平面向量的概念及其线性运算(含解析) 高考数学三维设计教学案 高考数学试题解析

2.(2017课标全国Ⅱ,4,5分)设非零向量a,b满足|a+b|=|a-b|,则 ( ) A.a⊥b B.|a|=|b| C.a∥b D.|a|>|b| 答案 A 本题考查向量的有关概念. 由|a+b|=|a-b|的几何意义知,以向量a、b为邻边的平行四边形为矩形,所以a⊥b.故选A.
一题多解 将|a+b|=|a-b|两边分别平方得|a|2+2a·b+|b|2=|a|2-2a·b+|b|2,即a·b=0,故a⊥b.故选A.

,则| BM
|2的最大值是
(
)
A. 43
4
B. 49
4
C. 37 6 3 4
D. 37 2 33 4
答案 B 以A为坐标原点,建立如图所示的平面直角坐标系,
则A(0,0),C(2 3 ,0),B( 3 ,3). 设P(x,y),∵| AP |=1,
∴x2+y2=1,
∵ PM

= MC
2

+ FC
=

1 2
b

a

+

1 2
a

b

= 12 (a+

b)= AD ,故选A.
考点二 平面向量的基本定理及向量的坐标运算


1.(2015课标Ⅰ,2,5分,0.734)已知点A(0,1),B(3,2),向量 AC =(-4,-3),则向量 BC = ( )
A.(-7,-4) B.(7,4)
1 2

