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§2 分部积分法与换元积分法(一) 教学目的：掌握分部积分法与第一、二换元积分法． (二) 教学内容：分部积分法，第一、二换元积分法；．基本要求：熟练掌握分部积分法和换元积分法. (三) 教学建议：(1) 讲解足量的有关换元积分法与分部积分法的计算题． (2) 总结分部积分法的几种形式：升幂法，降幂法和循环法．一、分部积分法我们讲导数时，知道)()()()(])()([x v x u x v x u x v x u '+'='从而有⎰⎰'+'=dx x v x u dx x v x u x v x u )()()()()()(移项得⎰⎰'-='dx x v x u x v x u dx x v x u )()()()()()(或 ⎰⎰-=)()()()()()(x du x v x v x u x dv x u 我们称这个公式为分部积分公式。
当 ⎰'dx x v x u )()( 不容易积分，但⎰'dx x v x u )()( 容易积分时，我们就可以用分部积分把不容易积分的 ⎰'dx x v x u )()( 计算出来。
例1 求⎰xdx x cos解：若令 x v x v x u sin cos ,=⇒='= ， 代入分部积分公式⎰⎰++=-=C x x x xdx x x xdx x cos sin sin sin cos但若令 2/,cos 2x v x v x u =⇒='= ， 代入分部积分公式dx x x x x xdx x ⎰⎰+=sin 21cos 2cos 22 比原积分还复杂由此可知，在用分部积分公式时，u, v 的选择不是随意的，那个作u , 那个作 v ，应适当选取，否则有可能计算很复杂甚至计算不出来。
分析分不积分公式，我们可总结出下面一个原则：一般应把（相比之下）容易积分，积分后比较简单的函数作为 v '，积分较难或积分后比较复杂的函数作为u例2 求⎰xdx ln⎰xdx ln ⎰⎰+-=⋅-=-=C x x x dx x x x x x xd x x ln 1ln ln ln或解：令t e x t x ==,ln原式C x x x C e te dt e te tde tt t t t +-=+-=-==⎰⎰ln例3 求 ⎰xdx x ln解：⎰⎰=2ln 21ln xdx xdx x [][]C x x x C x x x xdx x x x d x x x +-=+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-=-=⎰⎰222222241ln 2121ln 21ln 21ln ln 21例4 求 ⎰xdx x arctan解：⎰⎰=2arctan 21arctan xdx xdx x[][]C x x x x dx x x x dx x x x x x d x x x ++-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=-=⎰⎰⎰arctan arctan 21)111(arctan 211arctan 21arctan arctan 2122222222分部积分公式也可以连续用多次例5 求 ⎰dx e x x 2解：xx de x dx e x ⎰⎰=22Ce xe e x dx e xe e x dx xe e x dx e e x x x x x x x x x x x ++-=--=-=-=⎰⎰⎰22)(2222222例6 求⎰bxdx e axcos解： dx bx e a b bx e abxdx e ax x ax ⎰⎰+=sin cos 1cos 再分部积分一次]cos sin 1[cos 1dx bx e a b bx e aa b bx e a ax ax x ⎰-+= 出现循环将上式最后一项移到左端合并整理，得C ba bx a bxb e bxdx e bx a b x a e dx bx e a b ax ax ax ax +++⋅=+=+⎰⎰22222cos sin cos )sin cos 1(cos )1(分部积分使用的类型：一般说下面类型的不定积分dx arctgbx xaxdx xbxdx xdx e xdx x xkkkax km k⎰⎰⎰⎰⎰,cos ,sin ,,log等常用分部积分来计算。
微积分中的积分法在微积分学中，积分是一种非常重要的数学运算，它可以用来求某一曲线下的面积，同时也可以求出曲线的长度、体积等等。
而积分法是指一种方法，可以用来解决复杂的积分运算，包括定积分和不定积分。
定积分是指在一定范围内求函数值的平均值，而不定积分则是求导数的反向运算。
要想求解积分，就需要掌握积分法，其中最常用的积分法包括换元积分法、分部积分法和三角函数积分法。
一、换元积分法换元积分法是一种通过变量代换来简化积分的方法。
对于形如f(g(x))g'(x)的积分式，可以将g(x)看作一个新的变量u，从而将积分式变为f(u)du的形式，然后再求解该积分式。
例如，对于以下的积分式：∫(x^2 + 1)^(3/2)xdx我们通过令u = x^2 + 1来进行变量代换，那么导数du / dx = 2x，dx = (1 / 2x)du。
代入原式中，得到：∫(x^2 + 1)^(3/2)xdx = (1 / 2)∫u^(3/2)du = (1 / 2) * (2 / 5)u^(5/2) + C = (1 / 5)(x^2 + 1)^(5/2) + C通过变量代换，我们成功地将原式变成了一个更容易求解的积分式，同时也提高了计算的精度和效率。
