高二普通高中学业水平考试数学试题

云南省2023-2024学年高二下学期期末普通高中学业水平考试数学试卷一、单选题1．已知集合S =｛1，2｝集合T =｛1，2，3｝则S T I 等于（ ） A ．{}1B ．{}2C ．{}1,2D ．{}1,2,32．已知i 为虚数单位，设复数121i,3i z z =-=+，则12z z +=（ ） A ．1B ．4C ．iD ．4i3．已知,,a b c 都是实数.若a b >，则（ ） A ．c c a b > B ．ac bc > C ．a b c c> D ．a c b c ->-4．函数πcos 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期是（ ）A ．4πB ．2πC ．πD ．π25．已知函数()f x x =，则()2f x =（ ） A ．2xB ．xC ．2D ．16．函数2x y =的最小值为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．37．下列函数中，在()0,∞+上单调递增的是（ ） A ．2y x =-B ．1y x=C ．3x y =D ．1,11,1x x y x x -≥⎧=⎨-<⎩8．不等式()60x x -…的解集为（ ）A ．{0}x x <∣B ．{6}x x >∣C ．{0xx ∣…或6}x … D ．{}06xx ∣剟 9．PM MN +=u u u u r u u u u r（ ）A ．0rB ．NP u u u rC ．NM u u u u rD ．PN u u u r10．在ABC V 中，内角,,A B C 的对边分别是,,a b c .若2,3,4a b c ===，则cos B =（ ）A ．1116B ．712 C ．25-D ．59-11．已知i 为虚数单位，则复数26i z =--在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限12．在ABC V 中，内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若111,sin ,sin 63a A B ===，则b =（ ）A ．6B ．4C ．3D ．213．已知平面向量()()1,2,2,a b x ==r r .若a b r r ∥，则实数x 的值是（ ）A ．4B ．1C ．1-D ．4-14．下列函数中，是偶函数的为（ ）A ．()ln f x x =B ．()3f x x =C ．()sin f x x =D ．()e e x xf x -=+15．已知sin 5cos αα=，则tan α=（ ）A ．3B ．5C ．7D ．916．cos cos sin sin αβαβ+=（ ）A ．()cos αβ-B ．()cos αβ+C ．()sin αβ-D ．()sin αβ+17．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，异面直线1BC 与11B D 所成的角等于（ ）A ．π6B ．π4C ．π3D ．π218．设1cos sin 2αα-=，则sin2α=（ ）A ．38B ．34C ．12D ．1819．某单位有职工500人，其中女职工300人，男职工200人.现按男女比例，采用分层随机抽样的方法，从该单位职工中抽取25人进行相关调查研究，则应抽取该单位女职工（ ）A ．10人B ．12人C ．13人D ．15人20．已知0,0a b >>.若1ab =，则lg lg a b +=（ ）A ．0B ．1C ．2D ．321．某同学通过摸球的方式选择参加学校组织的社会实践活动.摸球规则如下：在一个不透明的袋子中有10个大小质地完全相同的球，其中2个红球，8个黄球.该同学从这个袋子中随机摸出1个球.若摸出的球是红球，则参加社区植树；若摸出的球是黄球，则参加社区卫生大扫除.该同学参加社区植树的概率为（ ）A ．15B ．14C ．13D ．1222．为了得到函数πsin(2)3y x =-的图象，只需把函数sin 2y x =的图象上所有的点A ．向左平行移动π3个单位长度B ．向右平行移动π3个单位长度C ．向左平行移动π6个单位长度D ．向右平行移动π6个单位长度二、填空题23．已知()1,2P 是角α终边上的一点，则角α的正切值是.24．一商场门口有个球形装饰品.若该球的半径为1米，则该球的表面积为平方米. 25．已知0a >，则9a a+的最小值是. 26．某校为了解今年春季学期开学第一周，高二年级学生参加学校社团活动的时长，有关部门随机抽查了该校高二年级100名同学，统计他们今年春季学期开学第一周参加学校社团活动的时长，并绘制成如图所示的频率分布直方图.其中这100名同学今年春季学期开学第一周参加学校社团活动的时长（单位：小时）范围是[]2,12，数据分组为[)[)[)[)[]2,4,4,6,6,8,8,10,10,12.这100名同学中，今年春季学期开学第一周参加学校社团活动的时长不少于6小时的人数为人.三、解答题27．甲､乙两名同学进行投篮练习，已知甲命中的概率为0.7，乙命中的概率为0.8，且甲､乙两人投篮的结果互不影响，相互独立.甲､乙两人各投篮一次，求下列事件的概率： (1)甲､乙两人都命中； (2)甲､乙两人至少有一人命中.28．如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 是矩形，,PD DA PD AB ⊥⊥.(1)证明：PD BD ⊥；(2)若π2,3AD DAP ∠==，三棱锥D PBC -PA 与平面PBD 所成角的正弦值.29．已知常数,,a b c 满足a b c >>，且()20,a b c f x ax bx c ++==++.(1)证明：0a >且ca是()f x 的一个零点；(2)若(),m ∞∞∃∈-+，使得()f m a =-，记()1136c T f f m a ⎛⎫=+⋅+ ⎪⎝⎭，下列结论：0,0,0T T T <=>，你认为哪个正确？请说明理由.。

1．直线22xy −=的横截距与纵截距分别为（ ） A ．2，1−B ．2，1C ．4，2−D ．4，22．函数()313f x x =的斜率等于1的切线有（ ）A ．1条B ．2条C ．3条D ．不确定3．如图，在三棱锥O ABC −中，D 是BC 的中点，若OA a =，OB b =，OC c =，则AD 等于（ ）A ．1122a b c −++B ．a b c −++C ．a b c −+−D ．1122a b c −−−4．某鞋店销售四种a ，b ，c ，d 不同款式的运动鞋，甲、乙、丙三人每人任意选择一款运动鞋购买，则不同的购买选择有（ ） A ．24种B ．48种C ．64种D ．81种5．过点()3,3M −作圆()22125C x y −+=：的切线，则切线方程为（ ） A ．4330x y ++=B ．43210x y −+=C ．0x y +=D ．60x y −+=6．桁架桥指的是以桁架作为上部结构主要承重构件的桥梁．桁架桥一般由主桥架、上下水平纵向联结系、桥门架和中间横撑架以及桥面系组成．下面是某桁架桥模型的一段，它是由一个正方体和一个直三棱柱构成．其中AB BH =，那么直线AH 与直线IG 所成角的余弦值为（ ）A ．BC ．12−D ．127．已知数列{}n a 满足111n n n a a a ++=−，且113a =，则{}n a 的前2023项之积为（ ） A ．23B ．13C ．2−D ．3−8．函数()f x 在定义域R 内可导，若()(2)f x f x =−，且(1)()0x f x '−<，设()()3230.52,log 2,log 2a f b f c f ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a b c <<B ．c<<b aC ．c b a <<D ．b<c<a二、多选题（本题共4小题，共20分。