AD


+μ( AD- AB
),
即 AB

第五章平面向量与复数考情探究2022新高考Ⅱ，2复数的运算复数的乘法运算运算求解基础性数学运算2021新高考Ⅰ，2复数的运算复数的乘法运算运算求解基础性数学运算2021新高考Ⅱ，1复数的概念复数的几何意义运算求解基础性数学运算2020新高考Ⅱ，2复数的运算复数的乘法运算运算求解基础性数学运算2020新高考Ⅰ，2复数的运算复数的除法运算运算求解基础性数学运算【命题规律与备考策略】本章内容分为两部分，第一部分平面向量、第二部分复数．高考对第一部分内容的考查以平面向量的基础知识、基本运算为主，考查与平面向量基本定理相关的线性运算、向量的数量积运算、向量的夹角、向量的模．试题以中低档题为主，以选择题或填空题的形式出现，分值为5分．高考对部分的考查依然是基础与能力并存，在知识的形成过程、知识的迁移中渗透数学运算、逻辑推理、直观想象的核心素养，重视函数与方程、数形结合、转化与化归思想．高考对第二部分内容的考查，一般出现在选择题前2题中，比较简单，分值为5分．高考命题主要集中于：①复数的相关概念，如虚数、纯虚数、共轭复数等；②复数的几何意义及复数的模的最值问题；③复数的四则运算，常考查乘、除法运算；④虚数单位i的性质．备考时，要掌握常见的知识与解题方法，加强对复数的概念的理解，提高运算求解能力．第一讲平面向量的概念及其线性运算知识梳理知识点一向量的有关概念1．向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度(或称模)．2．零向量：长度为0的向量叫做零向量，其方向是任意的，零向量记作0.3．单位向量：长度等于1个单位的向量．4．平行向量：方向相同或相反的非零向量；平行向量又叫共线向量．规定：0与任一向量平行.5．相等向量：长度相等且方向相同的向量．6．相反向量：长度相等且方向相反的向量．知识点二向量的线性运算三角形法则平行四边形法则三角形法则(1)模：|λa|＝|λ||a|；向量a(a≠0)与b共线，当且仅当存在唯一一个实数λ，使b＝λa.归纳拓展1．零向量与任何向量共线．.2．与向量a(a≠0)共线的单位向量±a|a|3．若存在非零实数λ，使得AB →＝λAC →或AB →＝λBC →或AC →＝λBC →，则A ，B ，C 三点共线．4．首尾相连的一组向量的和为0.5．若P 为AB 的中点，则OP →＝12(OA →＋OB →)．6．若a 、b 不共线，且λa ＝μb ，则λ＝μ＝0.双基自测题组一走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)|a |与|b |是否相等，与a ，b 的方向无关．(√)(2)若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .(×)(3)若向量AB →与向量CD →是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点在一条直线上．(×)(4)当两个非零向量a ，b 共线时，一定有b ＝λa ，反之成立．(√)题组二走进教材2．(必修2P 22T4改编)化简AB →＋BD →－AC →－CD →＝(B )A.AD →B ．0C ．BC→D ．DA→[解析]AB→＋BD →－AC →－CD →＝AD →－(AC →＋CD →)＝AD →－AD →＝0.3．(必修2P 15T3改编)八卦是中国古老文化的深奥概念，其深邃的哲理解释了自然、社会现象．如图1所示的是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形ABCDEFGH ，其中O 为正八边形的中心，则OA→－ED →＝(B )A.OD →B ．DO →C ．DA→D ．AD→[解析]OA→－ED →＝EO →－ED →＝DO →.故选B.4．(多选题)(必修2P 15T4改编)如图所示，每个小正方形的边长都是1，在其中标出了6个向量，则在这6个向量中(BC )A ．向量CH →，DG →的模相等B ．|AE→|＝10C ．向量DG →，HF →共线D ．|DG→|＋|HF →|＝10[解析]对于ABD ，通过计算向量的模进行判断即可，对于C ，通过判断直线DG ，HF 的位置关系来判断两向量是否共线．因为|CH→|＝32＋12＝10，|DG →|＝22＋22＝22，所以|CH →|≠|DG →|，所以A 错误；因为|AE →|＝32＋12＝10，所以B 正确；因为∠CDG ＝∠CFH ＝45°，所以DG ∥HF ，所以向量DG→，HF →共线，所以C 正确；因为|DG →|＋|HF →|＝22＋22＋32＋32＝52≠10，所以D 错误，故选BC.题组三走向高考5．(2020·新高考Ⅱ，3,5分)若D 为△ABC 的边AB 的中点，则CB →＝(A )A ．2CD →－CA →B ．2CA →－CD →C ．2CD→＋CA →D ．2CA→＋CD →[解析]∵D 为△ABC 的边AB 的中点，∴CD →＝12(CA →＋CB →)，∴CB →＝2CD →－CA →.故选A.6．(2015·新课标2,13,5分)设向量a ，b 不平行，向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则实数λ＝12.[解析]∵a 、b 不平行，∴a ＋2b ≠0，由题意可知存在唯一实数m ，使得λa＋b＝m(a＋2b)，即(λ－m)·a＝(2m－1)b，－m＝0，m－1＝0，解得λ＝12.向量的基本概念——自主练透1.(多选题)(2023·山东烟台月考)给出下列命题，其中叙述错误的命题为(BC)A．向量AB→的长度与向量BA→的长度相等B．向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反C．|a|＋|b|＝|a－b|⇔a与b方向相反D．若向量a与b不共线，则a与b都是非零向量[解析]A正确，AB→与BA→是相反向量，长度相等；B错误，当a，b其中之一为0时，不成立；C错误，当a，b其中之一为0时，不成立；D正确，因为零向量与任何一个向量共线．