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2017届高考数学一轮复习62几何概型学案理

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第六十二课时 几何概型

课前预习案

考纲要求

1.了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率；

2.了解几何概型的意义.

基础知识梳理

1.定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型．

2.特点：

①无限性：在一次试验中，可能出现的结果有无限多个；

②等可能性：每个结果的发生具有等可能性．

3.求解公式：P(A)＝构成事件A的区域长度面积或体积试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积.

思考：已知区间[5,5]M.

事件A：在M内任取一个整数x，使得21x；事件B：在M内任取一个实数x，使得21x.请问，事件A与事件B有何区别？

预习自测

1. 在区间[20,80]内随机取一实数a，则实数a属于区间[50,75]的概率是( )．

A.14 B.34 C.512 D.712

2.一个路口的红绿灯，红灯的时间为30秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为40秒，当某人到达路口时看见的是红灯的概率是( )．

A.15 B.25 C. 35 D. 45

3.在1 L高产小麦种子中混入了一粒带麦锈病的种子，从中随机取出10 mL，则含有麦锈病种子的概率是 ( )

A．1 B．0.1 C．0.01 D．0.001

4.如图，矩形ABCD中，点E为边CD的中点．若在矩形ABCD内部随机取一个点Q，则点Q取自△ABEV内部的概率等于 ( )．

A.14 B.13 C.12

D.23

5.

如图，在半径为R的圆内随机撒一粒黄豆，它落在圆的内接正三角形(阴影部分)内的概率是 ( )．

A.34 B. 334

C. 34π D. 334π

课堂探究案

典型例题

考点1：与长度、角度等相关的几何概型

【典例1】(1)已知一只蚂蚁在边长分别为5,12,13的三角形的边上随机爬行，则其恰在离三个顶点的距离都大于1的地方的概率为________．

(2)如图，四边形ABCD为矩形，3,1ABBC，在DAB内任作射线AP，则射线AP与线段BC有公共点的概率为________．

【变式1】（1）有一根长为1米的细绳子，随机从中间将细绳剪断，则使两截的长度都大于18米的概率为________．

（2）如图，在△ABC中，60Bo，45Co，高3AD，在BAC内作射线AM交BC于点M，则1BM的概率是________．

考点2：与面积、体积相关的几何概型

【典例2】（1）花园小区内有一块三边长分别是5m、5m、6m的三角形绿化地，有一只小花猫在其内部玩耍，若不考虑猫的大小，则在任意指定的某时刻，小花猫与三角形三个顶点的距离均超过2m的概率是________．

(2)在棱长为2的正方体1111ABCDABCD中，点O为底面ABCD的中心，在正方体1111ABCDABCD内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为________．

【变式2】（1）在长为16cm的线段AB上任取一点M，并以线段AM为一边作正方形，则此正方形的面积介于225cm与281cm之间的概率为________．

（2）一只小蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为________．

考点3：几何概型的综合应用

【典例3】（1）在区间[1,1]上随机取一个数k，使直线(2)ykx与圆221xy相交的概率为( )

A.12

B.13

C.33 D.32

（2）如图所示，边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域，在正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率为23，则阴影区域的面积为________．

【变式3】（1）如图的矩形长为5，宽为2，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为138颗，由此我们可以估计出阴影部分的面积约为 ( )

A.165 B.215 C. 235 D. 195

（2）在不等式组240,30,0,0xyxyxy所表示的平面区域内任取一点P（x,y），点P落在圆221xy区域内的概率是________．

当堂检测

1. 将一根长10 cm的铁丝用剪刀剪成两段，然后再将每一段剪成等长的两段，并用这四段铁丝围成一个矩形，则围成的矩形面积大于6 cm2的概率等于( )

A.15 B. 25 C. 35 D. 45

2.利用计算机产生1~0之间的均匀随机数a,则事件“013a”发生的概率为_______ .

3．在区间[2,4]上随机地取一个数x，若x满足||xm的概率为56，则m__________.

