函数的单调性和奇偶性(附答案)

又∵f(x)在 R 上递减， ∴x2－x+3x＜3,∴x2+2x－3＜0∴－3＜x＜1.
∴原不等式的解集为{x|－3＜x＜1 }．
变式：定义在 R 上的函数 y＝f(x)，f(0)≠0，当 x>0 时，f(x)>1， 且对任意的 a，b∈R，有 f(a＋b)＝f(a)·f(b)．
(1)证明：f(0)＝1； (2)证明：对任意的 x∈R，恒有 f(x)>0； (3)证明：f(x)是 R 上的增函数； (4)若 f(x)·f(2x－x2)>1，求 x 的取值范围．
设奇函数 f(x)的定义域为[－5,5]．若当 x∈[0，5]时，f(x) 的图象如图 2－2－5 所示，则不等式 f(x)＜0 的解集是 ________．
图 2－2－5
解：注意到奇函数的图象关于原点成中心对称，用对称的思 想方法画全函数 f(x)在[－5，5]上的图象(如图)，数形结 合，得 f(x)＜0 的解集为{x|－2＜x＜0 或 2＜x≤5}．
变式：已知 f(x)是(－∞，0)∪(0，＋∞)上的偶函数，且当 x ＞0 时，f(x)＝x3＋x＋1，求 f(x)的解析式．
解：①当 x＜0 时，－x＞0，
∴f(－x)＝(－x)3－x＋1＝－x3－x＋1．
又∵f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)．
∴f(x)＝－x3－x＋1.
∴f(x)＝x－3＋x3x－＋x1＋，1，
已知 f(x)是定义在 R 上的不恒为 0 的函数，且对于任意的 x， y∈R，有 f(x·y)＝xf(y)＋yf(x)． (1)求 f(0)，f(1)的值； (2)判断函数 f(x)的奇偶性，并证明你的结论．
解：(1)在 f(xy)＝xf(y)＋yf(x)中， 令 x＝y＝0，得 f(0)＝0＋0＝0，即 f(0)＝0. 令 x＝y＝1，得 f(1)＝1·f(1)＋1·f(1)， ∴f(1)＝0；

