广东省中山市第一中学2017-2018学年高二下学期第三次统测(期末模拟)数学试卷(理)

上学期高二数学期末模拟试题03（考试时间：120分钟 总分：160分）一、填空题：本大题共14小题，每题5分，共70分.请把答案填写在答题纸相应位置上．．．．．．．．．．．．．．．. 1.抛物线24y x =的准线方程是 . 2.命题“01,2>+∈∀x R x ”的否定是 ．3.在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C ：2221x y a-=（0a >）的一条渐近线与直线l ：210x y -+=垂直，则实数=a .4.在等差数列}{n a 中，已知13,2321=+=a a a ,则=++654a a a ．5.若△ABC 的内角C B A ,,所对的边c b a ,,满足4)(22=-+c b a ，且角C=60°，则ab 的值为 ．6.原命题：“设2,,ac b a R c b a 则若、、>∈＞bc 2”则它的逆命题的真假为 ．7．若方程22171x y k k +=--表示焦点在y 轴上的椭圆，则k 的取值范围是 ． 8.在数列}{n a 中，Bn An a a a n a n n +=+++-=221,254 ，*N n ∈，其中B A ,为常数，则B A ,的积AB 等于 ．9.在各边长均为1的平行六面体1111D C B A ABCD —中，M 为上底面1111D C B A 的中心，且AB AD AA ,,1每两条的夹角都是60º，则向量AM 的长=|| ．10.已知023:)(2>++x ax x P ，若)(,x P R x ∈∀是真命题，则实数a 的取值范围是___．11.椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点为F ，其右准线与x 轴的交点为A .在椭圆上存在点P 满足线段AP 的垂直平分线过点F ，则椭圆离心率的取值范围是 ．12.在算式“1×口＋4×口＝30”的两个口中，分别填入两个自然数，使它们的倒数之和最小，则这两个数的和为________．13.给出下列四个命题：①若a ＞b ＞0，则1a ＞1b ；②若a ＞b ＞0，则a －1a ＞b －1b；③若a ＞b ＞0，则2a ＋b a ＋2b ＞a b ；④若a ＞0，b ＞0，且2a ＋b ＝1，则2a ＋1b 的最小值为9.其中正确命题的序号是______．(把你认为正确命题的序号都填上)14.将n 个正整数1, 2, 3, …，n (n ∈N *)分成两组，使得每组中没有两个数的和是一个完全平方数，且这两组数中没有相同的数. 那么n 的最大值是 ．二、解答题：（本大题共6小题，计90分．请把答案填写在答题纸相应位置上．．．．．．．．．．．．．．．, ．解答应写出．．．．．必要的文字说明、证明过程或演算步骤．．．．．．．．．．．．．．．．．） 15．(本题满分14分）已知公比为3的等比数列{}n b 与数列{}n a 满足*,3N n b n an ∈=，且11=a ，（1）判断{}n a 是何种数列，并给出证明； （2）若11+=n n n a a C ，求数列{}n C 的前n 项和16．(本题满分14分）已知△ABC 中，D 在边BC 上，且60,1,2=∠==B DC BD o，150=∠ADC o． （1）求AC 的长；（2）求△ABC 的面积．17．(本题满分14分）如图，正三棱锥ABC —A 1B 1C 1的底面边长为aa ，M 是A 1B 1的中点．（I ）求证：1MC 是平面ABB 1A 1的一个法向量； （II ）求AC 1与侧面ABB 1A 1所成的角．18．(本题满分16分）已知椭圆C ：x 2 a 2 +y 2 b 2 =1(a ＞b ＞0)的离心率为1 2 ，且经过点P (1，32)。

中山一中2017-2018学年上学期高一级第三次段考数学试卷第Ⅰ卷（共60分）一、选择题（共12个小题,每小题5分，共60分．每题只有一项是符合题目要求．）1．设集合{}|24xA x =≤，集合{}|lg(1)B x y x ==-，则AB 等于 ( )A ．(1,2)B ．(1,2]C ．[1,2)D ．[1,2]2．已知函数⎩⎨⎧≤>=0,20,log )(3x x x x f x ，则))91((f f = （ ）A ．12 B ．14 C ．16 D ．183．已知两直线0243:1=-+y x l 与038:2=--y ax l 平行，则a 的值是（ ） A ．3 B ．4 C ．6- D ． 6 4．若a ，b 是异面直线，直线c ∥a ，则c 与b 的位置关系是（ ） A ．相交 B ．异面 C ．平行 D ．异面或相交5．棱长都是1的三棱锥的表面积为( )A ．3B ．23C ．33D ．436．如果一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是( )A ．2＋1B ．221＋ C ．22＋2 D ．2＋2 7．半径为R 的球内接一个正方体，则该正方体的体积是（ ）A. 3B.343R πC. 3D. 39R 8．已知函数()f x 的图像是连续不断的，有如下x ，()f x 对应值表：函数()f x 在区间[1,6]上有零点至少有（ ）A ． 2个B. 3个 C .4个D. 5个9．在长方体1111ABCD A BC D -中，13AA =，4AD =，5AB =，由A 在表面到达1C 的最短行程为（ ）A ．12BCD ．C 1A 110．给出下列四个说法：①过平面外一点有且仅有一个平面与已知平面垂直；②过直线外一点有且仅有一个平面与已知直线平行；③过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线垂直；④过平面外一点有且仅有一条直线与已知平面垂直．其中正确的个数为（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个11．已知函数2()2f x x x =-，()2(0)g x ax a =+>，且对任意的1[1,2]x ∈-，都存在2[1,2]x ∈-，使21()()f x g x =，则实数a 的取值范围是 （ ）A ．[3，＋∞)B ．(0,3]C ．⎣⎡⎦⎤12，3D ．⎝⎛⎦⎤0，1212．若1(1)2(2)3log log log 0a a a x x x ++==>，则123,,x x x 之间的大小关系为（ ）A ．1x <2x <3xB ．2x <1x <3xC ．1x <3x <2xD ．3x <2x <1x第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每小题5分，满分20分.）13．空间四边形ABCD 中，P 、R 分别是AB 、CD 的中点，PR =3、AC = 4、BD =那么AC 与BD 所成角的度数是_________．14．如图，正四棱锥V ABCD -中，高为2，底面ABCD 是边长为4则二面角V AB C --的平面角为 ．15．过点()2,1且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为 ． 16．已知两条不同直线m 、n ，两个不同平面α、β，给出下列： ①若l 垂直于α内的两条相交直线，则l ⊥α；②若a ∥α，则 a 平行于α内的所有直线； ③若m ⊂α，n ⊂β且α∥β，则m ∥n ； ④若l ⊂β，α⊥l ，则α⊥β；其中正确的序号是 ．（把你认为正确的序号都填上）B1A三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（本小题满分10分）如图，是一个几何体的三视图，正视图和侧视图都是由一个边长为2的等边三角形和一个长为2宽为1的矩形组成．（1）说明该几何体是由哪些简单的几何体组成；（2）求该几何体的表面积与体积．18．（本小题满分12分）（1）求值：73log2043log7162015+-；（2）设函数()f x是定义在R上的偶函数，且)2()(-=xfxf，当[0,1]x∈时，()21f x x=+，求)23(f的值.19．（本小题满分12分）如图，三棱柱111ABC A B C-中，侧棱垂直底面，∠ACB=90°，112AC BC AA==，D是棱1AA的中点（1）证明：平面1BDC⊥平面BDC；（2）平面1BDC分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比.20．（本小题满分12分）已知两点)1,1(-A，)3,3(B．（1）求直线AB的方程；（2）求线段AB的垂直平分线l的直线方程．21．（本小题满分14分）如图，正四棱锥S ABCD-的底面是边长为a正方形，O为底面P为侧棱SD上的点.（1）求证：AC⊥SD；（2）若SD⊥平面PAC，F为SD中点，求证：BF∥平面PAC；（3）在（2）的条件下，侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC．若存在，求SE：EC的值；若不存在，试说明理由．FHBD22．（本小题满分10分）如图，有一块矩形空地ABCD ，要在这块空地上开辟一个内接四边形EFGH 为绿地，使其四个顶点分别落在矩形的四条边上．已知(2)AB a a =>，2BC =，且AE AH CF CG ===，设AE x =，绿地EFGH 面积为y ．（1）写出y 关于x 的函数解析式，并求出它的定义域；（2）当AE 为何值时，绿地面积y 最大？并求出最大值．中山一中15-16上高一级第三次段考数学试题参考答案一、选择题：1-5：BBCDA 6-10：DCBBB 11-12：DA二、填空题： 13．090 14．045 15．03=-+y x 或x y 2= 16．①④三、解答题 17．（满分10分）解：（1）由三视图知，该三视图对应的几何体为一个底面直径为2,母线长为2的圆锥与一个长宽都为2高为1的长方体组成的组合体。

