求第一类Fredholm积分方程的离散正则化方法

第18卷第2期核聚变与等离子体物理V ol.18,N o.2 1998年6月N uclear Fusion and Pla sma Physics J une1998Fredholm积分方程的数值解①徐文斌董家齐(核工业西南物理研究院,成都610041积分方程是泛函分析的一个重要分支,它是研究数学及其它学科,如偏微分方程边值问题和各种物理问题的重要数学方法。

为此,我们研制了求解Fredho lm积分方程的代码IT GM O,并给出了该代码实际应用的例子。

关键词Fredho lm积分方程Z i模数值解1引言在等离子体物理的计算中,经常需求解Fredholm积分方程,如求解Z i模的不稳定性[1,4]和求解微撕裂模的不稳定性[2]时就会碰到这样的问题。

为此我们编制了求解Fredholm积分方程的代码,以便研究和分析各种有关的物理问题。

积分方程的一般形式为:T(sx(s=y(s+λ∫b a k(s,tx(td t(1式中T(s、y(s和k(s,t是已知函数,λ、a、b是变数。

s和t可取[a,b]区间上的一切值。

λ称为积分方程的参数,x(s称为积分方程的解函数,k(s,t称为积分方程的核,y(s项称为自由项。

如果方程(1的未知函数是一次的,则称方程(1为线性积分方程。

如果y(s≡0,就称方程(1为齐次的积分方程,否则称为非齐次积分方程。

当y(s≡0时,又可称λ为积分方程(1的本征值,x(s为本征函数。

一般将Fredholm方程分为三类:第一类方程为:∫b a k(s,tx(td t=y(s(2第二类方程为:x(s=y(s+λ∫b a k(s,tx(td t(3第三类方程为:T(sx(s=y(s+λ∫b a k(s,tx(td t(4当第三类方程的T(s在[a,b]上是正函数时,此类方程便可以化成:①国家自然科学基金(19575014资助26核聚变与等离子体物理第18卷T(sx(s=y(sT(s+λ∫b a k(s,tT(sT(tT(tx(td t(5因此它变成含有x~(s=T(sx(s的第二类Fredholm方程。

基于模型函数与L-曲线的正则化参数选取方法胡彬;徐会林;王泽文;喻建华【摘要】Based on the model function method,the modified L-curve principle is presented and a simple corre-sponding iteration method for choosing regularization parameters is given. Furthermore,the simple iteration method for choosing regularization parameters is proved to be local convergence under some conditions. The method is local-ly efficient by numerical experiments.%基于模型函数方法与修正的L-曲线准则，给出了选取正则化参数的1种迭代算法。

