立体表面交线的投影(精选)

第五节立体的表面交线主要内容一、截交线二、相贯线一、截交线立体被平面截切时，此平面通常称为截平面，截平面与立体表面的交线称为截交线。

1.截交线的性质1）封闭性：截交线是封闭的平面图形2）共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面，是截平面和立体表面的共有线。

截平面截交线2.截交线的形状截交线的形状取决于立体的几何性质及截平面与立体的相对位置平面与平面立体相交平面与回转体相交平面折线平面曲线曲线和直线围成平面多边形3. 求画截交线的方法求画截交线的实质就是求截平面与立体表面一系列的共有点。

ⅢⅠ ⅡⅣ ⅤⅥ4、平面与平面立体相交平面与平面立体相交，其截交线是一封闭的平面折线，只要求出平面立体的棱线与截平面的交点（也可直接求出截平面与立体表面的交线），判断可见性并依次连接各点，即得所求截交线。

例：求三棱锥与正垂面的截交线作图步骤5、平面与回转体相交（一）平面与圆柱相交由于截平面与圆柱轴线的相对位置不同，所得截交线有三种情况与轴线平行矩形与轴线垂直圆与轴线倾斜椭圆主要介绍特殊位置平面与几种常见回转体相交的截交线的画法。

例：已知圆柱被正垂面截切后的正投影和水平投影，求侧面投影。

作图步骤投影分析1.求特殊位置点2.求一般位置点3.判断可见性，光滑连接各点4.整理图线，完成图形截平面垂直V 面且与圆柱轴线倾斜，截交线为垂直于V 面的椭圆。

例：已知联轴节的正投影和水平投影，求侧面投影。

应注意圆柱转向轮廓线的投影变化截平面P截平面Q 截平面R截平面S联轴节的主体是圆筒，其上端用两个左、右对称并平行于轴线的侧平面P 及垂直于轴线的水平面Q 截切。

其下端用两个左、右对称并平行于轴线的侧平面S 及垂直于轴线的水平面R 截切。

（二）圆锥体与平面相交由于截平面与圆锥轴线的相对位置不同，平面截切圆锥所得的截交线有五种形状。

θ=90°圆θ<α椭圆θ=α抛物线与直线θ<α双曲线与直线通过锥顶三角形例：已知圆锥被侧平面截切后的正投影和水平投影，求侧面投影。

Ⅶ
作图步骤： （1）根据截平面位置与曲面立体表面的性质、判别
截交线的形状和性质。 （2）求出截交线上的特殊点。 （3）根据需要求出若干个一般点。 （4）光滑且顺次地连接各点，作出截交线，并且判别
可见性。 （5）最后，补全可见与不可见部分的轮廓线或转向轮
廓素线，并擦除被切割掉的轮廓线或转向轮廓素线。
第6章 立体的投影及表面交线
6.1 基本体的投影 6.2 平面与立体相交 6.3 立体与立体相交
立体的投影及表面交线
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6.1 基本体的投影
6.1.1 三面投影与三视图 6.1.2 平面立体 6.1.3 曲面立体
按照一定规则形成的简单立体称为基本体，基 本体分为平面立体和曲面立体两类。
立体的投影及表面交线
b" ；
3 顺次地连接各点， 作出截交线，并且判 别可见性；
4 整理轮廓线。
y
a1
4
s
y
2 b
立体的投影及表面交线
例3 求立体截切后的投影
6
（5）4
1
2 （3）
35
1
6
24
6
5
4
3 1 2 Ⅵ
Ⅴ Ⅳ
Ⅲቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
ⅠⅡ
立体的投影及表面交线
6.2.2 平面与曲面立体相交
曲面立体截交线通常是封闭的平面曲线，或是由曲线和直 线所围成的平面图形或多边形。
特殊点：是指绘制曲线时有影响的各种点。 极限位置点 曲线的最高、最低、最前、最后、最左和最右点。 转向轮廓点 曲线上处于曲面投影转向轮廓线上的点，它们是区
分曲线可见与不可见部分的分界点。 特征点 曲线本身具有特征的点，如椭圆长短轴上四个端点。 结合点 截交线由几部分不同线段组成时结合处的点。