故选BC.2．设a，b都是非零向量，下列四个条件，使a|a|＝b|b|成立的充要条件是(D) A．a＝b B．a＝2bC．a∥b且|a|＝|b|D．a∥b且方向相同[解析]a|a|表示a方向的单位向量，因此a|a|＝b|b|的充要条件是a∥b且a与b 同向．名师点拨：1．相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性．2．共线向量即为平行向量，它们均与起点无关．3．平行向量就是共线向量，二者是等价的；但相等向量不仅模相等，而且方向要相同，所以相等向量一定是平行向量，而平行向量未必是相等向量．4．非零向量a与a|a|的关系是：a|a|是a方向上的单位向量.向量的线性运算——多维探究角度1向量加、减法的几何意义设非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |，则(A )A ．a ⊥b B ．|a |＝|b |C ．a ∥bD ．|a |>|b |[解析]解法一：利用向量加法的平行四边形法则．在▱ABCD 中，设AB→＝a ，AD →＝b ，由|a ＋b |＝|a －b |知，|AC →|＝|DB →|，从而四边形ABCD 为矩形，即AB ⊥AD ，故a ⊥b .解法二：∵|a ＋b |＝|a －b |，∴|a ＋b |2＝|a －b |2.∴a 2＋b 2＋2a ·b ＝a 2＋b 2－2a ·b .∴a ·b ＝0.∴a ⊥b .角度2向量的线性运算1.(2022·新高考Ⅰ卷)在△ABC 中，点D 在边AB 上，BD ＝2DA ，记CA→＝m ，CD →＝n ，则CB →＝(B )A ．3m －2nB ．－2m ＋3nC ．3m ＋2nD ．2m ＋3n[解析]CD →＝23CA →＋13CB →，即CB →＝－2CA →＋3CD →＝－2m ＋3n .故选B.2.(2024·宣城模拟)我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示．在“赵爽弦图”中，若BC →＝a ，BA→＝b ，BE →＝3EF →，则BF →＝(B )A.1225a ＋925b B ．1625a ＋1225b C.45a ＋35b D ．35a ＋45b[解析]BF →＝BC →＋CF →＝BC →＋34EA →＝BC →＋34(EB →＋BA →)＝BC →＋34－34BF →＋BA →，即BF →＝BC →＋34－34BF →＋BA →BF →＝1625BC →＋1225→，即BF →＝1625a ＋1225b .角度3根据向量线性运算求参数(2023·济南模拟)如图，在平行四边形ABCD 中，F 是BC 的中点，CE →＝－2DE→，若EF →＝xAB →＋yAD →，则x ＋y ＝(C )A ．1B ．6C.16D ．13[解析]因为四边形ABCD 是平行四边形，所以AB→＝DC →，AD →＝BC →，因为CE→＝－2DE →，所以ED →＝－13DC →＝－13AB →，连接AF ，在△AEF 中，所以EF→＝EA →＋AF →＝ED →－AD →＋AB →＋BF →＝－13AB →－AD →＋AB →＋12BC →＝23AB →－12AD →，又因为EF→＝xAB →＋yAD →，所以x ＝23，y ＝－12，故x ＋y ＝16.名师点拨：平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略1．考查向量加法或减法的几何意义．2．求已知向量的和或差．一般共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用三角形法则；求首尾相连的向量的和用三角形法则．3．与三角形综合，求参数的值．求出向量的和或差，与已知条件中的式子比较，求得参数．4．与平行四边形综合，研究向量的关系．画出图形，找出图中的相等向量、共线向量，将所求向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解．【变式训练】1．(角度1)(2022·湖北宜昌一中月考)已知a ，b 是两个非零向量，且|a ＋b |＝|a |＋|b |，则下列说法正确的是(D )A ．a ＋b ＝0B ．a ＝bC ．a 与b 共线反向D ．存在正实数λ，使a ＝λb [解析]因为a ，b 是两个非零向量，且|a ＋b |＝|a |＋|b |，所以a 与b 共线同向，故D 正确．2．(角度2)(2022·长沙模拟)如图，在梯形ABCD 中，BC ＝2AD ，DE ＝EC ，设BA →＝a ，BC →＝b ，则BE →＝(D )A.12a ＋14b B ．13a ＋56bC.23a ＋23b D ．12a ＋34b[解析]解法一：如图所示，取BC 的中点F ，连接AF ，因为BC ＝2AD ，所以AD ＝CF ，又AD ∥CF ，所以四边形ADCF 为平行四边形，则AF ∥CD ，所以CD→＝F A →.因为DE ＝EC ，所以CE →＝12CD →＝12FA →，所以BE →＝BC →＋CE →＝BC →＋12F A →＝BC →＋12(BA →－BF →)＝BC →－12BC ＝12BA →＋34BC →＝12a ＋34b ，故选D.解法二：如图，连接BD ，因为DE ＝EC ，所以BE →＝12(BD →＋BC →)＝12(BA →＋AD →＋BC →)＋12BC →＋＝12BA →＋34BC →＝12a ＋34b ，故选D.3．(角度3)(2023·长春调研)在△ABC 中，延长BC 至点M 使得BC ＝2CM ，连接AM ，点N 为AM 上一点且AN→＝13AM →，若AN →＝λAB →＋μAC →，则λ＋μ＝(A )A.13B ．12C ．－12D ．－13[解析]由题意，知AN →＝13AM →＝13(AB →＋BM →)＝13AB →＋13×32BC →＝13AB →＋12(AC →－AB→)＝－16AB →＋12AC →，又AN →＝λAB →＋μAC →，所以λ＝－16，μ＝12，则λ＋μ＝13.