在一定条件下，证明了所提出的选取正则化参数的算法是局部收敛的，通过数值算例验证了该方法的局部有效性。

【期刊名称】《江西师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2014(000)006【总页数】5页(P569-573)【关键词】L-曲线准则;正则化方法;正则化参数;模型函数【作者】胡彬;徐会林;王泽文;喻建华【作者单位】东华理工大学理学院，江西南昌 330013;河南理工大学数学与信息科学学院，河南焦作 454000;东华理工大学理学院，江西南昌 330013;东华理工大学理学院，江西南昌 330013【正文语种】中文【中图分类】O241.8;O241.60 引言反问题研究已是计算数学及应用数学领域研究的热点问题之一.反问题一般是不适定的［1］，其不适定性在数值计算上表现为解不连续依赖测量数据.即使在实际测量过程中测量误差非常小，也会引起解的巨大波动.目前求解不适定问题最具有普遍性、完备性的是Tikhonov正则化方法，但该方法的有效性取决于选取到合适的正则化参数.目前比较有代表性的正则化参数选取策略有:Morozov偏差原理、广义交叉检验、L-曲线(L-curve)等准则.当误差水平已知或可估计时，Morozov偏差原理是最常采用的正则化参数选取策略之一，但是当不适定算子方程右端项的误差水平δ未知时，Morozov偏差原理就失效了.为了克服Morozov偏差原理需要已知误差水平的局限性，P.C.Hansen等提出基于L-曲线的正则化参数选取方法［2-3］，可以在误差水平未知的情形下找到近似最佳的正则化参数.在利用Morozov偏差原理确定正则化参数时需要借助牛顿迭代，而牛顿迭代的计算量比较大，为了克服这一缺点，文献［4-7］中提出了1种新的确定正则化参数的方法—模型函数法.它是将Tikhonov泛函定义为关于α的函数，再用1个简单的具有显示表达式的模型函数来近似F(α)，通过简单迭代确定正则化参数.本文在上述2种方法的基础上研究了基于模型函数的修正L-曲线准则，证明了所得序列点是局部收敛的，给出了相应的迭代算法.通过算例验证了该准则的有效性，同时也指出了目前还存在的不足和今后进一步研究的方向.1 模型函数法线性反问题一般可归结为解第1类不适定算子方程:其中K是Hilbert空间X到Y上的有界线性算子.由于观测数据存在误差，所以一般把方程(1)改写为其中δ为误差水平，‖yδ-y‖≤δ.Tikhonov正则化方法是将求不适定方程(2)的解转为求Tikhonov泛函的最优解，其中α＞0是正则化参数.对于固定的正则化参数α，记最优函数为引理1［4］设K:X→Y是有界线性算子，X，Y均为Hilbert空间.∀α ＞0，(3)式的唯一解x(α)是无穷次可微的，且g=dnx(α)dαn∈X可由递推求解得到.定理1［4-5］最优函数F(α)在(0，+∞)内是无限次可微的，且∀α ＞0，F(α)满足模型函数的方法就是在αk附近构造F(α)的局部近似函数Fk(α)，使其满足微分方程(4)，即若假设‖Kx(α)‖2≈ Tk‖x(α)‖2，代入(5)式并注意到F'(α)= ‖x(α)‖2，解得即得到双曲模型函数:由于Kx(α)≈ yδ，故可设‖Kx(α)‖2≈‖yδ‖2-Tk，代入(5)式得解微分方程(6)，得Fk(α)=Tk+Ckα，其中Ck、Tk是待定参数且由方程组确定，即于是，得到更为简洁的双曲模型函数:文献［8］研究了非精确数据下的线性模型函数选取正则化参数.虽然线性模型函数具有计算简单、收敛性较好等优点，但是却不能将它与L-曲线准则相结合而得到选取正则化参数的算法.文献［9］将双曲模型函数m1(α)应用于L-曲线选取准则获得选取正则化参数的新算法.本文是前述研究的继续和深入，基于双曲模型函数m2(α)研究修正的L-曲线选取准则，从而获得选取正则化参数选取的新方法.2 修正的L-曲线准则L-曲线准则是残差‖Kx(α)-yδ‖2与正则化解‖x(α)‖2在一组正则化参数下所构成的图像，也就是由(‖Kx(α)-yδ‖2，‖x(α)‖2)所构成的平面曲线.最优的正则化参数α出现在曲线的拐点处. 通常转化为对应的(2log‖Kx(α)-yδ‖，2log‖x(α)‖)曲线，因为曲线形状如字母L(见图1)，故称为L-曲线准则.从图像上很容易找到曲线的拐点，即最优正则化参数α在对应曲线的“角点”出现.记u(α)=2log‖Kx(α)-yδ‖，v(α)=2log‖x(α)‖，则L曲线上各点的曲率公式［10-11］为曲率最大的点对应正则化参数即为所需正则化参数.图1 L-曲线示意图由文献［12］知，若L-曲线在点α=α*处取到最大曲率，且在该点处曲线的斜率为 -1/μ，则下列泛函:在α=α*处取得极小值.因此，选取正则化参数的L-曲线准则等价为求泛函(8)的极小值点.修正的L-曲线准则就是通过求(8)的极小值来获得合适的正则化参数.由于是α的非线性隐式函数，不便于计算.本文利用模型函数的方法将(8)式显化，从而简化计算，提高计算效率.3 基于模型函数的修正L-曲线算法对于任意给定的α＞0，最优函数F(α)为且F'(α)= ‖x(α)‖2，则(8)式可改写成F(α)的形式，即模型函数m(α)是F(α)的局部近似，则(9)式的局部近似为本文主要研究了双曲模型函数m2(α)，代入(10)式得ω(α)=(T+2C/α)(-C/α2)μ.对ω(α)求导，得令ω'(α)=0，解得α=-C(1+2μ)(μT).对于正则化参数αk，求得对应的正则化解x(αk)，再根据方程组(7)可确定参数 Ck，Tk，则由(11)式及Ck＜0，Tk＞0知αk+1＞0且它是唯一的.该算法比文献［9］中的更为简单，因为文献［9］给出的是关于α的2次方程，选取其中较大的作为正则化参数αk+1.综合上面分析，得到基于双曲模型函数m2(α)与修正的L-曲线正则化参数选取策略的新算法:算法1 给定ε ＞ 0，yδ，K，μ ＞ 0;Step 1 给定1个初始值α0＞α*，置k=0;Step 2 解正则化方程αkx+K*Kx=Kyδ;Step 3 求出 Ck，Tk，αk+1;Step 4 当成立转Step 5，否则置k=k+1转Step 2;Step 5 停止迭代，输出正则化参数αk+1.定理2 如果则在算法1中函数ωk(α)在点αk处是局部严格单调递减的.证算法1中产生的函数ωk(α)为ωk(α)=(Tk+2Ck/α)(-Ck/α2)μ，则ωk'(α)=(-Ck)μ(-2Ck+(αTk+2Ck)·(-2μ))/α2μ+2.取α= αk，把(7)式中解得 Ck，Tk的表达式代入得由已知条件得ω'k(αk)＜0，即函数ωk(α)在点αk处是局部严格单调递减的.定理3 给定初始值α0满足(12)式，则算法1产生严格单调递减序列{αk}且收敛. 证由定理2 的证明过程知，令φ(α)=-2Ck+(αTk+2Ck)(-2μ)，显然φ(αk)＜ 0，φ'(αk)＜ 0.所以函数φ(α)是严格单调递减的.由算法1知φ(αk+1)=0，所以αk＞αk+1.又∀k均有αk＞0，故收敛性成立.4 数值算例例1 求解第1类Fredholm积分方程［13］:其中，核 K(s，t)=1 ［1+100(t-s)2］，本文用等距节点复化梯形公式来离散第1类Fredholm 积分方程(13)，得线性方程组Ax－=y－，其中把积分核K(s，t)离散成矩阵Am×n，x(s)离散成n维列向量x－.对方程组右端加入随机扰动为其中r为Matlab中的随机函数.取不同的误差值δ，求出对应不同误差值δ的正则化参数，并把不同正则化参数求出的正则化解对比(见图2～4)，其中实线表示无扰动下的精确解，星形线表示不同正则化参数下的数值近似解.情形1 当δ=5.8378e-4，α=3.7320e-4，正则化解的相对误差ρ=0.0678.正则化解与真解如图2和图3所示，其中图2是该情形下未作正则化处理的计算所得解(即当α=0时的最小二乘解)，图3为算法1计算所得解.情形2 当δ=8.5401e-8，α=6.6470 e-4，正则化解的相对误差ρ=0.0500，算法1计算结果如图4所示.图2 α=0图3 α=3.7320e-4图4 α=6.6470e-4例2 求解第1类Fredholm积分方程［14-15］:x(s)=a1e-c1(s-t1)2+a2e-c2(s-t2)2，a1=2，a2=1，c1=6，c2=2，t1=0.8，t2=-0.5，K(s，t)=(cos(s)+cos(t))2(sin(u)u)，u= πsin(s).情形1 当δ=0.0022，α=0.0470时，正则化解的相对误差ρ=0.1746.正则化解与真解如图5和图6所示，其中图5是未作正则化处理的计算所得解，图6为算法1计算所得解.图5 α=0图6 α=0.0470情形2 当δ=2.2268e-5，α=0.0466时，正则化解的相对误差ρ=0.1744，算法1计算结果如图7所示.图7 α=0.04665 结论本文基于模型函数方法研究了正则化参数选取的修正L-曲线准则，使得计算上更加简单.从算例的模拟结果可以看出，基于双曲模型函数m2(α)的所得修正后的L-曲线准则是有效的.但是，本文只证明了初始正则化参数选取满足一定前提条件下，算法1产生的序列是局部收敛的.对于是否存在全局收敛性的算法［16］，还有μ值选取原则等问题还需进一步研究.6 参考文献【相关文献】［1］刘继军.不适定问题的正则化方法及应用［M］.北京:科学出版社，2005.［2］Hansen P C，O’Leary D P.The use of the L-curve in the regularization of discrete ill-posed problems［J］.SIAM J Sci Comput，1993，14(6):1487-1503.［3］ Hansen P C.Analysis of discrete ill-posed problems bymeans of the L-curve［J］.SIAM Review，1992，34(4):561-580.［4］Xie Jianli，Zou Jun.An improvedmodel functionmethod for choosing regularization parameters in linear inverse problems［J］.Inverse Problems，2002，18(5):631-643.［5］王泽文，徐定华.线性不适定问题中选取Tikhonov正则化参数的线性模型函数方法［J］.工程数学学报，2013，30(3):451-466.［6］Wang Zewen，Liu Jijun.Newmodel functionmethods for determining regularization parameters in linear inverse problems［J］.Applied Numerical Mathematics，2009，59(10):2489-2506.［7］Wang Zewen.Multi-parameter Tiknonov regularization andmodel function approach to the damped Morozov principle for choosing regularization parameters［J］.Journal of Computational andApplied Mathematics.2012，236(7):1815-1832.［8］胡彬，夏赟，喻建华.算子非精确条件下确定正则化参数的一种方法［J］，江西师范大学学报:自然科学版，2014，38(1):65-69.［9］Heng Yi，Lu Shuai，MhamdiA，et al.Model functions in themodified L-curvemethod-case study:the heat flux reconstruction in pool boiling［J］.Inverse Problems，2010，26(5):1-13.［10］张立涛，李兆霞，张宇峰，等.结构识别计算中基于L-曲线的模型确认方法研究［J］.运动与冲击刊，2011，30(11):36-41.［11］王宏志，赵爽，胡艳君.基于L-曲线正则化的MAP超分辨率图像复原［J］.吉林大学学报:理学版，2008，46(2):275-278.［12］ Reginska T.A regularization parameter in discrete illposed problems［J］.SIAM J Sci Comput，1996，17(3):740-749.［13］樊树芳，马青华，王彦飞.算子及观测数据都非精确情况下一种新的正则化参数选择方法［J］.北京师范大学学报:自然科学版，2006，42(1):25-31.［14］王彦飞.反问题的计算方法及应用［M］.北京:高等教育出版社，2007.［15］郭文彬.奇异值分解及其广义逆理论中的应用［M］.北京:中国科学院研究生院，2003. ［16］高炜，朱林立，梁立.基于图正则化模型的本体映射算法［J］.西南大学学报:自然科学版，2012，34(3):118-121.。

