【数学】2016-2017年北京市海淀区高三(上)期中数学试卷与答案(理科)

2016—2017学年第一学期高三数学（理）12月月考一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请把答案代号填涂在答题纸上．1．集合{0,2,}A a =，2{1,}B a =，若{0,1,2,4,16}A B =，则a 的值为（ ）． A ．0 B ．1 C ．2 D ．4 【答案】D【解析】∵{0,1,2,4,16}A B =，{0,2,}A a =，2{1,}B a =，∴2{,}{4,16}a a =，∴4a =． 故选D ．2．已知{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，若36a =，312S =，则公差d 等于（ ）．A ．1B ．53C ．2D ．3【答案】C【解析】设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，则由36a =，312S =，得： 11263312a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得12a =，2d =． 故选C ．3．命题“存在0x ∈R ，020x ≤”的否定是（ ）．A ．不存0x ∈R ，020x >B ．存在0x ∈R ，020x ≥C ．对任意x ∈R ，20x ≤D ．对任意的x ∈R ，20x > 【答案】D【解析】对于含特称量词的命题的否定，需将特称量词改为全称量词，同时否定命题的结论．因此命题“存在0x ∈R ，020x ≤”的否定是：“对于任意的x ∈R ，20x >”． 故选D ．4．已知直线1:(3)453l a x y a ++=-与2:2(5)8l x a y ++=平行，则a 等于（ ）． A ．7-或1- B ．7或1 C ．7- D ．1- 【答案】C【解析】由题意可知(3)(5)42a a ++=⨯且(3)8(53)2a a +⨯≠-⨯，解得： 7a =-． 故选C ．5．已知函数π()sin (0)4f x x ωω⎛⎫=> ⎪⎝⎭+的最小正周期为π，刚该函数的图象（ ）．A ．关于点π,04⎛⎫⎪⎝⎭对称 B ．关于直线π8x =对称C ．关于点π,08⎛⎫⎪⎝⎭对称 D ．关于直线π4x =对称【答案】B【解析】根据题意得2ππT ω==，2ω=，故π()sin 24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．∴ππππsin 2sin 18842f ⎛⎫⎛⎫=⨯+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，πππ3πsin 2sin 4444f ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴该函数的图象关于直线π8x =对称，不关于点π,04⎛⎫ ⎪⎝⎭和π,08⎛⎫⎪⎝⎭对称，也不关于直线π4x =对称．故选B ．6．已知P 是以1F ，2F 为焦点的椭圆22221(0)x y a b a b=>>+上一点，若120PF PF ⋅=且121tan 2PF F ∠=，则椭圆的离心率为（ ）． A ．12 B ．23 C ．13D【答案】D【解析】∵点P 是以1F ，2F 为焦点的椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点，12PF PF ⊥，21tan 2PF F ∠=， ∴12||2||PF PF =，设2||PF x =，则1||2PF x =． 由椭圆定义可知23x x a +=，∴23a x =， ∴22||3PF a =，则14||3PF a =．由勾股定理知2222112||||||PF PF F F +=，即222416494a a c +=，计算得出c =，∴c e a ==． 故选D ．7．甲、乙、丙等6个人排成一排照相，且甲、乙不在丙的同侧，则不同的排法共有（ ）． A ．480 B ．240 C ．120 D ．360 【答案】B【解析】先排甲、乙、丙，共有22A 种排法，再将剩余3人插进去，∴6人排成一排，甲、乙不在丙同侧的排法共有21112456A C C C 240=种． 故选B ．8．如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，M 、N 分别为11A B ，1CC 的中点，P 为AD 上一动点，记α为异面直线PM 与1D M 所成的角，则sin α的值为（ ）．A ．12BCD ．1【答案】D 【解析】如图，分别以DA ，DC ，1DD 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示空间直角坐标系，设正方体边长为1，则(,0,0)P x ，(01)x ≤≤，11,,12M ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，(0,0,1)D ，10,1,2N ⎛⎫ ⎪⎝⎭．∴11,,12PM x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，110,1,2D N ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，∴10PM D N ⋅=，1PM D N ⊥，∴π2α=，sin 1α=．故选D ．二、填空题：本大题共6小题，每题5分，共30分．把答案填在答题纸上． 9．双曲线241x y -=的虚轴长为____________． 【答案】1【解析】双曲线2241x y -=化为标准方程为2214y x -=，∴1a =，12b =．故虚轴长为21b =．10．