故选A.共线向量定理及其应用——师生共研设两个非零向量a 与b 不共线．(1)若AB→＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )，求证：A ，B ，D 三点共线；(2)试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线．[分析](1)利用向量证明三点共线时，首先要证明两个非零向量共线，然后再说明两向量有公共点，这时才能说明三点共线；(2)利用共线向量定理求解．[解析](1)证明：∵AB→＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )，∴BD→＝BC →＋CD →＝2a ＋8b ＋3(a －b )＝2a ＋8b ＋3a －3b ＝5(a ＋b )＝5AB →.∴AB →，BD →共线，又∵它们有公共点B ，∴A ，B ，D 三点共线．(2)∵k a ＋b 与a ＋k b 共线，∴存在实数λ，使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )，即k a ＋b ＝λa ＋λk b .∴(k －λ)a ＝(λk －1)b .∵a ，b 是不共线的两个非零向量，－λ＝0，－1＝0，解得k ＝±1.[引申]本例(2)中，若k a ＋b 与a ＋k b 反向，则k ＝－1；若k a ＋b 与a＋k b 同向，则k ＝1.[解析]由本例可知k a ＋b 与a ＋k b 反向时λ<0，从而k ＝－1；k a ＋b 与a ＋k b 同向时λ>0，从而k ＝1.名师点拨：平面向量共线的判定方法1．向量b 与非零向量a 共线的充要条件是存在唯一实数λ，使b ＝λa .要注意通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，要注意待定系数法和方程思想的运用．2．证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．【变式训练】1．若a ，b 是两个不共线的向量，已知MN →＝a －2b ，PN →＝2a ＋k b ，PQ →＝3a －b ，若M ，N ，Q 三点共线，则实数k 等于(B )A ．－1B ．1C ．32D ．2[解析]由题意知，NQ→＝PQ →－PN →＝a －(k ＋1)b ，因为M ，N ，Q 三点共线，故存在实数λ，使得MN →＝λNQ →，即a －2b ＝λ[a －(k ＋1)b ]，解得λ＝1，k ＝1.故选B.2．已知向量a ，b ，c 中任意两个都不共线，并且a ＋b 与c 共线，b ＋c 与a 共线，那么a ＋b ＋c 等于(D )A ．aB ．bC ．cD ．0[解析]解法一：∵a ＋b 与c 共线，∴a ＋b ＝λ1c .①又∵b ＋c 与a 共线，∴b ＋c ＝λ2a .②由①得：b ＝λ1c －a .∴b ＋c ＝λ1c －a ＋c ＝(λ1＋1)c －a ＝λ2a .1＋1＝0，2＝－1，1＝－1，2＝－1.∴a ＋b ＋c ＝－c ＋c ＝0.故选D.解法二：①－②得a －c ＝λ1c －λ2a ∴λ1＝－1、λ2＝－1，∴a ＋b ＋c ＝0.易错警示——都是零向量“惹的祸”下列命题正确的是(D )A ．向量a ，b 共线的充要条件是有且仅有一个实数λ，使b ＝λaB ．在△ABC 中，AB →＋BC →＋CA →＝0C ．不等式||a |－|b ||≤|a ＋b |≤|a |＋|b |中两个等号不可能同时成立D ．若向量a ，b 不共线，则向量a ＋b 与向量a －b 必不共线[解析]易知ABC 错误．对于D.∵向量a 与b 不共线，∴向量a ，b ，a ＋b 与a －b 均不为零向量．若a ＋b 与a －b 共线，则存在实数λ使a ＋b ＝λ(a －b )，即(λ－1)a＝(1＋λ)b，－1＝0，＋λ＝0，此时λ无解，故假设不成立，即a＋b与a－b不共线．故D正确．名师点拨：在向量的有关概念中，定义长度为0的向量叫做零向量，其方向是任意的，并且规定：0与任一向量平行．由于零向量的特殊性，在两个向量共线或平行问题上，如果不考虑零向量，那么往往会得到错误的判断或结论．在向量的运算中，很多学生也往往忽视0与0的区别，导致结论错误．【变式训练】下列叙述正确的是(D)A．若非零向量a与b的方向相同或相反，则a＋b与a，b其中之一的方向相同B．|a|＋|b|＝|a＋b|⇔a与b的方向相同C.AB→＋BA→＝0D．若λ≠0，λa＝λb，则a＝b[解析]对于A，当a＋b＝0时，其方向任意，它与a，b的方向都不相同；对于B，当a，b中有一个为零向量时结论不成立；对于C，因为两个向量之和仍是一个向量，所以AB→＋BA→＝0；对于D，λ(a－b)＝0时，∵λ≠0，∴此时一定有a＝b.故选D.提能训练练案[30]A组基础巩固一、单选题1．如图，D、E、F分别是等边△ABC各边的中点，则下列结论成立的是(B)A.DE →＝DF →B ．EF→＝12BC →C.EF →＝CD →D ．2DE →＝AC →[解析]本题可通过相等向量的性质得出结果.DE→与DF →方向不同，A 错误；因为E 、F 分别是AB 、AC 的中点，所以EF ∥BC 且EF ＝12BC ，故EF→＝12BC →，B 正确；EF →与CD →方向相反，C 错误；DE →与AC →方向相反，D 错误．故选B.2.如图，设P ，Q 两点把线段AB 三等分，则下列向量表达式错误的是(D )A.AP→＝13AB →B ．AQ→＝23AB →C.BP→＝－23AB →D ．AQ→＝BP →[解析]由数乘向量的定义可以得到A ，B ，C 都是正确的，只有D 错误．3．(2022·四川成都七中一诊)已知点O ，A ，B 不在同一条直线上，点P 为该平面上一点，且2OP →＝2OA →＋BA →，则(B )A ．点P 在线段AB 上B ．点P 在线段AB 的反向延长线上C ．点P 在线段AB 的延长线上D ．