反演第一类fredholm积分问题反演第一类Fredholm积分问题是数学领域中经常遇到的问题，它可以用于求解许多实际问题，例如声波传播、物理学中的分布分析等等。

在这篇文章中，我们将详细介绍反演第一类Fredholm积分问题及其求解方法，希望能对读者有所帮助。

一、反演第一类Fredholm积分问题概述反演第一类Fredholm积分问题是指一个特定形式的积分方程，它的解可以用其核函数和边界条件表示。

具体而言，假设有一个函数f(x)未知，且已知另一个函数K(x,y)，满足如下积分方程：f(x) = ∫[a,b] K(x,y)g(y)dy其中，g(y)为已知函数，K(x,y)为积分核函数，a、b表示积分区间。

该积分方程我们称之为反演第一类Fredholm积分问题。

二、反演第一类Fredholm积分问题的求解方法为了求解反演第一类Fredholm积分问题，我们可以采用以下两种方法：1. 特征值法这种方法首先对核函数进行特征值分解，然后对于每个特征值作出一组正交函数，并将它们扩展到整个积分区间。

接着，我们使用这组正交函数来表示未知函数，并将其代入积分方程中，从而得到系数，最终求出未知函数。

2. 傅里叶变换法这种方法利用函数的傅里叶变换和逆变换，将积分方程转化为代数方程，从而得出未知函数。

具体而言，我们首先对积分方程进行傅里叶变换，将其转化为一个代数方程组。

接着，将方程组解出来，并进行逆傅里叶变换，最终得到未知函数。

三、结论反演第一类Fredholm积分问题是一类重要的数学问题，它的求解方法有很多种。

本文主要介绍了特征值法和傅里叶变换法两种方法，希望能对读者有所启发。

同时，我们也希望更多的研究者加入到此领域，为该问题的研究做出更多的贡献。

无穷限第一类Fredholm方程的正则化方法
杨平;伍继梅;吴开谡
【期刊名称】《北京化工大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2013(040)0z1
【摘要】研究了无穷限第一类Fredholm积分方程的求解问题.第一类Fredholm 方程是不适定问题,解不稳定,必须采用正则化方法处理.为此,利用Tikhonov正则化方法研究这类问题,其中,展平泛函按标准的Sobolev空间范数来构造,正则化参数则通过Morozov偏差原理来选取.最后,证明了由此获得的正则化解存在唯一性.并讨论了求解正则化解的变分方法.
【总页数】5页(P117-121)
【作者】杨平;伍继梅;吴开谡
【作者单位】北京化工大学理学院,北京100029;北京化工大学理学院,北京100029;北京化工大学理学院,北京100029
【正文语种】中文
【中图分类】O175.5;O241.83
【相关文献】
1.求解第一类Fredholm积分方程的一种新的正则化算法 [J], 李功胜;刘岩
2.求解第一类Fredholm积分方程的小波-正则化方法及外推 [J], 张建平;韩惠丽;潘学锋
3.求第一类Fredholm积分方程的离散正则化方法 [J], 殷凤兰
4.基于改进正则化蝙蝠算法求解第一类Fredholm积分方程 [J], 张新明;刘一博
5.带复数核的第一类Fredholm积分方程的正则化方法及其应用 [J], 尤云祥;缪国平
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关于Fredholm积分方程的一类改进数值算法及其应用的
开题报告
题目：关于Fredholm积分方程的一类改进数值算法及其应用
研究背景：
Fredholm积分方程广泛应用于科学和工程领域，尤其在信号处理、图像处理、物理和数学建模中应用广泛。