2023-2024学年北京市高二下学期第二次普通高中学业水平合格性考试数学试题一、单选题：本题共20小题，每小题5分，共100分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合，，则()A. B. C. D.2.函数的定义域为()A. B. C. D.3.在复平面内，复数对应的点的坐标为()A. B. C. D.4.如图，在三棱柱中，底面是BC的中点，则直线()A.与直线AC相交B.与直线AC平行C.与直线垂直D.与直线是异面直线5.如图，四边形ABCD是正方形，则()A. B. C. D.6.已知是定义在R上的奇函数，则()A. B.0 C.1 D.27.在下列各数中，满足不等式的是()A. B. C.1 D.28.命题“”的否定是()A. B.C. D.9.()A. B. C. D.10.在下列各数中，与相等的是()A. B. C. D.11.在下列函数中，在区间上单调递减的是()A. B. C. D.12.已知，则“”是“”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件13.在平面直角坐标系xOy中，以O为顶点，Ox为始边，终边在y轴上的角的集合为()A. B.C. D.14.在中，，则()A. B. C. D.315.下图是甲、乙两地10月1日至7日每天最低气温走势图.记这7天甲地每天最低气温的平均数为，标准差为；记这7天乙地每天最低气温的平均数为，标准差为根据上述信息，下列结论中正确的是()A. B. C. D.16.函数的一个单调递增区间是()A. B. C. D.17.已知，则下面不等式一定成立的是()A. B. C. D.18.2023年杭州亚运会的三个吉祥物分别是“琮琮”“莲莲”“宸宸”．“琮琮”代表世界遗产良渚古城遗址；“莲莲”代表世界遗产杭州西湖；“宸宸”代表世界遗产京杭大运河．某中学学生会宣传部有4名学生，其中高一、高二年级各2名．从这4名学生中随机抽取2名负责吉祥物的宣传工作，则这2名学生来自不同年级的概率为()A. B. C. D.19.在区间上，的最大值是其最小值的4倍，则实数()A.1B.2C.3D.420.小明同学在通用技术课上，制作了一个半正多面体模型．他先将正方体交于同一顶点的三条棱的中点分别记为，如图1所示，然后截去以为底面的正三棱锥，截后几何体如图2所示，按照这种方法共截去八个正三棱锥后得到如图3所示的半正多面体模型．若原正方体的棱长为6，则此半正多面体模型的体积为()A.108B.162C.180D.189二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

一、单选题二、多选题1. 若复数满足，则复数的共轭复数不可能为（ ）A．B．C．D．2. 从2019年末开始，新型冠状病毒在全球肆虐.为了研制新型冠状病毒疫苗，某大型药企需要从150名志愿者中抽取15名志愿者进行临床试验，现采用分层抽样的方法进行抽取，若这150名志愿者中老年人的人数为50人，则老年人中被抽到进行临床试验的人数是（ ）A ．15B ．10C ．5D ．13. 已知数列的各项均为实数，为其前n 项和，若对任意，都有，则下列说法正确的是（ ）A．为等差数列，为等比数列B ．为等比数列，为等差数列C．为等差数列，为等比数列D．为等比数列，为等差数列4. 已知，向量，，则“”是“”的（ ）A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5. 已知抛物线的焦点为F ，准线为l ，点P 在C 上，直线与y 轴交于点M ，且，则点P 到直线l 的距离为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．66. 已知是复数z 的共轭复数，若在复平面上的对应点位于第一象限，则z 的对应点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限7. 四面体中，，且与所成角为，则该四面体的外接球表面积为（ ）A．B．C．D．8.已知向量，若，则（ ）A．B．C ．6D．9. 《张丘建算经》是中国古代众多数学名著之一.书中有如下问题：“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月日织九匹三丈，问日益几何？”其大意为：“有一女子擅长织布，织布的速度一天比一天快，从第二天起，每天比前一天多织相同数量的布，第一天织5尺，一个月共织了9匹3丈，问从第二天起，每天比前一天多织多少尺布？”已知1匹丈，1丈尺，若这个月有30天，记该女子这个月中第天所织布的尺数为，，则（ ）A．B ．数列是等比数列C．D．10. 为评估一种农作物的种植效果，选了10块地作试验田.这10块地的亩产量（单位：kg ）互不相等，且从小到大分别为，则下列说法正确的有（ ）A ．的平均数可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度B ．的标准差可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度C．可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度D ．的中位数为11.在正方体中，下述正确的是（ ）A．平面B ．平面北京市第一次普通高中2023-2024学年高二上学期学业水平合格性考试数学试题三、填空题四、填空题五、填空题六、解答题C．D ．平面平面12.已知椭圆的左右两焦点为，为椭圆的内接三角形，已知，且满足，则直线的方程为__________．13. 在平行四边形ABCD 中，点G 在AC 上，且满足，若，则______.14. 已知函数，则在点处的切线方程为______．15.已知函数其中．那么 的零点是_____；若的值域是 ，则c 的取值范围是_____．16. 阅读下面题目及其解答过程．．）求证：函数是偶函数；）求函数的定义域是，都有又因为② ．所以函数是偶函数．时，，在区间上单调递减．时，时，在区间 的单调递增区间是．以上题目的解答过程中，设置了①～⑤五个空格，如下的表格中为每个空格给出了两个选项，其中只有一个正确，请选出正确的选项，并填写在相应的横线上（只需填写“A”或“B”）．空格序号选项①（A ）（B ）②（A ）（B ）③（A ）2（B ）④（A ）（B ）⑤（A ）（B ）17. 已知数列的前项和为，且，记，则________；若数列满足，则的最小值是________．18. 已知函数.(1)求f （x ）的最小正周期和在的单调递增区间；七、解答题八、解答题九、解答题十、解答题(2)已知，先化简后计算求值：19. 第24届冬季奥林匹克运动会将于2022年2月在中国北京举行.为迎接此次冬奥会，北京市组织大学生开展冬奥会志愿者的培训活动，并在培训结束后统一进行了一次考核.为了了解本次培训活动的效果，从A 、B 两所大学随机各抽取10名学生的考核成绩，并作出如图所示的茎叶图.考核成绩考核等级合格优秀（1）计算A 、B 两所大学学生的考核成绩的平均值；（2）由茎叶图判断A 、B 两所大学学生考核成绩的稳定性；（不用计算）（3）将学生的考核成绩分为两个等级，如下表所示.现从样本考核等级为优秀的学生中任取2人，求2人来自同一所大学的概率.20.已知数列的前项和为，且.(1)证明数列为等差数列，并求出的通项公式；(2)设数列，问是否存在正整数，使得，若存在，求出所以满足要求的的值；若不存在，请说明理由.21. 在某项体育比赛中，从第2局开始，选手每次对局获胜的概率受到前一局的影响．现甲、乙两位运动员对局，第一局甲胜的概率为；若前一局甲负，则下一局甲胜的概率是；若前一局甲胜，则下一局甲胜的概率为．比赛没有平局．(1)求甲在第3局中获胜的概率；(2)现设置300万元奖金，若甲在前3局中已经胜了2局，如果停止比赛，那么甲拿走奖金的，如果再继续比赛一局，第4局甲获胜，甲拿走奖金的，第4局甲失败，甲拿走奖金的，请问甲将如何决策，以期拿走更多的奖金．22.在等比数列中，分别是下表第一，二，三行中的某一个数，且中的任何两个数不在下表中的同一列，设数列的前项和为．第一列第二列第三列第一行116第二行7第三行5128(1)求数列的通项公式；(2)证明：数列中的任意连续三项按适当顺序排列后，可以成等差数列．。

