2020年高中数学学业水平考试模拟试题及答案
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1.已知集合{1,2}A，{2,3}B，则
AB
A.{1} B.{2} C.{1,2} D.{1,2,3}
2.函数
2
log(1)yx
的定义域是
A.(1,) B.[1,) C.(0,) D.[0,)
3.设R，则sin()2
A.sin B.sin C.cos D.cos
4.将一个球的半径扩大到原来的2倍，则它的体积扩大到原来的
A.2倍 B.4倍 C.6倍 D.8倍
5.双曲线221169xy的焦点坐标是
A.(5,0)，(5,0) B.(0,5)，(0,5) C.(7,0)，(7,0) D.(0,7)，(0,7)
6.已知向量(,1)xa，(2,3)b，若ab∥，则实数x的值是
A.23 B.23 C.32 D.32
7.设实数,xy满足0,230,xyxy则xy的最大值为
A.1 B.2 C.3 D.4
8.在ABC△中，角,,ABC的对边分别为,,abc.已知45B，30C，1c，则b
A.
22 B.3
2
C.2 D.3
9.已知直线,lm和平面，m，则“lm”是“l”的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
10.要得到函数()sin(2)4fxx的图象，只需将函数()sin2gxx的图象
A.向右平移8个单位 B.向左平移8个单位
C.向右平移4个单位 D.向左平移4个单位
11.若关于x的不等式2xmn的解集为(,)，则的值
A.与
m有关，且与n有关 B.与m有关，但与n
无关
C.与
m无关，且与n无关 D.与m无关，但与n
有关
12.在如图所示的几何体中，正方形
DCEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，ABDC
∥
，
6AB，2ADDC
，23BC，则该几何体的正视图为
A B C D
13.在第12题的几何体中，二面角EABC的正切值为
A.33 B.32 C.1 D.
23
3
14.如图，
,AB
分别为椭圆C：221(0)xyabab的
右顶点和上顶点，O为坐标原点，E为线段AB的中
点，
H为O在AB上的射影，若OE平分HOA
，则
该椭圆的离心率为
A.13 B.33 C.23 D.63
15.三棱柱各面所在平面将空间分为
A.
14部分 B.18部分 C.21部分 D.24
部分
16.函数2()()xnmfxe(其中e为自然对数的底数)的图象
如图所示，则
A.
0m，01n B.0m，10n
C.
0m，01n D.0m，10n
17.数列{}na是公差不为0的等差数列，nS为其前n项和.若对任意的*nN，有3nSS，则65aa
的值不可能．．．为
A.
43 B.32 C.5
3
D.2
18.已知
,
xy
是正实数，则下列式子中能使xy恒成立的是
A.
21xyyx B.112xyyx C.21xyyx D.11
2
xyyx
非选择题部分
二、填空题(本大题共4小题，每空3分，共15分。)
19.圆
22
(3)1xy
的圆心坐标是_______，半径长为_______.
20.如图，设边长为4的正方形为第1个正方形，将其各边相邻的中点相连，
得到第2个正方形，再将第2个正方形各边相邻的中点相连，得到第3
个正方形，依此类推，则第6个正方形的面积为______.
21.已知lglglg()abab，则实数a的取值范围是_______.
22.已知动点
P在直线l：22xy上，过点P
作互相垂直的直线,PAPB分别交x轴，y轴于
,
AB
两点，M为线段AB的中点，O为坐标原点，则
OMOP
的最小值为_______.
三、解答题(本大题共3小题，共31分。)
23.(本题10分)已知函数13()sincos22fxxx，xR.
(Ⅰ)求()6f的值；
(Ⅱ)求函数
()
fx
的最大值，并求出取到最大值时x的集合.
24.(本题10分)如图，直线
l不与坐标轴垂直，且与抛物线C
：2yx有且只有一个公共点P.
(Ⅰ)当点P的坐标为(1,1)时，求直线l的方程；
(Ⅱ)设直线l与y轴的交点为R，过点R且与直线l垂直
的直线m交抛物线C于,AB两点.当2RARBRP时，
求点
P
的坐标.
25.(本题11分)设函数
2
()3()fxaxxa
，其中aR.
(Ⅰ)当1a时，求函数()fx的值域；
(Ⅱ)若对任意[,1]xaa，恒有()1fx，求实数a的取值范围.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9
答案 B A C D A A B C B
题号 10 11 12 13 14 15 16 17 18
答案 A D C D D C C A B
二、填空题(本大题共4小题，每空3分，共15分。）
19．(3,0)，1 20．12 21．[4,) 22．25
三、解答题(本大题共3小题，共31分。）
23．解：(Ⅰ)13()sincos62626f
13144；
(Ⅱ)因为
()cossinsincos
33
fxxx
sin()3x,
所以，函数()fx的最大值为1，
当232xk，即2()6xkkZ时，()fx取到最大值，
所以，取到最大值时x的集合为
{|2}
6
xxkk
，Z
.
24．解：(Ⅰ)设直线l的斜率为(0)kk，则l的方程为1(1)ykx，
联立方程组21(1),,ykxyx 消去x，得
2
10kyyk
，
由已知可得
14(1)0kk
，
解得
1
2
k
，
故，所求直线l的方程为
210xy
.
(Ⅱ)设点
P
的坐标为
2
(,)tt
，直线l的斜率为(0)kk，则l的方程为
2
()ytkxt
，
联立方程组22(),,ytkxtyx 消去x，得
22
0kyytkt
，
由已知可得
2
14()0ktkt
，
得
1
(0)
2
ktt
，
所以，点
R的纵坐标22ttkt，从而，点R
的纵坐标为(0,)2t，
由ml可知，直线m的斜率为2t，
所以，直线m的方程为
2
2
t
ytx
.
设
11(,)Axy，22
(,)Bxy
，将直线m的方程代入
2
yx
，得
2
222
4(21)0
4
t
txtx
，
所以
2242
(21)4410ttt
，
12
1
16
xx
，
又
2114RAtx，2
2
14RBtx
，
2
42
1
4
RPtt
，
由
2
RARBRP
，得
242
12
1
(14)
4
txxtt
，
即
242
11
(14)
164
ttt
，
解得
1
2
t
，
所以，点P的坐标为11(,)42.