然而，由于数值解的数学复杂性，Fredholm积分方程通常需要使用一定的数值方法来求解。

由于其非线性特性和高维性质，许多传统的数值方法可能不够高效和准确。

研究目标：
本研究的目标是开发一类改进的数值算法来解决特定的Fredholm积分方程，该算法可提高计算精度和效率，并利用该算法解决实际问题。

研究方法：
首先，我们将对Fredholm积分方程的性质和特点进行系统分析。

然后，我们将开发一种基于加权残差法的新数值算法来求解该积分方程。

具体来说，我们将使用最小误差平方逼近来优化加权残差函数的选择，并通过广义交替迭代法来求解非线性积分算子。

此外，我们还将研究预处理和加速算法以提高求解效率。

最后，我们将使用该算法来解决实际问题，并与传统算法进行比较和分析。

研究意义：
该研究的成果将有助于开发一类新的高效和准确的数值算法来求解特定的Fredholm积分方程。

此外，该算法还可以应用于信号处理、图像处理、物理和数学建模等不同领域，从而提高计算效率和准确性。

预共轭梯度法求解第一类积分方程摘要：在本文中，我们通过使用预共轭梯度法（PCG ）研究了带卷积核的第一类Fredholm 积分方程的数值解。

然后又通过求积法使得积分方程降为Toeplitz 体系。

因上述体系中的系数矩阵是对称正定的，所以可以使用共轭梯度法来解决。

在一般情况下，该体系包含在不聚于1附近的恰当特征值之中。

带有恰当预条件的共轭梯度法产生了1附近体系中的聚类特征值。

因此，稳定性和收敛速率都得到了保证。

关键词：Tpolitz 体系，循环矩阵，预共轭梯度法，特征值，积分方程 简介在科学与工程上的许多逆问题催生了第一类积分方程解法的发展，即b x a x g dt t y t x k ba≤≤=-⎰;)()()( (1)其中)(x g 与)(t x k -是已知函数，)(t y 是未知待定函数。

尽管若方程的一个解存在，则在)(x g 中响应比gy ∂∂的微小波动将可能变得任意大（Rashed ，2003），但这一类形式的积分方程是病态的，因为对一给定的)(t x k -、)(x g ，方程(1)可能无解。

有几个逼近于第一类积分方程的数值解法也是我们都知道的。

令ih a t ih a x j i +=+=,且nab h -=，假设i i t x =，n i ,,3,2,1,0∙∙∙=，然后就有了如下的线性体系：)()()()(,0i i j i j nij j j ijt g t t k w t y t tk w =-+-∑≠= (2)该体系的系数矩阵是一个Toeplitz 矩阵，其中的条件数很大。

在诸多的迭代法之中，误差界是由条件数所确定。

比如，在共轭梯度法中的误差界是由tk k ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-11和minmaxλλ=k 所定。

其中，t 是迭代次数，min λ、max λ分别为算子谱特征值绝对值的最小与最大值（Maleknejad ，2003）。

定义1：若 1,0;)(mod -≤≤=-n j i c C n j i ij ，则[]1,-==n j i ijn c C 就叫做循环矩阵。

1 第一类Fredholm 积分方程，具有形式如下：⎰=bax f ds s y s x k )()(),(,b x a ≤≤ (1)其中核函数),(s x K 和自由项)(x f 为已知函数，)(s y 是未知函数。

此类积分方程虽然形式简单，但其求解却比较困难，所以这类方程在下文将做详细介绍。

2 第二类Fredholm 积分方程，具有如下的形式：⎰+=ba x f ds s y s x k x y )()(),()(λ,b x a ≤≤ (2)离散积分方程的数值方法有很多种，比如可以用复化梯形公式、复化辛普森公式等，这里我们利用复化梯形公式来进行离散。

一、复化梯形公式离散过程如下：)]()(2)([2)(1b f x f a f hdx x f nk k b a++≈∑⎰=下面具体给出复化梯形公式对第二类积分方程的一般离散过程。

],[)()(),(12)()](),(21)(),()(),()(),(21[)(),(12)()](),()(),([2)](),()(),([2)](),()(),([2)(),()(),()(),()(),()(),(211002*********12110b a x g f x k a b h s y s x k s y s x k s y s x k s y s x k h f x k a b h s y s x k s y s x k h s y s x k s y s x k hs y s x k s y s x k h dss y s x k ds s y s x k ds s y s x k ds s y s x k ds s y s x k n n i i n n n n i i i i s s s s s s s s bann i i ∈=-+++++=--+++++++=+++++=----⎰⎰⎰⎰⎰--ηηηηη－最后对变量x 进行离散，将区间],[b a 等分为n 份，步长为nab h -=，同时忽略积分公式误差项：)](),(21)(),()(),()(),(21[)()(1100n n i i i i i i i i s y s x k s y s x k s y s x k s y s x k h x y x g +++++-=其中n i ,2,1,0= 得到线性方程组n n g Af =其中)](),(),(),([210n n s y s y s y s y f =，)](,),(),(),([210n n x g x g x g x g g =⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---------=),(211),(),(21),(21),(1),(21),(21),(),(211101110101000n n n n n n y x hk y x hk y x k h y x hk y x hk y x hk y x hk y x hk y x hk A再对上述方程进行数值求解，即可。

求第一类Fredholm积分方程的离散正则化方法【摘要】基于矩阵奇异值分解的离散正则化算法，本文给出了第一类Fredholm积分方程的求解方法。

并通过算例验证了此算法的可行性。

【关键词】第一类Fredholm积分方程；矩阵奇异值；正则化方法0 引言在实际问题中，有很多数学物理方程反问题的求解最后总要归结为一个第一类算子方程：Kx=y（1）的求解问题，其中K是从Hilbert空间X到Hilbert空间Y一个有界线性算子，x∈X，y∈Y。