一、单选题：本题共15小题，每小题3分，共45分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要2023年福建省普通高中高二1月学业水平合格性考试数学试题求的。

1.已知集合，则( )A.B.C.D.2.一个正方体的六个面上分别有字母A ，B ，C ，D ，E ，F ，如下图所示是此正方体的两种不同放置，则与D 面相对的面上的字母是( )A. BB. EC. B 或FD. E 或F3.直线的倾斜角是( )A. B.C. D.4.函数的定义域是( )A.B.C. D. R5.随机投掷一枚质地均匀的骰子，出现向上的点数为奇数的概率是( )A. B.C. D.6.等差数列中，若，公差，则( )A. 10B. 12C. 14D. 227.已知函数则( )A. 4B. 2C.D.8.已知，且为第一象限角，则( )A. B.C.D.9.函数的零点所在的区间是( )A. B.C.D.10.函数的最小正周期是( )A. B. C. D.11.如图，在长方体体中，分别是棱的中点，以下说法正确的是( )A.平面 B. 平面C. D.12.函数的图象大致为( )A. B.C. D.13.为了得到函数的图象，只需把函数的图象( )A. 向右平移个单位长度，再向上平移1个单位长度B. 向右平移个单位长度，再向下平移1个单位长度C. 向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度D. 向左平移个单位长度，再向下平移1个单位长度14.已知，则的大小关系是( )A. B. C. D.15.下列各组向量中，可以用来表示向量的是( )A. B.C. ，D.二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。

16.数列的前n项和为，且，则__________.17.的内角所对的边分别为，且，则__________.18.已知向量与满足，且，则与的夹角等于__________.19.一车间为了规定工时定额，需要确定加工某零件所需的时间，为此进行了多次试验，收集了加工零件个数x与所用时间分钟的相关数据，并利用最小二乘法求得回归方程据此可预测加工200个零件所用的时间约为__________分钟．20.某工厂要建造一个容积为的长方体形无盖水池．如果该水池池底的一边长为，池底的造价为每平方米200元，池壁的造价为每平方米100元，那么要使水池的总造价最低，水池的高应为__________三、解答题：本题共5小题，共50分。

