CH01_随机事件与随机变量

-5
•
D C A
0
•
3
•
9
•
20
•
概率统计
-5
•
D = { x x < −5 }, E = { x x ≥ 9 }
由图可见:
A = { x x ≤ 20 }, B = { x x > 3 }, C = { x x < 9 }
D C A
0
•
3
•
9
•
B E
20
•
A ⊃ C ⊃ D, B ⊃ E ; D 与 B , D与 E 互不相容; C 与 E 为对立事件; B 与 C , B与 A, E 与 A 相容.
S
A B
A ∩ B = { x x ∈ A且 x ∈ B }
注 ▲ 它是由事件 A与 B 的所有 公共样本点构成的集合。 ▲称
∞
k =1
∩ Ak 为 n 个事件 A1 , A2 ,
n
An 的积事件
的积事件
k =1
∩ Ak 为可列个事件 A1 , A2 ,
概率统计
5．事件的差： 若事件 A 发生而事件 B 不发生，则称 这样的事件为事件 A 与事件 B 的差。
A 和 B 所有样本点构成的集合 注 ▲ 它是由事件 n ▲ 称 ∪ A k 为 n 个事件 A1 , A 2 , , An 的和事件
k =1
∪ Ak 为可列个事件 A1 , A2 ,
∞
k =1
的和事件
概率统计
4. 事件的积(交)： 若 “两个事件A与 B 同时发生” 也是一个事件， 则称这样的事件为 A与 B 的积 B AB A （交）。记作： A B 或
S
.e
样本点e

G(x) pk (xk )x
当 是连续型随机变量时，其分布密度函数为 f (x) ， 则
G(x)
f ( y)dy
( y) x
二、多元分布和条件分布
（一）随机向量和多元分布
计量经济学中会遇到大量相互联系的两个或多个随机变量 的情况。许多时候重要的不是每个随机变量单独的随机性， 而是一组变量取特定水平的概率。
一、随机变量及其概率分布
（一）随机变量
随机变量就是数量化的随机事件。
按照公理化定义，随机变量是从样本空间扩张而
成的 -域到实数集的函数。
在经济问题中，随机变量就是有随机性的经济指 标、水平。
随机变量也可以通过对定性事件的数量化转化得 到。
“离散型随机变量”和“连续型随机变量”。
（二）概率分布
三、概率分布的数字特征
（一）期望 也称“数学期望”。衡量随机变量取值的平均水平， 定义为随机变量的可能取值，以相应概率为权重加权 的概率均值。
（二）方差 衡量随机变量取值发散程度的指标，定义为随机变量 与其数学期望偏差平方的概率加权和。
（三）期望和方差的性质
（四）条件期望、全数学期望和条件方差 条件期望即给定条件下所考察随机变量的概率均值。
F (x B) P( x B)
为在事件B发生的条件下 的“条件分布函数”，或
简称“条件分布”。
随机变量的相互独立性： 如果 (1,,n ) 的联合分布函数等于所有一维边 缘分布函数的乘积，即
F (x1,, xn ) F1(x1) Fn (xn )
那么称 (1,,n ) 是“相互独立”的。
（4） P(a b) F (b) F (a) ；
（5） P( a) F (a) F (a 0) 。

为离散型r.v.的分布律或概率分布。 离散型 v 的分布律或概率分布。
6
性质： 性质：⑴ pi ≥ 0, i = 1,2,L
⑵
∑p
i =1
∞
i
=1
例4：求例1、例2中随机变量 ξ 的分布律。 的分布律。 解：⑴
ξ
P
－1 1/6
2 1/2
i −1
3 1/3
⑵ pi = P (ξ = i ) = (1 − p )
Pn (k) =
n次中指定哪 次 次中指定哪k次 次中指定哪
k Cn ⋅ pk ⋅ qn−k
(k = 0,1,2,L, n)
n－k次不成功 次不成功 其中q＝ 其中 ＝1-p
9
k次成功 次成功
显然， ⑶ 显然，Pn(k)>0，且 ， P0 + P1 + L + Pn
0 1 k n = C n p 0 q n + C n p 1 q n −1 + L + C n p k q n − k + L + C n p n q 0 二项式 n
p = q i −1 p
1− p = q
∆
ξ
P
1 p
2 qp
… … i qi-1p
i qi-1p
… …
可简化为
ξ
P
(i = 1,2,3,L)
7
二、几个常用的离散型分布 1、离散型均匀分布
ξ
P
x1 1/n
x2 1/n
… …
xn 1/n
满足两性质 2、0-1分布 设事件A发生的概率为 发生的概率为p， 设事件 发生的概率为 ，即P(A)=p。 。 ξ 0 1 0 A未发生 随机变量 ξ 取 p P 1－p － 1 A发生

第一章随机事件与概率§1.1 随机事件一、基本概念1．随机现象：预先不能断定结果的现象（有多种结果）投掷硬币、抽取牌张、观察天气、测量潮位、射击目标、顾客到来、考试排座、交通事故2．随机试验：对随机事件进行实验或观察，简称试验。

有的是人为设置，有的是必须经历。

通常所指的试验具有以下2个特征：（1）可以重复进行；（2）事先明确所有基本结果3．随机事件：试验的某种结果，事前不能确定，事后可观察到是否发生，简称事件（是个判断句）以、、，…等表示。

例1教师任取一个学号（随机），请对应的学生回答问题，站起来的可能“是男生”，“是女生”，“是戴眼镜的学生”，“是穿红衣服的学生”，“是高个子”，“是体重在60公斤以上的”“是叫张华的学生”——这些都是随机事件。

4．基本事件：不能再分解的“最简单”的事件，试验中各种最基本的可能结果。

例2在52张扑克牌中，任取一张，=“抽到◇”，=“抽到K”都是事件，其中可分解为13个最基本的结果，可分解为4个。

5．样本点：即基本事件，记为。

随机事件是某些基本事件（样本点）构成的集合。

6．样本空间：样本点的全体，即全集，记为Ω。

如投币：Ω={正，反} 抽牌：Ω=随机事件都是样本空间的子集。

例1中抽到任何一张◇，都认为已发生，类似地，抽到任何一张牌，都认为Ω已发生。

7．必然事件：试验中必然发生的事件，即Ω。

如投币：Ω=“正面朝上或反面朝上”。

抽牌：Ω=“抽到一张牌”。

8．不可能事件：试验中不可能发生的事件，是一个空集，记为。

如投币：=“正面朝上且反面朝上”。

抽牌：=“抽到一张电影票”。

例3在一批灯泡里，任取一只测试它的寿命（1000～3000小时）：（1）试述一个事件；（2）指出一个样本点；（3）指出样本空间。

二、事件的关系与运算事件是集合，可以进行集合的运算，要求除了会用集合的语言表述外，还要会用事件的语言表述，并且着重于后者。

1．包含关系（或）集合语言：A中的样本点，全在内。