常见的连续型随机变量

常见连续性随机变量1、均匀分布2、正态分布3、指数分布4、埃尔兰分布5、 T 分布（一）均匀分布 ξ～U(a,b)▪ 实际背景：随机变量 X 仅在一个有限区间（a,b ）上取值；随机变量 X 在其内取值具有“等可能”性，则 ξ～U(a,b)。

“等可能”表现在： 若a ≤c<c+l ≤b ，则P{c<ξ<c+l } 与位置无关，只与长度有关设ξ具有概率密度：则称ξ在区间 (a,b)上服从均匀分布，记为ξ ~U(a,b)。

例1：设电阻值R 是一个随机变量，均匀分布在900Ώ~1100Ώ，求R 的概率密度及R 落在 950Ώ~1050Ώ的概率。

解：按题意，R 的概率密度为：⎪⎩⎪⎨⎧∉∈-=].,[,0];,[,1)(b a x b a x a b x p ⎪⎩⎪⎨⎧>≤<--≤=.,1;,;,0)(b x b x a a b a x a x x F ⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其它0110090090011001)(x x p 5.02001}1050950{1050950==<<⎰dr R P例2 ξ ~ U (2, 5). 现在对 ξ 进行三次独立观测，试求至少有两次观测值大于 3 的概率.解：记 A = { ξ > 3 },则 P (A ) = P ( ξ> 3) = 2/3设 Y 表示三次独立观测中 A 出现的次数,则 Y ~ B (3, 2/3)，所求概率为P (Y ≥2) =P (Y =2)+P (Y =3)=20/27（二）正态分布(normal distribution )记为ξ ~ N (μ, σ2),其中σ >0， μ 是任意实数.➢ μ 是位置参数➢ σ 是尺度参数.正态分布的性质(1) p (x ) 关于μ 是对称的. 在μ 点 p (x ) 取得最大值.(2) 若σ 固定, μ 改变, p (x )左右移动, 形状保持不变.(3) 若μ 固定, σ 改变,σ 越大曲线越平坦; σ 越小曲线越陡峭标准正态分布N (0, 1)密度函数记为 ϕ(x ),分布函数记为 Φ(x ).Φ(x ) 的计算(1) x ≥ 0 时, 查标准正态分布函数表.(2) x < 0时, 用 若 ξ ~ N (0, 1), 则(1) P (ξ < a ) = Φ(a );(2) P (ξ≥a ) =1-Φ(a );(3) P (a ≤ξ<b ) = Φ(b )Φ-(a );(4) 若a ≥ 0, 则P (|ξ|<a ) = P (-a <ξ<a ) = Φ(a )Φ-(-a ) = Φ(a )- [1- Φ(a )] = 2Φ(a )-1230233*********C C =+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭2()(),22x p x x μσ⎧⎫-⎪⎪=--∞<<∞⎨⎬⎪⎪⎩⎭R x dt e x F x t ∈=⎰∞---,21)(222)(σμσπ1(1) (0),2Φ=(2)()1()x x Φ-=-Φ()1().x x Φ=-Φ-例2.5.1 设 ξ ~ N (0, 1), 求P (ξ>-1.96) , P (|ξ|<1.96)解: P (ξ>-1.96)= 1- Φ(-1.96) = 1-(1- Φ(1.96)) = Φ(1.96)= 0.975 (查表得)P (|ξ|<1.96)= 2 Φ(1.96)-1= 2 ⨯0.975-1= 0.95例2.5.2 设 ξ ~ N (0, 1), P (ξ ≤ b ) = 0.9515, P (ξ ≤ a ) = 0.04947, 求 a , b . 解: Φ(b ) = 0.9515 >1/2,所以 b > 0,反查表得: Φ(1.66) = 0.9515,故 b = 1.66而 Φ(a ) = 0.0495 < 1/2,所以 a < 0,Φ(-a ) = 0.9505, 反查表得:Φ(1.65) = 0.9505,故 a = - 1.65一般正态分布的标准化 结论1 设 ξ ~ N (μ, σ 2), 结论2:若 ξ ~ N (μ, σ 2), 则 若 ξ ~ N (μ, σ2), 则P (ξ<a ) = ， P (ξ>a ) = 例2.5.3 设ξ ~ N (10, 4), 求 P (10<ξ<13), P (|ξ-10|<2).解: P (10<ξ<13) = Φ(1.5)Φ-(0) = 0.9332 - 0.5= 0.4332P (|ξ -10|<2) = P (8<ξ<12)= 2Φ(1)-1= 0.6826例2.5.4 设 ξ ~ N (μ, σ 2), P (ξ ≤ -5) = 0.045,P (ξ ≤ 3) = 0.618, 求 μ 及 σ.解:μ = 1.76σμξη-=()x F x μσ-=Φ⎛⎫ ⎪⎝⎭a μσ-⎛⎫Φ ⎪⎝⎭1a μσ-⎛⎫-Φ ⎪⎝⎭5 1.6930.3μσμσ+⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩σ =4课堂练习(1)已知ξ~ N(3, 22), 且P{ξ>k} = P{ξ≤k}, 则k = ( ).课堂练习(2)设ξ~ N(μ, 42), η~ N(μ, 52), 记p1 = P{ξ≤μ-4}，p2 = P{η≥μ +5}, 则( )①对任意的μ，都有p1 = p2②对任意的μ，都有p1 < p2③只个别的μ，才有p1 = p2④对任意的μ，都有p1 > p2课堂练习(3)设ξ~ N(μ , σ2), 则随σ的增大，概率P{| ξ-μ | <σ} ( )①单调增大②单调减少③保持不变④增减不定▪例假设在设计公共汽车车门的高度时，要求男子的碰头机会在1%以下，设男子的身高ξ(cm)服从正态分布，ξ~ N (170,36)，问车门高度至少应为多高?实际背景：如果一个随机现象是由大量微小的相互独立的因素共同构成，那么描述这种随机现象的随机变量通常被认为服从或近似服从正态分布．在自然现象和社会现象中，大量随机变量都服从或近似服从正态分布。