广东省中山市第一中学2018-2019学年高二下学期第二次统测理数试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知i 为虚数单位，复数z 满足()11z i +=，则z 的共轭复数z =( )A ．1122i + B ．1122i - C ．1122i -+ D ．1122i -- 2.已知随机变量X 的分布列为()13P X k ==，1,2,3k =，则()35D X +等于( )A ．6 B.9 C.3 D.43.用数学归纳法证明“当n 为正奇数时，nnx y +能被x y +整除”，第二步归纳假设应该写成( )A ．假设当()*n k k N =∈时，k kx y +能被x y +整除 B.假设当()*2n k k N =∈时，k kx y +能被x y +整除 C.假设当()*21n k k N =+∈时，kk x y +能被x y +整除D.假设当()*21n k k N=-∈时，2121k k xy--+能被x y +整除4.曲线(2sin 0)y x x π=≤≤与直线1y =围成的封闭图形的面积为( )A ．43π B. 23π C.43π D.23π5.随机变量a 服从正态分布()21,N σ，且()010.3000P a <<=.已知0,1a a >≠，则函数1xy a a =+-图象不经过第二象限的概率为( ) A.0.3750 B.0.3000 C.0.2500 D.0.20006.有6 名学生，其中有3 名会唱歌，2 名会跳舞，1名既会唱歌又会跳舞，现从中选出2 名会唱歌的，1名会跳舞的，去参加文艺演出，求所有不同的选法种数为( ) A.18 B.15 C.16 D.257.利用独立性检验的方法调查大学生的性别与爱好某项运动是否有关，通过随机询问110名不同的大学生是否爱好某项运动，利用22⨯列联表，由计算可得28.806K ≈参照附表，得到的正确结论是( )A.有99.5%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”B.有99.5% 以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”C.在犯错误的概率不超过0.05%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”D.在犯错误的概率不超过0.05%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”8.某体育彩票规定: 从01到36个号中抽出7个号为一注，每注2元．某人想先选定吉利号18，然后再从01到17个号中选出3个连续的号，从19到29个号中选出2 个连续的号，从30到36个号中选出1个号组成一注．若这个人要把这种要求的号全买，至少要花的钱数为( )A.2000元B.3200 元C.1800元D.2100元 9.若()230123354x a a x a x a x +=+++，则()()0213a a a a +-+=( )A.-1B.1C.2D.-210.将三颗骰子各掷一次，设事件A =“三个点数都不相同”，B =“至少出现一个6 点”，则概率()|P A B 等于( ) A.6091 B.12 C.518 D.9121611.ABC 的三边长分别为,,a b c ，ABC 的面积为S ，内切圆半径为r ，则2Sr a b c=++；类比这个结论可知: 四面体 P ABC -的四个面的面积分别为1234S S S S 、、、，内切球的半径为R ，四面体P ABC -的体积为V ，R =( ) A.1234V S S S S +++ B.12342VS S S S +++C.12343V S S S S +++ D.12344VS S S S +++12.已知函数()2ln f x x x x =++.正实数12,x x 满足()()12120f x f x x x ++=，则下述结论中正确的一项是( )A.12x x +≥B.12x x +<C. 12x x +≥D.12x x +< 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.设()22521545a z a a i a a -=++-+-为实数时，实数a 的值是 ． 14.若8(ax 的展开式中2x 项的系数为70，则a 的值为 ． 15.4 名学生被中大、华工、华师录取，若每所大学至少要录取1名，则共有不同的录取方法 ．16.将集合{22|0,,}tss t s t Z +≤<∈且中所有的数按照上小下大，左小右大的原则写成如下的三角形表:则该数表中，从小到大第50个数为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程是)4(cos πρθ-=C 的极坐标方程是4sin ρθ=.(1) 求l 与C 交点的极坐标；(2) 设P 为C 的圆心，Q 为l 与C 交点连线的中点，已知直线PQ 的参数方程是1x a y ⎧=⎪⎨=⎪⎩(t 为参数)，求,a b 的值. 18.在数列{}n a 中，11a =，()1121n n n a ca c n ++=++()n N *∈，其中实数0c ≠．(1)求23,a a ，并由此归纳出{}n a 的通项公式； (2) 用数学归纳法证明(Ⅰ)的结论．19.某地区2007年至2013年农村居民家庭人均纯收入y (单位:千元)的数据如表:(1) 求y 关于t 的线性回归方程；(2) 利用(Ⅰ)中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015 年农村居民家庭人均纯收入. 附:回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:^121()()()nii i nii tt y y b tt ==--=-∑∑，^^a y bt =-20.(1)已知01,01,01a b c <<<<<<，用分析法证明:11a b c abcab bc ca+++≤+++；(2)已知0a b c ++>，0ab bc ca ++>且0abc >，用反证法证明: ,,a b c 都大于零． 21.将编号为1、2、3、4的四个小球随机的放入编号为1、2、3、4的四个纸箱中，每个纸箱有且只有一个小球，称此为一轮“放球”．设一轮“放球”后编号为()1,2,3,4i i =的纸箱放入的小球编号为i a ，定义吻合度误差为12|1||2|X a a =-+-34|3||4|a a +-+- (1) 写出吻合度误差X 的可能值集合；(2) 假设1234,,,a a a a 等可能地为1，2，3，4的各种排列，求吻合度误差X 的分布列； (3)某人连续进行了四轮“放球”，若都满足37X <<，试按(Ⅱ)中的结果，计算出现这种现象的概率(假定各轮“放球”相互独立)； 22.已知函数()()2ln 21f x a x x a x =+-+.(1) 若函数()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程为30x y ++=，求a 的值； (2) 若1a >，求函数()f x 在区间[]1,e 上的最小值()g a ；(3) 对任意的120x x <<，都有1122()()f x x f x x +<+，求正实数a 的取值范围.广东省中山市第一中学2018-2019学年高二下学期第二次统测理数试题答案一、选择题1-5:AADBC 6-10:BBDAA 11、12：CA 二、填空题13.3 14.1± 15.36种 16.1056 三、解答题 17.【解答】(1) 4sin ρθ=代入cos()4πρθ-=，得2sin cos cos θθθ=.所以cos 0θ=或tan 1θ=，取2πθ=，4πθ=．再由4sin ρθ=得4ρ=，或ρ=所以l 与C 交点的极坐标是(4,)2π，或)4π. (2)参数方程化为普通方程得()12by x a =-+.由(Ⅰ)得,P Q 的直角坐标分别是()0,2，()1,3，代入解得1,2a b =-=.18.【解答】(1) 由11a =，及11(21)n n n a ca c n ++=++()n N *∈ 得222213(21)a ca c c c =+⋅=-+，332(221)a ca c =+⨯+=223[(21)](221)c c c c -++⨯+232(31)c c =-+于是猜测: 21(1)n n n a n c c -=-+()n N *∈(2)下面用数学归纳法予以证明:01当1n =时，由21111(11)a c c -==-+显然结论成立．02假设n k =时结论成立，即21(1)k k k a k c c -=-+那么，当1n k =+时，由11(21)k k k a ca c k ++=++21[(1)]k k c k c c -=-+1(21)k c k +++21(2)k k k k c c +=++21[(1)1]k k k c c +=+-+显然结论成立．由01、02知，对任何n N *∈都有21(1)n n n a n c c -=-+()n N *∈19.【解答】 (1) 由题意，()1123456747t =⨯++++++=， ()12.93.3 3.64.4 4.85.2 5.9 4.37y =⨯++++++=，()()()()()()^3 1.42110.700.110.520.9319410149b -⨯-+-⨯-+-⨯-+⨯+⨯+⨯+⨯=++++++140.528==， ^^2.3a y bt =-=∴y 关于t 的线性回归方程为^0.5 2.3t y +=．(2) 由(1)知0.50b =>，故2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加0.5 千元.将2015年的年份代号9t =代入^0.5 2.3t y +=得: ^6.8y = 故预测该地区2015 年农村居民家庭人均纯收入为6.8千元. 20.【解答】(1)因为01,01,01a b c <<<<<< 欲使11a b c abcab bc ca+++≤+++a b c abc ≤⇔+++1ab bc ca +++()()()111a b a c a ⇔-----()10bc a +-≤⇔()()()1110a b c ---≤由已知得最后一个不等式成立， 故原不等式成立；(2) 假设,,a b c 不都大于零，即至少有一个小于零或等于零 (ⅰ) 若某一个等于零，由0abc =，与0abc >矛盾． (ⅱ) 若某一个小于零，不妨设0a <，由0abc >，得0bc <由0a b c ++>，得0b c a +>->，那么()0a b c -+>，得()0a b c +<， 即0ab ac +<，结合0bc <，得0ab bc ca ++<与0ab bc ca ++>矛盾． 结合(1)、(2) 知,,a b c 都大于零． 21.【解答】(1) 由于在1、2、3、4中奇数与偶数各有两个，所以24,a a 中的奇数的个数与13,a a 中偶数的个数相同．