《充分条件与必要条件》导学案

《充分条件和必要条件》导学案1．理解必要条件、充分条件与充要条件的意义；2．结合具体命题，学会判断充分条件、必要条件、充要条件的方法；3．培养学生的辩证思维能力．一．课前准备：1．一般地，命题“若p 则q ”为真，记作“pq ”； “若p 则q ”为假，记作“pq ” ．2．前面讨论了“若p 则q ”形式的命题的真假判断，请同学们判断下列命题的真假．（1）若y x =，则22y x = （ ）（2）若0=ab ，则0=a （ ）（3）若12>x ，则 （ ）（4）若 或2=x ，则0232=+-x x （ ）（5）若两个三角形相似，则这两个三角形对应角相等 （ ）二．探索新知：探究（一）：上面命题的条件和结论有什么关系？命题（1）中y x = 22y x =；22y x = y x =； 命题（2）中0=ab 0=a ；0=a 0=ab ； 命题（3）中12>x ； 12>x ；命题（4）中 或2=x 0232=+-x x ；0232=+-x x 或2=x ；命题（5）中两个三角形相似 这两个三角形对应角相等；两个三角形对应角相等 两个三角形相似．新知（一）一般地，如果 ，那么称p 是q 的充分条件；同时称q 是p 的必要条件；如果 ，且 ，那么称p 是q 的充分必要条件，简记为p 是q 的充要条件，记作 ；如果 ，且 ，那么称p 是q 的充分不必要条件；如果 ，且 ，那么称p 是q 的必要不充分条件；如果 ，且 ，那么称p 是q 的既不充分又不必要条件．动手试试（一）：1．如果：2>x ，：，则是的 条件．（填充分不必要、必要不充分、充要、既不充分又不必要）2．“c b a >>”是“0))()((<---a c c b b a ”的 条件．（填充分不必要、必要不充分、充要、既不充分又不必要）探究（二）：从集合的观点来看“q p ⇒，则p 是q 的充分条件”给定两个条件，要判断p 是q 的什么条件，也可考虑集合：{}p x x A 满足条件=，{}q x x B 满足条件=新知（二）q p ⇒,相当于 ；p q ⇒,相当于 ；,q p ⇔相当于 ．动手试试（二）：已知：02082>--x x ，：)0(,01222>≥-+-a a x x ，若p 是q 的充分不必要条件，求实数的取值范围．1．自我评价你完成本节学案的情况为（ ）A ．很好B ．较好C ．一般D ．较差2．当堂检测（限时5分钟，满分10分）在横线上填充分不必要、必要不充分、充要、既不充分又不必要：（1）“和都是偶数”是“是偶数”的 条件．（2）“b a =”是“b a 22=”的 条件．（3）“直线与平面内无数条直线垂直”是“α⊥l ”的 条件．（4）“0=a ”是“函数)()(2R x ax x x f ∈+=为偶函数” 的 条件．（5）“N M x ⋂∈”是“N M x ⋃∈”的 条件．1．“βα>”是“βαsin sin >”的 条件．2．“N M >”是“N M 22log log >”的 条件．3．若 是两个非零向量，则“b a 32=”是“” 的 条件． 4．已知：)0()15(22>>-a a x ，：01322>+-x x ，若p 是q 的充分不必要条件，求实数的取值范围．。