函数的单调性与最值[A 组 基础保分练]1.下列函数中，在区间（－1，1）上为减函数的是（ ）A.y ＝11－xB.y ＝cos xC.y ＝ln （x ＋1）D.y ＝2－x解析：函数y ＝11－x，y ＝ln （x ＋1）在（－1，1）上都是增函数，函数y ＝cos x 在（－1，0）上是增函数，在（0，1）上是减函数，而函数y ＝2－x ＝⎝⎛⎭⎫12x 在（－1，1）上是减函数. 答案：D2.函数y ＝x 2－2x ＋3有（ ） A.最小值2 B.最小值2 C.最大值2 D.最大值2解析：易知y ＝（x －1）2＋2，因为（x －1）2＋2≥2，所以y ≥ 2. 答案：B3.函数f （x ）＝11－x （1－x ）的最大值是（ ）A.45B.54C.34D.43解析：由f （x ）＝1⎝⎛⎭⎫x －122＋34≤43，则f （x ）max ＝43.答案：D4.设偶函数f （x ）的定义域为R ，当x ∈[0，＋∞）时，f （x ）是增函数，则f （－2），f （π），f （－3）的大小关系是（ ） A.f （π）＞f （－3）＞f （－2） B.f （π）＞f （－2）＞f （－3） C.f （π）＜f （－3）＜f （－2） D.f （π）＜f （－2）＜f （－3）解析：因为f （x ）是偶函数，所以f （－3）＝f （3），f （－2）＝f （2）.又因为函数f （x ）在[0，＋∞）上是增函数，所以f （π）＞f （3）＞f （2），即f （π）＞f （－3）＞f （－2）. 答案：A5.函数f （x ）＝log a （x 2－4x －5）（a ＞1）的单调递增区间是（ ） A.（－∞，－2） B.（－∞，－1） C.（2，＋∞） D.（5，＋∞）解析：根据题意，得x 2－4x －5＞0，解得x ＜－1或x ＞5，设u ＝x 2－4x －5＝（x －2）2－9，易知u ＝x 2－4x －5的单调递增区间为（2，＋∞），所以f （x ）＝log a （x 2－4x －5）的单调递增区间是（5，＋∞）. 答案：D6.已知函数f （x ）＝log 2x ＋11－x，若x 1∈（1，2），x 2∈（2，＋∞），则（ ）A.f （x 1）＜0，f （x 2）＜0B.f （x 1）＜0，f （x 2）＞0C.f （x 1）＞0，f （x 2）＜0D.f （x 1）＞0，f （x 2）＞0解析：因为函数f （x ）＝log 2x ＋11－x在（1，＋∞）上为增函数，且f （2）＝0，所以当x 1∈（1，2）时，f （x 1）＜f （2）＝0；当x 2∈（2，＋∞）时，f （x 2）＞f （2）＝0， 即f （x 1）＜0，f （x 2）＞0. 答案：B7.函数f （x ）＝xx －1（x ≥2）的最大值为__________.解析：易得f （x ）＝x x －1＝1＋1x －1，当x ≥2时，x －1＞0，易知f （x ）在[2，＋∞）上是减函数，∴f （x ）max ＝f （2）＝1＋12－1＝2.答案：28.设函数f （x ）＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋4x ，x ≤4，log 2x ，x >4.若函数y ＝f （x ）在区间（a ，a ＋1）上是增加的，则实数a 的取值范围是__________.解析：作出函数f （x ）的图像如图所示，由图像可知f （x ）在（a ，a ＋1）上是增加的，需满足a ≥4或a ＋1≤2，即a ≤1或a ≥4.答案：（－∞，1]∪[4，＋∞）9.已知f （x ）＝xx －a（x ≠a ）.（1）若a ＝－2，试证f （x ）在（－∞，－2）上单调递增；（2）若a ＞0且f （x ）在（1，＋∞）上单调递减，求a 的取值范围. 解析：（1）证明：设x 1＜x 2＜－2，则f （x 1）－f （x 2）＝x 1x 1＋2－x 2x 2＋2＝2（x 1－x 2）（x 1＋2）（x 2＋2）.因为（x 1＋2）（x 2＋2）＞0，x 1－x 2＜0，所以f （x 1）－f （x 2）＜0，即f （x 1）＜f （x 2）， 所以f （x ）在（－∞，－2）上单调递增. （2）设1＜x 1＜x 2，则f （x 1）－f （x 2）＝x 1x 1－a －x 2x 2－a ＝a （x 2－x 1）（x 1－a ）（x 2－a ）.因为a ＞0，x 2－x 1＞0，所以要使f （x 1）－f （x 2）＞0， 只需（x 1－a ）（x 2－a ）＞0恒成立，所以a ≤1.综上所述，a 的取值范围是（0，1].[B 组 能力提升练]1.下列函数f （x ）中，满足“对任意的x 1，x 2∈（0，＋∞）时，均有（x 1－x 2）[f （x 1）－f （x 2）]＞0”的是（ ）A.f （x ）＝12B.f （x ）＝x 2－4x ＋4C.f （x ）＝2xD.f （x ）＝log 12x解析：（x 1－x 2）[f （x 1）－f （x 2）]＞0等价于x 1－x 2与f （x 1）－f （x 2）正负号相同，故函数f（x ）在（0，＋∞）上单调递增.显然只有函数f （x ）＝2x 符合. 答案：C2.已知函数f （x ）满足f （x －1）＝f （5－x ），且对任意的x 1，x 2∈[2，＋∞），x 1≠x 2，都有f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2＜0成立，若p ＝f （log 216），q ＝f （log 47），m ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫⎝⎛⎭⎫1525，则p ，q ，m 的大小关系为（ ） A.q ＜m ＜p B.p ＜m ＜q C.q ＜p ＜m D.p ＜q ＜m 解析：∵f （x －1）＝f （5－x ），∴函数f （x ）的图像关于直线x ＝2对称.又对任意的x 1，x 2∈[2，＋∞），x 1≠x 2，都有f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2＜0成立，∴f （x ）在区间[2，＋∞）上单调递减，在（－∞，2）上单调递增.