课后拓展案

A组全员必做题

1．设不等式组0202xy表示的平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是( )．

A.π4 B.π22 C.π6 D.4π4

2.已知集合2|230Axxx，

1|13xBxygx，在区间3,3上任取一实数x，则“xABI”的概率为( )

A.41 B.81 C.31 D.121

3.在长为12cm的线段AB上任取一点C,现作一矩形，邻边长分别等于线段AC，CB的长，则该矩形面积小于232cm的概率为 ( )．

A.16 B.13 C.23 D.45

4.在区间ππ[,]22上随机取一个数x，则cosx的值介于0至12之间的概率为________．

5.小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离大于12，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于14，则去打篮球；否则，在家看书．则小波周末不在家看书的概率为________．

B组提高选做题

1. 分别以正方形ABCD的四条边为直径画半圆，重叠部分如图中阴影区域所示，若向该正方形内随机投一点，则该点落在阴影区域的概率为 ( )． A.42 B.22

C.44 D. 24

2.设事件A表示“关于x的方程2220xaxb有实数根”．

（1）若a，{1,2,3}b，求事件A发生的概率()PA；

（2）若a，[1,3]b，求事件A发生的概率()PA．

参考答案

预习自测

1.C

2.B

3.C

4.C

5.D

典型例题

【典例1】（1）45；（2）13.

【变式1】（1）34；（2）25.

【典例2】（1）π16；（2）π112.

【变式2】（1）14；（2）127.

【典例3】（1）C；（2）83

【变式3】（1）C；（2）π14.

当堂检测

1.A

2.13

3.3.

A组全员必做题

1.D

2.C 3.C

4.13

5.1316

B组提高选做题

1.B

2.(1)23；（2）12.

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古典概型、概率的基本性质【八大题型】(举一反三)(新高考专用)(解析版)2025年新高考数学一轮复习

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古典概型、概率的基本性质【八大题型】

【题型1 古典概型】................................................................................................................................................3

【题型2 有放回与无放回问题的概率】................................................................................................................4

【题型3 概率基本性质的应用】............................................................................................................................6

【题型4 几何概型】................................................................................................................................................7

【题型5 古典概型与函数的交汇问题】..............................................................................................................10

【题型6 古典概型与向量的交汇问题】..............................................................................................................12

高考数学 考点一遍过 专题52 几何概型 理-人教版高三全册数学试题

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word 专题52 几何概型

（1）了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率.

（2）了解几何概型的意义.

一、几何概型

1．几何概型的概念

如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型,简称为几何概型.

2．几何概型的特点

（1）试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个.

（2）每个基本事件发生的可能性相等.

3．几何概型的概率计算公式

()PAA构成事件的区域长度（面积或体积）试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）.

4．必记结论

（1）与长度有关的几何概型，其基本事件只与一个连续的变量有关；

（2）与面积有关的几何概型，其基本事件与两个连续的变量有关，若已知图形不明确，可将两个变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标，这样基本事件就构成了平面上的一个区域，即可借助平面区域解决问题；

（3）与体积有关的几何概型. word

二、随机模拟

用计算器或计算机模拟试验的方法为随机模拟方法或蒙特卡罗方法.

这个方法的基本步骤是：

（1）用计算器或计算机产生某个X围内的随机数，并赋予每个随机数一定的意义；

（2）统计代表某意义的随机数的个数M和总的随机数个数N；

（3）计算频率()nMfAN作为所求概率的近似值.

注意，用随机模拟方法得到的结果只能是概率的近似值或估计值，每次试验得到的结果可能不同，而所求事件的概率是一个确定的数值.

考向一 与长度有关的几何概型

求解与长度有关的几何概型的问题的关键是将所有基本事件及事件A包含的基本事件转化为相应长度，进而求解．此处的“长度”可以是线段的长短，也可以是时间的长短等.

注意：在寻找事件A发生对应的区域时，确定边界点是问题的关键，但边界点能否取到不会影响事件A的概率.