因此，13|||1|1a a +--与24|||1|1a a +--的奇偶性相同，从而吻合度误差1234||2||3||4||1a a a X a +-+-+-=-只能是偶数，又因为X 的值非负且值不大于8．因此，吻合度误差X 的可能值集合{0,2,4,6,8}.(2)用1234(,,,)a a a a 表示编号为1、2、3、4的四个纸箱中放入的小球编号分别为1234,,,a a a a ，则所有可能的结果如下:()()()1,2,3,4 1,2,4,3 1,3,2,4()()() 1,3,4,2 1,4,3,2 1,4,2,3 ()()()2,1,3,4 2,1,4,3 2,3,1,4()()() 2,3,4,1 2,4,3,1 2,3,1,4 ()()()3,1,2,43,1,4,2 3,2,1,4()()() 3,2,4,1 3,4,2,1 3,4,1,2 ()()()4,1,2,3 4,1,3,2 4,2,1,3 ()()()4,2,1,3 4,3,2,1 4,3,1,2易得()1024P X ==，()3224P X ==，()7424P X ==， ()9624P X ==，()4824P X ==于是，吻合度误差X 的分布列如下:(3)首先，()37P X <<=()()46P X P X =+=24243=+= 由上述结果和独立性假设，可得出现这种现象的概率为4216()381P ==22.【解答】 (1)()()221a x x a xf =+-+'，函数()f x 点(1,(1))f 处的切线斜率为1k a =-，在点(1,(1))f 处的切线方程为30x y ++=，则11a -=-，计算得出2a =；(2) ()()221af x x a x'=+-+()2221x a x a x -++=，令()'0f x =得12x =（舍）或x a =， 当1a e <<时，()f x 在[1,]a 单调递减，在[],a e 上单调递增所以2min [()]()ln f x f a a a a a ==--+；当a e ≥时，()f x 在[1,]e 上单调递减，所以2min [()]()2f x f e ae e a e ==--+.即有当1a e <<时，()2ln g a a a a a =--+；当a e ≥时，()22a e ae e a g =--+.(3)对任意的120x x <<，都有()()1212x f x f x x +<+，即为()()g x f x x =+在()0,+∞递增．因为()2ln 2g x a x x ax =+-，()22ax x a xg =+-'，()0x g ≥'在()0,+∞恒成立， 即有2220x ax a -+≥在 0x >恒成立，即有令()222h x x ax a =-+，对称轴02a x >=，()00a h =>，则判别式0≤，即2480a a -≤，计算得出02a <≤．则有a 的取值范围为(]0.2.。

参考答案题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案BBCABDBAACDA13. 132y =-14. 1|,12x x x ⎧⎫<>⎨⎬⎩⎭或 15. 12 16. ()0,+∞ 17. 解：（1）∵，由正弦定理得： ，即，．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分 化简得：，∴．．．．．．．．．．．．．．．．4分 在中，，∴，得．．．．．．．．．5分 （2）在ABC ∆中，1cos 7B =，得43sin 7B = ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 则()3114353sin sin 272714C A B =+=⨯+⨯=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分 由正弦定理得sin 7sin 5a A c C == ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分 设7,5a x c x ==，在ABD ∆中，由余弦定理得： 2222cos AD AB BD AB BD B =+-⋅，则2212911125492574427x x x x =+⨯-⨯⨯⨯⨯，解得1x =， 即7,5a c == ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分 故1sin 1032ABC S ac B ∆== ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 18．解：（1）因为22n n T a =-，所以1122T T =-，即123T =，所以1132T = 又122(2)nn n T T n T -=-≥，所以1122(2)n n n n T T T T n --=-≥， 即1111(2)2n n n T T --=≥， cos 3sin 0a C a C b c +--=sin cos 3sin sin sin sin A C A C B C +=+()sin cos 3sin sin sin sinC A C A C A C +=++3sin cos 1A A -=()01sin 302A -=ABC ∆000180A <<003030A -=060A =所以数列1n T ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以32为首项，以12为公差的等差数列. ．．．．．．．．．．．．．．．6分 （2）由（1）知1312(1)222n n n T +=+-⨯=，所以222(32)232322n b n n n n n n ===+-+++++++所以2(43)2(54)2(32)2(33)n S n n n =-+-+++-+=+- ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 19．解：（Ⅰ）当时，， 当时，，综上，日盈利额（万元）与日产量（万件）的函数关系为：．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分（Ⅱ）由（I ）知，当时，每天的盈利额为0当时，当且仅当时取等号 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分所以当时，，此时 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分当时，由知函数在上递增，，此时 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．11分x c >23P =1221033T x x ∴=⋅-⋅=1x c ≤≤16P x=-21192(1)2()1666x x T x x x x x -∴=-⋅⋅-⋅⋅=---T x 292,160,x x x c T xx c ⎧-≤≤⎪=-⎨⎪>⎩x c >1x c ≤≤2926x x T x-=-9152[(6)]6x x =--+-15123≤-=3x =()i 36c ≤<max 3T =3x =()ii 13c ≤<222224542(3)(9)(6)(6)x x x x T x x -+--'==--2926x x T x-=-[1,3]2max926c c T c-∴=-x c =综上，若，则当日产量为3万件时，可获得最大利润若，则当日产量为万件时，可获得最大利润．．．．12分 20．（Ⅰ）证明：由已知得EF //CD ，且=EF CD .因为ABCD 为等腰梯形，所以有BG //CD . 因为G 是棱AB 的中点，所以=BG CD ． 所以EF //BG ，且=EF BG ， 故四边形EFBG 为平行四边形,所以EG //FB . ………………2分 因为FB ⊂平面BDF ，EG ⊄平面BDF ，所以EG //平面BDF ． ………………4分（Ⅱ）解：因为四边形CDEF 为正方形，所以ED DC ⊥.因为平面CDEF ⊥平面ABCD ， 平面CDEF 平面ABCD DC =， DE ⊂平面CDEF ，所以ED ⊥平面ABCD .在△ABD 中，因为60DAB ︒∠=，22AB AD ==，所以由余弦定理，得3BD =，所以AD BD ⊥．……………6分在等腰梯形ABCD 中，可得1DC CB ==. 如图,以D 为原点，以DA DB DE ，，所在直线分别为,,x y z 轴， 建立空间坐标系， ………………7分则(0,0,0)D ，(1,0,0)A ， (0,0,1)E ，(0,3,0)B ，13(,,1)22F - ， 所以(1,0,1)AE =- ，13(,,1)22DF =- ，(0,3,0)DB = .设平面BDF 的法向量为(,,)x y z =n ，由00.DB DF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，n n所以3013022y x y z ⎧=⎪⎨-++=⎪⎩，取1z =，则2,0x y ==，得(2,0,1)=n ．…10分 设直线AE 与平面BDF 所成的角为θ，36c ≤<13c ≤<c yzxCBFE DAG则sin cos ,AE AE AE θ⋅=〈〉=⋅ n n n1010= …………11分 所以AE 与平面BDF 所成的角的正弦值为1010. …………12分 21．解：（1）()f x 的定义域为()0,+∞，()2222111a x ax f x x x x-+'=+-=， 令()21g x x ax =-+，其判别式24a ∆=- ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分①当2a ≤时，()0,0f x '∆≤≥，故()f x 在()0,+∞上单调递增，②当2a <-时，()0,=0g x ∆>的两根都小于0，在()0,+∞上，()0f x '>， 故()f x 在()0,+∞上单调递增，③当2a >时，()0,0g x ∆>=的两根为221244,22a a a a x x --+-==， 当10x x <<时，()0f x '>；当12x x x <<时，()0f x '<；当2x x >时，()0f x '>， 故()f x 分别在()()120,,x x +∞，上单调递增，在()12,x x 上单调递减．．．