Fredholm型第二种积分方程的解核计算法戴中林【摘要】仅对Fredholm型第二种积分方程解核的计算方法进行研究,给出了一些求解核的有关公式及其证明,从而解决了一类Fredholm方程利用解核求解的问题.【期刊名称】《大学数学》【年(卷),期】2017(033)006【总页数】6页(P44-49)【关键词】积分方程;n次叠核;解核;Fredholmhl行列式【作者】戴中林【作者单位】西华师范大学数学与信息学院,四川南充637002【正文语种】中文【中图分类】O175.5在研究一些物理学、工程力学、生物学以及数学物理方程问题时，常常会遇到Fredholm型积分方程，对其解法的研究在实际问题中具有及其重要的意义.一般教材[1-3]常用的解法有逐次逼近法、解核积分法以及适用于退化核积分方程的待定常数法等. 本文仅对Fredholm型第二种积分方程关于解核的多种不同渠道的计算方法进行研究，给出了几种求解核的有关公式及证明，从而解决了一类Fredholm积分方程利用解核求解的问题.常见的Fredholm型第二种积分方程的基本形式为其中常数λ为方程的参数,φ(x)是未知函数,k(x,s)为积分方程的核.当核k(x,s)在x,s的某区间[a,b]内是连续的,则称k(x,s)为连续核.f(x)为自由项. 当f(x)≡0时称为齐次方程，否则为非齐次方程.方程(1)的解法本文应用的是解核积分法，先由方程(1)的核k(x,s)求得解核Γ(x,s;λ)，再由文献[1]的公式即得方程(1)的解. 故下面重点研究解核的计算方法及其相关公式的证明.不加说明,文中涉及的核及相关函数均为某区间上的连续函数.定义1 设k1(x,s)=k(x,s)，称k2(x,s)=k(x,t)k(t,s)dt为核k(x,s)的二次叠核,……,称kn(x,s)=k(x,t)kn-1(t,s)dt为核k(x,s)的n次叠核.定义2 称对某区间内的一切值λ均一致收敛的级数(x,s)为方程(1)的解核.为了由n次叠核kn(x,s)求出解核Γ(x,s;λ)，一般可先求出kn(x,s)前几项之间的递推关系，则可推得kn(x,s)的一般项之间的递推关系，从而求得解核Γ(x,s;λ)的计算公式.定理1 设n次叠核kn(x,s)有递推关系其中α,β,γ为不全为零的任意常数，则解核证由解核有故解得推论若kn(x,s)=αkn-1(x,s)+βkn-2(x,s) (n=1,2,…)，则证因kn(x,s)=αkn-1(x,s)=βkn-2(x,s) (n=1,2,…)，则有将上述递推公式代入公式(3)，又γ=0，故有定义3 称级数和级数为在λ的全平面上收敛的Fredholm级数.定理2 若D(λ)Γ(x,s;λ)=D(x,s;λ)，则级数D(x,s;λ)的各项系数为证由D(λ)=1-λd1+λ2d2-λ3d3+…，故下面用数学归纳法证明公式(4)成立. 由D(x,s;λ)系数 d0(x,s)=k(x,s).当n=1时，故公式当n=1时成立.设n=m时公式成立，有成立. 当n=m+1时,成立. 故对一切正整数n，公式(4)都是成立的.定义4 称级数为Fredholm行列式. 其首项系数为d0=1，其余各项系数为定理3 设级数D(x,s;λ)的各项系数为dn(x,s)，则其首项系数为d0(x,s)=k(x,s)，其余各项系数为证当n=1时，由公式(5)，有d1=k(t1,t1)dt1，故由公式(4)即故当n=1时，d1(x,s)的被积函数为行列式形式成立；设n=m-1时，dm-1(x,s)的被积函数为行列式形式成立，故有当n=m时，有dm(x,s) =k(x,s)dm-mk(x,t)dm-1(t,s)dt首先将第二项的积分拆开为m个相同值积分. 因每个积分与积分变量无关，可改变各个积分中的积分变量. 即将变量t换为ti(i=1,…,m-1)时，同时应从序号i起将后面的ti换为ti+1(i=1,…,m-1)；然后改变行列式的行(或列)使其按ti的自然顺序排列，从而确定了行列式的符号. 故有即当n=m时dm(x,s)的被积函数为行列式形式成立，故(6)式对一切n都成立.定理4 设Fredholm级数D(x,s;λ)与D(λ)的各项系数为dn(x,s)和dn，则有证对定理3的公式(7)关于变量s积分，令x=s，并由定义4，有故得例求积分方程φ(x)-λ(6x+2s)φ(s)ds=6x的解.解1 由定义1，因k1(x,s)=6x+2s，故有易知将α=4，β=1,以及上述递推关系代入定理1的推论公式中由公式(2)解2 因d0=1，d0(x,s)=6x+2s，应按自然顺序用公式(7)和(4)计算两级数D(λ),D(x,s;λ)的各系数.d1=8sds=4, d1(x,s)=4(6x+2s)-(6x+2t)(6t+2s)dt=6x+6s-12sx-4,d2=(12s-12s2-4)ds=-2, d2(x,s)=-2(6x+2s)-2(6x+2t)(6t+6s-12st-4)dt=0，dn=0, dn(x,s)=0 (n=3,4，…).故由公式(2)得解解3 首先用公式(6)计算级数D(x,s;λ)的各项系数.故然后用公式(5)计算级数D(λ)的各项系数.故即得解【相关文献】[1] 陈传璋,侯宗义,李明忠.积分方程论及其应用[M].上海：上海科技出版社,1987：1-23.[2] 米哈林C Γ.积分方程及其应用[M]. 上海：商务印书馆,1955：53-64.[3] 路见可,钟寿国.积分方程论[M].北京：高等教育出版社,1990：1-76.[4] 欧阳岭.从不同途径解Fredholm型第二种积分方程[J].牡丹江师范学院学报(自然科学版),2000(4)：23-25.。