充分条件和必要条件导学案一、学习目标1. 理解充分条件和必要条件的意义；2. 能判断两个命题之间的关系. 二、重点难点1.重点能判断两个命题之间的关系2.难点能判断两个命题之间的关系三、学习内容一、自主探究复习1：请同学们画出四种命题的相互关系图.复习2：将命题“线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等”改写为“若p ，则q ”的形式，并写出它的逆命题、否命题、逆否命题并判断它们的真假.情景引入你和你的妈妈在路上遇到你的老师你会对老师说：“这是我的妈妈”你的妈妈还用说你是她的孩子吗？为什么？二、合作交流问题1. 命题“若22x a b ，则2x ab ”（1）判断该命题的真假；（2）P ：q ：（3）该命题可记为：读：2. 命题“若0ab ,则0a ”（1）判断该命题的真假；（2）P ：q ：（3）该命题可记为：读：结论：一般地，“若p ，则q ”为真命题，是指由p 通过推理可以得出q .我们就说,由p 推出q ,记作pq ,并且说p 是q 的,q 是p 的试试：用符号“”与“”填空：（1）22xyx y ；（2）内错角相等两直线平行；（3）整数a 能被6整除a 的个位数字为偶数；（4）ac bc ab .练习：若1.x ，则12x,p 是q 的什么条件？三、课堂展示例1 下列“若p ，则q ”形式的命题中，哪些命题中的p 是q 的充分条件？（1）若1x ，则2430x x ；（2）若()f x x ，则()f x 在(,)上为增函数；（3）若x 为无理数，则2x 为无理数.变式练习：（１）若两条直线的斜率相等，则这两条直线平行；（２）若5x，则10x 例2 下列“若p ，则q ”形式的命题中哪些命题中的q 是p 必要条件？（1）若xy ，则22xy ；（2）若两个三角形全等，则这两个三角形面积相等；（3）若a b ，则ac bc变式练习：（１）若5a是无理数，则a 是无理数（２）若0))((b xa x ，则ax问题3：若b a 则cb c a 条件：_____________________结论：_____________________________________p 是q 的, q 是p 的______________________称______________练习1）已知p ：整数a 是6的倍数，q ：整数a 是2 和3的倍数.那么p 是q 的什么条件?q 又是p 的什么条件? P 与q 互为_____________________________2) p: b=0,q:函数f(x)=ax 2+bx+c 是偶函数；小结：p 是q 的_________________________________________________________________p 是q 的_________________________________________________________________________ p 是q 的__________________________________________________________________________ p 是q 的_______________________________________________________________________例3 若p 是r 的充分不必要条件，r 是q 的必要条件，r 又是s 的充要条件，q 是s 的必要条件则1)s 是p 的什么条件？2)r 是q 的什么条件？练习：已知甲、乙、丙三个命题，其中甲是乙的必要条件，丙是乙的充分不必要条件那么A.丙是甲的充分不必要条件 B.丙是甲的必要不充分条件C.丙是甲的充要条件D.丙是甲的既不充分也不必要条件小结：第二课时p 是q 的什么条件？(1) p: x>0,y>0,q:xy> 0(2) p: a>b ，q:a+c>b+c小结：判断是否充要条件两种方法（1）pq 且qp ）；（2）原命题、逆命题均为真命题；(3) 用逆否命题转化.练习：在下列各题中, p 是q 的充要条件? (1) p:x2=3x+4, q:x=43x (2) p: x-3=0, q:(x-3)(x-4)=0(3) p: b 2-4ac ≥0(a ≠0), q:ax 2+bx+c=0(a ≠0) (4) p: x=1是方程ax 2+bx+c=0的根q:a+b+c=0例1求证：关于x 的方程)0(02a cbx ax有一个根为1的充要条件是0c b a练.1 求圆(x-a)2+(y-b)2=r 2经过原点的充要条件2.求函数,02x c bx xy 是单调函数的充要条件3.已知：圆O 的半径为r ，圆心O 到直线的距离为d.求证:d=r 是直线l 与O.小结：达标检测1. 在平面内,下列哪个是“四边形是矩形”的充分条件？（）.A.平行四边形对角线相等B.四边形两组对边相等C.四边形的对角线互相平分D.四边形的对角线垂直2.,x y R ，下列各式中哪个是“0xy”的必要条件？（）. A.0x y B.220x y C.0x yD.33xy3.平面//平面的一个充分条件是（）.A.存在一条直线,//,//a a aB.存在一条直线,,//a a aC.存在两条平行直线,,,,//,//a b a b a bD.存在两条异面直线,,,,//,//a b a ba b 4.p :20x,q ：(2)(3)0xx，p 是q 的条件.5. p ：两个三角形相似；q ：两个三角形全等，p 是q 的条件.6.判断下列命题的真假.（1）2x 是2440x x 的必要条件；（2）圆心到直线的距离等于半径是这条直线为圆的切线的必要条件；（3）sin sin 是的充分条件；（4）0ab是0a的充分条件.7. 下列各题中，p 是q 的什么条件？（1）p ：1x ，q ：11x x ；（2）p ：|2|3x ，q ：15x ；（3）p ：2x，q ：33xx ；（4）p ：三角形是等边三角形，q ：三角形是等腰三角形.8. 下列各题中p 是q 的什么条件？（1）p ：x=1，q ：x-1=1x ；（2）p ：|x-2|=3x ，q ：-1≤x ≤16 ；（3）p ：x=2，q ：x-3=x 3；（4）p ：三角形是等边三角形，q ：三角形是等腰三角形.9. 下列命题为真命题的是（）. A.a>b 是a 2>b 2的充分条件 B.|a|>|b|是a 2>b 2的充要条件C.x 2=1是x=1的充分条件 D.α=β是tan α=tan β　的充要条件10.“ｘ∈n m”是“x ∈MUN ”的（）. A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件11.设p ：b 2-4ac>0(a ≠0)，q ：关于x 的方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)有实根，则p 是q 的（）.A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件12.2x 2-5x-3<0的一个必要不充分条件是（）. A -21<x< 3 B.-21< x< 0C. -3<x< -21 D.-1<x< 6.13.下列各题中p 是q 的什么条件？（1）p ：x=1，q ：x-1=1x ；（2）p ：|x-2|=3x ，q ：-1≤x ≤16 ；（3）p ：x=2，q ：x-3= ；（4）p ：三角形是等边三角形，q ：三角形是等腰三角形14.已知A={x x 满足条件P}，B ={x x 满足条件q }（1）如果A B ，那么p 是q 的什么条件？（2）如果BA ，那么p 是q 的什么条件？（3）如果A= B ，那么p 是q 的什么条件？15.A 是B 的充要条件，B 是C 和D 的必要条件，E 是D 的充分条件，E 是A 的充要条件,则E 是B 的____________________________________C 是A________________________________ A 是D_____________________________________D 是C_________________________________16. 证明：a+2b=0是直线ax+2y+3=0和直线x+by+2=0垂直的充要条件.17.求证：ABC?是等边三角形的充要条件是a 2+b 2+c 2=ab+ac+bc ，这里,,abc 是ABC?的三边.18证明：对于x 、yR ，0xy是220xy的必要不充分条件．。

第一章 集合与常用逻辑用语1.一、学习目标1．通过对典型数学命题的梳理，理解并归纳充分条件、必要条件的意义；2．结合具体问题，学会判断充分条件和必要条件；3．利用集合等知识，理解充分条件和必要条件与集合之间的联系.二、重点难点三、预习提纲（阅读教材，完成下列填空，在教材相应位置进行标注后，识记相关内容）1.命题概念及结构：一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的_______叫做_______。

其中判断为真的语句是________，判断为假的语句是_________。

当命题表示为“若p ，则q ”时，_______是命题的条件，______是命题的结论．3.设A ＝{x |x 满足条件p }，B ＝{x |x 满足条件q }四、合作探究 深度学习学习目标一 充分条件与必要条件的概念例1：下列“若p ，则q ”形式的命题中，哪些是真命题？哪些是假命题？（1）若平行四边形的对角线互相垂直，则这个平行四边形是菱形；（2）若两个三角形的周长相等，则这两个三角形全等；（3）若2430,1;x x x -+==则（4）若平面内两条直线a 和b 均垂直于直线l ,则a //b.自主检测1：下列命题是真命题的是（ ）A ．{}01R 2=+∈x x 不是空集B ．若12=x ，则x =1C ．空集是任何集合的真子集D ．方程052=-x x 的解是自然数学习目标二 充分条件、必要条件的判定例2：下列“若p ，则q ”形式的命题中，哪些命题中的p 是q 的充分条件？（1）若四边形的两组对角分别相等，则这个四边形是平行四边形。

（2）若两个三角形的三边成比例，则这两个三角形相似。

（3）若四边形为菱形，则这个四边形的对角线互相垂直。

（4）211x x ==若，则（5）若a =b ，则ac =bc 。

（6）若x ，y 为无理数，则xy 为无理数。

【跟踪训练】下列“若p ，则q ”形式的命题中，哪些命题中的q 是p 的必要条件？（1）若四边形是平行四边形，则这个四边形的两组对角分别相等。

1.5充分条件与必要条件（导学案）组卷：姜汉明 审卷：周海英上课日期：________年____月____日； 班级_______学号____姓名__________ 学习目标；理解充分条件、必要条件及充要条件与推出的关系。

能够在简单的问题情境中判断条件的充分性、必要性及充要性。

在充要条件的学习过程中，形成等价转化思想。

学习重点及难点：充分条件、必要条件及充要条件的判断。

学习过程： 1、知识回顾复习1：首先请同学们判断下列命题的真假(1)若两三角形全等，则两三角形的面积相等。

(2)若三角形有两个内角相等，则这个三角形是等腰三角形。

(3) 若ab=0，则a=0。

(4)若a ，b 为实数，b a =，则22b a =。

复习2、请同学用推断符号“⇒”“⇏”写出上述命题。

答：（1）(2)（3） （4）2、充分条件、必要条件及充要条件⏹ 充分条件：一般地，用α、β分别表示两件事，如果α这件事成立，可以推出β这件事也成立，即α_____β，那么α叫做β的_____条件⏹ 必要条件：如果β_____α，那么α叫做β的_____条件。