6分 （2）由（1）知，2a >．因为()()()()1212121212ln ln x x f x f x x x a x x x x --=-+--， 所以()()1212121212ln ln 11f x f x x x k a x x x x x x --==+-⋅--，又由（1）知，121x x =．于是1212ln ln 2x x k a x x -=-⋅-．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分若存在a ，使得2k a =-．则1212ln ln 1x x x x -=-．即1212ln ln x x x x -=-，亦即()222212ln 01x x x x --=>（*） ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 再由（1）知，函数()12ln h t t t t=--在()0,+∞上单调递增，而21x >， 所以222112ln 12ln101x x x -->--=．这与（*）式矛盾，故不存在a ，使得2k a =- ．．．．．12分22．（1）由题意，离心率，所以，所以， 故椭圆的方程为，将点代入，求得， 所以椭圆的标准方程为； ……………2分 （2）①设直线的方程为，则由题意直线的方程为，由 ，得， 所以点的坐标为， ……………………4分 同理可求得点的坐标为． ……………………6分 所以直线的斜率为． ……………8分 ②设，两点到直线的距离分别为，因为点在第一象限，则点必在第三象限，所以，且点、分别在直线的上、下两侧， 所以，，从而， ， 所以，……10分令，则， 32c e a ==23c a =224a b =22244x y b +=3(1,)221b =2214x y +=BQ 1y kx =+AP (2)y k x =--22114y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩22(14)80k x kx ++=Q 222814(,)1414k k k k--++P 222824(,)1414k k k k -++l 222222221441441141488288221414k k k k k k k k k k k k ----++==---+--++P Q AB 12,d d P Q 12k >P Q :220AB x y +-=220P P x y +->220Q Q x y +-<2221828222141455P P k k x y k k d -+-+-++==2222828222141455Q Q k k x y k k d --++-++=-=22222112222222282828282(14)2114148288(28)2(14)4221414k k S d k k k k k k k k S d k k k k k k k -+--+-+-++====---+++-+++21(0)k t t -=>122222111322242(1)1322233S k t t S k k t t t t t t-====≤=-+++++++++当且仅当，即，即时，有最大值为．……12分2t t=2t =212k +=12S S 322-。

广东省中山市2017-2018学年高一下学期期末水平测试数学试卷 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知扇形的圆心角为2rad ，半径为2cm ，则这个扇形的面积是（ ） A ．42cm B ．4π2cm C ．2 2cm D ．1 2cm2.已知2sin 3α=，则cos 2πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．3-B ．23-C ．3D ．233.下列各组向量中，能作为平面上一组基底的是（ ） A ．()10,2e =，()20,1e =- B ．()12,1e =，()20,0e =C ．()13,1e =，255,3e ⎛⎫= ⎪⎝⎭D ．()12,1e =-，()24,2e =4.如图所示，向量OA a =，OB b =，OC c =，A 、B 、C 在一条直线上，且4AC BC =，则（ ）A ．1322ca b =+ B ．3122c a b =- C ．2c a b =-+ D ．1433ca b =-+5.如图，在半径为4的大圆中有三个小半圆1O ，2O ，3O ，其半径分别为1，2，1，若在大圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（ ）A ．716B ．58C ．38D ．146.执行如图所示的程序框图，若输入n 的值为5，则输S 出的值为（ ）A ．9B ．10C ．11D ．127.在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩（单位：分钟）如图所示：若将运动员按成绩好到差编为1-35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[]139,151上的运动员人数是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6 8.已知函数()()sin f x A x ωϕ=+（0A >，0ω>，πϕπ-<<）的部分图象如图所示，为了得到()2gx x =的图象，只需将()f x 的图象（ ）A ．向左平移23π个单位长度 B ．向左平移3π个单位长度 C ．向右平移23π个单位长度 D ．向右平移3π个单位长度 9.《周易》历被人们视作儒家群经之首，它表现了古代中华民族对万事万物的深刻而又朴素的认识，是中华人文文化的基础，它反映出中国古代的二进制计数的思想方法，我们用近代术语解释为：把阳爻“------”当作数字“1”，把阴爻“--- ---”当作数字“0”，则八卦代表的数表示如下：以此类推，则六十四卦中的“屯”卦，符号“”表示的十进制数是（ ）A ．18B ．17C ．16D ．15 10.已知()111,P x y ，()222,P x y 是以原点O 为圆心的单位圆上的两点，12POP θ∠=（θ为钝角），若3sin 45πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则1212x x y y +的值为（ ）A ．5 B ．10 C ．10- D ．10-11.过点()3,0P -作直线()20ax a b y b +++=（a ，b 不同时为0）的垂线，垂足为M ，点()2,3N，则MN 的取值范围是（ ）A ．5⎡-+⎣B ．)5⎡-⎣C ．(5,5+D ．(0,5+12.已知函数()()f x x ωϕ=+（其中0ω>，ϕ为常数）的图像关于直线2x π=对称且318f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，在区间3,84ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调，则ω可能取数值的个数为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.设向量()1,2a =，()1,b x =-，若a 与b 垂直，则x 的值为 ．14.天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为40%，现部门通过设计模拟实验的方法研究三天中恰有两天下雨的概率：先利用计算器产生0到9之间取整数值的随机数，用1，2，3，4表示下雨，其余6个数字表示不下雨：产生了20组随机数：则这三天中恰有两天降雨的概率约为 ．15.当曲线1y=与直线240kx y k --+=有两个相异的交点时，实数k 的取值范围是 ．16.平面四边形ABCD 中，AC BD ⊥且2AC =，3BD =，则AC CD 的最小值为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.已知点()3,1M，圆()()22124x y -+-=.（1）求过点M 的圆的切线方程；（2）若直线40ax y -+=与圆相交于A 、B 两点，且弦AB 的长为，求a 的值.18.已知4a =，3b =，()()23261a b a b -+=.（1）求向量a 与b 向量的夹角； （2）求a b +.19.“你低碳了吗？”这是某市为倡导建设节约型社会而发布的公益广告里的一句话，活动组织者为了了解这则广告的宣传效果，随机抽取了120名年龄在[)10,20，[)20,30，…，[)50,60的市民进行问卷调查，由此得到的样本的频率分布直方图如图所示.（1）根据直方图填写频率分布统计表；（2）根据直方图，试估计受访市民年龄的中位数（保留整数）； （3）如果按分层抽样的方法，在受访市民样本年龄在[)40,60中共抽取5名市民，再从这5人中随机选2人作为本次活动的获奖者，求年龄在[)40,50和[)50,60的受访市民恰好各有一人获奖的概率.20.设函数()2cos 22cos 3f x x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，x R ∈. （1）求函数()f x 的单调递减区间；（2）将函数()f x 的图像向右平移3π个单位长度后得到函数()gx 的图像，求函数在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的取值范围. 21.某企业为了对新研发的一批产品进行合理定价，将产品按事先拟定的价格进行试销，得到一组销售数据(),i i x y （1,2,,6i =），如表所示：（1）求的值q ；（2）已知变量x ，y 具有线性相关性，求产品销量y 关于试销单价x 的线性回归方程y bx a =+，可供选择的数据613050i i i x y ==∑，621271i i x ==∑.（3）用y 表示（2）中所求的线性回归方程得到的与i x 对应的产品销量的估计值，当销售数据(),i i x y （1,2,,6i =）对应的残差的绝对值1i i y y -≤时，则将销售数据(),i i x y 称为一个“好数据”，试求这6组销售数据中的“好数据”.参考数据：线性回归方程中b ，a 的最小二乘法估计公式分别是1221ni ii ni i x y nx yb x nx ==-=-∑∑，a y bx =-.22.