如图中阴影部分的面积等于____________．【答案】1【解析】根据题意，所求面积为函数23y x =在区间[0,1]上的定积分值，即该阴影部分面积为1231003d 1x x x ==⎰．11．已知抛物线22(0)y px p =>的准线与圆2(3)16x y -=+相切，则p 的值为____________． 【答案】2【解析】抛物线22(0)y px p =>的准线方程为2p x =-． ∵抛物线22(0)y px p =>的准线方程与圆22(3)16x y -+=相切，∴342p+=，2p =．12．已知直线m ，n 与平面α、β，给出下列四个命题： ①若m α∥，n α∥，则m n ∥；②若m α∥，n α⊥，则n m ⊥；③若m α⊥，m β∥，则αβ⊥；④若m n ∥，m α∥，则n α∥．其中所有真名题的序号是_____________． 【答案】②③【解析】①若m α∥，n α∥，则m ，n 平行，相交，异面都有可能，故①错误； ②m α∥，则存在m α'⊂且m m '∥，又n α⊥，所以n m '⊥，故m n ⊥，②正确；③若m α⊥，m β∥，则存在直线n β⊂，使m n ∥，由面面垂直的判定定理可知③正确； ④若m n ∥，m α∥，则n α∥或n α⊂，故④错误． 综上所述，所有真命题的序号为②③．13．为了解本市居民的生活成本，甲、乙、丙三名同学利用假期分别对三个社区进行了“家庭每月日常消费额”的调查．他们将调查所得到的数据分别绘制成分布直方图（如图所示），记甲、乙、丙所调查数据的标准差分别为1s ，2s ，3s ，则它们的大小关系为___________（用“>”连接）．甲频率乙O频率丙【答案】123s s s >>【解析】根据频率分布直方图知，甲的数据的两端的数字较多，离平均值较远，表现的最分散，标准差最大．乙的数据，分布均可，不如甲组中偏离平均值大，标准差比甲组中的小． 丙的数据绝大部分都集中在平均值左右，数据表现的最集中，方差最小． 故本题的正确答案为123s s s >>．14．已知函数1,()0,x f x x ∈⎧=⎨∈⎩R QQ ð，则（ⅰ）(())f f x =____________．（ⅱ）给出下列三个命题：①函数()f x 是偶函数；②存在(1,2,3,)i x i ∈=R ，使得以点(),()(=1,2,3)i i x f x i 为顶点的三角形是等腰三角形；③存在(1,2,3,4)i x i ∈=R ，使得以点(),()(=1,2,3,4)i i x f x i 为顶点的四边形为菱形．其中，所有真名题的序号是____________．【答案】（ⅰ）1；（ⅱ）①③ 【解析】（ⅰ）由题可知()f x ∈Q ，所以(())1f f x =．（ⅱ）①若x 为有理数，则x -也为有理数，∴()()1f x f x =-=， 若x 为无理数，则x -也为无理数，∴()()0f x f x =-=， 综上有()()f x f x =-，∴函数()f x 为偶数，故①正确．②根据1,()0,x f x x ∈⎧=⎨∈⎩RQQ ð可知：假设存在等腰直角三角形ABC ，则斜边AB 知能在x 轴上或在直线1y =上，且斜边上的高始终是1，不妨假设AB 在x 轴，则2AB =，故点A ，B 的坐标不可能是无理数，故不存在．另外，当AB 在1y =上，C 在x 轴时，由于2AB =，则C 的坐标应是有理数，故假设不成立，即不存在符合题意的等腰直角三角形，故②错误． ③取两个自变量是有理数，使得另外两个无理数的差与两个有理数的差相等，即可画出平行四边形，且对角线互相垂直，所以可以做出点(),()(=1,2,3,4)i i x f x i 为顶点的四边形为菱形，故③正确．综上，所有真命题的序号是①③． 15．（本小题满分13分）在ABC △1cos2B B =-． （Ⅰ）求角B 的值．（Ⅱ）若2BC =，π4A =，求ABC △的面积．【答案】【解析】（121cos2B B =-，∴2cos 2sin B B B =． ∵0πB <<，∴sin 0B >，从而tan B∴π3B =．（2）∵π4A =，π3B =，根据正弦定理得sin sin AC BCB A =，∴sin sin BC BAC A⋅=∵5ππ12C A B =--=，∴5πππsin sin sin 1246C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭+ 所以ABC △的面积1sin 2ABC S AC BC C =⋅⋅=△16.（本小题满分13分）设直线5y ax =+与圆22(1)25x y -+=相交于A ，B 两点，问是否存在实数a ，使得过点4()2,P -的直线l 垂直平分弦AB ？若存在，求出实数a 的值；若不存在，请说明理由． 【答案】【解析】∵直线l 垂直平分弦AB ，∴直线l 经过圆心(1,0)．又∵直线l 过点(2,4)P -，∴直线l 的斜率为404213-=---，∴直线l 的方程为5y ax =+的斜率为34，∴354y x =+，此时，圆心(1,0)到354y x =+的距离2354d =<，符合题意．故存在实数a ，使得过点(2,4)P -的直线l 垂直平分弦AB ，此时34a =．17．（本小题满分13分）某中学举行一次“环保知识竞赛”，全校学生参加了这次竞赛．为了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（得分取正整数，满分为100分）作为样本进行统计，请根据下面尚未完成并有局部污损的样本的频率分布表和频率分布直方图（如图所示）解决下列问题： （Ⅰ）写出a ，b ，x ，y 的值．（Ⅱ）在选取的样本中，从竞赛成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取2名同学到广场参加环保知识的志愿宣传活动，求所抽取的2名同学来自同一组的概率．