典例1某学校星期一至星期五每天上午都安排五节课,每节课的时间为40分钟．第一节课上课的时间为7:50~8:30,课间休息10分钟．某同学请假后返校,若他在8:50~9:30之间到达教室,则他听第二节课的时间不少于10分钟的概率是

高考一轮总复习-082.古典概型与几何概型(基础)-知识讲解

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高考总复习：古典概型与几何概型

【考点梳理】

知识点一、古典概型

1. 定义

具有如下两个特点的概率模型称为古典概型：

（1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；

（2）每个基本事件出现的可能性相等。

2. 古典概型的基本特征

（1）有限性：即在一次试验中，可能出现的结果，只有有限个，也就是说，只有有限个不同的基本事件。

（2）等可能性：每个基本事件发生的可能性是均等的。

3.古典概型的概率计算公式

由于古典概型中基本事件发生是等可能的，如果一次试验中共有n种等可能的结果，那么每一个基本事件的概率都是1n。如果某个事件A包含m个基本事件，由于基本事件是互斥的，则事件A发生的概率为其所含m个基本事件的概率之和，即nmAP)(。

所以古典概型计算事件A的概率计算公式为：

试验的基本事件总数包含的基本事件数事件AAP)(

4.求古典概型的概率的一般步骤：

（1）算出基本事件的总个数n；

（2）计算事件A包含的基本事件的个数m；

（3）应用公式()mPAn求值。

5．古典概型中求基本事件数的方法：

（1）穷举法；

（2）树形图；

（3）排列组合法。利用排列组合知识中的分类计数原理和分步计数原理，必须做到不重复不遗漏。

知识点二、几何概型 1. 定义：

事件A理解为区域Ω的某一子区域A，A的概率只与子区域A的几何度量（长度、面积或体积）成正比，而与A的位置和形状无关。满足以上条件的试验称为几何概型。

2.几何概型的两个特点：

（1）无限性，即在一次试验中基本事件的个数是无限的；

（2）等可能性，即每一个基本事件发生的可能性是均等的。

3.几何概型的概率计算公式：

随机事件A的概率可以用“事件A包含的基本事件所占的图形面积（体积、长度）”与“试验的基本事件所占总面积（体积、长度）”之比来表示。

所以几何概型计算事件A的概率计算公式为：AAP)(

其中表示试验的全部结果构成的区域Ω的几何度量，A表示构成事件A的区域的几何度量。

高考数学一轮复习考点规范练55几何概型含解析新人教A版

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1 考点规范练55 几何概型

基础巩固

1.(2021全国Ⅰ,文7)在区间(0,12)随机取1个数,则取到的数小于13的概率为( )

A.34 B.23

C.13 D.16

答案:B

解析:所求事件的概率P=13-012-0=23.

2.若将一个质点随机地投入到如图所示的长方形ABCD中,其中AB=2,BC=1,则质点落在以AB为直径的半圆内的概率是( )

A.π2 B.π4 C.π6 D.π8

答案:B

解析:所求概率为𝑆半圆𝑆长方形=12π·122×1=π4,故选B.

3.“今有池方一丈,葭生其中央,出水一尺,引葭赴岸,适与岸齐.问水深、葭长各几何?”其意思是:有一个正方形的池塘,池塘的边长为一丈,有一棵芦苇生长在池塘的正中央,露出水面一尺,若把它引向岸边,正好与岸边齐(如图所示),问水有多深?芦苇有多长?其中一丈为十尺.若从该芦苇上随机取一点,则该点取自水上的概率为( )

A.1213 B.113 C.314 D.213

答案:B

解析:设水深为x尺,根据勾股定理可得(x+1)2=x2+52,解得x=12,则水深12尺,芦苇长13尺. 2 根据几何概型概率公式可得,从该芦苇上随机取一点,该点取自水上的概率为P=113,故选B.

4.某人从甲地去乙地共走了500 m,途经一条宽为x m的河流,该人不小心把一件物品丢在途中,若物品掉在河里就找不到,若物品未掉在河里,则能找到,已知该物品能被找到的概率为45,则河宽大约为( )

A.80 m B.50 m

C.40 m D.100 m

答案:D

解析:由长度型的几何概型公式结合题意可知,河宽大约为500×(1-45)=100(m).

5.已知在△ABC中,∠ABC=60°,AB=2,BC=6,在BC上任取一点D,则使△ABD为钝角三角形的概率为( )

A.16 B.13

C.12 D.23

答案:C

解析:如图,当BE=1时,∠AEB为直角,则点D在线段BE(不包含B,E点)上时,△ABD为钝角三角形;当BF=4时,∠BAF为直角,则点D在线段CF(不包含C,F点)上时,△ABD为钝角三角形.故△ABD为钝角三角形的概率为1+26=12.