定义非零向量(),OM a b =的“相伴函数”为()sin cos f x a x b x =+（x R ∈），向量(),OMa b=称为函数()sin cos f x a x b x =+的“相伴向量”（其中O 为坐标原点），记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为S . （1）已知()()cos 2cos 6hx x x πα⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭（R α∈），求证：()h x R ∈，并求函数()h x 的“相伴向量”模的取值范围；（2）已知点(),OM a b =（0b ≠）满足(()2211a b +-=，向量OM 的 “相伴函数”()f x 在0x x =处取得最大值，当点M 运动时，求0tan 2x 的取值范围.试卷答案一、选择题1-5 ABDDA 6-10 CBBBD 11、12：AA 二、填空题 13.12 14. 1415. 53,124⎛⎤⎥⎝⎦16. 134- 三、解答题17. 解：（1）由圆的方程得到圆心()1,2，半径2r =，当直线斜率不存在时，方程3x =与圆相切，当直线斜率存在时，设方程为()13y k x -=-，即130kx y k -+-=，2=，解得34k =， ∴ 方程为()3134y x -=-，即3450x y --=， 则过点的切线方程为3x =或3450x y --=. （2）∵ 圆心到直线40ax y -+=的距离为d=，∴2242⎛⎫+=⎪⎝⎭，解得：34a =-. 18. 解：（1）∵ ()()23261a b a b -+=，∴ 2244361a a b b --=， ∴ 224443361a b ⨯--⨯=， ∴ 6a b =-，∴61cos ,432a b a b a b-===-⨯，由于[]0,θπ∈，∴ 向量a 与向量b 的夹角为23π. （2）∵222a b a a b b +=++22142433132⎛⎫=+⨯⨯⨯-+= ⎪⎝⎭，∴13a b +=.19. 解：（1）()0.50.015100.02510300.035-⨯+⨯+100303335=+≈（岁）.（3）样本年龄在[)40,50中的有24人，在[)50,60中的有6人，则按分层抽样的受访市民年龄在[)40,50中有245430⨯=人，分别记为1a ，2a ，3a ，4a ，在[)50,60中的有65130⨯=人，记为b ， 从已抽取的5人中任选2人的所有可能为()12,a a ，()13,a a ，()14,a a ，()1,a b ，()23,a a ，()24,a a ，()2,a b ，()34,a a ，()3,a b ，()4,a b ，共10种，记“年龄在[)40,50和[)50,60的受访市民恰好各有一人获奖”为事件A ，则事件A 包括()1,a b ，()2,a b ，()3,a b ，()4,a b 共4种，故年龄在[)40,50和[)50,60的受访市民恰好各有一人的概率为()42105P A ==.20. 解：（1）()22cos 22cos 3f x x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭1cos221cos222x x x =--++1cos22122x x =-+ cos 213x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭∴ 函数()f x 的最小正周期为π，由2223k x k ππππ≤+≤+解得63k x k ππππ-≤≤+，∴,63k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈. （2）由（1）得()cos 21cos 21333gx x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-++=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， ∵02x π≤≤，∴22333x πππ-≤-≤， ∴1cos 2123x π⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭， ∴1cos 21223x π⎛⎫≤-+≤ ⎪⎝⎭，即()f x 的取值范围为1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 21. 解：（1）根据题意，计算()184837568806yq =++++=，解得90q =. （2）计算()1456789 6.56x =⨯+++++=， ∴ 23050680 6.542716 6.5b -⨯⨯==--⨯，()804 6.5106a =--⨯=， ∴y 关于x 的回归方程是4106y x =-+.（3）∵ 回归方程为4106y x =-+，∴114106y x =-+1190909001y y =-=-=<，∴ ()()11,4,90x y =是好数据；2222410686y x y y =-+=-868421=-=>，∴ ()()22,5,84x y =不是好数据； 3333410682y x y y =-+=-828311-==，∴ ()()33,6,83x y =是好数据； 4444410678y x y y =-+=-788021-=>，∴ ()()44,7,80x y =不是好数据； 5555410674y x y y =-+=-747511-==，∴ ()()55,8,75x y =是好数据； 6666410670y x y y =-+=-706821-=>，∴ ()()66,9,68x y =不是好数据；∴ 好数据为()4,90，()6,68，()8,75.22. 解：（1）()()cos 2cos 6h x x x πα⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭12sin sin 2cos cos 22x x αα⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴ ()h x的相伴向量12sin ,2cos 22OM αα⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，∴ ()h x R ∈， ∵ 2sin OM⎛= =， ∵R α∈，∴ []sin 1,13πα⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，∴ []1,3OM ∈.（2）OM 的相伴函数()sin cos f x a x b x =+()x ϕ=+，其中cos ϕ=sin ϕ=，当22x k πϕπ+=+，k Z ∈即022x k ππϕ=+-，k Z ∈时()f x 取得最大值，∴0tan tan 2cot 2a x k b ππϕϕ⎛⎫=+-== ⎪⎝⎭，∴ 002022tan 2tan 21tan 1ax b x b a x a a b b ===-⎛⎫-- ⎪⎝⎭，ab 为直线OM 的斜率，又满足(()2211a b +-=，∴ a b⎡∈⎣，∴ ,3b a a b ⎛⋅∈-∞ ⎝⎦， ∴())0tan 2,03,x ⎡∈-∞+∞⎣.。

中山市第一中学2017~2018学年第二学期高二年级第一次统测数 学命题人: 审题人：本试卷共8页，共100分，考试时长90分钟。

一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题列出的四个选项中，选出最符合题目要求的一项）1.若将负数11ii+- 表示为(,,a bi a b R i +∈是虚数单位）的形式，则a b + 等于 A. 0 B. 1 C. -1 D. 22.从3台甲型和4台乙型电视机中任取出3台，其中至少要甲型和乙型电视机各一台，则不同取法数为（ ）A. 60B. 30C. 20D. 40 3.已知实数x 满足i m x x i -=-+-3)21(2，则实数m 应取值为（ ）A.112-B.15C.12 D.1124.)(n F 是一个关于自然数n 的命题，若)(k F 真，则)1(+k F 真，现已知)20(F 不真，那么：①)21(F 不真；②)19(F 不真；③)21(F 真；④)18(F 不真；⑤)18(F 真；其中正确的结论为（ ）A.②、④B.①、②C.③、⑤D.①、⑤5.三名老师与四名学生排成一排照相，如果老师不相邻，则不同的排法有（ ）种 A. 144 B. 1440 C. 150 D. 1886.已知函数)(x f y =的图象在点M (1,f (1))处的切线方程是x y 21=+2,则(1)(1)f f '+的值等于( )A.1B.52C.3D.07.10n =是n xx )3(3+的展开式中存在常数项的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8.设2(01)()2(12)x x f x x x ⎧≤<=⎨-<≤⎩，则20()f x dx =⎰ （ ） A ．34 B ．45 C ．56D ．不存在 9.5名乒乓球队员中，有2名老队员和3名新队员，现从中选出3名队员排成1、2、3号参加团体比赛，则入选的3名队员中至少有一名老队员,且1、2号中至少有1名新队员的排法有（ ）种A ．72B ．63C ．54D ．4810.已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数,0)1(=f ,0)()(2>-'xx f x f x (0)x >,则不等式()0f x >的解集是 （ ）.A. ),1()0,1(+∞-B. (2,0)(1,)-+∞C. (2,0)(2,)-+∞D. (,1)(1,)-∞-+∞ 11.若集合(){},,04,04,,p q s p s q s p q s E =≤<≤≤<≤∈N 且，(){}F ,,,04,04,,,t u v w t u v w t u v w =≤<≤≤<≤∈N 且，用()card X 表示集合X 中的元素个数，则()()card card F E +=（ ）A ．50B ．130C ．150D ．20012.已知平行于x 轴的直线分别交两曲线1(0)y x x=-<与y =11(,),A x y 22(,)B x y ，则||AB 的最小值为（ ）A ．32 B ．12 C ．52D ．2 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.在某次考试中，学号为)4,3,2,1(=i i 的同学的考试成绩{}94,93,90,88,87,85)(∈i f ， 且)4()3()2()1(f f f f <<<，则这四位同学的考试成绩的所有 种；14.76)2()1(-+-x x 的展开式中4x 的系数是15. 从222576543,3432,11=++++=++=中得出的一般性结论是_______。