通常右端项y是观测数据，因而不可避免的带有一定的误差δ。

文中假设方程（1）的右端的扰动数据yδ∈Y满足条件：yδ-y≤δ（C1）。

我们需要求解扰动方程Kx=yδ∈Y。

（2）通常境况下，当K为紧算子时，方程（1）的求解时不适定的[1]。

即右端数据的小扰动可导致解的巨大变化。

消除不稳定性的一个自然的方式是用一族接近适定问题的模型去逼近原问题，比如最著名的Tikhonov正则化方法，用如下适定的算子方程：去逼近原问题Kx=yδ，其中α>0为一正的“正则参数”，K*表示K的伴随算子。

正则化[2-3]是近似求解方程（1）的一种有效方法。

Krish应用奇异系统理论提出的正则化子的概念，这给正则化方法的建立提供了新的理论依据。

本文利用基于矩阵奇异值分解的离散正则化算法，通过适当选取正则化参数进行不适定问题的求解。

1 基于矩阵奇异值分解的离散正则化算法矩阵的奇异值分解（SVD）是现代数值线性代数中最重要的基本计算分析工具之一，它具有优良的数值稳定性。

其重要应用领域包括矩阵理论以及自动控制理论，力学和物理学等，还有更多的应用方面尚在继续探索中。

对于一般算子方程Kx=y，利用高斯-勒让德求积公式、复化梯形公式或者复化辛普森求积公式等的数值方法将它离散得到一个矩阵方程Ax=y，这样，算子方程Kx=y的求解就转化为矩阵方程：的求解。

定义设A是m×n实矩阵（m≥n），称n阶方阵ATA的非零特征值的算术平方根为A的奇异值。

1 第一类Fredholm 积分方程，具有形式如下：⎰=bax f ds s y s x k )()(),(,b x a ≤≤ (1)其中核函数),(s x K 和自由项)(x f 为已知函数，)(s y 是未知函数。

此类积分方程虽然形式简单，但其求解却比较困难，所以这类方程在下文将做详细介绍。

2 第二类Fredholm 积分方程，具有如下的形式：⎰+=ba x f ds s y s x k x y )()(),()(λ,b x a ≤≤ (2)离散积分方程的数值方法有很多种，比如可以用复化梯形公式、复化辛普森公式等，这里我们利用复化梯形公式来进行离散。

一、复化梯形公式离散过程如下：)]()(2)([2)(1b f x f a f hdx x f nk k b a++≈∑⎰=下面具体给出复化梯形公式对第二类积分方程的一般离散过程。

],[)()(),(12)()](),(21)(),()(),()(),(21[)(),(12)()](),()(),([2)](),()(),([2)](),()(),([2)(),()(),()(),()(),()(),(211002*********12110b a x g f x k a b h s y s x k s y s x k s y s x k s y s x k h f x k a b h s y s x k s y s x k h s y s x k s y s x k hs y s x k s y s x k h dss y s x k ds s y s x k ds s y s x k ds s y s x k ds s y s x k n n i i n n n n i i i i s s s s s s s s bann i i ∈=-+++++=--+++++++=+++++=----⎰⎰⎰⎰⎰--ηηηηη－最后对变量x 进行离散，将区间],[b a 等分为n 份，步长为nab h -=，同时忽略积分公式误差项：)](),(21)(),()(),()(),(21[)()(1100n n i i i i i i i i s y s x k s y s x k s y s x k s y s x k h x y x g +++++-=其中n i ,2,1,0= 得到线性方程组n n g Af =其中)](),(),(),([210n n s y s y s y s y f =，)](,),(),(),([210n n x g x g x g x g g =⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---------=),(211),(),(21),(21),(1),(21),(21),(),(211101110101000n n n n n n y x hk y x hk y x k h y x hk y x hk y x hk y x hk y x hk y x hk A再对上述方程进行数值求解，即可。

第一类弱奇异 Fredholm 积分方程的配置解法曾慧波;吕晓亚;罗卫华【摘要】对于具有弱奇异性的第一类 Fredholm 积分方程提出了配置法,该方法的关键思想在于将积分算子的弱奇异核分裂成有限项,使得弱奇异性能够用分部积分加以克服。