（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，设ξ表示所抽取的2名同学中来自第5组的人数，求ξ的分布列及其数学期望．频率【答案】 【解析】（1）由题意可知16a =，0.04b =，0.032x =，0.004y =．（2）由题意可知，第4组有4人，第5组有2人，共6人．从竞赛成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取2名同学有26C 15=种情况． 设事件A：随机抽取的2名同学来自同一组，则224226C C 7()C 15P A ==+． 故随机抽取的2名同学来自同一组的概率是715．（3）由（2）可知，ξ的可能的值为0，1，2，则：2426C 62(0)C 155P ξ====，114226C C 8(1)C 15P ξ===，2226C 1(2)C 15P ξ===． 所以，ξ的分布列为：2812()012515153E ξ=⨯⨯⨯=++．18．（本小题满分14分）己知四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面A B C D ，底面ABCD 是菱形，且2PA AB ==．60ABC ∠=︒，BC 、PD 的中点分别为E ，F ． （Ⅰ）求证BC PE ⊥．（Ⅱ）求二面角F AC D --的余弦值．（Ⅲ）在线段AB 上是否存在一点G ，使得AF 平行于平面PCG ？若存在，指出G 在AB 上的位置并给予证明，若不存在，请说明理由．D【答案】 【解析】（1）证明：连结AE ，PE ．∵PA ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ， ∴PA BC ⊥．又∵底面ABCD 是菱形，AB BC =，60ABC ∠=︒， ∴ABC △是正三角形． ∵E 是BC 的中点， ∴AE BC ⊥．又∵PA AE A =，PA ⊂平面PAE ，PE ⊂平面PAE ， ∴BC ⊥平面PAE ， ∴BC PE ⊥．（2）由（1）得AE BC ⊥，由BC AD ∥可得AE AD ⊥． 又∵PA ⊥底面ABCD ，∴PA AE ⊥，PA AD ⊥．∴以A 为原点，分别以AE ，AD ，AP 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系A xyz-，如图所示，则(0,0,0)A ，E，(0,2,0)D ，(0,0,2)P，1,0)B -，C ，(0,1,1)F ． ∵PA ⊥平面ABCD ，∴平面ABCD 的法向量为(0,0,2)AP =． 又∵(3,1,0)AC =，(0,1,1)AF =．设平面ACF 的一个法向量(,,)n x y z =，则：AC n AF n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即00y y z +==⎪⎩+，令1x =，则y =，z ，∴(1,3,n =-．∴21cos ,||||AP n AP n AP n ⋅==．∵二面角F AC D --是锐角，∴二面角F AC D --． （3）G 是线段AB 上的一点，设(01)AG t AB t =≤≤． ∵(3,1,0)AB =-，∴(3,,0)G t t -． 又∵(3,1,2)PC =-，(3,,2)PG t t =--． 设平面PCG的一个法向量为(,,)n x y z =，则：1100PC n PG n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即1111112020y z ty z -=--=+，∴1(1)n t t =-+， ∵AF ∥平面PCG ，∴AF n ⊥，0AF n ⋅=1)0t -=，解得12t =．故线段AB 上存在一点G ，使得AF 平行于平面PCG ，G 是AB 中点． 19．（本小题满分13分）已知a ∈R ，函数()ln 1af x x x=-+．（Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程． （Ⅱ）求()f x 在区间(0,e]上的最小值． 【答案】【解析】（1）当1a =时，1()ln 1f x x x=-+，(0,x ∈∞+)，∴22111()x f x x x x -'=-=+，(0,x ∈∞+)，∴1(2)4f '=，即曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线斜率为14．又∵1(2)ln22f =-，∴曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为11ln 2(2)24y x ⎛⎫--=- ⎪⎝⎭，即44ln 240x y --=+．（2）∵()ln 1a f x x x =-+，∴221()a x af x x x x-'=-=+．令()0f x '=，得x a =．①若0a ≤，则()0f x '>，()f x 在区间(0,e]上单调递增，此时函数()f x 无最小值． ②若0e a <<，当(0,)x a ∈时，()0f x '<，函数()f x 在区间(0,)a 上单调递减， 当(,e]x a ∈时，()0f x '>，函数()f x 在区间(,e]a 上单调递增， 所以当x a =时，函数()f x 取得最小值ln a ．③当e a ≥，则当(0,e]x ∈时，()0f x '≤，函数()f x 在区间(0,e]上单调递减，所以当e x =时，函数()f x 取得最小值ea．综上所述，当0a ≤时，函数()f x 在区间(0,e]上无最小值． 当0e a <<时，函数()f x 在区间(0,e]上的最小值为ln a ．当e a ≥时，函数()f x 在区间(0,e]上的最小值为ea．20．