点P 不在直线AB 上[解析]∵2OP →＝2OA →＋BA →，∴2OP →－2OA →＝BA →，即2AP →＝BA →，∴点P 在线段AB 的反向延长线上，故选B.4．(2018·课标全国Ⅰ)设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，则EB→＋FC →＝(A )A.AD →B ．12AD→C ．BC→D ．12BC→[解析]EB→＋FC →＝12(AB →＋CB →)＋12(AC →＋BC →)＝12(AB →＋AC →)＝AD →，故选A.5．(2022·辽宁丹东模拟)设平面向量a ，b 不共线，若AB→＝a ＋5b ，BC →＝－2a＋8b ，CD→＝3(a －b )，则(A )A ．A ，B ，D 三点共线B ．A ，B ，C 三点共线C ．B ，C ，D 三点共线D ．A ，C ，D 三点共线[解析]∵AB →＝a ＋5b ，BC →＝－2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )，AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝(a ＋5b )＋(－2a ＋8b )＋3(a －b )＝2(a ＋5b )＝2AB →，∴AD →与AB →共线，即A ，B ，D 三点共线，故选A.6．(2024·南昌质检)已知a ，b 是不共线的向量，AB →＝λa ＋b ，AC →＝a ＋μb (λ，μ∈R )，若A ，B ，C 三点共线，则λ，μ的关系一定成立的是(A )A ．λμ＝1B ．λμ＝－1C ．λ－μ＝－1D ．λ＋μ＝2[解析]∵A ，B ，C 三点共线，∴存在实数t ，使AB→＝tAC →，即λa ＋b ＝t a ＋μt b ＝t ，＝1消去参数t ，得λμ＝1；反之，当λμ＝1时，AB →＝1μa ＋b ＝1μ(a ＋μb )＝1μAC →，此时存在实数1μ使AB →＝1μAC →，故AB→和AC →共线．∵AB →与AC →有公共点A ，∴A ，B ，C 三点共线，故选A.7．如图所示，在△ABC 中，点D 在边BC 上，且CD ＝2DB ，点E 在AD 上，且AD→＝3AE →，则下面不正确的是(C )A.AD→＝13AC →＋23AB →B ．CE→＝13AD →－AC →C.CE →＝29AB →＋89AC →D ．CE→＝29AB →－89AC →[解析]∵CD ＝2DB ，点E 在AD 上，AD →＝3AE →，∴AD →＝AC →＋CD →＝AC →＋23CB→＝AC →＋23(AB →－AC →)＝13AC →＋23AB →，∴CE →＝AE →－AC →＝13AD →－AC →＝19AC →＋29AB →－AC →＝29AB →－89AC →.故选C.8.如图，在平行四边形ABCD 中，E 为BC 的中点，F 为DE 的中点，若AF →＝xAB →＋34AD →，则x 等于(C )A.34B ．23C ．12D ．14[解析]连接AE (图略)，因为F 为DE 的中点，所以AF→＝12(AD →＋AE →)，而AE→＝AB →＋BE →＝AB →＋12BC →＝AB →＋12AD →，所以AF →＝12(AD →＋AE →)＋AB →＋12AD ＝12AB →＋34AD →，又AF →＝xAB →＋34AD →，所以x ＝12.二、多选题9．(2023·湖北枣阳白水高中期中改编)下列说法正确的是(BC )A ．单位向量都相等B ．模为0的向量与任意向量共线C ．平行向量一定是共线向量D ．任一向量与它的相反向量不相等[解析]对于A ，单位向量的模相等，方向不一定相同，所以A 错误；对于B ，模为0的向量为零向量，零向量和任意向量共线，所以B 正确；对于C ，共线向量是方向相同或相反的非零向量，也叫平行向量，所以C 正确；对于D ，零向量与它的相反向量相等，所以D 错误，故选BC.10．下列选项中的式子，结果为零向量的是(AD )A.AB→＋BC →＋CA →B.AB →＋MB →＋BO →＋OM →C.OA→＋OB →＋BO →＋CO →D.AB →－AC →＋BD →－CD→[解析]利用向量运算，易知A ，D 中的式子结果为零向量．11．(2023·广东仲元中学期中改编)在平行四边形ABCD 中，下列结论错误的是(AC )A ．|AB →|＝|AD →|一定成立B.AC→＝AB →＋AD →一定成立C.AD→＝CB →一定成立D.BD →＝AD →－AB →一定成立[解析]在平行四边形ABCD 中，AC→＝AB →＋AD →一定成立，AD →＝CB →一定不成立，BD →＝AD →－AB →一定成立，但|AB →|＝|AD →|不一定成立，故选AC.三、填空题12．已知平行四边形ABCD 的对角线AC 和BD 相交于点O ，且OA ＝a ，OB →＝b ，则DC→＝b －a ，BC→＝－a －b .(用a ，b 表示)[解析]如图，DC →＝AB →＝OB →－OA →＝b －a ，BC →＝OC →－OB →＝－OA →－OB →＝－a －b .13．如图所示，下列结论正确的是①③.①PQ→＝32a ＋32b ；②PT →＝－32－32；③PS →＝32a －12b ；④PR→＝32a ＋b .[解析]由a ＋b ＝23PQ →，知PQ →＝32a ＋32b ，①正确；由PT →＝32a －32b ，从而②错误；PS→＝PT →＋b ，故PS →＝32a －12b ，③正确；PR →＝PT →＋2b ＝32a ＋12b ，④错误．故正确的为①③.14．设a 和b 是两个不共线的向量，若AB →＝2a ＋k b ，CB →＝a ＋b ，CD →＝2a －b ，且A ，B ，D 三点共线，则实数k 的值等于－4.[解析]∵A ，B ，D 三点共线，∴AB →∥BD →.∵AB →＝2a ＋k b ，BD →＝BC →＋CD →＝a －2b ，∴k ＝－4.故填－4.15.如图所示，已知∠B ＝30°，∠AOB ＝90°，点C 在AB 上，OC ⊥AB ，若用OA→和OB →来表示向量OC →，则OC →＝34OA →＋14OB →.