理论分析和实验显示,该方法的精度可以达到 O (hm+1),这里 h 为步长,m 为所用基函数的最高次。

%A collocation method is introduced for a class of Fredholm integral equation of its first kind with weakly singular kernels.The key idea of this method is splitting the weakly singular kernel of the integral operator into finite parts so that the weak singularity is concentrated on one which can be analytically solved using integration by parts.Theoretical analysis and numerical examples show this method can achieve accuracy O(hm+1 ),with h being the step size,and the highest order of the basis function.【期刊名称】《内江师范学院学报》【年(卷),期】2015(000)010【总页数】4页(P10-13)【关键词】第一类 Fredholm 积分方程;配置法;Lagrange 插值多项式【作者】曾慧波;吕晓亚;罗卫华【作者单位】四川省内江市第六中学，四川内江 641199;内江师范学院数学与信息科学学院，四川内江 641199;内江师范学院数学与信息科学学院，四川内江641199【正文语种】中文【中图分类】O172.2许多科学工程中的逆问题求解都将导致弱奇异的第一类Fredholm积分方程这里0＜α＜1,a(x,y),b(x,y),f(x)为已知的连续函数,u(y)为待求解函数.对方程(1)的数值求解一直是工程计算中的一个热点和难点问题.在此方面的研究方法主要包括传统的直接求积法[1-4]、有限元方法[5]、配置法[6-12]、有限差分法[13-14]及其他方法[15-18]等,而对于配置法,其精度和计算量大小主要取决于所选基函数.迄今为止,使用配置法求解(1)时,用得最多的基函数包括三角函数,样条函数, B-样条函数Legendre小波函数等[6-9].这些方法在一定的条件下,能够达到高阶精度.然而,这些数值方法的精度一般都与α有关.当α→1时,其精度一般会越来越低,直至0阶精度. 本文利用Lagrange插值多项式作为基函数,提出一种配置解法,该配置解法利用分部积分公式成功地处理了弱奇异性,而且所涉及的精度与α无关.对于给定的正整数N,设h=为步长,记为区间[0,1]的网格剖分,当所选基函数为分片线性多项式函数时,这些点也是配置点.令和其中m≥1,Pm表示最高次数为m的多项式集合.在每一个子区间en,n=1,2,…,N上,给定m+1个配置点取一致插值点下的Lagrange插值多项式作为基函数,则要求解s(x)∈S(JN)使得引理1[5,8]记T为算子其中c为与f,λ0,λ1,μ0,μ1,R无关的常数,而λ0+ α＜1,λ1+α＜1,μ0＜1,μ1＜1,则T:C[0,1]→C[0,1]为紧算子.设α(x,y)∈C1([0,1]×[0,1]),b(x,y)∈C([0,1)×[0,1]),对于方程(3),其中的积分项不含任何奇异性当sy被Lagrange插值多项式代替后,该积分可以由一些近似积分公式在给定的精度内计算出来,比如,Gauss求积公式.对于积分项(y)d y,可做如下处理.在每一个子区间en,n=1,2,…,N上,用m次Lagrange插值多项式代替s(y).在每一个配置点xtp(t=1,2,…,N,p=0,1,…,m)处有从(5)的右端看出,只有两项含有弱奇异性,即而对于(6)和(7),经过一些简单的代数计算,可知它们分别等价于等式这里…表示那些积分核具有|xt,p―y|1―αB(y)形式的积分,其中B(y)为关于y的多项式函数,从而不具有任何奇异性.此外,由于0＜α＜1,利用分部积分公式,分别可得而(10)(11)可以由近似积分公式求得.综合起来,在逐个代入配置点xtp(t=1,2,…,N,p =0,1,…,m)后,可以由(8)―(11)来计算积分项(y)d y,再联立的近似积分公式,即可得到方程(1)的配置方程,从而求解出Lagrange插值多项式中的待定系数.设Pm表示Lagrange插值算子,则由插值理论[19],有|u―Pmu|=O(hm+1),又因为弱奇异积分算子是紧算子,因此,结合引理1,立刻可得定理1假设引理1的条件成立,且为可逆算子,则(3)中的近似解s(x)对于所有的0＜α＜1必然满足|u―s|=O(hm+1).取不同α的以检验该方法的精度随着α→1而变化的情况.取最常用的分片线性Lagrange插值多项式作为基函数,测试模型为该方程具有解析解u=x2.我们分别取α=0.1,α=0.5,α=0.9,α=0.99.表1给出了各种情况下配置点处的误差,这里采用L2范数,图1-4给出了精确解和数值解在点yi=xi+,i=1,2,…,M处的误差,其中步长h=0.01,α=0.1,0.5,0.9,0.99.从图1-4以及表1中可见,实验结果与理论分析是相吻合的,都达到了O(hm+1)阶精度.对第一类弱奇异的Fredholm积分方程提出了一种配置法.利用紧算子理论,证明了该算法具有O(hm+1)阶的精度,实验结果进一步显示了理论分析的正确性和该算法的高效性.【相关文献】[1]Schneider C.Product integration for weakly singular integral equations[J].Mathematics of Computation, 1981,36(2):207-213.[2]Wei J,Minggen C.The exact solution and stability analysis for integral equation of third or first kind with singular kernel[J].Applied Mathematics&Computation,2008,202(4):666-674.[3]Ioakimidis N I,Patras.On the natural interpolation formula for Cauchy type singular integral equations of the first kind[J].Computing,1981,26(4):73-77.[4]施云惠,王子才.第一类Fredholm积分方程的解析解[J].黑龙江大学自然科学学报,2000,17(1):16-21.[5]Babolian E,Delves L M.An augmented Galerkin method for first kind Fredholm equations[J].Ima Journal of Applied Mathematics Institute of Mathematics&Its Applications,1979,12(5):154-174.[6]Xufeng S,Danfu H.Numerical solution of Fredholm integral equations of the first kind by using linear Legendre multi-wavelets[J].AppliedMathematics&Computation,2007,191(1):440-444.[7]Maleknejad K,Sohrabi S.Numerical solution of Fredholm integral equations of the first kind by using Legendre wavelets[J].Applied Mathematics&Computation,2007,186(2):836-843.[8]Pedas A,Vainikko G.Integral equations with diagonal and boundary singularities of the kernel[J].Zeitschrift Für Analysis Und Ihre Anwendungen,2006,25: 487-516.[9]贾红艳.第二类Fredholm积分方程的小波解法[J].安阳师范学院学报,2010:15-17.[10]Lin Fu-rong1,Wu Jing.An interpolation-based adaptive solution method for Fredholm integral equations of the second kind[J].黑龙江大学(自然科学学报), 2004,21(4):17-21. [11]Vainikko E,Vainikko G.A spline product quasi-interpolation method for weakly singular Fredholm integral equations[J].Siam Journal on Numerical Analysis, 2008,46:1799-1820. [12]韩国强,张丽清.二维Fredholm积分方程Nystrom方法的渐近展开及其外推[J].应用数学学报,1995,18 (2):218-224.[13]黄秋梅,杨一都.Fredholm积分方程特征值问题配置法外推的M atlab实验[J].数学的实践与认识, 2007,37(11):163-168.[14]吴静,林福荣.某第二类Fredholm积分方程的一种数值解法[J].汕头大学学报(自然科学版),2003,18 (1):11-18.[15]陆征一.Lotka-Volterra系统的计算机辅助分析[J].四川师范大学学报(自然科学版),2013,36(1): 138-146.[16]徐艳艳,任静静,陈广贵,等.带二阶Hermite插值条件的最小二乘估计[J].西华大学学报,2014,33(1): 56-59.[17]张明会,高婷婷.一个数值积分公式的推广[J].四川文理学院学报,2011,21(2):17-19.[18]韩建玲.无穷限广义积分求值的几种方法[J].内江师范学院学报,2012,27(2):67-69.[19]王能超.计算方法[M].2版.武汉:华中科技大学出版社,2010.。