∵log 216＝4，∴f （log 216）＝f （4）＝f （0），又1＜log 47＜log 48＝32，0＜⎝⎛⎭⎫1525＜1，∴0＜⎝⎛⎭⎫1525＜1＜log 47＜2，∴p ＜m ＜q . 答案：B3.定义新运算⊕：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a <b 时，a ⊕b ＝b 2，则函数f （x ）＝（1⊕x ）x －（2⊕x ），x ∈[－2，2]的最大值等于（ ） A.－1 B.1 C.6 D.12解析：由已知得当－2≤x ≤1时，f （x ）＝x －2，当1<x ≤2时，f （x ）＝x 3－2， 因为f （x ）＝x －2在[－2，1]上是增函数， 所以f （x ）≤f （1）＝－1，因为f （x ）＝x 3－2在（1，2]上是增函数，所以f （x ）≤f （2）＝6，所以f （x ）max ＝f （2）＝6. 答案：C4.（2021·西安模拟）已知函数y ＝log 2（ax －1）在（1，2）上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ） A.（0，1] B.[1，2] C.[1，＋∞） D.[2，＋∞）解析：要使y ＝log 2（ax －1）在（1，2）上单调递增，则a ＞0且a －1≥0，∴a ≥1. 答案：C5.（2021·衡阳模拟）若函数f （x ）＝2x －a ＋1＋x －a －a 的定义域与值域相同，则a ＝（ ） A.－1 B.1 C.0 D.±1解析：∵函数f （x ）＝2x －a ＋1＋x －a －a ， ∴函数f （x ）的定义域为[a ，＋∞）. ∵函数f （x ）的定义域与值域相同， ∴函数f （x ）的值域为[a ，＋∞）.又∵函数f （x ）在[a ，＋∞）上是单调递增函数，∴当x ＝a 时，f （a ）＝2a －a ＋1－a ＝a ，解得a ＝1. 答案：B6.函数y ＝－x 2＋2|x |＋3的单调递减区间是__________.解析：由题意知，当x ≥0时，y ＝－x 2＋2x ＋3＝－（x －1）2＋4；当x ＜0时，y ＝－x 2－2x ＋3＝－（x ＋1）2＋4，二次函数的图像如图所示，由图像可知，函数y ＝－x 2＋2|x |＋3的单调递减区间为[－1，0]，[1，＋∞）.答案：[－1，0]，[1，＋∞）7.设f （x ）＝⎩⎪⎨⎪⎧（x －a ）2，x ≤0，x ＋1x＋a ，x ＞0.若f （0）是f （x ）的最小值，则a 的取值范围为__________.解析：因为当x ≤0时，f （x ）＝（x －a ）2，f （0）是f （x ）的最小值，所以a ≥0.当x ＞0时，f （x ）＝x ＋1x＋a ≥2＋a ，当且仅当x ＝1时取“＝”.要满足f （0）是f （x ）的最小值，需2＋a ≥f （0）＝a 2，即a 2－a －2≤0，解得－1≤a ≤2， 所以a 的取值范围是[0，2]. 答案：[0，2]8.已知函数f （x ）＝x 2＋a |x －2|－4.（1）当a ＝2时，求f （x ）在[0，3]上的最大值和最小值；（2）若f （x ）在区间[－1，＋∞）上单调递增，求实数a 的取值范围.解析：（1）当a ＝2时，f （x ）＝x 2＋2|x －2|－4＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －8，x ≥2，x 2－2x ，x ＜2＝⎩⎪⎨⎪⎧（x ＋1）2－9，x ≥2，（x －1）2－1，x ＜2，当x ∈[0，2）时，－1≤f （x ）≤0，当x ∈[2，3]时，0≤f （x ）≤7， 所以f （x ）在[0，3]上的最大值为7，最小值为－1.（2）因为f （x ）＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋ax －2a －4，x ＞2，x 2－ax ＋2a －4，x ≤2，又f （x ）在区间[－1，＋∞）上单调递增，所以当x ＞2时，f （x ）单调递增，则－a2≤2，即a ≥－4.当－1≤x ≤2时，f （x ）单调递增，则a2≤－1.即a ≤－2，且4＋2a －2a －4≥4－2a ＋2a －4恒成立， 故a 的取值范围为[－4，－2].[C 组 创新应用练]1.定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc ，若函数f （x ）＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －1 2－x x ＋3在（－∞，m ）上单调递减，则实数m 的取值范围是（ ） A.（－2，＋∞） B.[－2，＋∞） C.（－∞，－2） D.（－∞，－2]解析：∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc ，∴f （x ）＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －1 2－x x ＋3＝（x －1）（x ＋3）－2×（－x ）＝x 2＋4x －3＝（x ＋2）2－7，∴f （x ）的单调递减区间为（－∞，－2）， ∵函数f （x ）在（－∞，m ）上单调递减， ∴（－∞，m ）⊆（－∞，－2），即m ≤－2. 答案：D2.如果函数y ＝f （x ）在区间I 上是增函数，且函数y ＝f （x ）x在区间I 上是减函数，那么称函数y ＝f （x ）是区间I 上的“缓增函数”，区间I 叫做“缓增区间”.若函数f （x ）＝12x 2－x ＋32是区间I 上的“缓增函数”，则“缓增区间”I 为（ ） A.[1，＋∞） B.[0，3] C.[0，1] D.[1，3]解析：因为函数f （x ）＝12x 2－x ＋32的对称轴为x ＝1，所以函数y ＝f （x ）在区间[1，＋∞）上是增函数，又当x ≥1时，f （x ）x ＝12x －1＋32x .