04 第四节 定积分的换元法积分法和分部积分法

1．计算
(1) d x ln(1 t2 )dt ;
dx 1
2．计算下列各定积分
x
tan tdt
(2) lim x0
0
x3
.
（1）2|1 x | dx;
2
(2) | sin x | dx;
0
0
(5) 0 3x4 3x2 1dx; 1 1 x2
(6) 4 tan2 xdx; 0
(3) 4 3 xdx; 1
x
1 1
arctan1 arctan(1)
4
( ) 4
. 2
3. 1 cos2 x
2sin2 x
2 | sin x |
2
1 cos 2xdx
2
0
0
2
2 sin xdx 2 0
2 sin xdx 2 cos x 2 cos x |02 2 2. 2
习 题 6-2
0
2
解 因为 d x sin t2dt sin x2,
dx 0
故
(0) sin 02 0;
( ) sin 2 .
2
42
例2 求下列函数旳导数：
（１）(x) x ln(1 t3)dt,（a 0); （２）(x) 1 sin d（, x 0).
a
x2
解 ⑴ (x) ln(1 x3);
ln
x)
|1e
e dx x 1x
e
e
dx e (e 1) 1.
1
例2 求 2 x cos xdx. 0
(1)分割 任取分点, 把[T1，T2 ]分成n个小区间
(2)取近似 si v(i )ti
(3)求和 (4)取极限

常数倍性质
定积分具有常数倍性质，即对于任 意非零常数c，有c乘以被积函数的 定积分等于该常数乘以被积函数在 积分区间上的增量。
定积分的计算
直接法
直接代入被积函数进行计算，适 用于简单的被积函数和明确的积
分区间。
换元法
通过变量替换简化被积函数或积 分区间，适用于较为复杂的积分
问题。
分部积分法
通过将两个函数的乘积进行分部 积分，将一个复杂函数的积分转 化为更简单函数的积分，适用于
计算旋转体的体积
01
定积分可以用于计算旋转体的体积，例如旋转抛物面下的体积
。
求解平面图形的面积
02
定积分可以用于求解平面图形的面积，例如椭圆、圆、三角形
等。
求解曲线长度
03
定积分可以用于求解曲线的长度，例如圆的周长、正弦函数的
长度等。
05
定积分的应用
定积分在物理中的应用
计算物体在恒力作用下的运动轨迹
分部积分法在求解三角函数的不定积分中有着广泛的应用，例如求解$int sin x dx$或$int cos x dx$等。
求解复杂函数的不定积分
对于一些复杂函数的不定积分，分部积分法可以将其转化为简单函数的定积分 ，从而简化计算过程。例如求解$int x^2 e^x dx$等。
04
定积分的几何意义
03
分部积分法在定积分中的应用
分部积分法的定义和原理
分部积分法的定义
分部积分法是一种求解定积分的技巧 ，通过将一个不定积分转化为两个函 数的乘积的导数，从而简化计算过程 。
分部积分法的原理
基于微积分基本定理，通过将一个复 杂函数的不定积分转化为简单函数的 定积分，实现积分的求解。

定积分的换元法与分部积分法摘要：定积分是微积分中的一个重要概念，它表示函数在某个区间上的累积效应。

在计算定积分时，换元法和分部积分法是常用的两种方法。

本文将对定积分的换元法和分部积分法进行介绍，并通过案例演示其具体应用。

1. 定积分简介定积分是微积分中的基本概念之一，它用于计算函数在某个区间上的累积效应。

定积分的符号表示为∫，其中∫f(x)dx表示函数f(x)在区间[a, b]上的定积分。

它的几何意义是函数f(x)与x轴所夹的面积。

2. 换元法换元法是一种常用的计算定积分的方法，它通过引入新的变量，将原函数转化为更易积分的形式。

换元法的基本思想是对函数进行代换，将原函数转化为一个新的函数，并对新函数进行积分。

换元法的公式可以表示为：∫f(g(x))g’(x)dx = ∫f(u)du其中，g(x)是一个可导函数，u=g(x)是其反函数，g’(x)是g(x)的导数。

换元法的具体步骤如下：1.选择适当的换元变量，使得被积函数的形式变得简单；2.计算变量的微分，求出关于新变量的微分表达式；3.将被积函数中原变量用新变量表示，得到新的被积函数；4.计算新的被积函数的积分。

