第四节 对面积的曲面积分(第一类曲面积分)曲面积分有两种一种是对坐标的曲面积分，一种是对面积的曲面积分． 一 对面积的曲面积分(第一类曲面积分)的基本概念与性质设有一曲面型构件∑的物体，在点(,,)x y z 处的密度为()z y x f ,,，求此物体的质量． 求解的方法是, 将曲面∑分为若干个小块i ∆∑(1,2,i n =L )，其面积分别记为i S ∆(1,2,i n =L )，在小块曲面i ∆∑上任意取一点()i i i M ςηξ,,，若密度函数()z y x f ,,是连续变化的则可以用点()i i i M ςηξ,,处的密度近似小块i S ∆上的密度．于是小块i ∆∑的质量为()i i i f ςηξ,,i S ∆，将所有这样的小块的面积加起来，就是物体的质量的近似值．即()∑=∆≈ni i i i i S f m 1,,ςηξ当n 个小的曲面的直径的最大值0→λ时，上面的式子右端的极限值如果存在，则将此极限值定义为曲面的质量．即()∑=→∆=ni i i i i S f m 1,,lim ςηξλ．总之, 以上解决问题的方法就是: 先把它分成一些小片,估计每一小片上的质量并相加,最后取极限以获得精确值. 这同积分思想相一致. 为此我们定义对面积的曲面积分．定义13.3 设函数()z y x f ,,是定义在光滑曲面(或分片光滑曲面)∑上的有界函数．将曲面分为若干个小块i ∆∑(1,2,,i n =L )，其面积分别记为()n i S i ,...,2,1=∆，在小块曲面i ∆∑上任意取一点()i i i M ςηξ,,，若极限()∑=→∆ni i i i i S f 1,,lim ςηξλ存在，则称此极限值为函数()z y x f ,,在曲面∑上对面积的曲面积分(或称第一类曲面积分)．记为()⎰⎰∑ds z y x f ,,．即()⎰⎰∑ds z y x f ,,=()∑=→∆ni iiiiS f 1,,lim ςηξλ．其中λ表示所有小曲面i ∆∑的最大直径, ()z y x f ,,称为被积函数, ∑称为积分曲面．对面积的曲面积分与对弧长的曲线积分具有相似的性质．如1) ()()()()()⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑∑±=±ds z y x g ds z y x f ds z y x g z y x f ,,,,,,,,；2) ()()⎰⎰⎰⎰∑∑=ds z y x f k ds z y x kf ,,,,；3)()()()⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑∑+∑+=2121,,,,,,ds z y x f ds z y x f ds z y x f ．二 对面积的曲面积分(第一类曲面积分)的计算设积分曲面由单值函数()y x z z ,=确定，曲面在坐标面xoy 上的投影为xy D ，函数()y x z z ,=在xy D 具有连续偏导数（即曲面∑是光滑曲面）．按照对面积的曲面积分的定义有()()iiiini S f dS z y x f ∆=∑⎰⎰=→∑ςηξλ,,lim ,,1． 设对曲面∑的第i 块i ∆∑在坐标面xoy 上的投影为()i σ∆，则i S ∆可以表示为下面的二重积分：()()()⎰⎰∆++=∆idxdy z y x f z y x f S y x i σ,,,,122有二重积分的中值定理有()()i i i i y i i i xi z z S σςηξςηξ∆++=∆,,,,122其中()i i i ςηξ,,是小曲面i S ∆上的任意一点，()i i ηξ,为()i σ∆内任意一点，所以()()i i i ni f dS z y x f ςηξλ,,lim ,,1∑⎰⎰=→∑=()()i i i i y i i i xz z σςηξςηξ∆++,,,,122 注意到()i i i z ηξς,=，从而得到二重积分的计算公式()()()()()⎰⎰⎰⎰++=∑xyD y xdxdy y x z y x z y x z y x f dS z y x f ,,1,,,,,22． 这个公式是很容易理解和记忆的，因为曲面∑的方程是()y x z z ,=，曲面的面积元素为dxdy z z dS y x 221++=，曲面在坐标面XOY 上的投影是xy D ，于是对面积的曲面积分就化为二重积分了．