令g （x ）＝12x －1＋32x （x ≥1），则g ′（x ）＝12－32x 2＝x 2－32x2，由g ′（x ）≤0得1≤x ≤3，即函数f （x ）x ＝12x －1＋32x在区间[1，3]上单调递减，故“缓增区间”I 为[1，3].答案：D3.已知定义在区间（0，＋∞）上的函数f （x ）满足f ⎝⎛⎭⎫x 1x 2＝f （x 1）－f （x 2），且当x ＞1时，f （x ）＞0，f （3）＝1.（1）判断f （x ）的单调性；（2）解关于x 的不等式f （3x ＋6）＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＞2；（3）若f （x ）≤m 2－2am ＋1对所有x ∈（0，3]，a ∈[－1，1]恒成立，求实数m 的取值范围.解析：（1）设x 1＞x 2＞0，则x 1x 2＞1，因为当x ＞1时，f （x ）＞0，所以f （x 1）－f （x 2）＝f ⎝⎛⎭⎫x 1x 2＞0， 所以f （x 1）＞f （x 2），所以函数f （x ）在区间（0，＋∞）上为增函数.（2）在f （x 1）－f （x 2）＝f ⎝⎛⎭⎫x 1x 2中， 令x 1＝9，x 2＝3，所以f （9）－f （3）＝f （3）. 又f （3）＝1，所以f （9）＝2.所以不等式f （3x ＋6）＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＞2，可转化为f （3x ＋6）＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＞f （9）， 所以f （3x ＋6）＞f （9）－f ⎝⎛⎭⎫1x ＝f （9x ）， 由函数f （x ）为（0，＋∞）上的增函数，可得3x ＋6＞9x ＞0，所以0＜x ＜1， 所以原不等式的解集为（0，1）.（3）因为函数f （x ）在（0，3]上是增函数， 所以f （x ）在（0，3]上的最大值为f （3）＝1，所以不等式f （x ）≤m 2－2am ＋1对所有x ∈（0，3]，a ∈[－1，1]恒成立转化为1≤m 2－2am ＋1对所有a ∈[－1，1]恒成立，即m 2－2am ≥0对所有a ∈[－1，1]恒成立. 设g （a ）＝－2ma ＋m 2，所以需满足⎩⎪⎨⎪⎧g （－1）≥0，g （1）≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋m 2≥0，－2m ＋m 2≥0，解该不等式组，得m ≤－2或m ≥2或m ＝0，即实数m 的取值范围为（－∞，－2]∪{0}∪[2，＋∞）.函数的奇偶性与周期性[A 组 基础保分练]1.（2021·石家庄模拟）下列函数中，既是偶函数又在区间（0，＋∞）上单调递增的是（ ）A.y ＝1xB.y ＝|x |－1C.y ＝lg xD.y ＝⎝⎛⎭⎫12|x |解析：∵函数y ＝|x |－1和y ＝⎝⎛⎭⎫12|x |是偶函数，其中y ＝|x |－1在（0，＋∞）上单调递增，y ＝⎝⎛⎭⎫12|x |在（0，＋∞）上单调递减.答案：B2.若函数f （x ）＝（x －a ）（x ＋2）为偶函数，则实数a ＝（ ） A.0 B.1 C.－1 D.2 解析：f （x ）＝（x －a ）（x ＋2）＝x 2＋（2－a ）x －2a 为偶函数，则2－a ＝0，即a ＝2. 答案：D3.已知f （x ）为定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f （x ）＝2x ＋m ，则f （－2）＝（ ）A.－3B.－54C.54D.3 解析：因为f （x ）为R 上的奇函数，所以f （0）＝0，即f （0）＝20＋m ＝0，解得m ＝－1，则f （－2）＝－f （2）＝－（22－1）＝－3. 答案：A4.已知函数f （x ）是奇函数，在（0，＋∞）上是减函数，且在区间[a ，b ]（a ＜b ＜0）上的值域为[－3，4]，则在区间[－b ，－a ]上（ ） A.有最大值4 B.有最小值－4 C.有最大值－3 D.有最小值－3解析：根据题意作出y ＝f （x ）的简图如图所示，由图知，选B.答案：B5.定义在R 上的偶函数f （x ）满足f （x ＋3）＝f （x ）.若f （2）＞1，f （7）＝a ，则实数a 的取值范围为（ ） A.（－∞，－3） B.（3，＋∞） C.（－∞，－1） D.（1，＋∞） 解析：因为f （x ＋3）＝f （x ），所以f （x ）是定义在R 上的以3为周期的周期函数，所以f （7）＝f （7－9）＝f （－2）.又因为函数f （x ）是偶函数， 所以f （－2）＝f （2），所以f （7）＝f （2）＞1， 所以a ＞1，即a ∈（1，＋∞）. 答案：D6.已知函数y ＝f （x ），满足y ＝f （－x ）和y ＝f （x ＋2）是偶函数，且f （1）＝π3，设F （x ）＝f （x ）＋f （－x ），则F （3）＝（ ） A.π3 B.2π3C.πD.4π3解析：由y ＝f （－x ）和y ＝f （x ＋2）是偶函数知，f （－x ）＝f （x ），f （x ＋2）＝f （－x ＋2）＝f （x －2），故f （x ）＝f （x ＋4），则F （3）＝f （3）＋f （－3）＝2f （3）＝2f （－1）＝2f（1）＝2π3.答案：B7.若函数f （x ）＝x ln （x ＋a ＋x 2）为偶函数，则a ＝__________.解析：因为f （x ）为偶函数，所以f （－x ）－f （x ）＝0恒成立，所以－x ln （－x ＋a ＋x 2）－x ln （x ＋a ＋x 2）＝0恒成立，所以x ln a ＝0恒成立，所以ln a ＝0，即a ＝1. 答案：18.（2021·乐山模拟）已知函数f （x ）满足：f （－x ）＋f （x ）＝0，且当x ≥0时，f （x ）＝2＋m2x－1，则f （－1）＝__________. 解析：因为f （－x ）＋f （x ）＝0， 所以f （x ）为奇函数，又当x ≥0时，f （x ）＝2＋m2x －1，则f （0）＝2＋m1－1＝0，所以m ＝－1.