⏹ 充要条件：如果既有α⇒β，又有β⇒α，就记作：α_____β那么α是β的充分而且必要条件，简称_____条件。

回答上述问题（1）、（2）中的条件关系。

（1）中：_________________是_________________的充分条件；_________________是_________________的必要条件。

（2）中：_________________是_________________的充分条件；_________________是_________________的必要条件。

说明：：把命题中的条件与结论分别记作α与β；α与β关系可分为四类： （1）充分不必要条件，即α_____β,而β_____α; (2)必要不充分条件，即α_____β,而β_____α; (3)既充分又必要条件，即α_____β，又有β_____α; (4)既不充分也不必要条件，即α_____β，又有β_____α。

1.4 充分条件与必要条件1.4.1 充分条件与必要条件课标要求素养要求1.通过对典型数学命题的梳理，理解必要条件的意义，理解性质定理与必要条件的关系.2.通过对典型数学命题的梳理，理解充分条件的意义，理解判定定理与充分条件的关系.通过对必要条件、充分条件的学习和理解，体会必要条件、充分条件等常用逻辑用语在数学表达、论证等方面的作用，重点提升逻辑推理素养与数学抽象素养.新知探究某居民的卧室里安有一盏灯，在卧室门口和床头各有一个开关，任意一个开关都能够独立控制这盏灯.这就是电器上常用的“双刀”开关，如图所示.问题(1)A开关闭合时B灯一定亮吗？(2)B灯亮时A开关一定闭合吗？提示(1)一定亮.(2)不一定，还可能是C开关闭合.1.充分条件与必要条件区分概念中充分条件与必要条件的推出符号的箭头方向(1)一般地，“若p，则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q.这时，我们就说，由p可以推出q，记作p⇒q，并且说p是q的充分条件，q是p的必要条件.(2)如果“若p，则q”为假命题，那么由条件p不能推出结论q，记作p q，此时，我们就说p不是q的充分条件，q不是p的必要条件.2.判定定理和性质定理与充分条件、必要条件的关系(1)数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件.(2)数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件.拓展深化『微判断』1.若p是q的充分条件，则p是唯一的.(×)提示不是唯一的，使结论成立的条件有多个.2.“若q，则p”是真命题，则p是q的必要条件.(√)3.“x＝3”是“x2＝9”的充分条件.(√)4.“ab>0”是“a>0，b>0”的必要条件.(√)『微训练』1.“x>2”是“x>3”的________条件(填“充分”或“必要”).答案必要2.“a＝b”是“ac＝bc”的______条件(填“充分”或“必要”).答案充分『微思考』你能将下面的性质定理写成“若p，则q”的形式，并用必要条件的语言表述吗？(1)平行四边形的对角线相互平分；(2)菱形的对角线互相垂直.提示(1)“平行四边形的对角线相互平分”可表述为“若平面四边形为平行四边形，则它的对角线相互平分”，所以“对角线相互平分”是“平面四边形是平行四边形”的必要条件.(2)“菱形的对角线互相垂直”可表述为“若四边形为菱形，则这个四边形的对角线互相垂直”，所以“对角线互相垂直”是“四边形为菱形”的必要条件.题型一命题真假的判断『例1』判断下列命题的真假：(1)已知a，b，c，d∈R，若a≠c，b≠d，则a＋b≠c＋d；(2)若x∈N，则x3>x2成立；(3)若m>1，则方程x2－2x＋m＝0无实数根；(4)存在一个三角形没有外接圆.解(1)假命题.反例：1≠4，5≠2，而1＋5＝4＋2.(2)假命题.反例：当x＝0时，x3>x2不成立.(3)真命题.∵m>1⇒Δ＝4－4m<0，∴方程x2－2x＋m＝0无实数根.(4)假命题.因为不共线的三点确定一个圆，即任何三角形都有外接圆.规律方法要判断一个命题是真命题，一般需要经过严格的推理论证，在判断时要有理有据，有时应综合各种情况作出正确的判断.而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可.『训练1』下列命题：①若xy＝1，则x，y互为倒数；②平面内，四条边相等的四边形是正方形；③平行四边形是梯形；④若ac2>bc2，则a>b.其中真命题的序号是________.解析①④是真命题，②平面内，四条边相等的四边形是菱形，但不一定是正方形，③平行四边形不是梯形.答案①④题型二充分条件、必要条件的判断『例2』给出下列四组命题：(1)p：两个三角形相似，q：两个三角形全等；(2)p：一个四边形是矩形，q：四边形的对角线相等；(3)p：A⊆B，q：A∩B＝A；(4)p：a>b，q：ac>bc.试分别指出p是q的什么条件.解(1)∵两个三角形相似两个三角形全等，但两个三角形全等⇒两个三角形相似，∴p是q的必要条件但不是充分条件.(2)∵矩形的对角线相等，∴p⇒q，而对角线相等的四边形不一定是矩形，∴q p.∴p是q的充分条件但不是必要条件.(3)∵p⇒q且q⇒p，∴p既是q的充分条件，又是q的必要条件.(4)∵p q，且q p，∴p是q的既不是充分条件，也不是必要条件.规律方法一般地，定义法主要用于较简单的命题判断，集合法一般需对命题进行化简，等价法主要用于否定性命题.要判断p是不是q的充分条件，就要看p能否推出q，要判断p是不是q的必要条件，就要看q能否推出p.『训练2』指出下列哪些命题中p是q的充分条件？(1)在△ABC中，p：∠B>∠C，q：AC>AB.(2)已知x，y∈R，p：x＝1，q：(x－1)(x－2)＝0.解 (1)在△ABC 中，由大角对大边知，∠B >∠C ⇒AC >AB ，所以p 是q 的充分条件.(2)由x ＝1⇒(x －1)(x －2)＝0， 故p 是q 的充分条件.故(1)(2)命题中p 是q 的充分条件.题型三 根据必要条件(充分条件)求参数的范围『例3』 (1)已知P ＝{x |a －4<x <a ＋4}，Q ＝{x |1<x <3}，“x ∈P ”是“x ∈Q ”的必要条件，则实数a 的取值范围是________.(2)已知p ：a ≤x ≤a ＋1，q ：0<x <4，若p 是q 的充分条件但不是必要条件，则a 的取值范围是________.解析 (1)因为“x ∈P ”是“x ∈Q ”的必要条件，所以Q ⊆P ， 所以⎩⎪⎨⎪⎧a －4≤1，a ＋4≥3，即⎩⎪⎨⎪⎧a ≤5，a ≥－1，所以－1≤a ≤5.(2)令M ＝{x |a ≤x ≤a ＋1}，N ＝{x |0<x <4}. ∵p 是q 的充分条件但不是必要条件，∴M N ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a >0，a ＋1<4，解得0<a <3. 答案 (1){a |－1≤a ≤5} (2){a |0<a <3}规律方法 根据充分条件、必要条件求参数的取值范围时，主要根据充分条件、必要条件与集合间的关系，将问题转化为相应的两个集合之间的包含关系，然后建立关于参数的不等式(组)进行求解.『训练3』 (1)若“x <m ”是“x >2或x <1”的充分条件但不是必要条件，求m 的取值范围.(2)已知p ：x <－3或x >1，q ：x >a ，且q 是p 的充分条件但不是必要条件，求a 的取值范围.解(1)由已知条件知{x|x<m}{x|x>2或x<1}.∴m≤1.∴m的取值范围是{m|m≤1}.(2)由已知条件得{x|x>a}{x|x<－3或x>1}，∴a≥1.∴a的取值范围是{a|a≥1}.一、素养落地1.通过学习充分条件与必要条件的概念提升数学抽象素养，通过判断充分条件与必要条件及其应用培养逻辑推理素养.2.充分条件、必要条件的判断方法(1)定义法：直接利用定义进行判断.(2)利用集合间的包含关系进行判断.3.根据充分条件、必要条件求参数的取值范围时，注意转化与化归思想的应用.二、素养训练1.若p：a∈M∪N，q：a∈M，则p是q的()A.充分条件但不是必要条件B.必要条件但不是充分条件C.既是充分条件，也是必要条件D.既不是充分条件，也不是必要条件解析由a∈M∪N a∈M，但a∈M⇒a∈M∪N，即p q，但q⇒p.答案 B2.“－2<x<1”是“x>1或x<－1”的()A.充分条件但不是必要条件B.必要条件但不是充分条件C.既不是充分条件，也不是必要条件D.既是充分条件，也是必要条件解析∵－2<x<1x>1或x<－1，且x>1或x<－1－2<x<1，∴“－2<x<1”是“x>1或x<－1”的既不是充分条件，也不是必要条件.答案 C3.下列命题中，p是q的充分条件的是()A.p：ab≠0，q：a≠0B.p：a2＋b2≥0，q：a≥0且b≥0C.p：x2>1，q：x>1D.p：a>b，q：a>b解析根据充分条件的概念逐一判断.答案 A4.若a∈R，则“a＝1”是“|a|＝1”的()A.充分条件B.必要条件C.既不是充分条件，也不是必要条件D.无法判断解析当a＝1时，|a|＝1成立，但|a|＝1时，a＝±1，所以a＝1不一定成立.∴“a＝1”是“|a|＝1”的充分条件.答案 A5.若“x>m”是“x>3或x<1”的充分条件但不是必要条件，求m的取值范围.解由已知条件，知{x|x>m}{x|x>3或x<1}.∴m≥3.∴m的取值范围是『3，＋∞).三、审题答题示范(一)利用充分条件(必要条件)求参数范围『典型示例』(12分)已知条件p：x<1－a或x>1＋a①和条件q：x<12或x>1②，求使p 是q 的充分条件但不是必要条件③的最小正整数a ④. 联想解题看到①转化成集合形式. 看到②转化成集合形式.看到③想到需转化为条件p 与条件q 对应集合间的包含关系，然后建立关于a 的不等式组求解.看到④想到求出的是a 的一个范围，然后在此基础上求出最小正整数a . 满分示范解 依题意a ＞0.由条件p ：x <1－a 或x >1＋a ， 可设M ＝{x |x <1－a 或x >1＋a }，1分由条件q ：x <12或x >1，可设N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x <12或x >1.2分 要使p 是q 的充分条件但不是必要条件，则M N ，应有⎩⎨⎧1－a ≤12，1＋a ＞1或⎩⎨⎧1－a ＜12，1＋a ≥1，解得a ≥12.10分令a ＝1，则M ＝{x |x <0或x >2}N ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x <12或x >1.即p ⇒q ，反之不成立. ∴a ＝1.12分 满分心得解本题的关键是条件“p 是q 的充分条件但不是必要条件”的转化，利用两个解集间的包含关系建立不等关系求解.。