[解析]易知OC→＝OA →＋AC →＝OA →＋14AB →＝OA →＋14(OB →－OA →)＝34OA →＋14OB →.四、解答题16．已知O ，A ，B 是不共线的三点，且OP →＝mOA →＋nOB →(m ，n ∈R )．(1)若m ＋n ＝1，求证：A ，P ，B 三点共线；(2)若A ，P ，B 三点共线，求证：m ＋n ＝1.[证明](1)若m ＋n ＝1，则OP→＝mOA →＋(1－m )OB →＝OB →＋m (OA →－OB →)，∴OP→－OB →＝m (OA →－OB →)，即BP →＝mBA →，∴BP →与BA →共线．又∵BP→与BA →有公共点B ，则A ，P ，B 三点共线．(2)若A ，P ，B 三点共线，则存在实数λ，使BP →＝λBA →，∴OP→－OB →＝λ(OA →－OB →)．∴OP→＝λOA →＋(1－λ)OB →，①又OP →＝mOA →＋nOB →，②由①②得λOA →＋(1－λ)OB →＝mOA →＋nOB →，∵OA →，OB →不共线，＝m ，－λ＝n ，∴m ＋n ＝1.B 组能力提升1．在四边形ABCD 中，AB →＝a ＋2b ，BC →＝－4a －b ，CD →＝－5a －3b ，则四边形ABCD 的形状是(C )A ．矩形B ．平行四边形C ．梯形D ．菱形[解析]∵AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝－8a －2b ＝2(－4a －b )＝2BC →，∴AD→∥BC →.又AB →与CD →不平行，∴四边形ABCD 是梯形．2．(2022·广西玉林高中模拟)设D ，E ，F 分别为△ABC 三边BC ，CA ，AB 的中点，则DA→＋2EB →＋3FC →＝(D )A.12AD →B ．32AD→C ．12→D ．32AC→[解析]∵D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，∴DA →＋2EB →＋3FC→＝12(BA →＋CA →)＋2×12(AB →＋CB →)＋3×12(AC →＋BC →)＝12BA →＋12CA →＋AB →＋CB →＋32AC →＋32BC →＝12AB →＋12BC →＋AC →＝32AC →.3．(2023·衡水调研)如图所示，在正方形ABCD 中，E 为BC 的中点，F 为AE 的中点，则DF →＝(D )A ．－12AB →＋34AD→B ．12AB →＋23AD→C.13AB →－12AD →D ．12AB →－34AD→[解析]DF→＝AF →－AD →，AE →＝AB →＋BE →.∵E 为BC 的中点，F 为AE 的中点，∴AF →＝12AE →，BE →＝12BC →，∴DF→＝AF →－AD →＝12AE →－AD →＝12(AB →＋BE →)－AD →＝12AB →＋14BC →－AD →，又BC →＝AD →，∴DF →＝12AB →－34AD →.4．在△ABC 中，点D 是边BC 的中点，点G 在AD 上，且是△ABC 的重心，则用向量AB→、AC →表示BG →为(B )A.BG →＝－13AB →＋23AC→B ．BG →＝－23AB →＋13AC→C.BG→＝－23AB →－13AC →D ．BG →＝23AB →＋13AC →[解析]根据三角形重心关系有AG →＝23AD →＝13(AB →＋AC →)，BG →＝AG →－AB →，即可化简得解．在△ABC 中，点D 是边BC 的中点，点G 在AD 上，且是△ABC的重心，所以AG →＝23AD →＝23×12(AB →＋AC →)＝13(AB →＋AC →)，BG →＝AG →－AB →＝13(AB →＋AC →)－AB →＝－23AB →＋13AC →.故选B.5.(多选题)设点M 是△ABC 所在平面内一点，则下列说法正确的是(ACD )A ．若AM →＝12AB →＋12AC →，则点M 是边BC 的中点B ．若AM→＝2AB →－AC →，则点M 在边BC 的延长线上C ．若AM→＝－BM →－CM →，则点M 是△ABC 的重心D ．若AM →＝xAB →＋yAC →，且x ＋y ＝12，则△MBC 的面积是△ABC 面积的12[解析]若AM →＝12AB →＋12AC →，则点M 是边BC 的中点，故A 正确；若AM→＝2AB →－AC →，即有AM →－AB →＝AB →－AC →，即BM →＝CB →，则点M 在边CB 的延长线上，故B 错误；若AM→＝－BM →－CM →，即AM →＋BM →＋CM →＝0，则点M 是△ABC 的重心，故C 正确；如图，AM →＝xAB →＋yAC →，且x ＋y ＝12，可得2AM→＝2xAB →＋2yAC →，2x ＋2y ＝1，得B 、N 、C 三点共线．设AN →＝2AM →，则M 为AN 的中点，则△MBC 的面积是△ABC 面积的12，故D 正确．故选ACD.6．(1)设e 1，e 2是两个不共线向量，已知AB →＝2e 1－8e 2，CB →＝e 1＋3e 2，CD →＝2e 1－e 2.①求证：A ，B ，D 三点共线；②若BF →＝3e 1－k e 2，且B ，D ，F 三点共线，求实数k 的值；(2)已知a ，b 不共线，若向量2k a －b 与a －k b 共线反向，求实数k 的值．[解析](1)①证明：由已知得BD →＝CD →－CB →＝(2e 1－e 2)－(e 1＋3e 2)＝e 1－4e 2，∵AB →＝2e 1－8e 2，∴AB →＝2BD →，又AB →与BD →有公共点B ，∴A ，B ，D 三点共线．②由①可知BD →＝e 1－4e 2，又BF →＝3e 1－k e 2，由B ，D ，F 三点共线，得BF →＝λBD →，即3e 1－k e 2＝λe 1－4λe 2，＝3，k ＝－4λ，解得k ＝12，(2)∵2k a －b 与a －k b 共线反向，∴存在实数λ使2k a －b ＝λ(a －k b )(λ<0)．k ＝λ，＝1，∴k ＝±22.又λ<0，∴k ＝－22.。

