弱奇性积分方程的最优阶多尺度Petrov-Galerkin快速算法

第５０卷第６期　中山大学学报（自然科学版）　２０１　１年ｌ　１月　ＡＣＴＡ　ＳＣＩＥＮＴＩＡＲＵＭ　ＮＡＴＵＲＡＬＩＵＭ　ＵＮＩＶＥＲＳＩＴＡＴＩＳ　ＳＵＮＹＡＴＳＥＮＩ　Ｖｏ１．５０　Ｎｏ．６　Ｎ州．２０１１　

弱奇性积分方程的最优阶多尺度　

Ｐｅｔｒｏｖ—Ｇａｌｅｒｋｉｎ快速算法　

程思睿　，詹杰民　，陈仲英　

（１．中山大学工学院应用力学与工程系，广东广州５１０２７５；　

２．中山大学数学与计算科学学院，广东广州５１０２７５）　

摘　要：考虑求解第二类Ｆｒｅｄｈｏｌｍ弱奇性积分方程的多尺度Ｐｅｔｒｏｖ．Ｇａｌｅｒｋｉｎ压缩格式，给出压缩策略中截断参　

数的选取范围，证明了相应的压缩格式在保持稳定性、计算复杂度和系数矩阵条件数一致有界的基础上，收敛　

阶达到最优。并以数值算例验证了理论结果的正确性和有效性。　

关键词：最优收敛阶；多尺度Ｐｅｔｒｏｖ—Ｇａｌｅｒｋｉｎ算法；弱奇性积分方程　

中图分类号：０２４１．８３　文献标志码：Ａ　文章编号：０５２９—６５７９（２０１１）０６—０００１—０６　

Ｆａｓｔ　Ｍｕｌｔｉｓｃａｌｅ　Ｐｅｔｒｏｖ－Ｇａｌｅｒｋｉｎ　Ａｌｇｏｒｉｔｈｍｓ　ｆｏｒ　

Ｗｅａｋｌｙ　Ｓｉｎｇｕｌａｒ　Ｉｎｔｅｇｒａｌ　Ｅｑｕａｔｉｏｎｓ　

ＣＨＥＮＧ　Ｓｉｒｕｉ　，ＺＨＡＮ　Ｊｉｅｍｉｎ　，ＣＨＥＮ　Ｚｈｏｎｇｙｉｎｇ　

（１．Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ　ｏｆ　Ａｐｐｌｉｅｄ　Ｍｅｃｈａｎｉｃｓ　ａｎｄ　Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，Ｓｕｎ　Ｙａｔ—ｓｅｎ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｇｕａｎｇｚｈｏｕ　

５１０２７５，Ｃｈｉｎａ；　

２．Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ　ｏｆ　Ｓｃｉｅｎｔｉｆｉｃ　Ｃｏｍｐｕｔｉｎｇ　ａｎｄ　Ｃｏｍｐｕｔｅｒ　Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ，Ｓｕｎ　Ｙａｔ—ｓｅｎ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，　

Ｇｕａｎｇｚｈｏｕ　５１０２７５，Ｃｈｉｎａ）　

Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｅ　ｃｏｍｐｒｅｓｓｅｄ　ｍｕｈｉｓｃａｌｅ　Ｐｅｔｒｏｖ・・Ｇａｌｅｒｋｉｎ　ａｌｇｏｒｉｔｈｍ　ｆｏｒ　ｓｏｌｖｉｎｇ　ｔｈｅ　ｓｅｃｏｎｄ　ｋｉｎｄ　ｗｅａｋｌｙ　ｓｉｎ・－　

ｇｕｌａｒ　ｉｎｔｅｇｒａｌ　ｅｑｕａｔｉｏｎｓ　ｉｓ　ｃｏｎｓｉｄｅｒｅｄ．Ｗｅ　ｇｉｖｅ　ｔｈｅ　ｒａｎｇｅ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｔｒｕｎｃａｔｉｏｎ　ｐａｒａｍｅｔｅｒｓ　ａｎｄ　ｐｒｏｖｅ　ｔｈａｔ　ｔｈｅ　

ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｉｎｇ　ｃｏｍｐｒｅｓｓｉｏｎ　ａｌｇｏｒｉｔｈｍ　ｃａｎ　ａｃｈｉｅｖｅ　ｔｈｅ　ｏｐｔｉｍａｌ　ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｔ　ｏｒｄｅｒ　ｗｈｉｌｅ　ｐｒｅｓｅｒｖｉｎｇ　ｔｈｅ　ｓｔａｂｉｌ－　