将这个过程简单归纳如下：1) 用y x ,的函数()y x z z ,=代替z ； 2) 用dxdy z z y x 221++换dS ；3) 将曲面投影到坐标面XOY 上得到投影xy D ．简单地说就是“一代二换三投影”．例13.16 计算曲面积分dSz∑⎰⎰，其中曲面∑是由平面()ahhz<<=0截球面2222azyx=++的顶部．图13-16解：曲面∑的方程为222yxaz--=，它在坐标面xoy上的投影为圆形的闭区域：2222hayx-≤+．222221yxaazzyx--=++，所以dSz∑⎰⎰＝222xyDdxdya x y--⎰⎰利用极坐标计算上面的积分，得到()222222222002212ln2ln2xya hDa hdS ardrd ardrddz a r a raa a r ahπθθθππ-∑-==--⎡⎤=--=⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰例13.17计算曲面积分()⎰⎰∑++21yxdS，其中曲面∑是由平面1=++zyx以及三个坐标面所围成的四面体的表面．图13-17解：如上图，曲面∑由曲面4321,,,∑∑∑∑组成，其中4321,,,∑∑∑∑分别是平面1=++z y x ，0,0,0===z y x 上的部分．()()⎪⎭⎫ ⎝⎛-=++=++⎰⎰⎰⎰-∑212ln 31311021021xy x dydx y x dS；()()2ln 1111021022-=+=++⎰⎰⎰⎰-∑zy dydz y x dS；()()2ln 1111021023-=+=++⎰⎰⎰⎰-∑zx dxdz y x dS；()()212ln 11102124-=++=++⎰⎰⎰⎰-∑xy x dydx y x dS． 所以()()()()2ln 13233212ln 3212ln 2ln 12ln 112-+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-+-=++⎰⎰∑y x dS习题13.41. 计算()x y z dS ∑++⎰⎰. 其中∑为上半球面222z a x y =--. 2. 计算||I xyz dS ∑=⎰⎰. 其中∑为曲面22z x y =+介于二平面0,1z z ==之间的部分. 3. 计算22()x y dS ∑+⎰⎰. 其中∑是锥面22z x y =+及平面1z =所围成的区域的整个边界曲面. 4. 求抛物面壳221()2z x y =+(01)z ≤≤的质量, 此壳的面密度的大小为z ρ=.5. 求面密度为0ρ的均匀半球壳2222x y z a ++=(0)z ≥对于z 轴的转动惯量. 6. 计算21(1)dS x y ∑++⎰⎰Ò. 其中∑为四面体1x y z ++≤, 0x ≥, 0y ≥及0z ≥的边界面.参考答案1. 3a π2.3.4.21)15π 5. 4043a πρ6.1)ln 2+. 第五节 对坐标的曲面积分一 对坐标的曲面积分的概念和性质为了讨论对坐标的曲面积分，首先要对曲面作一些说明． 1. 曲面的侧在曲面∑上的任意一点P 处作曲面的法线向量，有两个方向，取定其中的一个方向，当点P 在曲面上不越过边界连续运动时，法线向量也随着连续变动，这种连续变动又回到P 时，法线向量总是不改变方向，则称曲面∑是双侧的，否则，称曲面是单侧的．如著名的M o bius 带就是单侧曲面.今后我们只讨论曲面是双侧的. 例如曲面()y x z z ,=，如果z 轴的正方向是竖直向上的，则有上侧和下侧．又如空间中的闭曲面有内侧和外侧之分．我们可以通过曲面上的法向量的指定来确定曲面的侧．例如对于曲面()y x z z ,=，若取定的法向量是朝上的，那么实际上就是取定曲面为上侧；对于封闭曲面，若取定的法向量是由内指向外的，则取定的曲面是外侧．选定了曲面的侧的曲面称为有向曲面． 2. 流向曲面一侧的流量设稳定的不可压缩的液体以速度()()()k z y x R j z y x Q i z y x P v ,,,,,,++=流向有向曲面∑，求液体在单位时刻内流过曲面指定侧的流量．其中函数()()()z y x R z y x Q z y x P ,,,,,,,,都是曲面∑上的连续函数．