一、单选题二、多选题1. 在中，角所对的边分别为，，，则的最大值为A ．2B ．3C．D ．42. 设x ，y 为正数，则的最小值为（ ）A ．6B ．9C ．12D ．153. 若复数z 满足，则的最小值为（ ）A．B．C ．1D．4. 把函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再将图象向右平移个单位，那么所得图象的一条对称轴方程为( )A．B．C．D．5. 过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，若PQ 的中点到y 轴的距离为1，则等于（ ）A ．4B ．5C ．6D ．86. 已知双曲线C ：的左焦点为为左支上一点，与关于原点对称，且，则双曲线的渐近线方程为（ ）A．B．C．D．7. 已知集合，，则（ ）A．B．C．D．8.已知，则（ ）A．B．C．D．9. 某商户收集并整理了其在2023年1月到8月线上和线下收入的数据，并绘制如图所示的折线图，则下列结论正确的是（）A ．该商户这8个月中，月收入最高的是7月B ．该商户这8个月的线上总收人低于线下总收入C ．该商户这8个月中，线上、线下收入相差最小的是7月D ．该商户这8个月中，月收入不少于17万元的频率是10. 《九章算术》中，将上、下底面为直角三角形的直三棱柱叫做堑堵，在如图所示的堑堵中，，则（ ）．福建省普通高中2022-2023学年高二6月学业水平合格性考试数学试题福建省普通高中2022-2023学年高二6月学业水平合格性考试数学试题三、填空题四、解答题A．B．C ．向量在向量上的投影向量为D ．向量在向量上的投影向量为11. 如图，四棱锥，平面平面ABCD ，侧面PAD 是边长为的正三角形，底面ABCD 为矩形，，点Q 是PD 的中点，则下列结论正确的有（）A ．平面PADB ．直线QC 与PB 是异面直线C ．三棱锥的体积为D ．四棱锥外接球的内接正四面体的表面积为12. 蜜蜂是自然界的建筑大师，在18世纪初，法国数学家马拉尔迪指出，蜂巢是由许许多多类似正六棱柱形状的蜂房（如图）构成，其中每个蜂房的底部都是由三个全等的菱形构成，每个菱形钝角的余弦值是，则（）A．平面B．C ．蜂房底部的三个菱形所在的平面两两垂直D ．该几何体的体积与以六边形为底面，以为高的正六棱柱的体积相等13. 已知函数为奇函数，则实数________．14.若双曲线的渐近线方程为，则其离心率为______.15.已知函数是偶函数，定义域为，且时，，则曲线在点处的切线方程为____________．16. 已知椭圆，其中是与无关的实数.(1)求实数的取值范围；(2)当时，如图所示，过点的直线与椭圆分别相交于点，过点且斜率为的直线与椭圆相交于点，试探究直线是否恒过定点？若是，求出这个定点坐标；若不是，请说明理由.17. 已知椭圆的短轴长为，左顶点到左焦点的距离为1.(1)求椭圆的标准方程；(2)如图所示，点A是椭圆的右顶点，过点的直线与椭圆交于不同的两点，且都在轴的上方，点的坐标为.证明：.18. 已知椭圆的一个焦点是．直线与直线关于直线对称，且其相交于椭圆的上顶点．(1)求的值；(2)设直线分别与椭圆交于两点，证明：直线过定点．19. 已知抛物线C：，过的直线与C相交于A，B两点，其中O为坐标原点.(1)证明：直线OA，OB的斜率之积为定值；(2)若线段AB的垂直平分线交y轴于M，且，求直线AB的方程.20. 杭州第19届亚运会又称“2022年杭州亚运会”，是继1990年北京亚运会、2010年广州亚运会之后，中国第三次举办亚洲最高规格的国际综合性体育赛事．某高校部分学生十分关注杭州亚运会，若将累计关注杭州亚运会赛事消息50次及以上的学生称为“亚运会达人”，未达到50次的学生称为“非亚运会达人”．现从该校随机抽取100名学生，得到数据如表所示：亚运会达人非亚运会达人合计男生4056女生24合计(1)补全列联表，并判断能否有99%的把握认为是否为“亚运会达人”与性别有关？(2)现从样本的“亚运会达人”中按性别采用分层抽样的方法抽取6人，然后从这6人中随机抽取3人，记这3人中女生的人数为X，求X的分布列和数学期望．附：，．0.0500.0100.005k 3.841 6.6357.87921. 如图，在三棱锥中，，为的中点．点在棱上(1)证明：平面平面；(2)若，求点到平面的距离．。