柴油-水混合物成分的核磁共振分析冯彩慧;徐洋;吕欣;张亚军;林婷婷【摘要】采用CPMG自旋回波序列方法研究了柴油-水混合物的核磁共振横向弛豫特性,获得了具有双主峰特征的横向弛豫时间谱,分析了柴油体积分数对双峰位置与强度的影响.结果表明:峰强与柴油体积分数呈现良好的线性相关,利用这种关系可检测柴油-水混合物的成分.【期刊名称】《物理实验》【年(卷),期】2019(039)004【总页数】4页(P28-31)【关键词】核磁共振;CPMG;横向弛豫时间;柴油水混合物;体积分数【作者】冯彩慧;徐洋;吕欣;张亚军;林婷婷【作者单位】吉林大学仪器科学与电气工程学院,吉林长春130026;吉林大学地球信息探测仪器教育部重点实验室,吉林长春130026;吉林大学仪器科学与电气工程学院,吉林长春130026;吉林大学仪器科学与电气工程学院,吉林长春130026;吉林大学仪器科学与电气工程学院,吉林长春130026;吉林大学仪器科学与电气工程学院,吉林长春130026;吉林大学地球信息探测仪器教育部重点实验室,吉林长春130026【正文语种】中文【中图分类】O482.532水污染是长期以来制约我国经济社会发展的一个重要因素[1]. 水污染物检测方法的创新研究可以推动水质监测技术的发展，对水污染防治具有重要的意义. 石油是当今社会发展的重要资源，然而，在开采、运输、加工与储存过程中，石油泄露事件却时有发生，由此引发的石油污染会对地下水环境产生深远影响，无法降解与转化的有毒烃类污染物通过饮水和食物链的传递还会威胁到人体健康[2]. 因此，发展高效、可靠的地下水石油污染检测技术十分必要.地下水的核磁共振探测是较新的研究领域[3]. 由于核磁共振具有非侵害性、定量探测等技术优势，近年来已迅速发展成为直接探测地下水的主要方法. 我国在该领域获得了一系列原创性成果[4]，例如：吉林大学自主研发了一系列地面核磁共振找水系统，性能指标超越了国外同类仪器，已成功应用于我国地下工程灾害水源探测等[5]. 地下水污染核磁共振探测技术是核磁共振地下水探测研究领域的一个重要拓展，有望为地下水污染探测提供新的便利途径. 掌握石油-水混合物的核磁共振特性是发展地下水石油污染核磁共振探测技术的重要物理基础. 本文利用核磁共振实验研究了柴油-水混合物，分析了主峰位置、峰值、峰强与柴油的体积分数之间的关联方式及其成因，提出了柴油-水混合物成分的核磁共振分析方法.1 实验原理当核自旋磁矩为μ的原子(例如：1H)处于恒定外磁场B中时，核磁矩将围绕B方向进动，其进动频率ν称为拉莫频率[6]. 假定外磁场与笛卡尔坐标系z轴平行，系统核磁矩叠加将产生宏观纵向磁化强度Mz，但进动相位自由分布使横向磁化强度Mxy为零. 当在垂直于B磁场方向施加频率为ν的射频场B′时，原子核发生核磁共振吸收，并使横向磁矩相位相干，从而Mxy不再为零. 射频激发停止后，宏观物理量Mz复原与Mxy归零的过程分别称为纵向弛豫和横向弛豫. 从微观角度，前者也称为自旋-晶格弛豫，对应受激发核把能量传递给周围环境，系统回归平衡态的过程；后者又称自旋-自旋弛豫，对应同种核磁矩相互作用引起退相干的过程[6].通常采用90°-180°射频脉冲序列的自旋回波技术测量横向弛豫[7]. 在此类技术中CPMG自旋回波序列技术[8-9]是横向弛豫测量的快速高效实验方法[10-14]. 对于液体而言，该技术有利于克服磁场不均匀分布与分子扩散行为对横向弛豫及其测量结果的影响. 本文采用了CPMG自旋回波序列技术，脉冲序列形式为90°—τ—180°—2τ—180°—2τ—180°—…(τ为半回波时间). 氢原子核系统的磁化强度矢量横向分量服从指数衰减规律，而且宏观系统所含微观组织结构的多样性会导致多个弛豫分量并存，因而由CPMG脉冲序列测得的回波串具有多个单指数衰减函数叠加的形式[15]：i=1，…，M；j=1，…，N(1)其中，Ai为第i个回波幅度，Ti为采集到第i个回波的时间，εi为第i个回波噪声，Ej为第j个弛豫分量的初始幅度，T2,j为第j个弛豫分量的衰减时间常量，M为回波个数，N为横向弛豫分量的个数. 从数学的角度讲，(1)式为离散形式的第一类Fredholm积分方程[16]，是典型的病态方程. 反演是求解此方程获得T2-E关系(即T2谱) 的有效的途径，常用的反演算法包括共轭梯度法(CG)[17]、变换反演法(BRD)[18]和整体迭代重建反演法(SIRT)[19]等. 因具有较高的数值稳定性，SIRT已经在核磁共振弛豫谱研究领域获得广泛应用[20-22]，本文采用SIRT方法反演基于CPMG射频脉冲序列测得的回波信号获得T2谱.2 实验方法2.1 实验仪器实验使用MicroMR核磁共振成像仪，它是纽迈公司生产的集波谱分析和成像分析于一体的高精度低场核磁共振分析仪器. 主要性能指标为磁场强度约0.5 T，工作频率为21～23 MHz，磁体恒定温度32 ℃. 该仪器主要由工控机(含谱仪系统)、射频单元、梯度单元和磁体柜(含恒温系统)组成，硬件系统框图如图1所示.图1 MicroMR柜式核磁共振成像仪的硬件系统框图2.2 实验样品实验以5.0 mL柴油-水混合物为样品，柴油体积分数(φd)范围为0～1，间隔0.1. 由于磁体温度为32 °C，为使样品与磁体温度一致，同时防止试剂瓶中的混合物挥发，测量前将装有样品的试剂瓶置于32 ℃恒温水浴中恒温5 min.2.3 测量方法使磁体温度稳定在32 ℃后，将标准油样置于射频线圈中心，采用硬脉冲自由感应衰减序列寻找中心频率,测试脉冲宽度参量，获得频率主值23 MHz，频率偏移量163.582 kHz，90°脉冲宽度18.5 μs，180°脉冲宽度37 μs. 将样品置于射频线圈中心，开展CPMG脉冲序列实验，主要参量包括：重复采样间隔时间13 000 ms，信号采样频率100 kHz，重复采样次数16，半回波时间500 μs，样品回波个数16 000.3 结果与分析通过对测量数据反演可获得不同φd值柴油-水混合物样品的T2谱，如图2所示. 纯柴油与纯水样品所对应的φd值分别是1和0，它们的T2谱各自仅存在1个主峰，柴油主峰T2d位于984.47 ms，水主峰T2w位于 2 622.88 ms，二者相距1 638.41 ms，此间距源于柴油与水的分子结构差异：柴油是复杂烃类混合物，单分子所含1H核数14～46，而水单分子仅含2个1H核，前者1H核之间位置的相对固定程度比后者更大，因此T2d比T2w更小. 其他φd值混合物样品的T2谱中都可以观察到2个主峰，二者间距随φd变化略有不同，但始终明显存在. 由于峰位分别与T2d和T2w接近，不难确认这2个主峰分别来自于混合物中的柴油与水组分.图2 不同柴油体积分数的柴油-水样品的T2谱峰位与峰值是T2谱给出的重要信息. 分析发现，在某些φd值范围内，T2w和T2d峰位随φd增加分别发生连续的左右相对移动，然而未形成全范围适用的普遍规律；T2w和T2d峰值也随φd增加分别出现连续的大小相反变化，然而该趋势也不能推及所有样品. 这说明样品中柴油与水的比例对横向弛豫过程存在不可忽视的影响，但最大概率弛豫时间及相应的概率本身不单调依赖于φd. 原因在于，分子间范德华力的存在会导致混合物样品中柴油所含的各种烃类分子与水分子之形成多样化的局域组织结构，对1H核之间位置相对固定程度产生复杂的影响.以T2d与T2w峰的面积作为峰强，分别以纯柴油与纯水的峰强为参考对其他样品的T2d与T2w峰强进行归一化处理可以获得相对强度，分别记作Id与Iw. 变化趋势如图3所示.图3 T2d与T2w的相对峰强Id和Iw随φd的变化趋势Id和Iw与φd之间都存在较好的线性关系，随φd的增加Id线性增加，而Iw线性减小. 这表明尽管在分子层面上柴油与水相互作用复杂，但主导系统1H核之间位置相对固定程度统计平均结果仍然是柴油与水的比例. 由图3可知：Id=0.997φd-0.048，(2)Iw=-0.956φd+1.034.(3)由此，在同类实验中测得任意柴油-水混合物样品的Id或Iw值可以利用式(2)～(3)求得φd，进而获得柴油-水混合物的组分. 需要指出Id与Iw是经过归一化处理的相对峰强，使用式(2)和式(3)时不仅要检测柴油-水混合物样品的T2谱，还要检测纯柴油或者纯水的T2谱. 此外，由于公式拟合过程中Id的标准差明显小于Iw，以T2谱中柴油峰的相对峰强为参考将获得更好的计算结果.4 结束语基于CPMG自旋回波法结合SIRT反演技术获得了不同柴油体积分数的柴油-水混合物的核磁共振横向弛豫时间谱，分析了柴油与水主峰位置、峰值、峰强与柴油体积分数间的关联方式及其成因. 发现柴油与水的T2谱峰的峰强都与柴油体积分数呈现较好的线性关系，由此给出了利用峰强检测柴油-水混合物组分的方法，为利用磁共振技术探测地下水的石油污染程度提供基础性参考.【相关文献】[1] 廖翼,史敏,彭清辉. 我国水污染防治政策的历史演进[J]. 安徽农业科学,2018,46(33):212-214.[2] 赵东风，崔积山. 石油类污染物在水环境中的归宿[J]. 油气田环境保护，2000，10(2):22-23.[3] 林君,张洋. 地面磁共振探水技术的研究现状与展望[J]. 仪器仪表学报,2016,37(12):2657-2670.[4] 林君. 核磁共振找水仪原理与应用[M]. 北京:科学出版社,2011:13-19.[5] 林君,蒋川东,林婷婷，等. 地下工程灾害水源的磁共振探测研究[J]. 地球物理学报,2013,56(11):3619-3628.[6] 俎栋林,高家红. 核磁共振成像——物理原理和方法[M]. 北京:北京大学出版社,2014：6-18.[7] Hahn E L. 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一类函数积分方程的fredholm和非
fredholm定理
Fredholm和非Fredholm定理是定义在一类函数积分方程上的重要定理。

