导，学生为主体”的原则。

高中数学选修1,1《充分条件与必要条件》教案高中数学选修1-1《充分条件与必要条件》教案【一】教学目标通过这节课的教学，要求学生正确理解充分条件、必要条件和充要条件三个概念，并能在论证中正确地运用.教学重点充分条件、必要条件和充要条件的概念.教学难点充分条件、必要条件和充要条件三个概念在论证中的正确运用.教法学法充要条件是重要的数学概念.它主要讨论命题的条件和结论的关系.通过对充分条件、必要条件和充要条件的概念的理解和运用，培养学生分析、判断和归纳的逻辑思维能力.教学手段多媒体辅助教学教学过程第一，创设情境，引出课题：考虑到高一学生学习这一章的知识储备不足，为了让学生更易接受这一节内容，我利用日常生活中的具体事例来提出本课的问题，并与学生共同利用原有的知识分析，事例中包括几个问题，为后面定义的分析埋下伏笔。

我用的第一个事例是：若某人发烧，则该人就患了甲型流感。

第二个事例是：若小明的数学成绩是满分，则他的数学单科名次是年级第一。

用以上两个生活中的事例来说明数学中应研究的概念、关系，会使学生感到亲切自然，有助于提高兴趣和深入领会概念的内容，特别是它的必要性。

第二，分析实例，给出定义。

在提起学生的学习兴趣后，紧接着开展下一部分，引导学生分析实例，让学生从事例中抽象出数学概念，得出本节课所要学习的充分条件和必要条件的定义。

在引导过程中尽量放慢语速，结合事例帮助学生分析。

得出定义之后，这里有必要再利用本课前面两节的“逻辑联结词”和“四种命题”的知识来加强对必要条件定义的理解。

(用前面的例子来说即：“活了，则说明在输氧”)可记作：教学设计充分条件与必要条件。

还应指出的是“必要条件”的定义，有如绕口令，要一次廓清，不可拖泥带水。

这里，只要一下子“定义”清楚了，下边再解释“ 教学设计充分条件与必要条件，A是B的必要条件”是怎么回事。

这样处理，学生更容易接受“必要”二字。

(因无A则无B，故欲有B，A 是必要的)。