2023-2024学年福建省普通高中高二学业水平合格性考试数学模拟试题参考公式：样本数据1x ，2x ，L ，n x 的标准差s =其中x 为样本平均数柱体体积公式VSh =，其中S 为底面面积，h 为高台体体积公式()13V S S h '=，其中S '，S 分别为上、下底面面积，h 为高锥体体积公式13V Sh=，其中S 为底面面积，h 为高球的表面积公式24S R π=，球的体积公式343V R π=，其中R 为球的半径第I 卷（选择题57分）一、单项选择题：本题共15小题，每小题3分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若集合{}1,2,3A =，{}2,3,4B =，则A B = （）A.{}1,2,3 B.{}1,2,3,4 C.{}2,3,4 D.{}2,3【正确答案】D【分析】根据给定的条件，利用交集的定义求解作答.【详解】集合{}1,2,3A =，{}2,3,4B =，则{}2,3A B ⋂=.故选：D2.已知角的顶点与直角坐标系的原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，那么，下列各角与380︒角终边相同的是（）A.20︒B.30︒C.40︒D.50︒【正确答案】A【分析】利用终边相同的角的集合逐一对各个选项分析判断即可求出结果.【详解】因为与380︒角终边相同的角的集合为{}|380360,Z k k ββ=︒+⋅︒∈，当1k =-时，得到20β=︒，又Z k ∈，所以易知BCD 均不符合题意.故选：A .3.函数()()ln 2f x x =-的定义域是（）A.()0,2 B.()2,+∞ C.[2,)+∞ D.(,2)-∞【正确答案】B【分析】解20x ->，即可得出函数的定义域.【详解】解20x ->，可得2x >，所以，函数()()ln 2f x x =-的定义域是()2,+∞.故选：B.4.函数()27xf x x =+-的零点所在的区间是()A.()0,1 B.()1,2 C.()2,3 D.()3,4【正确答案】C【分析】由函数可得f （2）•f （3）＜0，再利用函数的零点的判定定理可得函数f （x ）＝2x +x ﹣7的零点所在的区间．【详解】∵函数f （x ）＝2x +x ﹣7，∴f （2）＝﹣1＜0，f （3）＝4＞0，f （2）•f （3）＜0，根据函数的零点的判定定理可得，函数f （x ）＝2x +x ﹣7的零点所在的区间是（2，3），故选C ．本题主要考查函数的零点的判定定理的应用，属于基础题．5.计算1ln 3ln 3+=（）A.1- B.0C.2D.3【正确答案】B【分析】利用对数的运算法则即可求出结果.【详解】因为11ln 3ln ln 3ln 3ln 3ln 303-+=+=-=，故选：B.6.已知0x >，则4x x+的最小值为（）A.2B.3C.4D.5【正确答案】C【分析】根据题意，利用基本不等式，即可求解.【详解】因为0x >，所以44x x +≥=，当且仅当4x x =时，即2x =时，等号成立，所以4x x+的最小值为2.故选：C.7.下列向量组中，可以用来表示该平面内的任意一个向量的是（）A.()1,2a =r，()0,0b = B.()1,2a =r，()1,2b =-- C.()1,2a =r，()5,10b = D.()1,2a =r，()1,2b =- 【正确答案】D【分析】根据平面向量基本定理可知，表示平面内的任意向量的两个向量不能共线，结合选项，即可判断.【详解】表示平面内的任意一个向量的两个向量不能共线，A.向量b是零向量，所以不能表示平面内的任意向量，故A 错误；B.a b =-，两个向量共线，所以不能表示平面内的任意向量，故B 错误；C.5b a =，两个向量共线，所以不能表示平面内的任意向量，故C 错误；D.不存在实数λ，使b a λ=，所以向量,a b 不共线，所以可以表示平面内的任意向量，故D 正确.故选：D8.ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c，且a =60A = ，45C = ，则边c的值为（）A.1B.C.D.2【正确答案】B【分析】利用正弦定理可求得边c 的长.【详解】因为a =60A = ，45C = ，由正弦定理sin sin c aC A=，可得2sin 2sin 32a Cc A===.故选：B.9.甲、乙两人进行投篮比赛，他们每次投中的概率分别为0.5，0.6，且他们是否投中互不影响．若甲、乙各投篮一次，则两人都投中的概率为（）A.0.2 B.0.3C.0.4D.1.1【正确答案】B【分析】根据独立事件同时发生的概率公式，即可求解.【详解】设甲投中为事件A ，乙投中为事件B ，两事件相互独立，所以()()()0.50.60.3P AB P A P B ==⨯=.故选：B10.为了得到y =sin(x+13),x R ∈的图象，只需把曲线y=sinx 上所有的点A.向左平行移动3π个单位长度B.向左平行移动13个单位长度C.向右平行移动3π个单位长度 D.向右平行移动13个单位长度【正确答案】B【详解】需把曲线y=sinx 上所有的点向左平行移动13个单位长度,得到y =sin(x+13),x R ∈的图象.故选B.11.不等式()20x x ->的解集为（）A.{2x x <-或0}x >.B.{0x x <或2}x >.C.{}|02x x << D.{}|20x x -<<【正确答案】B【分析】根据一元二次不等式的解法，即可求解.【详解】不等式()20x x ->，解得：2x >或0x <，所以不等式的解集为{0x x <或2}x >.故选：B12.设134a =，132b =，13log 2c =，则a ，b ，c 的大小关系是（）A.a b c >>B.a c b >>C.c b a >>D.b c a>>【正确答案】A【分析】根据指数幂以及对数的运算性质，可得232a =，3log 2c =-，进而根据指数函数以及对数函数的性质，即可得出答案.【详解】因为1213334220a b ==>=>，133log 2log 20c ==-<，所以，a b c >>.故选：A.13.函数||2x y =的图象大致是（）A. B.C. D.【正确答案】D【分析】设()||2x f x =，根据解析式得出函数的奇偶性以及单调性，即可得出答案.【详解】设()||2x f x =，则()()||2x f x f x --==，所以()f x 为偶函数，所以A 、B 项错误.又当0x ≥时，()2xf x =为增函数，所以C 项错误，故D 项正确.故选：D.14.“a c b c >”是“a b >”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件【正确答案】A【分析】根据条件，利用充分条件和必要条件的判断方法即可得出结果.【详解】若a c b c >，则()0a c b c a b c -=->，又因为0c ≥，所以0a b ->，即a b >，若a b >，因为0c ≥，当0c =时，a c b c >不成立，所以“a c b c >”是“a b >”的充分不必要条件.故选：A.15.某学校新建的天文观测台可看作一个球体，其半径为3m ．现要在观测台的表面涂一层防水漆，若每平方米需用0.5kg 涂料，则共需要涂料（单位：kg ）（）A.1.5πB.4.5πC.6πD.18π【正确答案】D【分析】先利用球的表面积公式求出表面积，再根据条件即可求出结果.【详解】因为3r =，所以球的表面积为24π36πS R ==，又每平方米需用0.5kg 涂料，所以共需36π0.518π⨯=kg 涂料.故选：D二、多项选择题：本题共4小题，每小题3分，共12分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得3分，部分选对的得2分，有选错的得0分．16.下列函数中，是偶函数的有（）A.21y x =+B.2log y x= C.2xy = D.cos y x=【正确答案】AD【分析】先求出函数的定义域，然后将x -代入，结合偶函数的性质，即可得出答案.【详解】对于A 项，设()21f x x =+，函数()f x 定义域为R ，且()()21f x x f x -=+=，所以函数21y x =+为偶函数，故A 正确；对于B 项，因为函数2log y x =的定义域为()0,∞+，不关于原点对称，所以函数2log y x =为非奇非偶函数，故B 错误；对于C 项，设()2xg x =，函数()g x 定义域为R ，但()22xx g x --=≠，所以函数2x y =不是偶函数，故C 错误；对于D 项，设()cos h x x =，函数()h x 定义域为R ，且()()()cos cos h x x x h x -=-==，所以函数cos y x =为偶函数，故D 正确.故选：AD.17.袋中有大小和质地均相同的5个球，其中2个红球，3个黑球．现从中随机摸取2个球，下列结论正确的有（）A.“恰有一个红球”和“都是红球”是对立事件B.“恰有一个黑球”和“都是黑球”是互斥事件C.“至少有一个黑球”和“都是红球”是对立事件D.“至少有一个红球”和“都是红球”是互斥事件【正确答案】BC【分析】以黑球的个数为切入点，试验的样本空间为{}0,1,2Ω=.将事件用集合表示出来，即可得出答案.【详解】以黑球的个数为切入点，试验的样本空间为{}0,1,2Ω=.对于A 项，“恰有一个红球”可用{}1A =来表示，“都是红球”可用事件{}0B =来表示.所以，事件,A B 互斥，但,A B 不是对立事件，故A 项错误；对于B 项，“恰有一个黑球”可用{}1A =来表示，“都是黑球”可用事件{}2C =来表示.所以事件,A C 互斥，故B 项正确；对于C 项，“至少有一个黑球”可用事件{}1,2D =来表示，“都是红球”可用事件{}0B =来表示.所以，事件,B D 为互斥事件，也是对立事件，故C 项正确；对于D 项，“至少有一个红球”可用事件{}0,1E =来表示，“都是红球”可用事件{}0B =来表示.所以，事件{}0B E = ，即交事件为“都是红球”，故D 项错误.故选：BC .18.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，AB BC =，下列命题正确的有（）A.11A B CC ⊥B.11//A B B CC.平面1A BD ⊥平面11AAC CD.