§1.2充分条件与必要条件导学案【一】学习目标1．理解并掌握充分条件、必要条件、充要条件的意义； 2．理解“⇒”“⇒”“⇔”的意义，并会应用解题。

【二】小组交流 合作探究（阅读课本第9-11页完成下列问题）问题1. 命题“若22x a b >+，则2x ab >”（1）p ： q ：（2）判断该命题的真假____（3）该命题可记为：问题2. 命题“若0ab =,则0a =”（1）p q ：（2）判断该命题的真假_____（3）该命题可记为：结论：1、一般地，“若p ，则q ”为真命题，是指由p 通过推理可以得出q .我们就说,由p 推出q ,记作p q ⇒,并且说p 是q 的 ,q 是p 的2、一般地，“若p ，则q ”为____命题，是指由p 不能得出q .我们就说,由p 不能推出q ,记作______ ,并且说p 不是q 的 ,q 不是p 的问题3.命题a ，R b ∈,“若b a >，则c b c a +>+”（1）p ： q ：（2）判断该命题的真假_____（3）该命题可记为：结论：3、一般地，如果既有p q ⇒，又有p q ⇒，记作______,此时我们说p 是q 的充分必要条件，简称充要条件。

问题4. 观察命题1、命题2中p 、q 的关系，试得出如下结论结论：4、如果有p ____q ，q _____p , 则p 是q 的充分不必要条件，5、如果有p ____q ，q _____p , 则p 是q 的必要不充分条件，问题5. 命题a ，R b ∈,“若b a >，则ba 11>” （1）p ： q ：（2）判断该命题的真假_____（3）p 与q 的关系___________________结论：6、如果有p ____q ，q _____p ，则p 是q 的既不充分也不必要条件，练习；用符号“⇒”与“”填空：（1） 22x y = x y =； p 是q 的 条件（2） 内错角相等 两直线平行； p 是q 的 条件（3） 整数a 能被6整除 a 的个位数字为偶数；p 的 条件是q（4） ac bc = a b =； p 的 条件是q【三】理顺思路 总结升华总结：用算法表示判断充分、必要条件的基本步骤Step1:________________________Step2:________________________Step3:________________________【四】运用理论 解决问题用“必要不充分”，“充分不必要”，“充要”，“既不充分也不必要”填写下表 是 是有理数是实数 、 是偶数 是是例1、已知：⊙O 的半径为r ，圆心O 到直线l 的距离为d ，求证：d =r 是直线l 与⊙O 相切的充要条件。