整理得：CD 1 CA 2 CB 33
3.利用两个常用结论：
(1).若 AD DB,则CD CA CB . 1
(2).OA OB OC(, R) 若A,B,C三点共线，则 1，反之也成立.
总结： 1．向量的线性运算中常用的变形如下：
(1)化减为加，即运用 AB BA或 AB BA 0 .
(3)求参数的值，利用共线向量定理及向量相等训练★
5.已知不共线向量a，b，且AB＝a＋2b，BC＝－5a＋6b，
CD＝7a－2b，则A、B、C、D四点中，一定共线
的三点是
. 考虑几种情况？
A,B,C; A,C,D; B,C,D; A,B,D.
不共线
共线
解析：BD＝BC＋CD＝(－5a＋6b)＋(7a－2b)
变式：下列说法正确的是( ) A.AB / /CD 就是 AB 所在的直线平行于
平行或共线 CD（所重在的合直）线
B．长度相等的向量叫相等向量 方向不一定相同！
C．零向量长度等于0 注意零向量方向任意！
D．共线向量是在同一条直线上的向量
总结：对于有关向量基本概念的考查，可以从概念 的特征入手，也可以从通过举出反例而排除或否定 相关命题。
＝2a＋4b＝2(a＋2b)＝2AB， ∴BD与AB共线，又∵有公共点B，
如何说明？
∴A、B、D三点共线.
★课堂小结★
基本概念
平面向量
线性运算
★作业★
完成课后巩固训练
C→D＝3(a－b)，求证：A、B、D 三点共线． 【思路点拨】要证明 A、B、D 三点共线，只要证A→B、B→D共
线即可，只要找到实数 λ，使B→D＝λA→B即可．
1.【解析】 ∵c∥d，∴c＝λd，即 ka＋b＝λ(a－b)＝λa－λb，