平面1//A BD 平面11CB D 【正确答案】CD【分析】根据长方体的性质推得11//AA CC ，即可判断A 项；根据长方体的性质推得四边形11DCB A 是平行四边形，得出11//A D B C ，即可判断B 项；根据长方体的性质以及线面垂直的判定定理，可得出BD ⊥平面11AAC C ，即可得出C 项；根据长方体的性质以及线面平行的判定定理，可得出1//A D 平面11CB D ，//BD 平面11CB D ，然后即可判定面面平行，得出D 项.【详解】对于A 项，由长方体的性质可知11//AA CC .又11,AA A B 不垂直，所以11,A B CC 不垂直，故A 错误；对于B 项，由长方体的性质可知11//A B CD ，11A B CD =，所以，四边形11DCB A 是平行四边形，所以，11//A D B C .因为11,A B A D 不平行，所以11,AB BC 不平行，故B 错误；对于C 项，因为AB BC =，根据长方体的性质可知ABCD 是正方形，所以，BD AC ⊥.根据长方体的性质可知，1CC ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以，1CC BD ⊥.因为AC ⊂平面11AAC C ，1CC ⊂平面11AAC C ，1AC CC C = ，所以，BD ⊥平面11AAC C .因为BD ⊂平面1A BD ，所以平面1A BD ⊥平面11AAC C ，故C 项正确；对于D 项，由B 知，11//A D B C .因为1B C ⊂平面11CB D ，1A D ⊄平面11CB D ，所以1//A D 平面11CB D .根据长方体的性质可知，11//BB DD ，且11BB DD =，所以，四边形11DBB D 为平行四边形，所以11//B D BD .因为11B D ⊂平面11CB D ，BD ⊄平面11CB D ，所以//BD 平面11CB D .因为1A D ⊂平面1A BD ，BD ⊂平面1A BD ，1A D BD D ⋂=，所以平面1//A BD 平面11CB D ，故D 项正确.故选：CD.19.某简谐运动在一个周期内的图象如图所示，下列判断正确的有（）A.该简谐运动的振幅是3cmB.该简谐运动的初相是2π5C.该简谐运动往复运动一次需要2sD.该简谐运动100s 往复运动25次【正确答案】ABD【分析】结合简谐运动在一个周期内的图象可判断A ；设该函数解析式为()()()sin 0,0f x A x A ωϕω=+>>，由简谐运动在一个周期内的图象可得ω，把点()2.2,3-代入解析式可得π33sin 2.22ϕ⎛⎫-=⨯+⎪⎝⎭，可判断BCD.【详解】对于A ，由简谐运动在一个周期内的图象可得该简谐运动的振幅是3cm ，故A 正确；对于B ，设该函数解析式为()()()sin 0,0f x A x A ωϕω=+>>，由简谐运动在一个周期内的图象可得12π3.2 1.22ω=-=T ，可得112π3.2 1.222ω=-=⨯T ，所以π4,2ω==T ，所以()π3sin 2ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭f x x ，因为把点()2.2,3-代入解析式可得π33sin 2.22ϕ⎛⎫-=⨯+ ⎪⎝⎭，所以()π1.1π2π2ϕ+=-+∈k k Z ，所以()1.6π2πϕ=-+∈k k Z ，若2π1.6π2π5ϕ=-+=k ，则1k =，故B 正确；对于C ，由B 可知4s T =，故C 错误；对于D ，该简谐运动100s 往复运动100425÷=次，故D 正确.故选：ABD .第II 卷（非选择题43分）（请考生在答题卡上作答）三、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分．20.已知i 为虚数单位，计算()i 1i -=________．【正确答案】1i +##i+1【分析】根据复数的乘法运算，计算即可得出答案.【详解】因为()2i 1i i i 1i -=-=+.故答案为.1i+21.已知函数221,0()log ,0x x f x x x ⎧+≤=⎨>⎩，则((1))f f -=________．【正确答案】1【分析】根据分段函数的表达式由内向外计算即可.【详解】()1112f -=+=，()22log 21f ==，()()11∴-=f f .故1.22.已知向量()1,0a =，b = ，且a 与b的夹角为θ，则cos θ=________．【正确答案】12##0.5【分析】先求向量a 与b 的数量积及a 和b的模，再利用向量夹角公式即得．【详解】向量()1,0a =，(b = ，所以1101⋅=⨯+= a b ，1a = ，2b =，则1cos 1221θ⋅===⨯⋅ a b b a ，故12．23.已知定义在R 上的函数()f x 同时满足下列两个条件：①1x ∀，2R x ∈，()()()1212f x x f x f x +=；②1x ∀，2R x ∈，()()12120f x f x x x -<-．试给出函数()f x 的一个解析式：()f x =________．【正确答案】0.5x （答案不唯一）【分析】根据已知结合指数函数的性质，即可得出答案.【详解】根据指数函数的性质1212x x x x a a a +=，可知指数函数满足①；由②可知，函数为单调递减函数.所以可取()xf x a =()01a <<，即可满足.故答案为.0.5x四、解答题：本题共3小题，共27分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．24.已知α为第一象限角，且3cos 5α=．（1）求sin α的值；（2）求)t n(a π2α-的值．【正确答案】（1）45（2）247【分析】（1）根据条件，利用平方关系即可求出结果；（2）先利用（1）中结论求出4tan 3α=，再利用诱导公式和正切的二倍角公式即可求出结果.【小问1详解】因为α为第一象限角，且3cos 5α=，所以4sin 5α==.【小问2详解】由（1）知4tan 3α=，又282tan 243tan(π2)tan2161tan 719αααα-=-=-=-=--.25.如图，三棱锥A BCD -中，E ，F 分别是AC ，BC的中点．（1）求证：//EF 平面ABD ；（2）若AD BD ⊥，3AD =，4BD =，5AC =，BC =，30CBD ∠=︒，求三棱锥A BCD -的体积．【正确答案】（1）证明见解析（2）【分析】（1）分别取,AD BD 的中点为,G H ，连结,,GE GH HF .可证明四边形GHFE 为平行四边形，//EF GH ，然后即可根据线面平行的判定定理得出证明；（2）在BCD △中，根据余弦定理求得4CD =.进而在ADC △中，根据勾股定理得出AD CD ⊥.结合已知条件，根据线面垂直的判定定理即可得出AD ⊥平面BCD .根据面积公式求出BCD △的面积，即可根据棱锥的体积公式得出答案.【小问1详解】如图，分别取,AD BD 的中点为,G H ，连结,,GE GH HF .因为,,,E F G H 分别为,,,AC BC AD BD 的中点，所以，//GE CD ，且12GE CD =，//HF CD ，12HF CD =，所以//GE HF ，且GE HF =.所以，四边形GHFE 为平行四边形，所以，//EF GH .因为GH Ì平面ABD ，EF ⊄平面ABD ，所以，//EF 平面ABD .【小问2详解】由已知可得，在BCD △中，有4BD =，BC =，30CBD ∠=︒，根据余弦定理可知，2222cos CD BD BC BD BD CBD =+-⨯∠(223424162=+-⨯⨯=，所以，4CD =.在ADC △中，有22291625AD CD AC +=+==，所以，90ADC ∠=︒，AD CD ⊥.因为AD BD ⊥，CD ⊂平面BCD ，BD ⊂平面BCD ，CD BD D =I ，所以，AD ⊥平面BCD .又1sin 2BCD S BD BC BCD =⨯⨯⨯∠ 11422=⨯⨯=所以，11333A BCD BCD V S AD -=⨯⨯=⨯= .26.某地有农村居民320户，城镇居民180户．为了获得该地居民的户月均用水量的信息，采用分层抽样的方法抽取得样本A ，并观测A 的指标值（单位：t ），计算得农村居民户样本的均值为8.3，方差为10.86，城镇居民户样本的均值为14.1，方差为34.62．（1）根据以上信息，能否求出A 的均值和方差？说明你的依据；（2）如果A 中农村居民户、城镇居民户的样本量都是25，求A 的均值和方差；（3）能否用（2）的结论估计该地居民的户月均用水量的均值和方差？若能，请说明理由；若不能，请给出一个可以用来估计该地居民的户月均用水量的均值和方差的样本．【正确答案】（1）能，理由见解析（2）均值为11.2，方差为31.15（3）不能，样本中农村户数为32，城镇居民户数为18【分析】（1）根据分层抽样求出从农村以及城镇居民抽取的户数，进而即可根据分层抽样的均值以及方差公式，求出结果；（2）根据分层抽样的均值以及方差公式，即可求出结果；（3）根据分层抽样，重新计算分配农村居民以及城镇居民的户数，即可.【小问1详解】能，理由如下：设农村居民均值为8.3x =，方差为210.86x s =，城镇居民均值为14.1y =，方差为234.62y s =.因为320161809=，则可知样本A 的户数为*25,,120k k N k ∈≤≤，其中农村居民的户数为16k ，城镇居民为9k .所以，样本A 的均值为16910.38825k x k y z k +==，方差()(){}22222116925x y s k s x z k s y z k ⎡⎤⎡⎤=+-++-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦()(){}2211610.868.310.388934.6214.110.38825k k k ⎡⎤⎡⎤=+-++-⎣⎦⎣⎦27.16425627.16=≈.【小问2详解】样本A 的均值为1252511.250x y z +==，样本方差()(){}222221111252550x y s s x z s y z ⎡⎤⎡⎤=+-++-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦()(){}2212510.868.311.22534.6214.111.231.1550⎡⎤⎡⎤=+-++-=⎣⎦⎣⎦.【小问3详解】不能，因为没有按分层抽样抽取样本，样本数据不能客观反映总体.根据分层抽样抽取人数为2550k =，所以2k =，所以，应从农村居民中抽取户数为1632k =，从城镇居民中抽取户数为918k =.。