如果流体流过平面上的一个面积为A 的闭区域，且流体在闭区域上各点处的流速为常向量v r，又设是该平面上的单位法向量，那么在单位时间内流过这个闭区域的流体组成一个底面积为A ，斜高为||v 的斜柱体，其体积即流量为A v A V ⋅==θcos这就是通过闭区域A 流向n 所指的一侧的流量．对于一般的曲面∑，我们可以将它划分为若干个小块i ∆∑，在∑是光滑的和v r是连续的前提下，只要i ∆∑的直径很小，我们就可以用i ∆∑上任意一点()i i i ςηξ,,处的流速()()()()R Q P v i i i i i i i i i i i i i ςηξςηξςηξςηξ,,,,,,,,++==近似替代i ∆∑上各点处的流速，以此点处的曲面∑的单位法向量k j i n i i i γβαcos cos cos ++=代替i ∆∑上各点处的单位向量，从而得到通过i ∆∑流向指定侧的流量的近似值为i i i S n v ∆⋅()n i ,...,2,1=，（i S ∆为i ∆∑的面积） 于是通过曲面∑指定侧的流量近似地为()()()ii i i i ni ii i i i i i i ini i i S R Q P S n v ∆++=∆⋅≈Φ∑∑==]cos ,,cos ,,cos ,,[11γςηξβςηξαςηξ注意到()yz i i i S S ∆=∆αcos ；()zx i i i S S ∆=∆βcos ；()xy i i i S S ∆=∆λcos ．因此上式可以写为()()()()()()],,,,,,[1xy i i i i ni xz i i i i yz i i i i S R S Q S P ∆+∆+∆=Φ∑=ςηξςηξςηξ当所有小块的直径的最大值0→λ时，上面和的极限就是流量Φ的精确值．在实际问题中还有很多的类似的极限，由此我们可以得到对坐标的曲面积分的定义． 3. 对坐标的曲面积分的定义定义13.4 设∑是逐片光滑的有向曲面，函数()z y x R ,,在曲面∑上有界，将∑划分为若干个小块i ∆∑，i ∆∑在坐标面xoy 上的投影为()xy i S ∆，取i ∆∑中的任意一点(,,)i i i ξηζ，若各个小块的直径的最大值0λ→时，极限()()∑=→∆ni xy i i i i S R 1,,lim ςηξλ存在，称此极限为函数()z y x R ,,在曲面∑上对坐标y x ,的曲面积分（或第二类曲面积分）．记为()⎰⎰∑dxdy z y x R ,,，即()⎰⎰∑dxdy z y x R ,,＝()()∑=→∆ni xyi iiiS R 1,,lim ςηξλ．类似地，可以定义函数()z y x P ,,在曲面∑上对坐标z y ,的曲面积分（或第二类曲面积分）()⎰⎰∑dydz z y x P ,,，以及函数()z y x Q ,,在曲面∑上对坐标z x ,的曲面积分（或第二类曲面积分）()⎰⎰∑dxdz z y x Q ,,如下：()⎰⎰∑dydz z y x P ,,＝()()∑=→∆ni yziiiiS P 10,,lim ςηξλ；()⎰⎰∑dxdz z y x Q ,,＝()()∑=→∆ni zxi iiiS Q 1,,lim ςηξλ．在应用中通常是上面三种积分的和，即()⎰⎰∑dydz z y x P ,,＋()⎰⎰∑dxdz z y x Q ,,＋()⎰⎰∑dxdy z y x R ,,，简记为()()()⎰⎰∑++dxdy z y x P dxdz z y x Q dydz z y x P ,,,,,,．如果∑是有向封闭曲面，通常记为()()()⎰⎰∑++dxdy z y x P dxdz z y x Q dydz z y x P ,,,,,,，并规定取曲面的外侧．4.性质1) 对坐标的曲面积分与对坐标的曲线积分具有类似的性质:()()()⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑∑+∑+++++=++1221.,,,,,,Pdxdy Qdxdz Pdydz Pdxdy Qdxdz Pdydz dxdyz y x P dxdz z y x Q dydz z y x P2) 设∑时有向曲面,∑-表示与∑取相反侧的曲面,则有()()()()()()⎰⎰⎰⎰∑∑-++-=++dxdyz y x P dxdz z y x Q dydz z y x P dxdy z y x P dxdz z y x Q dydz z y x P ,,,,,,,,,,,,二 对坐标的曲面积分(第二类曲面积分)的计算方法 下面以计算曲面积分()⎰⎰∑dxdy z y x R ,,为例来说明如何计算对坐标的曲面积分.