所以当x ≥0时，f （x ）＝12x －1，所以f （－1）＝－f （1）＝－⎝⎛⎭⎫12－1＝12.答案：129.已知函数f （x ）＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x ＞0，0， x ＝0，x 2＋mx ，x ＜0是奇函数.（1）求实数m 的值；（2）若函数f （x ）在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围. 解析：（1）设x ＜0，则－x ＞0，所以f （－x ）＝－（－x ）2＋2（－x ）＝－x 2－2x . 又f （x ）为奇函数，所以f （－x ）＝－f （x ），于是x ＜0时，f （x ）＝x 2＋2x ＝x 2＋mx ，所以m ＝2. （2）要使f （x ）在[－1，a －2]上单调递增，结合f （x ）的图像知⎩⎪⎨⎪⎧a －2＞－1，a －2≤1，所以1＜a ≤3，故实数a 的取值范围是（1，3].[B 组 能力提升练] 1.已知函数f （x ）＝a sin x ＋b 3x ＋4，若f （lg 3）＝3，则f ⎝⎛⎭⎫lg 13＝（ ） A.13 B.－13C.5D.8解析：因为f （x ）＝a sin x ＋b 3x ＋4，则f （－x ）＝－a sin x －b 3x ＋4，所以f （x ）＋f （－x ）＝8，由于f ⎝⎛⎭⎫lg 13＝f （－lg 3），因此f （lg 3）＋f （－lg 3）＝8，即3＋f （－lg 3）＝8，所以f （－lg 3）＝5，即f ⎝⎛⎭⎫lg 13＝f （－lg 3）＝5. 答案：C2.已知定义在R 上的奇函数f （x ）满足当x ≥0时f （x ）＝log 2（x ＋2）＋x ＋b ，则|f （x ）|＞3的解集为（ ）A.（－∞，－2）∪（2，＋∞）B.（－∞，－4）∪（4，＋∞）C.（－2，2）D.（－4，4）解析：由题意知，f （0）＝1＋b ＝0，所以b ＝－1，所以f （x ）＝log 2（x ＋2）＋x －1，所以f （2）＝3，且该函数在R 上单调递增.因为|f （x ）|＞3＝f （2），所以f （x ）＞f （2）或f （x ）＜－f （2）＝f （－2），所以x ＞2或x ＜－2. 答案：A3.设f （x ）是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，f （x ）＝2x （1－x ），则f ⎝⎛⎭⎫－52等于（ ） A.－12 B.－14C.14D.12解析：f ⎝⎛⎭⎫－52＝f ⎝⎛⎭⎫－52＋2＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝－f ⎝⎛⎭⎫12＝－2×12×⎝⎛⎭⎫1－12＝－12. 答案：A4.（2021·郴州模拟）已知f （x ）是定义在[2b ，1－b ]上的偶函数，且在[2b ，0]上为增函数，则f （x －1）≤f （2x ）的解集为（ ）A.⎣⎡⎦⎤－1，23B.⎣⎡⎦⎤－1，13 C.[－1，1] D.⎣⎡⎦⎤13，1解析：因为f （x ）是定义在[2b ，1－b ]上的偶函数，所以2b ＋1－b ＝0，所以b ＝－1，因为f （x ）在[2b ，0]上为增函数，即函数f （x ）在[－2，0]上为增函数，故函数f （x ）在（0，2]上为减函数，则由f （x －1）≤f （2x ），可得|x －1|≥|2x |，即（x －1）2≥4x 2，解得－1≤x ≤13.又因为定义域为[－2，2]，所以⎩⎪⎨⎪⎧－2≤x －1≤2，－2≤2x ≤2，解得⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ≤3，－1≤x ≤1.综上，－1≤x ≤13.答案：B5.已知偶函数f （x ）在[0，＋∞）上单调递增，则对任意实数a ，b ，“a ＞|b |”是“f （a ）＞f （b ）”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：因为f （x ）为偶函数，所以f （x ）＝f （－x ）＝f （|x |），由于f （x ）在[0，＋∞）上单调递增，因此若a ＞|b |≥0，则f （a ）＞f （|b |），即f （a ）＞f （b ），所以a ＞|b |是f （a ）＞f （b ）的充分条件；若f （a ）＞f （b ），则f （|a |）＞f （|b |），可得|a |＞|b |≥0，由于a ，b 的正负不能判断，因此无法得到a ＞|b |，则a ＞|b |不是f （a ）＞f （b ）的必要条件，所以“a ＞|b |”是“f （a ）＞f （b ）”的充分不必要条件. 答案：A 6.函数y ＝f （x ）在[0，2]上单调递增，且函数f （x ＋2）是偶函数，则下列结论成立的是（ ）A.f （1）＜f ⎝⎛⎭⎫52＜f ⎝⎛⎭⎫72 B.f ⎝⎛⎭⎫72＜f （1）＜f ⎝⎛⎭⎫52 C.f ⎝⎛⎭⎫72＜f ⎝⎛⎭⎫52＜f （1） D.f ⎝⎛⎭⎫52＜f （1）＜f ⎝⎛⎭⎫72 解析：因为函数f （x ＋2）是偶函数，所以f （x ＋2）＝f （－x ＋2）， 所以函数f （x ）的图像关于x ＝2对称，所以f ⎝⎛⎭⎫52＝f ⎝⎛⎭⎫32，f ⎝⎛⎭⎫72＝f ⎝⎛⎭⎫12.因为y ＝f （x ）在[0，2]上单调递增，且12＜1＜32，所以f ⎝⎛⎭⎫12＜f （1）＜f ⎝⎛⎭⎫32，即f ⎝⎛⎭⎫72＜f （1）＜f ⎝⎛⎭⎫52. 答案：B7.定义在R 上的函数f （x ）满足f （x ）＝f （2－x ）及f （x ）＝－f （－x ），且在[0，1]上有f （x ）＝x 2，则f ⎝⎛⎭⎫2 01912＝__________. 解析：函数f （x ）的定义域是R ，f （x ）＝－f （－x ），所以函数f （x ）是奇函数.