2023年7月浙江省普通高中学业水平考试数学本试题卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分100分，考试时间80分钟.考生注意：1. 答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的位置上.2. 答题时，请按照答题纸上“注意事项〃的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效.3. 非选择题的答案必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔写在答题纸上相应区域内,作图时可先使用2B 铅笔，确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑.选择题部分（共52分）一、单项选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.每小题列出的四个备选项中，只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分）1.己知集合，= {-1,0,1,2}, 3 = {x|x 〉0},则下列结论不正确的是（）B. 0^A(^B A.leAC\BC.D.2.函数*的定义域是（）A.-00,——2B.C.D.1■00,—2#3—,+ oo{、 x > 0} - A\JB3.复数z = i （2 + i ）在复平面内对应的点位于)A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限4.已知平面向量U = （L —1）, 5 = （2,4）,若则实数4 =2A. B. -2 C. D.-115.已知sin[ 0 + -^= cos 。

，贝\\ tan20 =)AMC.2^3丁D.2^36.上、下底面圆的半径分别为尸、2r,高为3尸的圆台的体积为A.771丫3B.217ir3C.（5+27!）兀尹D.（5+7^）*7.从集合｛123,4,5｝中任取两个数，则这两个数的和不小于5的概率是（）3749A.—B.—C.—D.—5105108.大西洋畦鱼每年都要逆游而上，游回产地产卵.研究畦鱼的科学家发现鲤鱼的游速v（单位：m/s）可以表示为v=klog3盐，其中。

表示畦鱼的耗氧量的单位数.若一条畦鱼游速为2m/s时耗氧量的单位数为8100,则游速为lm/s的畦鱼耗氧量是静止状态下畦鱼耗氧量的（）A.3倍B.6倍C.9倍D.12倍9.不等式（x-e）（e^-l）<0（其中e为自然对数的底数）的解集是（）A.{x|0<x<1}B.(x0<x<e}C.{x|xv0或x>l}D.{x|xvO或x>e}10.已知。

2024年6月福建省普通高中学业水平合格性考试数学试题（考试时间：90分钟；满分：100分）本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。

第I卷1至3页，第II卷4至6页。

注意事项：1．答题前，考生务必将自己的考生号、姓名填写在试题卷、答题卡上。

考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的考生号、姓名与考生本人考生号、姓名是否一致。

2．第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。

第II卷用黑色字迹签字笔在答题卡上作答。

在试题卷上作答，答案无效。

3．考试结束，监考员将试题卷和答题卡一并收回。

第Ⅰ卷（选择题57分）一、选择题：本题共19小题，每小题3分，共57分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．集合A={1，2，3，4}，B={0，1，2}，则A∩B=A．{1，2}B．{0，1}C．{3，4}D．{2，3}2．已知函数f(x)=lgx，则f(10)=A．1B．0C．10D．23．sin(2π+α)=A．cosαB．sinαC．－cosαD．－sinα4．已知函数y=f(x)在[－1，2]上的图像如图，则函数单调递增区间为A．[0，1]B．[－1，0]C．[1，2]D．[－1，2]5．圆柱的底面半径和高都是1，则该圆柱的体积为A．π3B．π4C．πD．π26．某高中开设7门课，3门是田径，某学生从7门中选一门，选到田径的概率为A．13B．17C．47D．377．函数f(x)=√x−1的定义域为A．{x|x≥－1}B．{x|x≥1}C．{x|x≤－1}D．{x|x≤1}8．已知平面α、β，α//β是α与β无公共点的A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．既不充分也不必要条件D．充分必要条件，则cosα为9．已知α是第一象限角，sinα=45A．34B．35C．43D．4510．不等式(x－1)(x－2)<0的解集为A．{x|－2<x<－1}B．{x|1<x<2}C．{x|x≤－1}D．{x|x>2或x<1}11．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，异面直线AB，B1D1所成角的大小为A．45∘B．30∘C．90∘D．60∘12．已知向量a=(1，2)，b=(m，－1)，若a⊥b，则m的值为A．－12B．－2C．2D．12。