（本小题满分14分）已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b=>>+过点(0,1)A -，且离心率e =．（Ⅰ）求椭圆M 的方程．（Ⅱ）若椭圆M 上存在点B 、C 关于直线1y kx =-对称，求k 的所有取值构成的集合S ，并证明对于k S ∀∈，BC 的中点恒在一条定直线上． 【答案】 【解析】（1）∵椭圆M 过点(0,1)A -，∴1b =．∵=c e a ，222a b c =+，∴2a =． ∴椭圆M 的方程为2214x y =+．（2）依题意得0k ≠，因为椭圆M 上存在点B ，C 关于直线1y kx =-对称， 所以直线BC 与直线1y kx =-垂直，且线段BC 的中点在直线1y kx =-上，设直线BC 的方程为1y x t k=-+，11(,)B x y ，22(,)C x y ．由22144y x tk x y ⎧=-⎪⎨⎪=⎩++，得22222(4)8440k x ktx k t k --=++． 由2222222222644(4)(44)16(4)0k t k k t k k k t k ∆=--=->++，得22240k t k --<．∵12284ktx x k =++，∴BC 的中点坐标为2224,44kt k t k k ⎛⎫⎪⎝⎭++．又线段BC 的中点在直线1y kx =-上，∴22241k t ktk k k =⋅-，∴22314k tk =+，代入22240k tk --<，得k <或k > ∴S k k ⎧⎪=<⎨⎪⎩k ⎪⎭．∵22143k t k =+， ∴对于k S ∀∈，线段BC 的中点的纵坐标恒为13，即线段BC 的中点总在直线13y =上．。

海淀区高三年级第一学期期末练习数学（理科）2017.1本试卷共4页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．抛物线22y x =的焦点到准线的距离为A ．12B ．1C ．2D ．32．在极坐标系中，点π(1,)4与点3π(1,)4的距离为A ．1B ．2C ．3D ．53．右侧程序框图所示的算法来自于《九章算术》.若输入a 的值为16，b 的值为24，则执行该程序框图输出的结果为 A ．6B ．7C ．8D ．94．已知向量,a b 满足2+=0a b ，()2+⋅=a b a ，则⋅=a bA ．12-B ．12C ．2-D ．25．已知直线l 经过双曲线2214x y -=的一个焦点且与其一条渐近线平行，则直线l 的方程可能是A ．1522y x =-+B ．152y x =- C ．322y x =- D ．23y x =-+6．设,x y 满足0,20,2,x y x y x -≤⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩则22(1)x y ++的最小值为A ．1B ．92C ．5D ．97．在手绘涂色本的某页上画有排成一列的6条未涂色的鱼，小明用红、蓝两种颜色给这些鱼涂色，每条鱼只能涂一种颜色，两条相邻的鱼不．都．涂成红色．．．．，涂色后，既有红色鱼又有蓝色鱼的涂色方法种数为 A ．14 B ．16 C ．18 D ．20 8．如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，,E F 分别是棱AD ，B 1C 1上的动点，设1,AE x B F y ==．若棱．1DD 与平面BEF 有公共点，则x y +的取值范围是 A ．[0,1]B ．13[,]22C ．[1,2]D ．3[,2]2二、填空题共6小题，每小题5分，共30分． 9．已知复数z 满足(1i)2z +=，则z =________．ABCD1D 1A 1B 1C E F开始是否是否a a b=-b b a=-a输出结束,a b输入a b≠a b>10．在261()x x+的展开式中，常数项为________．（用数字作答）11．若一个几何体由正方体挖去一部分得到，其三视图如图所示，则该几何体的体积为________．12．已知圆C :2220x x y -+=，则圆心坐标为_____；若直线l 过点(1,0)-且与圆C 相切，则直线l 的方程为____13．已知函数2sin()y x ωϕ=+π(0,||)2ωϕ><.① 若(0)1f =，则ϕ=________；② 若x ∃∈R ，使(2)()4f x f x +-=成立，则ω的最小值是__． 14．已知函数||()e cos πx f x x -=+，给出下列命题：①()f x 的最大值为2；②()f x 在(10,10)-内的零点之和为0； ③()f x 的任何一个极大值都大于1. 其中所有正确命题的序号是________．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分）在∆ABC 中，2c a =，120B =，且∆ABC 面积为32． （Ⅰ）求b 的值； （Ⅱ）求tan A 的值．16．（本小题满分13分）诚信是立身之本，道德之基.某校学生会创设了“诚信水站”，既便于学生用水，又推进诚信教育，并用“周实际回收水费周投入成本”表示每周“水站诚信度”．为了便于数据分析，以四周为一．．．．周期．．，下表为该水站连续十二周（共三个周期）的诚信度数据统计：第一周 第二周 第三周 第四周 第一个周期95% 98% 92% 88% 第二个周期94% 94% 83% 80% 第三个周期85%92%95%96%（Ⅰ）计算表中十二周“水站诚信度”的平均数x ；（Ⅱ）分别从上表每个周期的4个数据中随机抽取1个数据，设随机变量X 表示取出的3个数据中“水站诚信度”超过91%的数据的个数，求随机变量X 的分布列和期望；（Ⅲ）已知学生会分别在第一个周期的第四周末和第二个周期的第四周末各举行了一次“以诚信为本”的主题教育活动．根据已有数据，说明两次主题教育活动的宣传效果，并根据已有数据陈述理由．