1．2.1充分条件与必要条件充分条件与必要条件命题真假“若p，则q”是真命题“若p，则q”是假命题推出关系p□01⇒q p□02⇒/q条件关系p是q的□03充分条件q是p的□04必要条件p□05不是q的充分条件q□06不是p的必要条件1．p⇒q的含义(1)“若p，则q”形式的命题为真命题；(2)由条件p可以得到结论q；(3)p是q的充分条件或q的充分条件是p；(4)只要有条件p，就一定有结论q，即p对于q是充分的；(5)q是p的必要条件或p的必要条件是q；(6)为得到结论q，具备条件p就可以推出．显然，p是q的充分条件与q是p的必要条件表述的是同一个逻辑关系，即p⇒q，只是说法不同而已．2．对充分条件的理解所谓充分，就是说条件是充分的，也就是说条件是充足的，条件是足够的，条件是足以保证的．“有之必成立，无之未必不成立”．3．对必要条件的理解所谓必要，就是条件是必须有的，必不可少的，缺其不可．“有之未必成立，无之必不成立”．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若p 是q 的必要条件，则q 是p 的充分条件．( )(2)若p 是q 的充分条件，则綈p 是綈q 的充分条件．( )(3)“x ＝1”是“x 2＝x ”的必要条件．( )答案 (1)√ (2)× (3)×2．做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)若p 是q 的充分条件，q 是r 的充分条件，则p 是r 的________条件．(2)“a >0，b >0”是“ab >0”的________条件．(3)“若p ，则q ”的逆命题为真，则p 是q 的________条件．答案 (1)充分 (2)充分 (3)必要探究1 充分条件与必要条件的判断例1 在下列各题中，分别判断p 是否为q 的充分条件或必要条件，并说明理由．(1)p ：x 2＝2x ＋1，q ：x ＝2x ＋1；(2)p ：a <b ，q ：a b<1； (3)p ：ab ≠0，q ：直线ax ＋by ＋c ＝0与两坐标轴都相交．[解] (1)∵x 2＝2x ＋1⇒/ x ＝2x ＋1，x ＝2x ＋1⇒x 2＝2x ＋1，∴p 是q 的必要条件，且p 不是q 的充分条件．(2)由于a <b ，当b <0时，a b >1；当b >0时，a b <1，故若a <b ，不一定有a b <1；当a >0，b >0，a b <1时，可以推出a <b ；当a <0，b <0，a b <1时，可以推出a >b .所以p 不是q 的充分条件，且p 不是q 的必要条件．(3)由ab ≠0，即a ≠0且b ≠0，此时直线ax ＋by ＋c ＝0与两坐标轴都相交；又当ax ＋by ＋c ＝0与两坐标轴都相交时，a ≠0且b ≠0，即ab ≠0，所以p 是q 的充分条件，且p 是q 的必要条件．拓展提升充分条件、必要条件的判定方法(1)定义法：直接判断p ⇒q 和q ⇒p 是否成立，然后得结论．(2)等价法：利用命题的等价形式：p ⇒q ⇔綈q ⇒綈p ，q ⇒p ⇔綈p ⇒綈q ，p ⇔q 与綈p ⇔綈q的等价关系．对于条件和结论是否定形式的命题，一般运用等价法．(3)集合法：对于涉及取值范围的判断题，可从集合的角度研究，若两个集合具有包含关系，则小范围⇒大范围，大范围⇒/ 小范围．(4)传递法：由推式的传递性：p 1⇒p 2⇒p 3⇒…⇒p n ，则p 1⇒p n .【跟踪训练1】 在下列各题中，分别判断p 是否为q 的充分条件或必要条件，并说明理由．(1)p ：|a |≥2，a ∈R ，q ：方程x 2＋ax ＋a ＋3＝0有实根；(2)p ：a ＋b ＝0，q ：a 2＋b 2＝0；(3)p ：四边形是矩形；q ：四边形的对角线相等．解 (1)当|a |≥2时，如a ＝3，则方程x 2＋3x ＋6＝0无实根，而方程x 2＋ax ＋a ＋3＝0有实根，则必有a ≤－2或a ≥6，可推出|a |≥2，故p 不是q 的充分条件，且p 是q 的必要条件．(2)a ＋b ＝0⇒/ a 2＋b 2＝0；a 2＋b 2＝0⇒a ＋b ＝0，故p 不是q 的充分条件，且p 是q 的必要条件．(3)四边形的对角线相等⇒/ 四边形是矩形；四边形是矩形⇒四边形的对角线相等，故p 是q 的充分条件，且p 不是q 的必要条件．探究2 利用充分条件与必要条件求参数的取值范围例2 已知集合A ＝{y |y ＝x 2－3x ＋1，x ∈R }，B ＝{x |x ＋2m ≥0}；命题p ：x ∈A ，命题q ：x ∈B ，并且綈p 是綈q 的必要条件，求实数m 的取值范围．[解] 由已知可得A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y ⎪⎪⎪ y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322－54，x ∈R ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y ⎪⎪⎪ y ≥－54，B ＝{x |x ≥－2m }，则∁R A ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－54，∁R B ＝(－∞，－2m )，因为綈p 是綈q 的必要条件， 所以∁R B ⊆∁R A ，所以－2m ≤－54，解得m ≥58，所以m 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫58，＋∞. [解法探究] 此题有没有其他解法？解 由已知可得A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y ⎪⎪⎪ y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322－54，x ∈R ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y ⎪⎪⎪ y ≥－54， B ＝{x |x ≥－2m }．因为綈p 是綈q 的必要条件，所以p 是q 的充分条件，所以A ⊆B ，所以－2m ≤－54，所以m ≥58，即m 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫58，＋∞. [条件探究] 如果把例2中“必要”改为“充分”，其他条件不变，如何解答？解 由已知得A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y ⎪⎪⎪ y ≥－54，B ＝{x |x ≥－2m }． 因为綈p 是綈q 的充分条件，所以p 是q 的必要条件，所以B ⊆A ，所以－2m ≥－54，解得m ≤58，即m 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，58. 拓展提升利用充分、必要条件求参数的思路根据充分条件、必要条件求参数的取值范围时，先将p ，q 等价转化，再根据充分条件、必要条件与集合间的关系，将问题转化为相应的两个集合之间的包含关系，然后建立关于参数的不等式(组)进行求解．【跟踪训练2】 已知M ＝{x |(x －a )2<1}，N ＝{x |x 2－5x －24<0}，若M 是N 的充分条件，求a 的取值范围．解 由(x －a )2<1，得a －1<x <a ＋1，由x 2－5x －24<0，得－3<x <8.∵M 是N 的充分条件，∴M ⊆N .于是⎩⎪⎨⎪⎧a －1≥－3，a ＋1≤8，从而可得－2≤a ≤7. 故a 的取值范围为[－2,7]．探究3 充分条件与必要条件的实际应用例3 在下面电路图中，闭合开关A 是灯泡B 亮的什么条件？[解] 如题图(1)，闭合开关A 或闭合开关C ，都可使灯泡B 亮．反之，若要灯泡B 亮，不一定非要闭合开关A .因此，闭合开关A 是灯泡B 亮的充分不必要条件；如题图(2)，闭合开关A 而不闭合开关C ，灯泡B 不亮．反之，若要灯泡B 亮，开关A 必须闭合，说明闭合开关A 是灯泡B 亮的必要不充分条件；如题图(3)，闭合开关A 但不闭合开关C ，灯泡B 不亮．反之，灯泡B 亮也不必闭合开关A ，只要闭合开关C 即可，说明闭合开关A 是灯泡B 亮的既不充分也不必要条件．拓展提升充分、必要条件实际应用的解题策略将问题转化为数学模型，分清条件与结论为解题关键．(1)p 是q 的充分条件是指“p 成立可充分保证q 成立，但是如果没有p ，q 也可能成立”．(2)q 是p 的必要条件是指“要使p 成立必须要有q 成立”，或者说“若q 不成立，则p 一定不成立”；但即使有q 成立，p 未必会成立．【跟踪训练3】《三国演义》中曹操败走华容道是这样描写的：曹操投南郡，除华容道外，还有一条便于通行的大路，前者路险，但近50余里；后者路平，却远50余里，曹操令人上山观察敌情虚实，回报说：“小路山边有数处起烟，大路并无动静．”曹操说：“诸葛亮多谋，故使人于山僻烧烟，使我军不敢从这条山路上走，他却伏兵于大路等着，吾已料定，偏不中他计．”结果致使曹操败走华容道，请用数学知识解释这种现象．解“诸葛亮多谋”是“虚则实之，实则虚之”的充分条件，“虚则实之，实则虚之”是“小路山边有数处起烟，而大路并无动静(有伏兵却没动静)”的充分条件，因为诸葛亮多谋是事实，所以曹操认为诸葛亮必然运用兵法“虚则实之，实则虚之”，曹操不以调查事实为依据，而诸葛亮抓住了曹操的这一心理，所以致使曹操败走华容道．