概率统计中的离散型随机变量与连续型随机变量概率统计是数学的一个分支，用于研究随机现象的规律性和不确定性。

在概率统计中，随机变量是一个非常重要的概念。

随机变量可以分为离散型随机变量和连续型随机变量两种类型。

本文将介绍这两种类型的随机变量以及它们的特点和应用。

一、离散型随机变量离散型随机变量是指在一定范围内取有限个或可列个值的随机变量。

它的特点是在定义域内的每个值都有一定的概率与之对应。

离散型随机变量的概率可以通过概率分布函数来描述。

概率分布函数是一个将随机变量的取值映射到概率的函数。

离散型随机变量常见的例子有抛硬币的结果、掷骰子的点数、抽奖的中奖号码等。

这些随机变量的取值都是有限个或可列个，每个取值的概率可以通过实验或统计数据得到。

离散型随机变量的期望值和方差是衡量其分布特征的重要指标。

期望值表示随机变量的平均取值，方差表示随机变量取值的离散程度。

通过计算期望值和方差，可以更好地理解和描述离散型随机变量的分布特征。

离散型随机变量在实际应用中有着广泛的应用。

例如，在市场调研中，我们可以将消费者的购买行为看作是一个离散型随机变量，通过统计分析不同购买决策的概率分布，可以了解不同消费者的购买偏好和市场需求。

二、连续型随机变量连续型随机变量是指在一定范围内可以取任意实数值的随机变量。

与离散型随机变量不同，连续型随机变量的取值是连续的，无法一一列举出来。

连续型随机变量的概率可以通过概率密度函数来描述。

概率密度函数是一个描述随机变量概率分布的函数，它可以表示在某个取值范围内随机变量出现的概率密度。

与离散型随机变量的概率分布函数不同，连续型随机变量的概率密度函数在定义域内的每个点上的函数值并不表示该点的概率，而是表示该点附近的概率密度。

连续型随机变量常见的例子有身高、体重、温度等物理量。

这些随机变量的取值可以是任意的实数，通过概率密度函数可以描述它们的概率分布情况。

与离散型随机变量类似，连续型随机变量也有期望值和方差这两个重要指标。

常用离散型随机变量的分布函数一、离散型随机变量：（1）概念：设X 是一个随机变量，如果X 的取值是有限个或者无穷可列个，则称X 为离散型随机变量。

其相应的概率()i i P Xx p ==(12)i =、……称为X 的概率分布或分布列，表格表示形式如下：（2）性质：❶0i p ≥ ❷11ni i p ==∑ ❸分布函数()i ix xF x p==∑ ❹1{}()()i i i P X x F x F x -==-二、连续型随机变量：（1）概念：如果对于随机变量的分布函数()F x ，存在非负的函数()f x ，使得对于任意实数x ，均有：()()xF x f x dx -∞=⎰则称X 为连续型随机变量，()f x 称为概率密度函数或者密度函数。

（2）连续型随机变量的密度函数的性质：❶()0f x ≥ ❷()1f x dx +∞-∞=⎰❸{}()()()P a X b F b F a f x dx +∞-∞<≤=-=⎰❹若()f x 在x 点连续，则()()F x f x '=三、连续型随机变量和离散型随机变量的区别：(1)由连续型随机变量的定义，连续型随机变量的定义域是(),-∞+∞，对于任何x ，000{}()()0P X x F x F x ==--=；而对于离散型随机变量的分布函数有有限个或可列个间断点，其图形呈阶梯形。