取曲面∑的上侧,且曲面由方程()y x z z ,=给出,那么曲面∑的法向量n 与z 轴的正方向的夹角为锐角，曲面∑的面积元素dS 在坐标面xoy 上的投影dxdy 为正值．若xy D 为曲面∑在坐标面xoy 上的投影区域．由对坐标的曲面积分的定义()()()xy i iiini S R dxdy z y x R ∆=∑⎰⎰=→∑ςηξλ,,lim ,,1可以得到()()()⎰⎰⎰⎰=∑xyD dxdy y x z y x R dxdy z y x R ,,,,,．如果积分曲面取∑的下侧，那么曲面∑的法向量n 与z 轴的正方向的夹角为钝角，所以曲面∑在坐标面xoy 上的投影dxdy 为负值，从而有()()()⎰⎰⎰⎰-=∑xyD dxdy y x z y x R dxdy z y x R ,,,,,．类似地，如曲面∑由方程()z y x x ,=给出，则有()()(),,,,,yzD P x y z dzdy P x y z y z dzdy ∑=±⎰⎰⎰⎰；等式右边的符号这样决定：如积分曲面∑时方程()z y x x ,=所给出的曲面的前侧，则取正号；如果是后侧，则取负号．如曲面∑由方程()z x y y ,=给出，则有()()()⎰⎰⎰⎰±=∑xzD dzdx z z x y x P dxdz z y x Q ,,,,,．等式右边的符号这样决定：如积分曲面∑时方程()z x y y ,=所给出的曲面的右侧，则取正号；如果是左侧，则取负号．对于曲面积分()⎰⎰∑dxdy z y x R ,,的计算，我们可以简单的归纳出如下的计算步骤：a) 用y x ,的函数()y x z z ,=来代替z ； b) 将曲面∑投影到坐标面xoy 上，得到xy D ；c) 对曲面∑定向从而确定符号，上侧取正号，下侧取负号． 简称为“一代二投三定向”，将曲面积分化为二重积分计算． 例13.18 计算曲面积分⎰⎰∑++zdxdyydzdx xdydz ，其中∑是半球面1222=++z y x ，0≥z 的上侧．解：球面上点()z y x ,,处的单位法线向量为},,{z y x =，速度},,{z y x =，所以()222{,,}{,,}2xdydz ydzdx zdxdy x y z x y z dSx y z dS π∑∑∑++=⋅=++=⎰⎰⎰⎰⎰⎰例13.19 计算曲面积分⎰⎰∑xyzdxdy ，其中∑是球面1222=++z y x外侧在0,0≥≥y x 的部分．解：将曲面∑分为21,∑∑两部分，1∑的方程为2211y x z ---=；2∑的方程为2221y x z --=．2xyD xyzdxdy ∑=⎰⎰⎰⎰(1xy xyD D xyzdxdy xy dxdy∑=-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰所以15212sin 21cos sin 212102320222=-=-=--=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑dr r r d rdrd r r r dxdy y x xy xyzdxdy xyxyD D πθθθθθ习题13.51. 计算2xz dydz ∑⎰⎰. 其中∑是上半球面z =. 2. 计算zdxdy xdydz ydzdx ∑++⎰⎰. 其中∑为柱面221x y +=被平面0z =及3z =所截部分的外侧. 3. 计算2(1)()z x y dxdy ∑++⎰⎰. 其中∑为半球面2221xy z ++=(0)y ≥朝y 轴正向的一侧.4. 求矢量场F xyi yz j xzk =++u r r r r 穿过在第一卦限中的球面2221x y z ++=外侧的通量.5. 计算22x y zdxdy ∑⎰⎰. 其中∑是球面2222x y z R ++=的下半部分的下侧.参考答案 1. 5215R π 2. 6π 3. 415π 4. 316π 5.72105R π 第六节 两类曲面积分之间的联系设有向曲面∑有方程()y x z z ,=给出，∑在坐标面xoy 上地投影区域为xy D ，函数()y x z z ,=在区域xy D 上具有连续的一阶偏导数，()z y x R ,,是曲面∑上的连续函数。