1.充分与必要条件的判断方法判断p是q的什么条件，其实质是判断“若p，则q”及其逆命题“若q，则p”的真假.若p⇒q，q⇒/p，则p是q的充分不必要条件；若p⇒/q，q⇒p，则p是q的必要不充分条件；若p⇒q，q⇒p，则p是q的充分条件，也是q的必要条件(也称充要条件)；若p⇒/q，q⇒/p，则p是q的既不充分也不必要条件.2.等价转化法的应用一般地，根据命题间的等价关系，若“p⇒q且p ⇐/q”等价于“綈p⇐綈q且綈p⇒/綈q”，即“p是q的充分不必要条件”等价于“綈p是綈q的必要而不充分条件”.3.集合观点的应用若p，q对应的数集分别为P，Q，当P⊆Q时，p是q的充分条件，q是p 的必要条件，这可以总结为“小范围推出大范围”，简记为：“小充分，大必要”.1．钱大妈常说“便宜没好货”，她这句话的意思中：“好货”是“不便宜”的()A．充分条件B．必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 A解析“便宜没好货”的意思是“好货”肯定“不便宜”，所以“好货”是“不便宜”的充分条件．2．已知集合A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，则“a＝3”是“A⊆B”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案 A解析因为A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，若a＝3，则A＝{1,3}，所以A⊆B，所以a＝3⇒A⊆B；若A⊆B，则a＝2或a＝3，所以A⊆B⇒/a＝3，所以“a＝3”是“A⊆B”的充分而不必要条件．3．对于任意的实数a，b，c，在下列命题中，真命题是()A．“ac>bc”是“a>b”的必要条件B．“ac＝bc”是“a＝b”的必要条件C．“ac<bc”是“a<b”的充分条件D．“ac＝bc”是“a＝b”的充分条件答案 B解析若a＝b，则ac＝bc；若ac＝bc，则a不一定等于b，故“ac＝bc”是“a＝b”的必要条件．4．若綈A是B的充分不必要条件，则A是綈B的________条件．答案必要不充分解析由题知綈A⇒B，则綈B⇒A，反之不成立．5．下列说法是否正确？请说明理由．(1)x＝1是(x－1)(x－2)＝0的充分条件；(2)“△ABC≌△A′B′C′”是“△ABC∽△A′B′C′”的充分条件；(3)α＝π6是sinα＝12的必要条件；(4)x＋y>2是x>1，y>1的必要条件．解(1)正确，因为x＝1⇒(x－1)(x－2)＝0.(2)正确，因为△ABC≌△A′B′C′⇒△ABC∽△A′B′C′.(3)错误，因为sinα＝12⇒/α＝π6.(4)正确，因为x>1，y>1⇒x＋y>2.A级：基础巩固练一、选择题1．“0≤m≤1”是“函数f(x)＝sin x＋m－1有零点”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 A解析函数f(x)＝sin x＋m－1有零点⇔方程sin x＝1－m有根⇔－1≤1－m≤1⇔0≤m≤2，所以“0≤m≤1”是“函数f(x)＝sin x＋m－1有零点”的充分不必要条件．2．已知两条不重合的直线a，b与平面α，下列四个条件：①a⊄α，b⊂α；②a⊂α，b∥α；③a⊥α，b⊥α；④a，b为异面直线．其中是“a，b无公共点”的充分条件的是()A．①②B．②③C．③④D．②③④答案 D解析①中有可能a∩α＝A，A∈b，故①错误．②中b∥α，且a⊂α，则a，b无公共点，满足条件．③中a⊥α，b⊥α，则a∥b，满足条件．④中由异面直线的定义可知④正确．∴②③④正确，故选D.3．设a，b都是非零向量．下列四个条件中，使a|a|＝b|b|成立的充分条件是()A．a＝－b B．a∥bC．a＝2b D．a∥b且|a|＝|b| 答案 C解析a|a|，b|b|分别是与a，b同方向的单位向量，由a|a|＝b|b|得a与b的方向相同．而a∥b时，a与b的方向还可能相反．故选C.4．已知命题“若p，则q”，假设其逆命题为真，则p是q的()A．充分条件B．必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 B解析逆命题“若q，则p”为真命题，则p是q的必要条件．5．设x∈R，则x>2的一个必要不充分条件是()A．x>1 B．x<1C．x>3 D．x<3答案 A解析x>2⇒x>1，但x>1⇒/x>2.6．已知a，b是实数，则“|a＋b|＝|a|＋|b|”是“ab>0”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 B解析因为|a＋b|＝|a|＋|b|⇔a2＋2ab＋b2＝a2＋2|ab|＋b2⇔|ab|＝ab⇔ab≥0，而由ab≥0不能推出ab>0，由ab>0能推出ab≥0，所以由|a＋b|＝|a|＋|b|不能推出ab>0，由ab>0能推出|a＋b|＝|a|＋|b|，故选B.二、填空题7．下列“若p，则q”形式的命题中，p是q充分不必要条件的是________．(填写相应的序号)①若x＝3，则x2＋x－12＝0；②若α＝β≠π2＋kπ，k∈Z，则tanα＝tanβ；③若m＝－2，则函数f(x)＝x2＋mx＋3关于x＝1对称．答案①②解析对于①，由x2＋x－12＝0，得x＝－4或x＝3，∴x＝3是x2＋x－12＝0的充分不必要条件；对于②，由于α＝β⇒tanα＝tanβ，但tanα＝tanβ⇒/α＝β，∴α＝β是tanα＝tanβ的充分不必要条件；对于③，由于m＝－2时，f(x)＝x2－2x＋3，对称轴为x＝1；反之，若f(x)＝x2＋mx＋3的对称轴为x＝1，则－m2＝1，m＝－2，∴m＝－2是f(x)＝x2＋mx＋3关于x＝1对称的充要条件．8．若“x2－2x－8>0”是x<m的必要不充分条件，则m的最大值为________．答案－2解析不等式解集为(－∞，－2)∪(4，＋∞)，题目等价于(－∞，m)是其真子集，故有m≤－2，即m的最大值为－2.9．设0<x<π2，则“x sin2x<1”是“x sin x<1”的________条件．答案必要不充分解析因为0<x<π2，所以0<sin x<1，所以0<sin2x<sin x.又因为x>0，所以0<x sin2x<x sin x.若0<x sin x<1，则0<x sin2x<1.但是由0<x sin2x<1推不出0<x sin x<1.综上所述“x sin2x<1”是“x sin x<1”的必要不充分条件．三、解答题10．指出下列各题中，p是q的什么条件(在充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件，既不充分也不必要条件中选出一种作答)．(1)在△ABC中，p：∠A>∠B；q：BC>AC；(2)设x，y∈R，p：x＋y≠8；q：x≠2或y≠6；(3)已知x，y∈R，p：(x－1)·(y－2)＝0；q：(x－1)2＋(y－2)2＝0；(4)在△ABC中，p：sin A>sin B；q：tan A>tan B.解(1)在△ABC中，有∠A>∠B⇔BC>AC，即p⇔q，所以p是q的充要条件．(2)由已知得綈p：x＋y＝8；綈q：x＝2且y＝6.易知綈q⇒綈p，但綈p⇒/綈q，等价于p⇒q，且q⇒/p，所以p是q的充分不必要条件．(3)由已知得p：A＝{(x，y)|x＝1或y＝2}；q：B＝{(1,2)}，易知q⇒p，且p⇒/ q，所以p是q的必要不充分条件．数学•选修1－1(4)在△ABC 中，取∠A ＝120°，∠B ＝30°，则p ⇒/ q ；又取∠A ＝30°，∠B ＝120°，则q ⇒/ p .所以p 是q 的既不充分也不必要条件．B 级：能力提升练1．已知条件p ：A ＝{x |2a ≤x ≤a 2＋1}，条件q ：B ＝{x |x 2－3(a ＋1)x ＋2(3a ＋1)≤0}，若p 是q 的充分条件，求实数a 的取值范围．解 化简B ＝{x |(x －2)[x －(3a ＋1)]≤0}，①当a ≥13时，B ＝{x |2≤x ≤3a ＋1}；②当a <13时，B ＝{x |3a ＋1≤x ≤2}．因为p 是q 的充分条件，所以A ⊆B ，于是有⎩⎨⎧ a ≥13，a 2＋1≤3a ＋1，2a ≥2或⎩⎪⎨⎪⎧ a <13，a 2＋1≤2，2a ≥3a ＋1，解得1≤a ≤3或a ＝－1.综上，a 的取值范围是{a |1≤a ≤3或a ＝－1}．2．已知等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q .r ：a n <a n ＋1；s ：a 1>0，q >1.甲：r 不是s 的充分条件，r 也不是s 的必要条件；乙：r 是s 的必要条件，綈r 也是綈s 的必要条件．试问：甲、乙的说法是否正确？说明理由．解 由等比数列{a n }的单调性可知，当a 1>0，q >1时，{a n }是递增数列；当a 1<0,0<q <1时，{a n }也是递增数列．可见，s ⇒r ，r ⇒/ s ，∴綈r ⇒綈s ，綈s ⇒/ 綈r .故r 是s 的必要条件，r 不是s 的充分条件，綈r 是綈s 的充分条件． 所以甲、乙的说法都不完全正确.。