例2、如图所示，球被正垂面截切，求截交线的 水平投影。
具体步骤如下： （1）先求特殊点。
（32）依确次定连截接交各线点与的转水向平轮投廓影线。的交点。
2’
2’
1’
3 5’6’’
4’
1’
3 5’6’’
4’
64
1
2
53
平面与球相交
64
1
2
53
2 4
3 1
2’
3 5’ ’ 4’
6’ 1’
2’
3’ 5’ 4’ 1’ 6’
两个侧平面截圆球的截交线的投 影，在侧视图上为部分圆弧，在 俯视图上积聚为直线。
4 组合的截交线
首先分析其由哪些基本回转体组成以及它们的连
接关系，然后分别求出这些基本体的截交线，并
依次将其连接。
●
●
●
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●
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● ● ●
● ● ●
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例1、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截
交线的另外两个投影。
• 用辅助平面法。 一般是根据立体或给出的投影，分析两回转面的形状、 大小及其轴线的相对位置，判断相贯线的形状特点和各投影 的特点，从而选择适当的方法作图。
3、作图步骤
（1）先作出特殊点的投影。 （2）求作一般点 （3）光滑连接各点
回转体相贯的三种基本形式
两外表面相贯
外表面与内表面相贯
64
64
1
2
1
2
53
53
平面与球相交
2 4
3 1
㈣ 复合回转体的截切
例：求作顶尖的俯视图
●
●
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●●
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●

如已知棱柱表面上M点的正面投影m′，求水平、侧 面投影m、m″。由于正面投影m′是可见的，因此M点必 定在棱柱的前半部平面ABCD上，而平面ABCD为铅垂 面，水平投影abcd具有积聚性，因此m必在abcd上。根 据m′和m，由点的投影规律可求出m″，如图3-1(b)所示。
1.2 棱锥
1. 棱锥的投影
圆柱表面上的点
在图3-3(b)中，圆柱面上有两点M和N，已知其正 投影m′和n′，求另外两投影。由于点N在圆柱的转向轮 廓线上，其另外两投影可直接求出；而点M可利用圆 柱面有积聚性的投影，先求出点M的水平投影m，再由 m和m′求出m″。点M在圆柱面的右半部分，故其侧面 投影m″不可见。
2.2 圆锥 1. 圆锥面的形成 圆锥面是由一条直母线绕与它相交的轴线旋转而
立体及其表面交线的投影
1 平面立体 2回转体 3截交线 4相贯线
1 平面立体
1.1 棱柱 1. 棱柱的投影 如图3-1(a)所示的正六棱柱，其顶面、底面均为水
平面，它们的水平投影反映实形，正面和侧面投影积 聚为一直线。棱柱有六个侧面，前后为正平面，其正 面投影反映实形，水平投影及侧面投影积聚为一直线。 棱柱的其他四个侧面均为铅垂面，水平投影积聚为直 线，正面投影和侧面投影为类似形。
2.3 圆球 1. 圆球面的形成 圆球面是由一圆母线以它的直径为回转轴旋转形成
的。
2. 圆球的投影 圆球面的三个投影是圆球上平行于相应投影面的三 个不同位置的最大轮廓圆。正面投影的轮廓圆是前、后 两半球面的可见与不可见的分界线；水平投影的轮廓圆 是上、下两半球面的可见与不可见的分界线；侧面投影 的轮廓圆是左、右两半球面的可见与不可见的分界线。 如图3-5所示。
2回转体
由一母线绕轴线回转而形成的曲面称为回转面， 由回转面或回转面与平面所围成的立体称为回转体。 母线在回转面上的任一位置称为素线。常见的回转体 有圆柱、圆锥和圆球等。