3. 分部积分法分部积分法是另一种常用的计算定积分的方法，它将一个复杂的积分问题转化为两个简单的积分问题。

分部积分法的基本思想是使用差乘法则，将定积分的求解转化为导数和乘积的关系。

分部积分法的公式可以表示为：∫u(x)v’(x)dx = u(x)v(x) - ∫v(x)u’(x)dx其中，u(x)和v(x)是可导的函数。

分部积分法的具体步骤如下：1.选择一对函数作为u(x)和v’(x)；2.计算u’(x)和v(x)的导数；3.将u(x)v’(x)代入分部积分公式中，并进行计算。

4. 换元法与分部积分法的比较换元法和分部积分法都是计算定积分的有效方法，它们在不同的情况下有不同的应用。

换元法适用于被积函数可以通过代换变量为简单形式的情况。

通过引入新的变量，将原函数转化为更易积分的形式，从而简化计算过程。

定积分的换元积分法与分部积分法定积分的换元积分法与分部积分法教学目的：掌握定积分换元积分法与分部积分法难点：定积分换元条件的掌握重点：换元积分法与分部积分法由牛顿－莱布尼茨公式可知，定积分的计算归结为求被积函数的原函数．在上一章中，我们已知道许多函数的原函数需要用换元法或分部积分法求得，因此，换元积分法与分部积分法对于定积分的计算也是非常重要的．1．定积分换元法定理假设(1) 函数«Skip Record If...»在区间«Skip Record If...»上连续；(2) 函数«Skip Record If...»在区间«Skip Record If...»上有连续且不变号的导数；(3) 当«Skip Record If...»在«Skip Record If...»变化时，«Skip Record If...»的值在«Skip Record If...»上变化，且«Skip Record If...»，则有«Skip Record If...»．(1) 本定理证明从略．在应用时必须注意变换«Skip Record If...»应满足定理的条件，在改变积分变量的同时相应改变积分限，然后对新变量积分．例1计算«Skip Record If...»．仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢4仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢4解 令«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»．当«Skip Record If...»时，«Skip Record If...»；当«Skip Record If...»时，«Skip Record If...»．于是«Skip Record If...»«Skip Record If...»．例2 计算«Skip Record If...»«Skip Record If...»．解 令«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»．当«Skip Record If...»时，«Skip Record If...»；当«Skip Record If...»时，« «Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»．显然，这个定积分的值就是圆«(图5－8)．例3 计算«Skip Record If...»．解法一 令«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»．当«Skip Record If...»时，«Skip Record If...»；当«Skip Record If...»时，«Skip Record If...»，于是«Skip Record If...»．解法二 也可以不明显地写出新变量«Skip Record If...»，这样定积分的上、下限也不要改变．即 «Skip Record If...»«Skip Record If...»．此例看出：定积分换元公式主要适用于第二类换元法，利用凑微分法换元不需要变换上、下限．例4 计算«Skip Record If...»．解 «Skip Record If...»«Skip Record If...»注去绝对值时注意符号．=«Skip Record If...»=«Skip Record If...»=«Skip Record If...»．例5 计算«Skip Record If...»．解设«Skip Record If...»，则当«Skip Record If...»时，«Skip Record If...»；当«Skip Record If...»时，«Skip Record If...»．«Skip Record If...»=«Skip Record If...»«Skip Record If...»．例6设«Skip Record If...»在«Skip Record If...»上连续，证明：(1) 若«Skip Record If...»为奇函数，则«Skip Record If...»；(2) 若«Skip Record If...»为偶函数，则«Skip Record If...»．证由于«Skip Record If...»,对上式右端第一个积分作变换«Skip Record If...»，有«Skip Record If...»«Skip Record If...»．故«Skip Record If...»．(1) 当«Skip Record If...»为奇函数时，«Skip Record If...»，故仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢4«Skip Record If...»．(2) 当«Skip Record If...»为偶函数时，«Skip Record If...»，故«Skip Record If...»．利用例6的结论能很方便地求出一些定积分的值．例如«Skip Record If...»．«Skip Record If...»«Skip Record If...»．2．定积分的分部积分法设函数«Skip Record If...»与«Skip Record If...»均在区间«Skip Record If...»上有连续的导数，由微分法则«Skip Record If...»，可得«Skip Record If...»．等式两边同时在区间«Skip Record If...»上积分，有«Skip Record If...»． (2) 公式(2)称为定积分的分部积分公式，其中«Skip Record If...»与«Skip Record If...»是自变量«Skip Record If...»的下限与上限．例7计算«Skip Record If...»．解令«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»．故«Skip Record If...»«Skip Record If...»．例8计算«Skip Record If...»．仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢4解 «Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»．例9计算«Skip Record If...»．解 «Skip Record If...»=«Skip Record If...»=«Skip Record If...»=«Skip Record If...»=«Skip Record If...»．例10 计算«Skip Record If...»．解 «Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»．即 «Skip Record If...»注移项得．故 «Skip Record If...»．例11计算«Skip Record If...»．解先用换元法，令«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»．当«Skip Record If...»时，«Skip Record If...»；当«Skip Record If...»时，«Skip Record If...»．于是«Skip Record If...»．再用分部积分法，得«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»．仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢4小结：1．定积分换元积分定理：假设(1) 函数«Skip Record If...»在区间«Skip Record If...»上连续；(2) 函数«Skip Record If...»在区间«Skip Record If...»上有连续且不变号的导数；(3) 当«Skip Record If...»在«Skip Record If...»变化时，«Skip Record If...»的值在«Skip Record If...»上变化，且«Skip Record If...»．则有«Skip Record If...»．2．定积分分部积分法：设函数«Skip Record If...»与«Skip Record If...»均在区间«Skip Record If...»上有连续的导数，则有«Skip Record If...»．仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢4。