1.4充分条件与必要条件(导学案)【学习目标】1、理解充分条件、必要条件的概念，并会判断．(重点)2、可以通过已知关系探讨参数取值范围．(难点)【自主学习】知识点一 命题1、命题：用语言、符号或式子表达的，可以 的陈述句.2、命题的真假：判断为真的语句是 ；判断为假的语句是 .注意：反问句、疑问句、祈使句都不是命题.3、命题的形式：可写成“若p ，则q ”“如果p ，那么q ”等形式.其中p 称为命题的条件，q 称为命题的结论.问题1：下列命题中，哪些是真命题？哪些是假命题？（1）3≥3．（2）3能被2整除吗？（3）对角线互相垂直的平行四边形是菱形.（4）若两个三角形的周长相等，则这两个三角形全等.（5）若0342=+-x x ，则x=1.知识点二 充分条件与必要条件知识点三 判定定理、性质定理与充分条件、必要条件的关系一般地，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个 条件．数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个 条件．注意：(1)充分、必要条件的判断讨论的是“若p ，则q ”形式的命题．若不是，则首先将命题改写成“若p ，则q ”的形式．(2)不能将“若p ，则q ”与“p ⇒q ”混为一谈，只有“若p ，则q ”为真命题时，才有“p ⇒q ”．(3)对p ⇒q 的理解：指当p 成立时，q 一定成立，即由p 通过推理可以得到q ．①“若p ，则q ”为真命题； ②p 是q 的充分条件； ③q 是p 的必要条件以上三种形式均为“p ⇒q ”这一逻辑关系的表达．知识点四 充分条件、必要条件与集合的关系设A＝{x|x满足条件p}，B＝{x|x满足条件q}知识点五充要条件1．如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有，又有，就记作，此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们说p是q的充分必要条件，简称为条件．2．如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件．概括地说，如果p⇔q，那么p与q互为条件．【经典例题】考点一充分条件、必要条件的判断角度1 定义法例1“a>0且b>0”是“ab>0”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【跟踪训练】1、“a+b是偶数”是“a和b都是偶数”的（）A．充分条件B．必要条件C．充要条件D．既不是充分条件也不是必要条件2、俗语云“好人有好报”，这句话的意思中：“好人”是“有好报”的()A．充分条件B．必要条件C．既不充分又不必要条件D．无法判断角度2 集合法x ”成立的（）条件例2 “ 0< x <2”成立是“2A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要【跟踪训练】设集合A={x|0≤x<3}，集合B={x|1≤x≤3}，那么“m∈A”是“m∈B”的（）A．充分条件B．必要条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件角度3 递推法例3 已知q是r的必要不充分条件，s是r的充分且必要条件，那么s是q成立的（）A．必要不充分条件B．充要条件C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件【跟踪训练】设甲是乙的充分不必要条件，乙是丙的充要条件，丁是丙的必要不充分条件，则甲是丁的 （ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【方法总结】判断充分条件、必要条件及充要条件的四种方法：(1) 定义法：直接判断“若p ，则q ”以及“若q ，则p ”的真假．(2) 集合法：利用集合的包含关系判断．(3) 等价法：利用p⇔q 与q⇔p 的等价关系，对于条件和结论是否定形式的命题，一般运用等价法．(4) 传递法：充分条件和必要条件具有传递性，即由p1⇔p2⇔…⇔pn ，可得p1⇔pn ；充要条件也有传递性． 考点二 充分、必要条件的选择例4（多选）（2023高一限时训练）“−12<x <2”的一个充分不必要条件可以是（ ）A ．1x >-B ．0<x <1C ．−12<x <12D ．x <2【跟踪训练】1、使不等式1x >成立的一个充分不必要条件是（ ）A ．23x <<B ．0x >C ．25x -<<D ．1x >2、（2023黑龙江大庆外国语学校高一考试）“x −1>0”成立的一个必要不充分条件的是（ ）A ．x >1B ．x >2C ．3x <D ．x >0考点三 根据充分条件求参数取值范围例5 （2022·黑龙江·哈师大附中高一期末）已知非空集合P ={x|a −1≤x ≤6a −14}，Q ={x|−2≤x ≤5}．(1) 若a =3，求(∁R P )∩Q ；(2) 若“x ∈P ”是“x Q ∈”的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．【跟踪训练】已知集合A ={x |3−a ≤x ≤3+a }，B ={x |x ≤0或x ≥4}．(1)当a=1时，求A∩B；(2)若a>0，且“x∈A”是“x∈∁R B”的充分不必要条件，求实数a的取值范围．【方法总结】应用充分不必要条件、必要不充分条件及充要条件求参数值(范围)的一般步骤：(1)根据已知将充分不必要条件、必要不充分条件或充要条件转化为集合间的关系．(2)根据集合间的关系构建关于参数的方程(组)或不等式(组)求解．考点四充要条件的证明例6求证：x=1是一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根的充要条件是a+b+c=0(a≠0)【方法总结】1．根据充要条件的定义，证明充要条件时要从充分性和必要性两个方面分别证明．一般地，证明“p成立的充要条件为q ”；(1)充分性：把q当作已知条件，结合命题的前提条件，推出p；(2)必要性：把p当作已知条件，结合命题的前提条件，推出q.解题的关键是分清哪个是条件，哪个是结论，然后确定推出方向，至于先证明充分性还是先证明必要性则无硬性要求．2．在证明过程中，若能保证每一步推理都有等价性(⇔)，也可以直接证明充要性．。