2017-2018学年广东省中山市第一中学高二上学期第一次统测数学试题一、单选题 1．在等差数列中，，，则( )．A.B.C.D.【答案】D【解析】由题意可得，，选D.2．不等式1021x x -≤+的解集为 （ ） A. 1,12⎛⎤-⎥⎝⎦ B. 1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C. [)1,1,2⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭ D. [)1,1,2⎛⎤-∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦ 【答案】A【解析】试题分析：不等式1021x x -≤+等价于()()1210{ 210x x x -+≤+≠解得112x -<≤，所以选A.【考点】分式不等式的解法.视频3．等差数列{}n a 中， 1510a a +=， 47a =，则数列{}n a 的公差为 ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B【解析】试题分析：由题已知15410,7a a a +==，则由等差数列可得；112410,37,2a d a d d ∴+=+==。

【考点】等差数列的性质。

4．已知a 和b 均为非零实数，且a b <，则下面式子正确的是（ ）A. 22a b <B. 22a b ab < C.2211ab a b < D. b a a b< 【答案】C【解析】因为a b <，利用不等式的性质，可知选项A ，不一定成立，例如-2<1,又因为22222211110a bab a b ab a b a b -<⇔-=<，可知成立。

选项B ，D 不成立，故选C. 5．在200米高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30︒、60︒，则塔高为（ ）A.4003米 B. 米 C. D. 200米 【答案】A【解析】根据题意画出图形,其中00200,30,60AO m DAB DAC =∠=∠=,塔高为BC,在OAC∆中，可得3OC m =，所以20040200t a n 20033BC CD BD AD BAD m =-=-⋅∠=-=，选A.6．已知等比数列前项和为，若,，则（ ）A.B.C.D.【答案】A【解析】由等比求和公式可知,,所以,选A.7．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（ ） A. 1盏 B. 3盏 C. 5盏 D. 9盏 【答案】B【解析】设塔的顶层共有灯x 盏，则各层的灯数构成一个首项为x ，公比为2的等比数列，结合等比数列的求和公式有：()71238112x -=-，解得3x =，即塔的顶层共有灯3盏，故选B ．点睛:用数列知识解相关的实际问题，关键是列出相关信息，合理建立数学模型——数列模型，判断是等差数列还是等比数列模型；求解时要明确目标，即搞清是求和、求通项、还是解递推关系问题，所求结论对应的是解方程问题、解不等式问题、还是最值问题，然后将经过数学推理与计算得出的结果放回到实际问题中，进行检验，最终得出结论．8．已知在中，，那么这个三角形的最大角是( )A.B.C.D.【答案】C【解析】由正弦定理可知,所以c 边最长，为最大角，设，，又因为，所以，选C.9．已知{}n a是等差数列，其公差为非零常数d，前n项和为n S，设数列n S n⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n项和为nT，当且仅当6n=时，nT有最大值，则1ad的取值范围是（）A.5,2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭B. ()3,-+∞ C.53,2⎛⎫--⎪⎝⎭D. ()5,3,2⎛⎫-∞-⋃-+∞⎪⎝⎭【答案】C【解析】∵{}n a是等差数列,其公差为非零常数d,前n项和为n S.∴122d dSnn n a⎛⎫=+-⎪⎝⎭，∵数列{nSn}的前n项和为nT当且仅当n=6时,nT有最大值，∴6171562{307Sa dSa dd=+>=+<<，解得1532ad-<<-.故选：C.10．数列{}n a满足1n a+=12,(0)2{121,(1)2n nn na aa a≤<-≤<，若135a=，则2017a=（）A.15B.25C.35D.45【答案】B【解析】略11．边长为的三角形的最大角与最小角之和为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】不妨设5,7,8所对的边分别为a,b,c ，所以最大角与最小角之和为A+C=，由余弦定理，又因为，所以，选B.【点睛】如果没有理解题意的人，会用余弦定理分别算出角A,C ，再用和角公式的正余弦定理，这样的运算量特别大，而且还容易算错。

中山市高二级2017—2018学年度第一学期期末统一考试数学（理科）参考答案及评分标准13. 132y =-14. 1|,12x x x ⎧⎫<>⎨⎬⎩⎭或 15. 12 16. ()0,+∞17. 解：（1）∵cos sin 0a C C b c --=，由正弦定理得：sin cos sin sin sin A C A C B C =+，即()sin cos sin sin sinC A C A C A C =++，．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分cos 1A A -=，∴()01sin 302A -=．．．．．．．．．．．．．．．．4分 在ABC ∆中，000180A <<，∴003030A -=，得060A =．．．．．．．．．5分（2）在ABC ∆中，1cos 7B =，得sin 7B = ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分则()11sin sin 72C A B =+=+=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分 由正弦定理得sin 7sin 5a A c C == ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分 设7,5a x c x ==，在ABD ∆中，由余弦定理得： 2222cos AD AB BD AB BD B =+-⋅，则2212911125492574427x x x x =+⨯-⨯⨯⨯⨯，解得1x =， 即7,5a c == ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分故1sin 2ABC S ac B ∆== ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分18．解：（1）因为22n n T a =-，所以1122T T =-，即123T =，所以1132T = 又122(2)nn n T T n T -=-≥，所以1122(2)n n n n T T T T n --=-≥， 即1111(2)2n n n T T --=≥， 所以数列1n T ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以32为首项，以12为公差的等差数列. ．．．．．．．．．．．．．．．6分 （2）由（1）知1312(1)222n n n T +=+-⨯=，所以n b ===所以n S =+++= ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分19．解：（Ⅰ）当x c >时，23P =，1221033T x x ∴=⋅-⋅= 当1x c ≤≤时，16P x=-，21192(1)2()1666x x T x x x x x -∴=-⋅⋅-⋅⋅=---综上，日盈利额T （万元）与日产量x （万件）的函数关系为：292,160,x x x c T xx c ⎧-≤≤⎪=-⎨⎪>⎩ ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分（Ⅱ）由（1）知，当x c >时，每天的盈利额为0当1x c ≤≤时，2926x x T x-=-9152[(6)]6x x =--+-15123≤-= 当且仅当3x =时取等号 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分所以()i 当36c ≤<时，max 3T =，此时3x = ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分()ii 当13c ≤<时，由222224542(3)(9)(6)(6)x x x x T x x -+--'==--知函数2926x x T x-=-在[1,3]上递增，2max926c c T c-∴=-，此时x c = ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．11分综上，若36c ≤<，则当日产量为3万件时，可获得最大利润若13c ≤<，则当日产量为c 万件时，可获得最大利润．．．．．．．．．12分20．（Ⅰ）证明：由已知得EF //CD ，且=EF CD .因为ABCD 为等腰梯形，所以有BG //CD . 因为G 是棱AB 的中点，所以=BG CD ． 所以EF //BG ，且=EF BG ， 故四边形EFBG 为平行四边形,所以EG //FB . ………………2分 因为FB ⊂平面BDF ，EG ⊄平面BDF ，所以EG //平面BDF ． ………………4分解：（Ⅱ）因为四边形CDEF 为正方形，所以ED DC ⊥.因为平面CDEF ⊥平面ABCD ， 平面CDEF 平面ABCD DC =，DE ⊂平面CDEF ，所以ED ⊥平面ABCD .在△ABD 中，因为60DAB ︒∠=，22AB AD ==，所以由余弦定理，得BD所以AD BD ⊥．……………6分在等腰梯形ABCD 中，可得1DC CB ==.x。