双 向 固 基 础
平面向量的概念及其线性运算
—— 链接教材 ——
→ ＋MB → )＋(BO → ＋BC → )＋OM → 化简 1．[教材改编] 向量式(AB 后等于________．
→ [答案] AC
→ ＋BO → ＋OM → ＋MB → ＋BC → ＝AC →. [解析] 原式＝AB
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第24讲
→ ＝a，AC →＝ 4．[教材改编] M 是 BC 边上的中点，AB → ＝________． b，则AM
1 [答案] 2(a＋b) → ＋BM → ＝AM →， [解析] ∵AB
1 → → → → → → → → → AC＋CM＝AM，∴AM＝2(AB＋BM＋AC＋CM)．又CM →， ＝－BM 1 → → 1 → ∴AM＝ (AB＋AC)＝ (a＋b)． 2 2
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平面向量的概念及其线性运算
3．[教材改编] a 表示向东走 1 km，b 表示向南走 1 km， 则 a＋b 表示向________方向走________ km.
[答案] 东南
2
[解析] 向东南方向走 2 km.
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平面向量的概念及其线性运算
零向 量
或
0 长度为________ 的向量
0 用________ 表示
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平面向量的概念及其线性运算
名称 单位向量 平行向量
定义
表示
1 长度等于________ 个单位的向量
1 用e表示，|e|＝________
a∥b
相同 或相反的非零向量 方向________ 长度 相等且方向________ 相同 的 ________