《充分条件与必要条件》导学案一、学习目标1、理解充分条件、必要条件、充要条件的概念。

2、能够准确判断条件与结论之间的关系，区分充分条件、必要条件和充要条件。

3、能够运用充分条件、必要条件和充要条件解决相关的数学问题和实际问题。

二、重点难点1、重点（1）充分条件、必要条件、充要条件的概念。

（2）判断条件与结论之间的关系。

2、难点（1）理解充分条件、必要条件、充要条件的本质。

（2）在复杂情境中准确判断条件与结论的关系。

三、知识梳理1、充分条件如果命题“若 p，则q”为真命题，即由 p 可以推出 q，那么我们就说p 是 q 的充分条件。

也就是说，有了条件 p，结论 q 一定成立。

例如：如果一个数是偶数，那么这个数能被 2 整除。

“一个数是偶数”就是“这个数能被 2 整除”的充分条件。

2、必要条件如果命题“若 q，则p”为真命题，即由 q 可以推出 p，那么我们就说p 是 q 的必要条件。

也就是说，没有条件 p，结论 q 就一定不成立。

例如：如果一个数能被 2 整除，那么这个数是偶数。

“一个数是偶数”就是“这个数能被 2 整除”的必要条件。

3、充要条件如果既有 p 推出 q，又有 q 推出 p，即“若 p，则q”和“若 q，则p”均为真命题，那么我们就说 p 是 q 的充要条件，也说 p 与 q 等价。

例如：一个三角形是等边三角形当且仅当它的三个内角相等。

“一个三角形是等边三角形”与“它的三个内角相等”互为充要条件。

四、例题讲解例 1：判断下列命题中，p 是 q 的什么条件？（1）p：x ＝ 1，q：x² 1 ＝ 0（2）p：两直线平行，q：内错角相等解：（1）当 x ＝ 1 时，x² 1 ＝ 1² 1 ＝ 0，所以由 p 可以推出 q，p是 q 的充分条件。

当 x² 1 ＝ 0 时，x ＝ ±1，不一定是 x ＝ 1，所以由 q 不能推出 p，p 不是 q 的必要条件。