又f （x ）＝f （2－x ），所以f （－x ）＝f （2＋x ）＝－f （x ），所以f （4＋x ）＝－f （2＋x ）＝f （x ），故函数f （x ）是以4为周期的奇函数，所以f ⎝⎛⎭⎫2 01912＝f ⎝⎛⎭⎫2 020－12＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝－f ⎝⎛⎭⎫12.因为在[0，1]上有f （x ）＝x 2，所以f ⎝⎛⎭⎫12＝⎝⎛⎭⎫122＝14，故f ⎝⎛⎭⎫2 01912＝－14. 答案：－148.（2021·柳州模拟）已知函数f （x ）对任意x ∈R 都有f （x ＋6）＋f （x ）＝2f （3），y ＝f （x －1）的图像关于点（1，0）对称且f （2）＝4，则f （22）＝__________.解析：因为y ＝f （x －1）的图像关于点（1，0）对称，所以y ＝f （x ）的图像关于点（0，0）对称，即函数f （x ）为奇函数，由f （x ＋6）＋f （x ）＝2f （3）得，f （x ＋12）＋f （x ＋6）＝2f （3），所以f （x ＋12）＝f （x ），T ＝12，因此f （22）＝f （－2）＝－f （2）＝－4. 答案：－49.已知函数f （x ）对任意x ∈R 满足f （x ）＋f （－x ）＝0，f （x －1）＝f （x ＋1），若当x ∈[0，1）时，f （x ）＝a x ＋b （a ＞0且a ≠1），且f ⎝⎛⎭⎫32＝12. （1）求实数a ，b 的值；（2）求函数g （x ）＝f 2（x ）＋f （x ）的值域. 解析：（1）因为f （x ）＋f （－x ）＝0， 所以f （－x ）＝－f （x ），即f （x ）是奇函数. 因为f （x －1）＝f （x ＋1），所以f （x ＋2）＝f （x ）， 即函数f （x ）是周期为2的周期函数， 所以f （0）＝0，即b ＝－1.又f ⎝⎛⎭⎫32＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝－f ⎝⎛⎭⎫12＝1－a ＝12， 解得a ＝14.（2）当x ∈[0，1）时f （x ）＝a x＋b ＝⎝⎛⎭⎫14x －1∈⎝⎛⎦⎤－34，0， 由f （x ）为奇函数知，当x ∈（－1，0）时，f （x ）∈⎝⎛⎭⎫0，34， 又因为f （x ）是周期为2的周期函数，所以当x ∈R 时，f （x ）∈⎝⎛⎭⎫－34，34， 设t ＝f （x ）∈⎝⎛⎭⎫－34，34， 所以g （x ）＝f 2（x ）＋f （x ）＝t 2＋t ＝⎝⎛⎭⎫t ＋122－14， 即g （x ）＝⎝⎛⎭⎫t ＋122－14∈⎣⎡⎭⎫－14，2116.故函数g （x ）＝f 2（x ）＋f （x ）的值域为⎣⎡⎭⎫－14，2116. [C 组 创新应用练]1.（2021·兰州模拟）对任意实数x ，定义[x ]为不大于x 的最大整数（例如[3.4]＝3，[－3.4]＝－4等）.设函数f （x ）＝x －[x ]，给出下列四个结论：①f （x ）≥0；②f （x ）＜1；③f （x ）是周期函数；④f （x ）是偶函数.其中正确结论的个数是（ ） A.1 B.2 C.3 D.4解析：由题意有[x ]≤x ＜[x ]＋1，∴f （x ）＝x －[x ]≥0，且f （x ）＜1，∴①②正确；∵f （x ＋1）＝x ＋1－[x ＋1]＝x ＋1－（[x ]＋1）＝x －[x ]＝f （x ），∴f （x ）为周期函数，③正确；∵f （－0.1）＝－0.1－[－0.1]＝－0.1－（－1）＝0.9，f （0.1）＝0.1－[0.1]＝0.1－0＝0.1≠f （－0.1），∴f （x ）不是偶函数，④错误. 答案：C2.（2019·高考全国卷Ⅱ）设函数f （x ）的定义域为R ，满足f （x ＋1）＝2f （x ），且当x ∈（0，1] 时，f （x ）＝x （x －1）.若对任意x ∈（－∞，m ]，都有f （x ）≥－89，则m 的取值范围是（ ）A.⎝⎛⎦⎤－∞，94B.⎝⎛⎦⎤－∞，73C.⎝⎛⎦⎤－∞，52D.⎝⎛⎦⎤－∞，83 解析：当x ∈（0，1]时，f （x ）＝x （x －1），∴当x ∈（0，1]时，f （x ）∈⎣⎡⎦⎤－14，0. ∵f （x ＋1）＝2f （x ），∴当x ∈（－1，0]时，x ＋1∈（0，1]，f （x ）＝12f （x ＋1）＝12（x ＋1）x ，f （x ）∈⎣⎡⎦⎤－18，0； 当x ∈（－2，－1]时，x ＋1∈（－1，0]，f （x ）＝12f （x ＋1）＝14f （x ＋2）＝14（x ＋2）（x ＋1），f （x ）∈⎣⎡⎦⎤－116，0； …；当x ∈（1，2]时，x －1∈（0，1]，f （x ）＝2f （x －1）＝2（x －1）（x －2），f （x ）∈⎣⎡⎦⎤－12，0； 当x ∈（2，3]时，x －1∈（1，2]，f （x ）＝2f （x －1）＝4f （x －2）＝4（x －2）（x －3），f （x ）∈[－1，0]； ….f （x ）的图像如图所示.11若对任意x ∈（－∞，m ]，都有f （x ）≥－89，则有2＜m ≤3. 设f （m ）＝－89，则4（m －2）（m －3）＝－89， ∴m ＝73或m ＝83.结合图像可知，当m ≤73时，符合题意. 答案：B3.（2021·湘潭模拟）已知定义在R 上的偶函数y ＝f （x ＋2）的图像连续，当x ＞2时，函数y＝f （x ）是单调函数，则满足f （x ）＝f ⎝⎛⎭⎫1－1x ＋4的所有x 之积为__________. 解析：因为函数y ＝f （x ＋2）是连续的偶函数，所以直线x ＝0是它的图像的对称轴，所以直线x ＝2就是函数y ＝f （x ）图像的对称轴.因为f （x ）＝f ⎝⎛⎭⎫1－1x ＋4，所以x ＝1－1x ＋4或x ＋1－1x ＋4＝4.由x ＝1－1x ＋4，得x 2＋3x －3＝0，设方程的两根为x 1，x 2，所以x 1x 2＝－3；由x ＋1－1x ＋4＝4，得x 2＋x －13＝0，设方程的两根为x 3，x 4，所以x 3x 4＝－13.所以x 1x 2x 3x 4＝39. 答案：39。