(2)概率密度()f x 一定非负，但是可以大于1，而离散型随机变量的概率分布i p 不仅非负，而且一定不大于1. (3)连续型随机变量的分布函数是连续函数，因此X 取任何给定值的概率都为0.(4)对任意两个实数a b <，连续型随机变量X 在a 与b 之间取值的概率与区间端点无关，即：{}{}{}{}()()()baP a X b P a X b P a X b P a X b F b F a f x dx<<=≤≤=<≤=≤<=-=⎰即：{}{}()P X b P X b F x <=≤=四、常用的离散型随机变量的分布函数：（1）0-1分布：如果离散型随机变量X 的概率分布为：1{}k k P X k p q -==（K=0、1）()01p ≤≤ ()1q p =- 称X 服从参数为p 的0-1分布。

连续型随机变量的例子连续型随机变量是在一定范围内可以取到无限多个可能值的随机变量。

以下是一些常见的连续型随机变量的例子，并对它们进行详细描述：1. 长度：长度是一个常见的连续型随机变量。

例如，我们可以测量一条线段的长度，它可以在任意范围内取到无限多个可能值，比如从0到无穷大的任意实数。

2. 面积：面积也是一个连续型随机变量。

例如，在平面几何中，我们可以测量一个图形的面积，它可以在任意范围内取到无限多个可能值，比如从0到无穷大的任意实数。

3. 体积：体积是一个连续型随机变量。

例如，我们可以测量一个物体的体积，它可以在任意范围内取到无限多个可能值，比如从0到无穷大的任意实数。

4. 时间：时间是一个连续型随机变量。

我们可以测量事件发生或过程经历的时间，它可以取到无限多个可能的值，例如从0到无穷大的任意实数。

5. 温度：温度是一个连续型随机变量。

例如，我们可以测量环境或物体的温度，它可以在某个范围内取到无限多个可能值，例如从绝对零度（-273.15摄氏度）到任意高温的任意实数。

6. 速度：速度是一个连续型随机变量。

例如，在物理学中，我们可以测量物体的速度，它可以在任意范围内取到无限多个可能值，比如从0到无穷大的任意实数。

7. 质量：质量是一个连续型随机变量。

例如，我们可以测量物体的质量，它可以在任意范围内取到无限多个可能值，比如从0到无穷大的任意实数。

8. 声音强度：声音强度是一个连续型随机变量。

例如，我们可以测量声音的强度，它可以在某个范围内取到无限多个可能值，比如从0到无穷大的任意实数。

9. 电压：电压是一个连续型随机变量。

例如，在电子学中，我们可以测量电路中的电压，它可以在某个范围内取到无限多个可能值，比如从0到无穷大的任意实数。

10. 能量：能量是一个连续型随机变量。

例如，在物理学中，可以测量系统的能量，它可以在任意范围内取到无限多个可能值，比如从0到无穷大的任意实数。

11. 流量：流量是一个连续型随机变量。