中山一中2017-2018学年第二学期高二级第一次段考数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 函数在区间上的平均变化率为A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：利用函数的解析式求出区间两个端点的函数值，再利用平均变化率公式求出该函数在区间上的平均变化率.详解：，该函数在区间上的平均变化率为，故选B.点睛：本题主要考查函数在区间上的平均变化率，意在考查学生的计算能力与理解能力，属于简单题.2. 若，则复数在复平面上对应的点在A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】分析：利用复数代数形式的乘除运算化简，求得复数在复平面上对应的点的坐标，即可得结果.详解：因为所以复数在复平面上对应的点的坐标为，位于第四象限，故选D.点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.3. 已知曲线上一点，则处的切线斜率等于A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：求出曲线的导函数，然后把切点的横坐标代入导函数即可求出切线的斜率.详解：，时，，即处切线的斜率是，故选B.点睛：本题主要考查导数的几何意义，以及已知切点坐标求斜率，属于简单题.要解答本题，首先必须掌握在曲线上某点的导函数就是该点处的切线斜率，先对函数求导，再将切点横坐标代入即可.4. 方程有实根，且，则A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：由复数相等的意义将方程转化为实系数方程，解方程求出两根. 详解：方程，可以变为，由复数相等的性质得，解得，方程有实根，故，复数，故选A.点睛：本题主要考查复数相等的意义，两个复数相等，则它们的实部与实部相等，虚部与虚部相等.5. 在用反证法证明时的反设为A. 且B. 或C. D.【答案】B【解析】分析：用反证法证明数学命题时，应先假设命题的否定成立，命题“”的否定，即是所求. 详解：用反证法证明数学命题时，应先假设命题的否定成立，因为命题“”的否定为“”，用反证法证明时的反设为“或”，故选B.点睛：本题考查命题的否定，用反证法证明数学命题，属于简单题.6. 某个命题与正整数有关，如果当时，该命题成立；那么可推得当时命题也成立，现在已知当时，该命题不成立，那么可推得A. 当时，该命题不成立B. 当时，该命题成立C. 当时，该命题不成立D. 当时，该命题成立【答案】C【解析】如果当时，该命题成立，那么可推得当时命题也成立．所以其逆命题为：当时命题不成立，那么时，该命题也不成立，故已知当时，该命题不成立，那么可推得当时该命题不成立7. 复数不可能在A. 在第一象限B. 在第二象限C. 在第三象限D. 在第四象限【答案】A【解析】分析：利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数，令复数实部、虚部大于零，得到不等式组无解，即对应的点不在第一象限.详解：由已知，复平面对应的点如果在第一象限，则，而此不等式无解，即在复平面对应的点不可能在第一象限，故选A.点睛：本题主要考查数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，考查复数的几何意义，复数与复平面内的以实部为横坐标，虚部为纵坐标的点一一对应.8. 函数的切线方程为，则A. 2B. 1C. 3D. 0【答案】A【解析】分析：求出导函数，令可得切点坐标，将切点坐标代入切线方程即可得结果.详解：因为，所以，令，得，时，切点坐标为，代入切线方程可得，不合题意；时，切点坐标为，代入切线方程可得，符合题意，故选A.点睛：应用导数的几何意义求切点处切线的斜率，主要体现在以下几个方面：(1) 已知切点求斜率,即求该点处的导数；(2) 己知斜率求切点即解方程；(3) 巳知切线过某点(不是切点) 求切点, 设出切点利用求解.9. 数列，则此数列的第项是A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：分析给数列的变化规律，可以将数列如下分组：第一组个数，为；第二组个数，为；第三组个数，为，分析可得项应该在第组，列举第组的每个数，即可得到结论.详解：根据题意，数列，可以将数列如下分组：第一组个数，为；第二组个数，为；第三组个数，为，前组共有个数，第组有个数，第项应该在第组，第组为，则第项是，故选B.点睛：归纳推理的一般步骤: 一、通过观察个别情况发现某些相同的性质. 二、从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）. 常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：(1) 数的归纳包括数的归纳和式子的归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等；(2) 形的归纳主要包括图形数目的归纳和图形变化规律的归纳.10. 某运动员罚球命中得1分，不中得0分，如果该运动员罚球命中的概率为，那么他罚球一次的得分的方差为A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：直接利用期望公式与方差公式求解即可.详解：，，，故选B.点睛：本题考查离散型随机变量的期望与方差，属于中档题. 求解一般的随机变量的期望和方差的基本方法是：先根据随机变量的意义，确定随机变量可以取哪些值，然后根据随机变量取这些值的意义求出取这些值的概率，列出分布列，根据数学期望和方差的公式计算．11. 计算（其中）的结果为A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：，利用微积分基本定理求解即可.详解：，，故选A.点睛：本题考查定积分的求法，考查计算能力.对于求分段函数以及含绝对值符号的函数求定积分，往往将所求定积分化为多个定积分的和或差解答.12. 若存在使不等式成立，则实数的范围为A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：,先证明符合题意，若，利用单调性可得，利用导数可得，利用可得结果.详解：由，（1）若，当时，，而，此时结论成立；（2）若，由于，所以在是减函数，则.由于与轴的交点为，那么，如果存在使不等式成立，则，由（1）、（2）得实数的范围为，故选C.点睛：本题考查不等式能成立问题，考查利用导数研究函数的单调性，以及分类讨论思想的应用，属于难题. 分类讨论思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决含参数问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点. 充分利用分类讨论思想方法能够使问题条理清晰，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用与解题当中。

广东省中山一中2020-2021学年高二级第二学期第一次段考数学（理）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．函数y =x 2在区间[1,2]上的平均变化率为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．52．若z i =-，则复数11z z -+在复平面上对应的点在 A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3．已知曲线32y x =上一点(1,2)A ，则A 处的切线斜率等于A ．8B ．6C ．4D ．2 4．已知方程()()2440x i x ai a R ++++=∈有实根b ，且z a bi =+，则复数z 等于（ ）A ．22i -B ．22i +C ．22i -+D ．22i -- 5．在用反证法证明2a b +=时的反设为A ．2a b +>且2a b +<B ．2a b +>或2a b +<C ．2a b +>D ．2a b +<6．某个命题与自然数n 有关，若*()n k k N =∈时命题成立，那么可推得当1n k =+时该命题也成立，现已知5n =时，该命题不成立，那么可以推得A ．6n =时该命题不成立B ．6n =时该命题成立C ．4n =时该命题不成立D ．4n =时该命题成立 7．复数2()12m i z m R i-=∈+不可能在 A ．在第一象限B ．在第二象限C ．在第三象限D ．在第四象限 8．函数32y x x =-的切线方程为(0)y x a a =+>，则a =A ．2B ．1C ．3D ．0 9．数列1,2,1,3,2,1,4,3,2,1,5,4,3,2,1,，则此数列的第50项是A ．5B ．6C ．7D ．8 10．某运动员罚球命中得1分，不中得0分，如果该运动员罚球命中的概率为0.8，那么他罚球一次的得分X 的方差为A ．0.14B ．0.16C ．0.18D ．0.2 11．计算20()f x dx ⎰（其中21(1)()1(1)2x x f x x x +≤⎧⎪=⎨>⎪⎩）的结果为 A ．83 B ．103 C ．113 D ．13312．若存在(0,)x ∈+∞使不等式21[1](31)1x e ax a +++-<成立，则实数a 的范围为 A ．203(1)e a e +<<+ B ．201a e <<+ C ．23(1)e a e +<+ D ．11a e <+二、填空题 13．复数226(56)()2a a z a a i a R a +-=+-+∈+为纯虚数，则a 的取值是________ 14．在某次考试中，学号为(1,2,3,4)i i =的同学的考试成绩{}()85,87,88,90,93,94f i ∈，且(1)(2)(3)(4)f f f f <<<，则这四位同学的考试成绩的共有__________种；15．若在1)n x的展开式中，第4项是常数项，则n = 16．