一、单选题：本题共19小题，每小题3分，共57分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知，则的值为( )A. 1B.C.D. 22.已知球体O 的半径为2，则球体O 的表面积为( )A.B.C.D.3.已知全集为U ，，则其图象为2023-2024学年福建省普通高中高二6月学业水平合格性考试数学试题( )A. B.C. D.4.已知，则的最小值为( )A. 1 B. 2C. 3D. 45.已知，则下列不等式正确的是( )A. B.C.D.6.已知，，则的值为( )A. 4B. 8C. 16D. 327.下列图象中，最有可能是的图象是( )A. B.C.D.8.厦门中学生小助团队的几名成员考试成绩分别为73 76 81 83 85 88 91 93 95，则这几人考试成绩的中位数是( )A. 76 B. 81C. 85D. 919.的值为( )A. B.C.D.10.已知，，且，则y 的值为( )A. 3B. C. 4D.11.已知角的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点，则值为( )A.B.C.D.12.“敬骅号”列车一排共有A 、B 、C 、D 、F 五个座位，其中A 和F 座是靠窗位，若小曾同学想要坐靠窗位，则购票时选到A 或F 座的概率为( )A. B.C.D.13.已知，则上的所有点全部向右移动个单位的函数解析式是( )A.B. C.D. 14.如图所示，，，M 为AB 的中点，则为( )A. B. C. D.15.下列函数中，既是奇函数又是增函数的是( )A. B. C.D.16.“”是“”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件17.已知，，则的周期为( )A. B. C. D.18.已知四棱锥底面为正方形，平面ABCD，则( )A. B. C. 平面ABCD D. 平面SBC19.厦门市实行“阶梯水价”，具体收费标准如表所示不超过的部分3元超过不超过的部分6元超过的部分9元若小曾同学用水量为，则应交水费单位：元( )A. 48B. 60C. 72D. 80二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分。

一、单选题二、多选题1. 若复数（，为虚数单位）是纯虚数，则实数的值为（ ）A．B ．6C ．4D．2.函数，若的解集为，且中恰有两个整数，则实数的取值范围为（ ）A．B．C．D．3. 将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的图象向左平移个单位，得到的图象对应的解析式是（ ）A．B．C．D．4.若双曲线上存在一点P 满足以为边长的正方形的面积等于（其中O 为坐标原点），则双曲线的离心率的取值范围是（ ）A．B．C．D．5.已知实数满足，则的取值范围是（ ）A．B．C．D．6. 不等式“”是“”成立的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7. 天上有些恒星的亮度是会变化的，其中一种称为造父（型）变星，本身体积会膨胀收缩造成亮度周期性的变化.第一颗被描述的经典造父变星是在1784年.上图为一造父变星的亮度随时间的周期变化图，其中视星等的数值越小，亮度越高，则此变星亮度变化的周期、最亮时视星等，分别约是（ ）A ．5.5，3.7B ．5.4，4.4C ．6.5，3.7D ．5.5，4.48.已知数列的前n 项和为，，则以下满足的数列是（ ）A．B．C．D．9. 若正整数m ，n 只有1为公约数，则称m ，n互素，欧拉函数的函数值等于所有不超过正整数k ，且与k 互素的正整数的个数，例如：，，，．下列说法正确的是（ ）A．B ．数列为递增数列C．D ．数列的前n 项和为，则10. 已知三棱柱的体积为，底面满足，，，若在底面上的投影恰好在直线上，则下列说法中，的有（ ）正确北京市第一次普通高中2023-2024学年高二上学期学业水平合格性考试数学试题北京市第一次普通高中2023-2024学年高二上学期学业水平合格性考试数学试题三、填空题四、解答题A．恒有B ．与底面所成角的最大值为C．恒有D．三棱锥外接球表面积的最小值为11.在数列中，，，则以下结论正确的为（ ）．A ．数列为等差数列B．C ．当取最大值时，n 的值为51D ．当数列的前n 项和取得最大值时，n 的值为49或5112. 在如图所示的几何体中，底面是边长为4的正方形，均与底面垂直，且，点分别为线段的中点，则下列说法正确的是（）A ．直线与所在平面相交B ．三棱锥的外接球的表面积为C ．直线与直线所成角的余弦值为D ．二面角中，平面，平面为棱上不同两点，，若，，则13. 已知、，直线上有且只有一个点满足，写出满足条件的其中一条直线的方程__________．14. 的展开式中各项系数之和为64，则该展开式中含的项的系数为______.15.若是等差数列的前项和，，则______．16.若数列的前n 项和为，首项且.（1）求数列的通项公式；（2）若，令，求数列的前n 项和.17. 如图1，在梯形中，，，.将与分别绕，旋转，使得点，相交于一点，设为点，形成图2，且二面角与二面角都是45°.（1）证明：平面平面；（2）若，且梯形的面积为，求二面角的余弦值.18. 已知在直四棱柱中，AD∥BC，AB⊥BC，，AB=1，，为的中点，平面与平面所成的锐二面角的余弦值为 .（1）求证：；（2）若点是棱上的点，且三棱锥的体积为，求直线和平面所成角的正弦值的大小.19. 如图，在四棱锥中，已知，，，，，，为中点，为中点.(1)证明：平面平面；(2)若，求平面与平面所成夹角的余弦值.20. 已知函数，.(1)若函数在上单调递增，求a的取值范围；(2)若，求证：.21. 已知函数.(1)当时，求函数在点处的切线方程；(2)若，恒成立，求a的取值范围.。