ｉｔｙ，ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎａｌ　ｃｏｍｐｌｅｘｉｔｙ　ａｎｄ　ｔｈｅ　ｕｎｉｆｏｒｍｌｙ　ｂｏｕｎｄｅｄｎｅｓｓ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ　ｎｕｍｂｅｒ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔ　

ｍａｔｒｉｘ．Ｔｈｅ　ｎｕｍｅｒｉｃａｌ　ｒｅｓｕｌｔｓ　ｖｅｒｉｆｙ　ｔｈｅ　ｖａｌｉｄｉｔｙ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｔｈｅｏｒｅｔｉｃａｌ　ａｎａｌｙｓｉｓ．　

Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：ｏｐｔｉｍａｌ　ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｔ　ｏｒｄｅｒ；ｍｕｌｔｉｓｃａｌｅ　Ｐｅｔｒｏｖ－Ｇａｌｅｒｋｉｎ　ｍｅｔｈｏｄ；ｗｅａｋｌｙ　ｓｉｎｇｕｌａｒ　ｉｎｔｅｇｒａｌ　ｅ－　

ｑｕａｔｉｏｎｓ　

积分方程的理论和应用是应用数学的一个非常　

重要的研究课题。近二十年来，利用多尺度和小波　

方法求解积分方程成为一个研究热点。许多研究集　

中在第二类弱奇性积分方程，提出了小波Ｇａｌｅｒ—　

ｋｉｎ，Ｐｅｔｒｏｖ．Ｇａｌｅｒｋｉｎ，多尺度配置法等快速算法，　

参见文献［１—８］。本文以具有弱奇性核的第二类　

Ｆｒｅｄｈｏｌｍ积分方程为模型，采用文［８］中构造的　

多尺度基底，讨论求解这类方程的多尺度Ｐｅｔｒｏｖ—　Ｇａｌｅｒｋｉｎ方法的压缩格式，给出截断参数的选择范　

围，使得在保持稳定性和不增加计算复杂度的基础　

上，得到最优收敛阶，改进了文［７］中的理论分　

析。　

设Ｅ：＝［０，１］，Ｈ　＝Ｌ　（Ｅ）。考虑实Ｈｉｌｂｅｒｔ　

空问Ｈ上的第二类Ｆｒｅｄｈｏｌｍ积分方程　

“一Ｋｕ＝ｆ，ｆ∈Ｈ　（１）　

其中，算子Ｋ：Ｈ—Ｈ为带有弱奇异核的积分算子，　

收稿日期：２０１１—０１—０４　基金项目：国家自然科学基金资助项目（１０８０１１３８，１１０６１００１，１１０７１２６４，１１００１２８２）；中央高校基本科研业务费专　