1 2 1 2
练习： 1．若函数 f（x）定义在 R 上，且 对任意 x，y∈R，都有 f（x＋y） ＝f（x）＋f（y） （1） 判断函数的奇偶性 （2） 当 x>0 时，f（x）<0，判断 函数的单调性
2． 已知函数 f（x）＝1－x ，F（x） ＝f（f（x） ）＋mf（x） ，问是否存 在常数 m， 使F （x） 在区间 , 2 上 递增，在[－2,0]上递减？
练习： 1．偶函数 y＝f（x）在[－1,0]上单 调递增，且满足 较 f（1.5）,f(5.1)与 f（－2）的大 小
1 f ( x 1) f ( x) ，试比
2.定义在R上的函数f（x）满足f（x） ＋f（x—1）＝1，当x∈[0,1]时， f（x）＝x2，下列命题正确的是: (1)f（x）是周期函数 (2)当x∈[1,2]时，f（x）＝2x－x2 (3)f（x）是偶函数 (4)f（x）在[2005,2006]上是减函数， 且f（－2005.5）=
1 [0、 ] 2 2
1 2 1 2
f x x） f ( x ) f ( x )，且（） f 1 a 0。 恒有 （
（1）求：
1 1 f ( ), f ( ) 2 4
（2）求证： f ( x) 是周期函数
1 an f (2n ) lim(ln an ) （3）若 2n ，求 n
2
3 ．函数
x2 2x a f ( x) x
，若
f （ x） >0 对任意 x>3 恒成立， 求实数 a 的x) x bx （b 为常数） ， 且 y f ( x) 在（0，1）上单调递增， 并且方程 f ( x) 0 的根都在[-2,2]内， 求 b 的取值范围