17．（本小题满分14分）如图1，在梯形ABCD 中，//AB CD ，90ABC ∠=，224AB CD BC ===，O 是边AB 的中点．将三俯视图2左视图211主视图角形AOD 绕边OD 所在直线旋转到1A OD 位置，使得1120AOB ∠=，如图2．设m 为平面1A DC 与平面1A OB 的交线．（Ⅰ）判断直线DC 与直线m 的位置关系并证明； （Ⅱ）若直线m 上的点G 满足1OG A D ⊥，求出1A G 的长； （Ⅲ）求直线1A O 与平面1A BD 所成角的正弦值．18．（本小题满分13分）已知(0,2),(3,1)A B 是椭圆G ：22221(0)x y a b a b+=>>上的两点．（Ⅰ）求椭圆G 的离心率；（Ⅱ）已知直线l 过点B ，且与椭圆G 交于另一点C （不同于点A ），若以BC 为直径的圆经过点A ，求直线l 的方程．19. （本小题满分14分）已知函数()ln 1af x x x=--． （Ⅰ）若曲线()y f x =存在斜率为1-的切线，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）求()f x 的单调区间；（Ⅲ）设函数()ln x ag x x+=，求证：当10a -<<时，()g x 在(1,)+∞上存在极小值．20．（本小题满分13分）对于无穷数列{}n a ,{}n b ，若1212max{,,,}min{,,,}(1,2,3,)k k k b a a a a a a k =-=，则称{}n b 是{}n a 的“收缩数列”．其中，12max{,,,}k a a a ,12min{,,,}k a a a 分别表示12,,,k a a a 中的最大数和最小数．已知{}n a 为无穷数列，其前n 项和为n S ，数列{}n b 是{}n a 的“收缩数列”．(Ⅰ)若21n a n =+，求{}n b 的前n 项和； (Ⅱ)证明：{}n b 的“收缩数列”仍是{}n b ；(Ⅲ)若121(1)(1)22n n n n n n S S S a b +-+++=+(1,2,3,)n =，求所有满足该条件的{}n a ．海淀区AOBCD1图ODCB2图1A高三年级第一学期期末练习数学（理科）答案及评分标准2017.1一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）1.B2.B3. C4.C5.A6. B7.D8.C 二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分，9. 1i -10.15 11.16312.（1,0）；3(1)3y x =+和3(1)3y x =-+13.π6，π214.①②③三、解答题（共6小题，共80分） 15.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由∆ABC 面积公式及题设得1sin 2S ac B ==1332222a a ⨯⨯=，解得1,2,a c ==由余弦定理及题设可得2222cos b a c ac B =+-114212()72=+-⨯⨯⨯-=，又0,7b b >∴=. (不写b>0不扣分) （Ⅱ）在∆ABC 中，由正弦定理sin sin a bA B =得：1321sin sin 2147a A B b ==⨯=， 又120B =，所以A 是锐角（或：因为12,a c =<=） 所以217557cos 1sin 19614A A =-==， 所以sin 213tan .cos 557A A A === 16. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）十二周“水站诚信度”的平均数为x =95+98+92+88+94+94+83+80+85+92+95+96=91%12100⨯（Ⅱ）随机变量X 的可能取值为0，1，2，3三个周期“水站诚信度”超过91%分别有3次，2次，3次1212(0)44464P X ==⨯⨯=32112112314(1)44444444464P X ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=32132132330(2)44444444464P X ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=32318(3)44464P X ==⨯⨯=随机变量X的分布列为X0 1 2 3P 1327321532932171590123232323232EX=⨯+⨯+⨯+⨯=.（Ⅲ）本题为开放问题，答案不唯一，在此给出评价标准，并给出可能出现的答案情况，阅卷时按照标准酌情给分.给出明确结论，1分，结合已有数据，能够运用以下三个标准中的任何一个陈述得出该结论的理由，2分.标准1:会用主题活动前后的百分比变化进行阐述标准2：会用三个周期的诚信度平均数变化进行阐述标准3：会用主题活动前后诚信度变化趋势进行阐述可能出现的作答情况举例，及对应评分标准如下：情况一：结论：两次主题活动效果均好.（1分）理由：活动举办后，“水站诚信度”由88%→94%和80%→85%看出，后继一周都有提升.（2分）情况二：结论：两次主题活动效果都不好.（1分）理由：三个周期的“水站诚信度”平均数分别为93.25%，87.75%，92%(平均数的计算近似即可)，活动进行后，后继计算周期的“水站诚信度”平均数和第一周期比较均有下降.（2分）情况三：结论：第一次主题活动效果好于第二次主题活动.（1分）理由：第一次主题活动举办的后继一周“水站诚信度”提升百分点（94%-88%=6%）高于第二次主题活动举办的后继一周“水站诚信度”提升百分点（85%-80%=5%）.（2分）情况四：结论：第二次主题活动效果好于第一次主题活动.