项资金资助项目　

作者简介：程思睿（１９７９年生），女，博士后；通讯作者：詹杰民；Ｅ－ｍａｉｌ：ｓｔｓｚｊｍ＠ｍａｉｌ．ｓｙｓ

ｕ．ｅｄｕ．ｃｎ　２　中山大学学报（自然科学版）　第５０卷　

其核函数Ｋ（ｔ，ｓ）有以下性质：　

（ｉ）对所有ｔ，Ｓ∈［０，１］，ｓ≠ｔ是连续的，并且　

存在０≤ｏｒ＜１和Ｃ＞０，使得ｌ　Ｋ（ｔ，ｓ）ｌ≤　

Ｃ　ｌ　ｔ—ｓ　ｌ　。　

（ｉｉ）对所有ｔ，ｓ∈［０，１］，ｔ≠　，当０≤ｆ≤ｇ，　

０≤ｍ≤ｑ时，Ｋ（ｔ，ｓ）有连续偏导数Ｄ：Ｄ　Ｋ（ｔ，ｓ），　

而且存在正常数ｃ，使得当ｔ≠ｓ时，ｌ　Ｄｑ　ｑＫ（ｔ，ｓ）Ｉ　

Ｉ￡一ｓ　Ｉ　ｑ。　

根据性质（ｉ），Ｋ是Ｈ上的紧算子（见文　

［９］）。当１不是Ｋ的特征值时，方程（１）有唯一　

解。　

本文采用记号Ｎ：＝｛１，２，３，…｝，Ｎ。：　

＝｛０，１，２，…｝，Ｚ　：＝｛０，１，２，…，几一　

１｝。同时，用＜・，－＞和ｌｌ・ｌｌ表示Ｈ的内积及　

其相应的范数，用Ｉｌ・ｌｌ　表示Ｓｏｂｏｌｅｖ空间　

Ｈ　（Ｅ）的范数。　

１　多尺度Ｐｅｔｒｏｖ—Ｃａｌｅｒｋｉｎ格式及相关　

性质　

设ｓ　表示［０，１］上次数低于　，相应于等距剖　

分　＝［去，　］，ｚ∈Ｚ　的分片多项式空间，ｇ，　

ｇ　，Ａ，　是四个正整数，且ｑ　＜ｇ，ｑＡ＝ｇ　。显然　

＞１。对凡∈Ｎ。，分别令　＝．ｓ　，　＝　＋ｌ，则空　

间序列｛　：ｎ∈Ｎｏ｝和｛　：ｎ∈Ｎ。｝有以下性质：　

（ａ）Ｖ　ｎ∈Ｎ０，Ｘ　Ｘ　，ｙｎ　＋ｌ，　

ｃ　Ｘ　，ｄｉｍＸ　＝ｄｉｍ　＝ｑＡｔｘ　；　

（ｂ）ＬＪ　ｎ　＝ｌＸ　＝Ｕ　：ｌ　＝Ｈ　

那么，根据文献［３］，对任意ｎ∈Ｎ。，｛　，　｝构　

成正则对。　

求解方程（１）的Ｐｅｔｒｏｖ—Ｇａｌｅｒｋｉｎ格式是：求　

“　∈Ｘ　，使得对任意），　∈　满足　

＜（，一Ｋ）　，Ｙ　＞＝＜ｆ，Ｙ　＞　（２）　

由空间　和　的嵌套性质可知，它们可以有　

以下多尺度分解：Ｘ　＝　①　…ｏ　，　＝　①　

…ｏ　，ｎ∈Ｎ，其中，①　表示空间的正交直和，　

①表示空间的直和。文［８］构造了空间　和　

上的多尺度小波基底，分别记为｛　：（　，　）∈　｝　

和｛　：（　，　）∈　｝，其中Ｕ　：：｛（　，Ｊ．）：Ｊ．∈Ｚ　，　

ｉ∈Ｚ川｝，Ｗ（ｎ）：＝ｄｉｍ１Ｖｏ＝ｄｉｍ　。它们满足以　

下性质（具体构造及证明参看文［７—８］）。　

（Ｐ１）｛ｇ　（ｉ，　）∈Ｕ　｝和｛　ｉ，　）∈　｝是　

半双正交的，即＜ｇ　＞＝　ｉ≥ｉ　。　（Ｐ２）当　一１∈Ｚ　，　∈Ｚ　）时，　ｆ（ｔ）和ｇ　（ｔ）　

都具有ｇ阶消失矩，即＜　，，ｔ　＞＝０，＜ｇ¨ｔ　＞＝　

０，Ｖ　ｒ∈Ｚ　。　

（Ｐ３）　ｆ和ｇ　具有紧支集，即当　∈Ｚ　）时，　

ｍｅａ￥（ｓｕｐｐｆｏｊ）≤１，ｍｅａｓ（ｓｕｐｐｇｍ）≤１；当ｉ一１∈　

１　１　ｚ　时，ｍｅａｓ（ｓｕｐｐｆ０．）≤　，ｍｅａｓ（ｓｕｐｐｇ　）≤　１。　

为给出并分析方程（２）的算子形式，我们需　

要以下定义和命题（见文［４］）。　

定义１　给定　∈Ｈ，若　∈Ｘ　对任意的Ｙ∈　

满足＜　一　，　＞＝０，则称　是　到　关于　

的最佳逼近。若任给　∈Ｈ，相应的　存在唯　

一，则可定义线性算子Ｐ　：Ｉｔ—　为Ｐ　＝　，且　

Ｐ　是自共轭的投影算子，称为从Ｈ到　关于　的　

广义最佳逼近算子。　

命题１　设空间　和　满足条件（ａ）和　

（ｂ），并且｛　，ｙｎ｝构成正则对，则对任意的　∈　

