天体运动与人造卫星知识点

天体运动与人造卫星

要点一 宇宙速度的理解与计算

1．第一宇宙速度的推导

方法一：由G Mm R 2＝m v 12R

得 v 1＝ GM R ＝ 6.67×10－

11×5.98×10246 370×103 m/s ＝7.9×103 m/s 。 方法二：由mg ＝m v 12

R

得 v 1＝gR ＝9.8×6 370×103 m /s ＝7.9×103 m/s 。

第一宇宙速度是发射人造卫星的最小速度，也是人造卫星的最大环绕速度，此时它的运行周期最短，T min ＝2π R g

＝5 075 s ≈85 min 。 2．宇宙速度与运动轨迹的关系

(1)v 发＝7.9 km/s 时，卫星绕地球做匀速圆周运动。

(2)7.9 km /s ＜v 发＜11.2 km/s ，卫星绕地球运动的轨迹为椭圆。

(3)11.2 km /s ≤v 发＜16.7 km/s ，卫星绕太阳做椭圆运动。

(4)v 发≥16.7 km/s ，卫星将挣脱太阳引力的束缚，飞到太阳系以外的空间。

要点二 卫星运行参量的分析与比较

1．四个分析

“四个分析”是指分析人造卫星的加速度、线速度、角速度和周期与轨道半径的关系。

GMm r 2＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫ma →a ＝GM r 2→a ∝1r 2m v

2r →v ＝

GM r →v ∝1r mω2r →ω＝GM r 3→ω∝1r 3m 4π2

T 2r →T ＝4π2r 3GM →T ∝r 3

越高越慢 2．四个比较

(1)同步卫星的周期、轨道平面、高度、线速度、角速度绕行方向均是固定不变的，常用于无线电通信，故又称通信卫星。

(2)极地卫星运行时每圈都经过南北两极，由于地球自转，极地卫星可以实现全球覆盖。

(3)近地卫星是在地球表面附近环绕地球做匀速圆周运动的卫星，其运行的轨道半径可近似认为等于地球的半径，其运行线速度约为7.9 km/s 。

(4)赤道上的物体随地球自转而做匀速圆周运动，由万有引力和地面支持力的合力充当向心力(或者说由万有引力的分力充当向心力)，它的运动规律不同于卫星，但它的周期、角速度与同步卫星相等。

要点三 卫星变轨问题分析

1．变轨原理及过程

人造卫星的发射过程要经过多次变轨方可到达预定轨道，如图4-5-2所示。

图4-5-2

(1)为了节省能量，在赤道上顺着地球自转方向发射卫星到圆轨道Ⅰ上。

(2)在A 点点火加速，由于速度变大，万有引力不足以提供向心力，卫星做离心运动进入椭圆轨道Ⅱ。

(3)在B 点(远地点)再次点火加速进入圆形轨道Ⅲ。

2．三个运行物理量的大小比较

(1)速度：设卫星在圆轨道Ⅰ和Ⅲ上运行时的速率分别为v 1、v 3，在轨道Ⅱ上过A 点和B 点速率分别为v A 、v B 。在A 点加速，则v A ＞v 1，在B 点加速，则v 3＞v B ，又因v 1＞v 3，故有v A ＞v 1＞v 3＞v B 。

(2)加速度：因为在A 点，卫星只受到万有引力作用，故不论从轨道Ⅰ还是轨道Ⅱ上经过A 点，卫星的加速度都相同，同理，经过B 点加速度也相同。

(3)周期：设卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道上运行周期分别为T 1、T 2、T 3，轨道半径分别为r 1、

r 2(半长轴)、r 3，由开普勒第三定律r 3

T 2＝k 可知T 1＜T 2＜T 3。 [方法规律] 卫星变轨的实质(1)当卫星的速度突然增加时，G Mm r 2＜m v 2r

，即万有引力不足以提供向心力，卫星将做离心运动，脱离原来的圆轨道，轨道半径变大，当卫星进入新的轨道稳定运行时由v ＝ GM r

可知其运行速度比原轨道时减小。 (2)当卫星的速度突然减小时，G Mm r 2＞m v 2r

，即万有引力大于所需要的向心力，卫星将做近心运动，脱离原来的圆轨道，轨道半径变小，当卫星进入新的轨道稳定运行时由v ＝GM r

可知其运行速度比原轨道时增大。卫星的发射和回收就是利用这一原理。

要点四 宇宙多星模型

1．宇宙双星模型

(1)两颗行星做匀速圆周运动所需的向心力是由它们之间的万有引力提供的，故两行星做匀速圆周运动的向心力大小相等。

(2)两颗行星均绕它们连线上的一点做匀速圆周运动，因此它们的运行周期和角速度是相等的。

(3)两颗行星做匀速圆周运动的半径r 1和r 2与两行星间距L 的大小关系：r 1＋r 2＝L 。

2．宇宙三星模型

(1)如图4-5-6所示，三颗质量相等的行星，一颗行星位于中心位置不动，另外两颗行星围绕它做圆周运动。这三颗行星始终位于同一直线上，中心行星受力平衡。运转的行星由其余两颗行星的引力提供向心力：Gm 2r 2＋Gm 2

(2r )2

＝ma 向 两行星转动的方向相同，周期、角速度、线速度的大小相等。

图4-5-6

(2)如图4-5-7所示，三颗质量相等的行星位于一正三角形的顶点处，都绕三角形的中心做圆周运动。每颗行星运行所需向心力都由其余两颗行星对其万有引力的合力来提供。

图4-5-7

Gm 2

L 2

×2×cos 30°＝ma 向 其中L ＝2r cos 30°。

三颗行星转动的方向相同，周期、角速度、线速度的大小相等。