（1分）理由：第一次活动后“水站诚信度”虽有上升，但两周后又有下滑，第二次活动后，“水站诚信度”数据连续四周呈上升趋势. （2分）（答出变化）情况五：结论：两次主题活动累加效果好.（1分）理由：两次主题活动“水站诚信度”均有提高，且第二次主题活动后数据提升状态持续周期好.（2分）情况六：以“‘两次主题活动无法比较’作答，只有给出如下理由才给3分：“12个数据的标准差较大，尽管平均数差别不大，但比较仍无意义”.给出其他理由，则结论和理由均不得分（0分）.说明：①情况一和情况二用极差或者方差作为得出结论的理由，只给结论分1分，不给理由分2分.②以下情况不得分.情况七：结论及理由“只涉及一次主题活动，理由中无法辩析是否为两次活动后数据比较之结果”的.例：结论：第二次主题活动效果好.理由：第二次主题活动后诚信度有提高.③其他答案情况，比照以上情况酌情给分，赋分原则是：遵循三个标准，能使用表中数据解释所得结论.17. （本小题满分14分）解：（Ⅰ）直线DC //m .证明：由题设可得//,CD OB 1CD AOB ⊄平面，1OB AOB ⊂平面， 所以//CD 平面1A OB .又因为CD ⊂平面1A DC ，平面1ADC 平面1A OB m =所以//CD m .法1：（Ⅱ）由已知224AB CD BC ===，O 是边AB 的中点，//AB CD ，所以//CD OB ，因为90ABC ∠=，所以四边形CDOB 是正方形， 所以在图1中DO AB ⊥，所以结合题设可得，在图2中有1DO OA ⊥，DO OB ⊥， 又因为1OA OB O =，所以1DO AOB ⊥平面. 在平面AOB 内作OM 垂直OB 于M ，则DO OM ⊥. 如图，建立空间直角坐标系O xyz -，则1(3,1,0),(0,2,0),(0,0,2)A B D -，所以1(3,1,2)A D =-.设(3,,0)G m ，则由1OG A D ⊥可得10A D OG ⋅=，即(3,1,2)(3,,0)30m m -⋅=-+=解得3m =.所以14AG =. （Ⅲ）设平面1A BD 的法向量(,,)x y z =n ，则110,0,A D A B ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即320,330,x y z x y ⎧-++=⎪⎨-+=⎪⎩令1y =，则3,1x z ==， 所以(3,1,1)=n ，设直线1A O 与平面1A BD 所成角为θ，则sin θ=1115cos ,5A O n A O n A O n⋅<>==⋅.法2：（Ⅱ）由已知224AB CD BC ===，O 是边AB 的中点，//AB CD ，所以//CD OB ，因为90ABC ∠=，所以四边形CDOB 是正方形， 所以在图1中DO AB ⊥，所以结合题设可得，在图2中有1DO OA ⊥，DO OB ⊥， 又因为1OA OB O =，ODCBG1A zxy M所以1DO AOB ⊥平面. 又因为1OG AOB ⊂平面，所以DO OG ⊥. 若在直线m 上的点G 满足1OG A D ⊥，又1OD A D D =，所以1OG AOD ⊥平面， 所以1OG OA ⊥，因为11120,//AOB OB AG ∠=，所以160OAG ∠=， 因为12OA =，所以14A G =.（注：答案中标灰部分，实际上在前面表达的符号中已经显现出该条件，故没写不扣分） （Ⅲ）由（II ）可知1OD OA OG 、、两两垂直，如图，建立空间直角坐标系O xyz -，则10,0,0),(2,0,0),(1,3,0),(0,0,2)O A B D -（， 所以11(2,0,2),(3,3,0,)A D A B =-=- 设平面1A BD 的法向量(,,)n x y z =，则110,0,n A D n A B ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即220,330,x z x y -+=⎧⎪⎨-+=⎪⎩令1x =，则3,1y z ==，所以(1,3,1)n =，设直线1A O 与平面1A BD 所成角为θ，则 sin θ=1115cos ,5AO n AO n AO n ⋅<>==⋅.18. （本小题满分13分） 解：（Ⅰ）由已知2,b =由点(3,1)B 在椭圆G 上可得29114a +=， 解得212,23a a ==.所以2228,22c a b c =-==， 所以椭圆G 的离心率是6.3c e a == （Ⅱ）法1：因为以BC 为直径的圆经过点A ，所以AB AC ⊥，O DCBG1A zxy由斜率公式和(0,2),(3,1)A B 可得13AB k =-，所以3Ac k =，设直线AC 的方程为32y x =+. 由2232,1124y x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得2790x x +=，由题设条件可得90,7A C x x ==-，所以913()77C -,-，所以直线BC 的方程为213y x =-. 法2：因为以BC 为直径的圆经过点A ，所以AB AC ⊥，由斜率公式和(0,2),(3,1)A B 可得13AB k =-，所以3Ac k =，设C C C x y （，） ,则23C Ac Cy k x -==，即32C C y x =+① 由点C 在椭圆上可得221124C C x y +=② 将①代入②得2790C C x x +=，因为点C 不同于点A ，所以97C x =-，所以913()77C -,-，所以直线BC 的方程为213y x =-. 法3：当直线l 过点B 且斜率不存在时，可得点(3,1)C -，不满足条件.