Ｈ，从　到　关于　的广义最佳逼近存在唯一，且有　

（ｉ）ｌｉｒａ　ｌｌ　Ｐ　—　ｌｌ＝０，Ｖ　∈日；　

（ｉｉ）存在常数Ｐ＞０，使得Ｐ　≤Ｐ，Ｖ　ｎ∈Ｎ；　

（ｉｉｉ）存在与凡无关的常数ｃ＞０，使得ｌｌ　Ｐ　—　

ｌｌ≤ｃ　Ｉｌ　Ｑ　—　ｌＩ，其中Ｑ　是从日到　的正交投　

影算子。　

利用投影算子Ｐ　，我们可以将（２）表示成算　

子形式　

（，一　）Ｍ　：Ｐ　（３）　

其中，Ｋ　：＝Ｐ　Ｋ　Ｉ　。　

方程（３）表明，Ｐｅｔｒｏｖ—Ｇａｌｅｒｋｉｎ方法实质上　

是一种投影法。根据投影法的相关理论可知，存在　

一个自然数Ｎ＞０，使得当ｎ＞Ｎ时，对任给的ｆ∈　

Ｈ，方程（３）有唯一解ｕ　∈Ｘ　，并且存在与ｎ无　

关的常数ｃ＞０，使得ｌ１　Ｍ一　Ｉｌ≤ｃｉｎｆｘ　Ｉｌ“一　

ｌｌ，这里“是方程（１）的真解。　

设｛　（ｉ√）∈Ｕ　｝为　中与｛ｇ　：（　，　）∈　

｝双正交的基底，可把任意的ｆ∈Ｘ　和ｇ∈　表　

示成ｆ＝　（　Ｊ）Ｕｎ＜／，ｇ　＞　，ｇ＝　（　，，）Ｕｎ＜ｇ，　＞　

ｇ　。　以下定理及推论给出了检验空间　的多尺度　

小波基｛ｇ　（ｉ√）∈　｝的稳定性，证明可参考文　

［７］。　

定理１存在与ｎ无关的两个常数ｃ　＞０，Ｃ　＞　

０，使得对所有的ｆ∈Ｘ　，有　

ｃ　Ｉ　Ｊ川≤Ｊ『ｇ　ｌｌｆ２≤ｃ　ＩＩｆ　ｌｌ　（４）　

其中，ｇ　：＝［＜ｇ　＞：（　√）∈　］。　

推论１对任意的ｎ∈Ｎ。，存在与　无关的两　第６期　程思睿等：弱奇性积分方程的最优阶多尺度Ｐｅｔｒｏｖ．Ｇａｌｅｒｋｉｎ快速算法　３　

个常数ｃ　＞０，ｃ　＞０，使得对所有的ｇ∈Ｙｎ有　

Ｃ　ｌｌ　ｇ　Ｉｌ≤ｌＪ　ｈ　ｌｌｆ２≤Ｃ　Ｉｌ　ｇ　ｌｌ　（５）　

其中，ｈ　：＝［＜ｇ，　＞：（ｉ，　）∈Ｕ　］。　

２矩阵元素估计与压缩策略　

利用Ｘ　的多尺度小波基｛　：（ｉ√）∈Ｕｎ｝，方　

程（３）的解ｕ　可表示为　

∑ｃ　（６）　

其中，Ｃ¨（ｉ，　）∈Ｕｎ是待定的系数。将上式代入方　

程（３）中，可得　

∑ｃ　＜ｇ　＞一∑　＜ｇ　，瓯＞＝　【；，，）∈Ｕｎ　（　Ｊ）ＥＵ　＜ｇ　，　＞，（ｉ　，　）∈Ｕｎ　（７）　

对（ｉ，　），（ｉ　，　）∈Ｕｎ，定义矩阵Ｅ　：＝［＜ｇ　，，　

＞］，Ｋｎ：＝［＜ｇ　，磁＞］，和向量ｃ　：＝［ｃ　］，　

ｇ　：＝［＜ｇ　＞］，则方程（７）可导出以下线性　

方程组　

（Ｅ　一　）ｃ　＝ｇ　（８）　

记Ｋ　：＝＜ｇｉ７，，峨＞，Ｉｓ：＝ｓｕｐｐｆ，ｊ，，　：＝　

ｓｕｐｐｇ　对核函数ｉ　，ｉ∈ｚ　作泰勒展开，并利用　

基底的性质，可证得以下结论（参见文［７］）。　

引理１　当　和，　，的距离ｄｉｓｔ（Ｉ¨，　）＞０　

时，存在与ｉ，　，ｉ　，　无关的常数ｅ＞０，使得　

ｌ　，　≤ｃｔｔ一‘　舢　’ｄｉｓｔ（Ｉｉｊ，，　，，，　）一　（９）　

由引理１可知，当ｄｉｓｔ（　，，　，）比较大时，矩　

阵元素　的数值的绝对值非常小。这使得我们　

可以采取压缩策略（可参考［３］）。我们将矩阵　

按以下方式分块：　＝［Ｋ　，　，其中，　

＝［　，，；　］，Ｅ　，　√　ｚ　。对每个块矩阵，我们给定　

一个截断参数　，将块矩阵　，　压缩而产生新的块　

矩阵　＝［　］，　，　√　，其中　

：　ｄｉｓｔ（　，Ｉｉ，ｊ　）≤　

Ｌ　０，　ｏｔｈｅｒｗｉｓｅ　

从而矩阵　被压缩为新矩阵　＝　

［　，　＋。。用矩阵　，代替方程（８）中的矩　

阵　，得到一个新的线性方程组