它们是由20世纪初著名的瑞典数学家阿尔维斯·弗雷德霍姆所发明的。

Fredholm定理指出，一类函数积分方程可以表示为linear integral equation。

在这种情况下， Fredholm定理给出了一个判别解决这类积分方程是否有解的规则：只有当Kernel K是要求的积分方程的解空间的可逆的半正定映射时，积分方程才能解决来。

常见的核函数类型包括简单对称structured，fualt-trigger symmettrical，特征向量对称和非对称。

而非Fredholm定理则指出，一类函数积分方程可以表示为非线性积分方程。

在这种情况下，非Fredholm定理给出了一个判别解决这类积分方程是否有解的规则：只有当Kernel F是函数方程的解空间的可逆的半正定映射时，积分方程才会有解。

例如，多项式形式积分方程的 method of variation of parameters (MVP)，椭圆形式函数积分方程的Chebychev分析和拉格朗日形式的函数积分方程的 Legendre 分析。

在拉格朗日形式函数积分方程中，还有一种特殊情况：由拉格朗日定理推出的非Fredholm定理，也称为Fourier-Stieltjes定理。

整体来看，Fredholm定理和非Fredholm定理是理解函数积分方程类型的重要工具，它们提供了一种有用的方法，可从积分方程中获得解。

因此，在计算函数积分方程时，Fredholm和非Fredholm定理都很有用。

求第一类fredholm积分方程的离散正则化方
法
第一类Fredholm积分方程的离散正则化方法是一种用于解决具有积分表示的方程的数值方法，特别是那些被称为Fredholm积分方程的方程。

这种方法将原方程的无穷维空间离散化为有限维空间，然后利用矩阵的数值方法求解。

具体来说，该方法首先将原方程离散化为一个低维矩阵形式，然后应用正则化技术，例如Tikhonov正则化或L-curve正则化，来稳定求解过程。

最后，通过反离散化将计算结果转换回原始无穷维空间。

这种方法在科学及工程领域中应用广泛，例如在信号处理、图像处理、声学及电磁学等领域中都有应用。