设直线BC 的方程为1(3)y k x -=-，点C C C x y （，）由2213,1124y kx k x y =+-⎧⎪⎨+=⎪⎩可得222(31)6(13)3(13)120k x k k x k ++-+--=，显然0∆>，此方程两个根是点B C 和点的横坐标，所以223(13)12331C k x k --=+，即22(13)4,31C k x k --=+所以22361,31C k k y k --+=+因为以BC 为直径的圆经过点A ， 所以AB AC ⊥，即0AB AC ⋅=. （此处用1AB AC k k ⋅=-亦可）2222963961(3,1)(,)3131k k k k AB AC k k -----⋅=-⋅=++2236128031k k k --=+，即(32)(31)0k k -+=，1221,,33k k ==-当213k =-时，即直线AB ,与已知点C 不同于点A 矛盾，所以12,3BC k k ==所以直线BC 的方程为213y x =-.19. （本小题满分14分） 解：（Ⅰ）由()ln 1af x x x =--得221'()(0)a x af x x x x x+=+=>.由已知曲线()y f x =存在斜率为1-的切线， 所以'()1f x =-存在大于零的实数根， 即20x x a ++=存在大于零的实数根， 因为2y x x a =++在0x >时单调递增， 所以实数a 的取值范围0∞（-，）.（Ⅱ）由2'()x af x x+=，0x >，a ∈R 可得 当0a ≥时，'()0f x >，所以函数()f x 的增区间为(0,)+∞； 当0a <时，若(,)x a ∈-+∞，'()0f x >，若(0,)x a ∈-，'()0f x <， 所以此时函数()f x 的增区间为(,)a -+∞，减区间为(0,)a -.（Ⅲ）由()ln x a g x x+=及题设得22ln 1('()(ln )(ln )a x f x x g x x x --==）， 由10a -<<可得01a <-<，由(Ⅱ)可知函数()f x 在(,)a -+∞上递增， 所以(1)10f a =--<，取e x =，显然e 1>，(e)lne 10e a af e=--=->， 所以存在0(1,e)x ∈满足0()0f x =，即存在0(1,e)x ∈满足0'()0g x =，所以(),'()g x g x 在区间(1,)+∞上的情况如下：x0(1,)x 0x 0(,)x +∞'()g x-0 +()g x极小所以当10a -<<时，()g x 在(1,)+∞上存在极小值. （本题所取的特殊值不唯一，注意到0(1)ax x->>），因此只需要0ln 1x ≥即可）20. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）由21n a n =+可得{}n a 为递增数列， 所以12121max{,,,}min{,,,}21322n n n n b a a a a a a a a n n =-=-=+-=-，故{}n b 的前n 项和为22(1)2n n n n -⨯=-.- （Ⅱ）因为12121max{,,,}max{,,,}(1,2,3,)n n a a a a a a n +≤=，12121min{,,,}min{,,,}(1,2,3,)n n a a a a a a n +≥=，所以1211211212max{,,,}min{,,,}max{,,,}min{,,,}n n n n a a a a a a a a a a a a ++-≥-所以1(1,2,3,)n n b b n +≥=. 又因为1110b a a =-=， 所以12121max{,,,}min{,,,}n n n n b b b b b b b b b -=-=，所以{}n b 的“收缩数列”仍是{}n b .（Ⅲ）由121(1)(1)22n n n n n n S S S a b +-+++=+(1,2,3,)n =可得 当1n =时，11a a =；当2n =时，121223a a a b +=+，即221b a a =-，所以21a a ≥；当3n =时，123133263a a a a b ++=+，即3213132()()b a a a a =-+-（*）， 若132a a a ≤<，则321b a a =-，所以由（*）可得32a a =，与32a a <矛盾；若312a a a <≤，则323b a a =-，所以由（*）可得32133()a a a a -=-，--所以3213a a a a --与同号，这与312a a a <≤矛盾； 若32a a ≥，则331b a a =-，由（*）可得32a a =. 猜想：满足121(1)(1)22n n n n n n S S S a b +-+++=+(1,2,3,)n =的数列{}n a 是： 1212,1,,1,n a n a a a a n =⎧=≥⎨>⎩.经验证，左式=121212(1)[12(1)]2n n n S S S na n a na a -+++=++++-=+， 右式=112112(1)(1)(1)(1)(1)()22222n n n n n n n n n n n a b a a a na a +-+--+=+-=+.下面证明其它数列都不满足（Ⅲ）的题设条件.法1：由上述3n ≤时的情况可知，3n ≤时，1212,1,,1,n a n a a a a n =⎧=≥⎨>⎩是成立的.假设k a 是首次不符合1212,1,,1,n a n a a a a n =⎧=≥⎨>⎩的项，则1231k k a a a a a -≤===≠，由题设条件可得2212(1)(1)222k k k k k k k k a a a b ----+=+（*）， 若12k a a a ≤<，则由（*）式化简可得2k a a =与2k a a <矛盾； 若12k a a a <≤，则2k k b a a =-，所以由（*）可得21(1)()2k k k k a a a a --=- 所以21k k a a a a --与同号，这与12k a a a <≤矛盾； 所以2k a a ≥，则1k k b a a =-，所以由（*）化简可得2k a a =.