函数的奇偶性与单调性函数的奇偶性与单调性是数学中的重要概念，它们能够帮助我们更好地理解和分析函数的特征和行为。

本文将介绍函数的奇偶性和单调性的基本概念，并探讨二者之间的关系。

一、函数的奇偶性在数学中，函数的奇偶性是指函数在对称轴上的性质。

一个函数可以是奇函数或偶函数，或者既不是奇函数也不是偶函数。

1. 奇函数如果对于函数f(x)，对于任意x，有f(-x) = -f(x)，则称该函数为奇函数。

简单来说，奇函数的特点是关于原点对称，即函数图像关于原点对称。

奇函数的典型例子是正弦函数sin(x)和正切函数tan(x)等：- sin(-x) = -sin(x)- tan(-x) = -tan(x)2. 偶函数如果对于函数f(x)，对于任意x，有f(-x) = f(x)，则称该函数为偶函数。

简单来说，偶函数的特点是关于y轴对称，即函数图像关于y轴对称。

偶函数的典型例子是余弦函数cos(x)和双曲余弦函数cosh(x)等：- cos(-x) = cos(x)- cosh(-x) = cosh(x)3. 既不是奇函数也不是偶函数对于一些函数，既不满足奇函数的特性，也不满足偶函数的特性，此时我们称该函数为既不是奇函数也不是偶函数。

二、函数的单调性函数的单调性是指函数在定义域上的取值变化趋势。

一个函数可以是单调递增的、单调递减的，或者既不是单调递增也不是单调递减。

1. 单调递增如果对于函数f(x)，对于任意x1和x2，当x1 < x2时，有f(x1) ≤ f(x2)，则称该函数在定义域上是单调递增的。

单调递增函数的典型例子是线性函数y = kx (k > 0)和指数函数y = a^x (a > 1)等。

2. 单调递减如果对于函数f(x)，对于任意x1和x2，当x1 < x2时，有f(x1) ≥ f(x2)，则称该函数在定义域上是单调递减的。

单调递减函数的典型例子是线性函数y = kx (k < 0)和指数函数y = a^x (0 < a < 1)等。