将集合{22|0t s s t +≤<，且,}s t Z ∈中所有的数按照上小下大，左小右大的原则写成如下的三角形数表：35 69 10 12--- --- --- ------ --- --- --- ---则该数表中，从小到大第50个数为______________________三、解答题17．（1>;（2）如果,,a b c 是不全相等的实数，若,,a b c 成等差数列，用反证法证明：111,,a b c 不成等差数列.18．已知a 为实数，函数()()232f x x x a ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭,若()10f '-=.(Ⅰ)求函数()f x 的单调区间；(Ⅱ) 证明对任意的()12,1,0x x ∈-，不等式()()12516f x f x -<恒成立. 19．甲、乙、丙3人投篮,投进的概率分别是121,,352. (Ⅰ)现3人各投篮1次,求3人都没有投进的概率；(Ⅱ)用X 表示乙投篮3次的进球数,求随机变量X 的概率分布及数学期望EX ；20．已知函数()0)f x x >，数列{}n a 满足1()a f x =，1()n n a f a +=． （1）求234a a a ，，；（2）猜想数列{}n a 的通项，并用数学归纳法予以证明．21．某班n 名同学的数学小测成绩的频率分布表如图所示，其中2b a c =+，且分数在[]90,100的有6人.（1）求n 的值;（2）若分数在[)40,50的人数是分数在[)50,60的人数的13，求从不及格的人中任意选取3人，其中分数在50分以下的人数为X ，求X 的数学期.22．已知a 为实常数，函数()ln 1f x x ax =-+.（1）若()f x 在(1,)+∞是减函数，求实数的取值范围；（2）当01a <<时函数()f x 有两个不同的零点1212,()x x x x <，求证：111x e<<且122x x +>.（注：e 为自然对数的底数）；（3）证明2*ln 2ln 3ln 4ln (N ,2).34514n n n n n n -+++<∈≥+参考答案1．B【解析】平均变化率为△y △x =22−122−1=3 2．D【解析】 分析：利用复数代数形式的乘除运算化简，求得复数11z z -+在复平面上对应的点的坐标，即可得结果. 详解：因为211112i i i i i i --+=--+=--- 所以复数11z z-+在复平面上对应的点的坐标为()1,2-， 位于第四象限，故选D.点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.3．B【解析】分析：求出曲线的导函数，然后把切点的横坐标代入导函数即可求出切线的斜率. 详解：322,'6y x y x =∴=，1x =时，'6y =，即A 处切线的斜率是6，故选B.点睛：本题主要考查导数的几何意义，以及已知切点坐标求斜率，属于简单题.要解答本题，首先必须掌握在曲线上某点的导函数就是该点处的切线斜率，先对函数求导，再将切点横坐标代入即可.4．A【解析】【详解】由b 是方程()()2440x i x ai a R ++++=∈的根可得()2440b i b ai ++++=,整理可得：()()2440b a i b b ++++=， 所以20440b a b b +=⎧⎨++=⎩，解得22a b =⎧⎨=-⎩，所以22z i =-，故选A . 5．B 【解析】分析：用反证法证明数学命题时，应先假设命题的否定成立，命题“2a b +=”的否定，即是所求.详解：用反证法证明数学命题时，应先假设命题的否定成立，因为命题“2a b +=”的否定为“2a b +≠”，用反证法证明2a b +=时的反设为“2a b +>或2a b +<”，故选B.点睛：本题考查命题的否定，用反证法证明数学命题，属于简单题.6．C【分析】根据数学归纳法的有关概念，利用5n =时命题不成立，得出4n =时命题不成立，而6n =无法判断.由此得出正确选项.【详解】假设4n =时该命题成立，由题意可得5n =时，该命题成立，而5n =时，该命题不成立，所以4n =时，该命题不成立.而5n =时，该命题不成立，不能推得6n =该命题是否成立．故选C ．【点睛】本小题主要考查数学归纳法的有关知识，考查归纳猜想的知识，属于基础题.7．A【解析】分析：利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数z ，令复数实部、虚部大于零，得到不等式组无解，即对应的点不在第一象限. 详解：由已知()()()()()()2i 12i 2i 1421i 12i 12i 12i 5m m z m m ---⎡⎤===--+⎣⎦++-，复平面对应的点如果在第一象限，则4010m m ->⎧⎨+<⎩， 而此不等式无解，即在复平面对应的点不可能在第一象限，故选A.点睛：本题主要考查数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，考查复数的几何意义，复数与复平面内的以实部为横坐标，虚部为纵坐标的点一一对应.8．A【解析】分析：求出导函数2’32y x =-，令2321x -=可得切点坐标，将切点坐标代入切线方程即可得结果.详解：因为32y x x =-，所以，令2321x -=，得1x =±， 1x =时，切点坐标为()1,1-，代入切线方程可得2a =-，不合题意；1x =-时，切点坐标为()1,1-，代入切线方程可得2a =，符合题意，故选A.点睛：应用导数的几何意义求切点处切线的斜率，主要体现在以下几个方面：(1) 已知切点()()00,A x f x 求斜率k ,即求该点处的导数()0k f x '=；(2) 己知斜率k 求切点()()11,,A x f x 即解方程()1f x k '=；(3) 巳知切线过某点()()11,M x f x (不是切点) 求切点, 设出切点()()00,,A x f x 利用()()()10010f x f x k f x x x -'==-求解.9．B【解析】分析：分析给数列的变化规律，可以将数列如下分组：第一组1个数，为1；第二组2个数，为2,1；第三组3个数，为3,2,1,...，分析可得60项应该在第11组，列举第11组的每个数，即可得到结论.详解：根据题意，数列1,2,1,3,2,1,4,3,2,1,5,4,3,2,1,...，可以将数列如下分组：第一组1个数，为1；第二组2个数，为2,1；第三组3个数，为3,2,1,...，前n 组共有()11234...2n n n ++++++=个数，第10组有123...1055++++=个数，第50项应该在第10组，第10组为10,9,8,7,6,...1，则第50项是6，故选B.点睛：归纳推理的一般步骤: 一、通过观察个别情况发现某些相同的性质. 二、从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）. 常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：(1) 数的归纳包括数的归纳和式子的归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等；(2) 形的归纳主要包括图形数目的归纳和图形变化规律的归纳.10．B【解析】分析：直接利用期望公式与方差公式求解即可.详解：()()10.8,00.2P P ξξ====，()10.800.2=0.8E ξ∴=⨯+⨯，()()()2210.80.810.20.2=0.16D ξ∴=-⨯+-⨯，故选B.点睛：本题考查离散型随机变量的期望与方差，属于中档题. 求解一般的随机变量的期望和方差的基本方法是：先根据随机变量的意义，确定随机变量可以取哪些值，然后根据随机变量取这些值的意义求出取这些值的概率，列出分布列，根据数学期望和方差的公式计算． 11．A【解析】分析： ()()2122001112f x dx x dx x dx ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰，利用微积分基本定理求解即可.详解：()21,11,12x x f x x x +≤⎧⎪=⎨>⎪⎩， ()()2122001112f x dx x dx x dx ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰ 21011|26x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭321|x 38182663=+-=，故选A. 点睛：本题考查定积分的求法，考查计算能力.对于求分段函数以及含绝对值符号的函数求定积分，往往将所求定积分化为多个定积分的和或差解答.12．C【解析】 分析：21211[1](31)1311x x e ax a ax a e ++++-<⇒+-<+,先证明0a ≤符合题意，若0a >，利用单调性可得()3131g x ax a a =+->-，利用导数可得10()1f x e <<+，利用13110a e a ⎧-<⎪+⎨⎪>⎩可得结果. 详解：由21211[1](31)1311x x e ax a ax a e ++++-<⇒+-<+，（1）若0a ≤，当(0,)x ∈+∞时，310ax a +-<，而2110x e ++>，此时结论成立；（2）若0a >，由于212121212()'()01(1)x x x e f x f x e e +++-=⇒=<++，所以()f x 在(0,)+∞是减函数，则10()1f x e <<+. 由于()31g x ax a =+-与y 轴的交点为(0,31)a -，那么，如果存在(0,)x ∈+∞使不等式21[1](31)1x e ax a +++-<成立， 则1312013(1)0a e a e e a ⎧-<+⎪⇒<<+⎨+⎪>⎩，由（1）、（2）得实数a 的范围为23(1)e a e +<+，故选C. 点睛：本题考查不等式能成立问题，考查利用导数研究函数的单调性， 以及分类讨论思想的应用，属于难题. 分类讨论思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决含参数问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点. 充分利用分类讨论思想方法能够使问题条理清晰，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用与解题当中。