函数的单调性和奇偶性典型例题

函数的单调性和奇偶性

例1（1）画出函数y＝-x2+2｜x｜+3的图像，并指出函数的单调区间．

解：函数图像如下图所示，当x≥0时，y＝-x2+2x+3＝-（x-1）2+4；当x＜0时，y＝-x2-2x+3＝-（x+1）2+4．在（-∞，-1］和［0，1］上，函数是增函数：在［-1，0］和［1，+∞）上，函数是减函数．

评析函数单调性是对某个区间而言的，对于单独一个点没有增减变化，所以对于区间端点只要函数有意义，都可以带上．

（2）已知函数f（x）＝x2+2（a-1）x+2在区间（-∞，4］上是减函数，求实数a的取值范围．

分析要充分运用函数的单调性是以对称轴为界线这一特征．

解：f（x）＝x2+2（a-1）x+2＝［x+（a-1）］２-（a-1）2+2，此二次函数的对称轴是x ＝1-a．因为在区间（-∞，1-a］上f（x）是单调递减的，若使f（x）在（-∞，4］上单调递减，对称轴x＝1-a必须在x=4的右侧或与其重合，即1-a≥4，a≤-3．

评析这是涉及逆向思维的问题，即已知函数的单调性，求字母参数范围，要注意利用数形结合．

例2判断下列函数的奇偶性：

（1）f（x）＝-

（2）f（x）＝（x-1）．

解：（1）f（x）的定义域为R．因为

f（-x）＝｜-x+1｜-｜-x-1｜

＝｜x-1｜-｜x+1｜＝-f（x）．

所以f（x）为奇函数．

（2）f（x）的定义域为｛x｜-1≤x＜1｝，不关于原点对称．所以f（x）既不是奇函数，也不是偶函数．

评析用定义判断函数的奇偶性的步骤与方法如下：

（1）求函数的定义域，并考查定义域是否关于原点对称．

（2）计算f（-x），并与f（x）比较，判断f（-x）＝f（x）或f（-x）＝-f（x）之一是否成立．f（-x）与-f（x）的关系并不明确时，可考查f（-x）±f（x）＝0是否成立，从而判断函数的奇偶性．

例3已知函数f（x）＝．

（1）判断f（x）的奇偶性．

（2）确定f（x）在（-∞，0）上是增函数还是减函数?在区间（0，+∞）上呢?证明你的结论．

解：因为f（x）的定义域为R，又

f（-x）＝＝＝f（x），

所以f（x）为偶函数．

（2）f（x）在（-∞，0）上是增函数，由于f（x）为偶函数，所以f（x）在（0，+∞）上为减函数．

其证明：取x1＜x2＜0，

f（x1）-f（x2）＝- ＝＝．

因为x1＜x2＜0，所以

x2-x1＞0，x1+x2＜0，

x21+1＞0，x22+1＞0，

得f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）．

所以f（x）在（-∞，0）上为增函数．

评析奇函数在（a,b）上的单调性与在（-b,-a）上的单调性相同，偶函数在（a,b）与（-b,-a）的单调性相反．

例4已知y=f（x）是奇函数，它在（0，+∞）上是增函数，且f（x）＜0，试问F（x）＝在（-∞，0）上是增函数还是减函数?证明你的结论．

分析根据函数的增减性的定义，可以任取x 1＜x2＜0，进而判定F（x1）-F（x2）＝

- ＝的正负．为此，需分别判定f（x1）、f（x2）与f（x2）的正负，而这可以从已条件中推出．

解：任取x1、x2∈（-∞，0）且x1＜x2，则有-x1＞-x2＞0．

∵y＝f（x）在（0，+∞）上是增函数，且f（x）＜0，

∴f（-x2）＜f（-x1）＜0．①

又∵f（x）是奇函数，

∴f（-x2）＝-f（x2），f（-x1）＝-f（x1）②

由①、②得f（x2）＞f（x1）＞0．于是

F（x1）-F（x2）＝＞0，即F（x1）＞F（x2），

所以F（x）＝在（-∞，0）上是减函数．

评析本题最容易发生的错误，是受已知条件的影响，一开始就在（0，+∞）内任取x1＜x2，展开证明．这样就不能保证-x1，-x2，在（-∞，0）内的任意性而导致错误．避免错误的方法是：要明确证明的目标，有针对性地展开证明活动．

例5讨论函数f（x）＝（a≠0）在区间（-1，1）内的单调性．

分析根据函数的单调性定义求解．

解：设-1＜x1＜x2＜１，则

f（x1）-f（x2）＝-

＝

∵x1，x2∈（-1，1），且x1＜x２，

∴x1-x2＜0，1+x1x2＞0，

（1-x21）（1-x22）＞0

于是，当a＞0时，f（x1）＜f（x2）；当a＜0时，f（x1）＞f（x2）．

故当a＞0时，函数在（-1，1）上是增函数；当a＜0时，函数在（-1，1）上为减函数．评析根据定义讨论（或证明）函数的单调性的一般步骤是：

（1）设x1、x2是给定区间内任意两个值，且x1＜x2；

（2）作差f（x1）-f（x2），并将此差式变形；

（3）判断f（x1）-f（x2）的正负，从而确定函数的单调性．

例6求证：f（x）＝x+ （k＞0）在区间（0，k］上单调递减．

解：设0＜x1＜x2≤k，则

f（x1）-f（x2）＝x1+ -x2-

＝

∵0＜x1＜x2≤k，

∴x1-x2＜0，0＜x1x2＜k2，

∴f（x1）-f（x2）＞0

∴f（x1）＞f（x2），

∴f（x）＝x+ 中（0，k］上是减函数．

评析函数f（x）在给定区间上的单调性反映了函数f（x）在区间上函数值的变化趋势，是函数在区间上的整体性质．因此，若要证明f（x）在［a,b］上是增函数（减函数），就必须证明对于区间［a,b］上任意两点x1，x2，当x1＜x2时，都有不等式f（x1）＜f（x2）（f（x1）＞f（x2））

类似可以证明：

函数f（x）＝x+ （k＞0）在区间［k，+∞］上是增函数．

例7判断函数f（x）＝的奇偶性．

分析确定函数的定义域后可脱去绝对值符号．

解：由得函数的定义域为［-1，1］．这时，｜x-2｜＝2-x．