这与假设2k a a ≠矛盾.所以不存在数列不满足1212,1,,1,n a n a a a a n =⎧=≥⎨>⎩的{}n a 符合题设条件.法2：当i n ≤时，11212max{,,,}min{,,,}i i i i a a a a a a a a b -≤-=，所以1121()ki k i a a b b b =-≤+++∑，(1,2,3,,)k n =即112()k k S ka b b b ≤++++，(1,2,3,,)k n =由1(1,2,3,)n n b b n +≥=可得(1,2,3,,)k n b b k n ≤=又10b =，所以可得1(1)k n S ka k b ≤+-(1,2,3,)k =， 所以12111(2)[02(1)]n n n n n S S S a a na b b b n b +++≤++++⨯++++-，--即121(1)(1)22n n n n n nS S S a b +-+++≤+ 所以121(1)(1)22n n n n n n S S S a b +-+++≤+等号成立的条件是1(1,2,3,,)i i n a a b b i n -===，所以，所有满足该条件的数列{}n a 为1212,1,,1,n a n a a a a n =⎧=≥⎨>⎩.（说明：各题的其他做法，可对着参考答案的评分标准相应给分）精品文档考试教学资料施工组织设计方案。

海淀区2017-2018学年高三年级第一学期期中练习数 学（理科）本试卷共4页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上 作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1. 已知集合{2}A x x =>，{(1)(3)0}B x x x =--<，则A B =A. {1}x x >B. {23}x x <<C. {13}x x <<D. {2x x >或1}x < 2. 已知向量(1,2),(2,4)=-=-a b ，则a 与b A. 垂直 B. 不垂直也不平行 C. 平行且同向D. 平行且反向3. 函数222x xy =+的最小值为A. 1B. 2C. D. 44. 已知:p 0c ∃>，方程20x x c -+= 有解，则p ⌝为 A. 0c ∀>，方程20x x c -+=无解 B. c ∀≤0，方程20x x c -+=有解 C. 0c ∃>，方程20x x c -+=无解 D. c ∃≤0，方程20x x c -+=有解5. 已知函数,,log x b c y a y x y x ===的图象如图所示，则A. a b c >>B. a c b >>C. c a b >>D. c b a >> 6. 设,a b 是两个向量，则“+>-a b a b ”是“0⋅>a b ”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件7. 已知函数42()cos sin f x x x =+，下列结论中错误．．的是 A. ()f x 是偶函数 B. 函数()f x 最小值为34C.π2是函数()f x 的一个周期 D. 函数()f x 在π0,2（）内是减函数 8．如图所示，A 是函数()2x f x =的图象上的动点，过点A 作直线平行于x 轴，交函数2()2x g x +=的图象于点B ，若函数()2x f x =的图象上存在点C 使得ABC ∆为等边三角形，则称A 为函数()2x f x =上的好位置点. 函数()2x f x =上的好位置点的个数为A. 0B. 1C. 2D. 大于2第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

海淀区高三年级第一学期期中练习数学（文科）本试卷共4页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上 作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1. 已知集合{2}A x x =>，{(1)(3)0}B x x x =--<，则AB =A.{1}x x >B.{23}x x <<C.{13}x x <<D.{2x x >或1}x < 2. 已知向量(1,),(2,4)x =-=-a b . 若a b ，则的值为A.2-B.12-C.12D.2 3. 已知命题p ：0x ∀>，1x x+≥2命题q ：若a b >，则ac bc >.下列命题为真命题的是 A.q B.p ⌝ C. p q ∨ D.p q ∧ 4.若角θ的终边过点(3,4)P -，则tan(π)θ+= A.34 B.34- C.43 D.43-5.已知函数,log a b y x y x ==的图象如图所示，则 A.1b a >> B.1b a >> C.1a b >> D.1a b >>6. 设,a b 是两个向量，则“+>-a b a b ”是“0⋅>a b ”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7. 给定条件：①0x ∃∈R ,00()()f x f x -=-；②x ∀∈R ,(1)(1)f x f x -=+的函数个数是下列三个函数：3,|1|,cos πy x y x y x ==-=中，同时满足条件①②的函数个数是A ．0B ．1C ．2D ．38．已知定义在R 上的函数若方程1()2f x =有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是A.1122a -≤≤ B.102a ≤< C.01a ≤< D.12a -<≤第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。