二、分部积分法分部积分法是一种将积分式分解成多个子积分式的方法，通过对每个子积分式进行积分，最终得到整个积分式的解。
对于形如uv'的积分式，可以利用分部积分法，将其拆分为u∫v'dx和∫u'vdx两个积分式，然后再分别进行计算。
例如，对于以下的积分式：∫xe^xdx我们可以选择令u = x，v' = e^x，从而求解u∫v'dx和∫u'vdx，得到：∫xe^xdx = xe^x - ∫e^xdx= xe^x - e^x + C通过分部积分法，我们进一步简化了积分式，将其分解成了多个小的子式，从而更方便地进行求解。
三、三角函数积分法三角函数积分法是一种针对包含三角函数的积分式的特殊方法。
第八章 不定积分2 换元积分法与分部积分法(讲义)一、换元积分法定理8.4：(换元积分法)设g(u)在[α,β]上有定义，u=φ(x)在[a,b]上可导，且α≤φ(x)≤β，x ∈[a,b]，并记f(x)=g(φ(x))φ’(x), x ∈[a,b].1、(第一换元积分法)若g(u)在[α,β]上存在原函数G(u)，则f(x)在[a,b]上也存在原函数F(x)，且F(x)=G(φ(x))+C ,即 ∫f(x)dx=∫g(φ(x))φ’(x)dx=∫g(u )du=G(u)+C=G(φ(x))+C .2、(第二换元积分法)若φ’(x)≠0, x ∈[a,b]，则命题1可逆，即f(x)在[a,b]上存在原函数F(x)时，g(u)在[α,β]上也存在原函数G(u)，且G(u)=F(φ-1(u))+C, 即∫g(u )du=∫g(φ(x))φ’(x)dx=∫f(x)dx=F(x)+C=F(φ-1(u))+C. 证：1、∵dxdG(φ(x))=G ’(φ(x))φ’(x)=g(φ(x))φ’(x)=f(x)， ∴∫f(x)dx=∫g(φ(x))φ’(x)dx=∫g(u )du=G(u)+C=G(φ(x))+C . (亦可简写为：∫g(φ(x))φ’(x)dx=∫g(φ(x))d φ(x)=G(φ(x))+C .) 2、若φ’(x)≠0, x ∈[a,b]，则u=φ(x)有反函数x=φ-1(x)，且du dx =(x)φx 1-(x)φ1=',∴dx d F(φ-1(u))=F ’(x)·(x)φ1'=f(x)·(x)φ1'=g(φ(x))φ’(x)·(x)φ1'=g(φ(x))=g(u). ∴∫g(u )du=∫g(φ(x))φ’(x)dx=∫f(x)dx=F(x)+C=F(φ-1(u))+C.例1：求∫tanxdx. 解：∫tanxdx=∫cosx sinx dx=-∫cosx1d(cosx). 令u=cosx ，则 ∫tanxdx=-∫u1du=-ln|u|+C=-ln|cosx|+C.例2：求∫22xa dx+(a>0). 解：∫22x a dx +=a 1∫2a x 1ax d ⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=a 1arctan a x +C.例3：求∫22x-a dx (a>0).解：∫22x -a dx =∫2a x -1a x d ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=arcsin ax +C.例4：求∫22a -x dx(a ≠0). 解：∫22a -x dx =2a 1∫⎪⎭⎫⎝⎛+--a x 1a x 1dx=2a 1[∫a x 1-d(x-a)-∫a x 1+d(x+a)] =2a 1[ln|x-a|-ln|x+a|]+C=2a 1ln ax a-x ++C.例5：求∫secxdx.解法1：∫secxdx=∫cosxdx =∫2x sin 2x cos dx 22-=21∫⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-+-+2x sin 2x cos 2x sin 2x cos 2x sin 2x cos 2x sin 2x cos dx =21(∫2x sin2x cos 2x sin 2x cos -+dx+∫2x sin 2x cos 2x sin 2x cos +-dx)= -∫2x sin 2x cos 2x sin 2x cos d -⎪⎭⎫ ⎝⎛-+∫2x sin 2x cos 2x sin 2x cos d +⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-ln 2x sin 2x cos -+ln 2x sin 2x cos ++C=ln2x sin2x cos 2x sin2x cos -++C=ln cosx sinx 1++C. 解法2：∫secxdx=∫x cos cosx 2dx=∫xsin -112d(sinx)=21ln x sin 1sinx1-++C.解法3：∫secxdx=∫tanx secx tanx)secx(secx ++dx=∫tanxsecx tanx)d(secx ++=ln|secx+tanx|+C.例6：求∫3u-u du .解：令u=x 6，则x=6u ，原式=∫236x -x dx =6∫1-x x 3dx=6∫(1-x 1x 1-x 13-+)dx=6∫(1-x 1+x 2+x+1)dx=6[∫1-x 1d(x-1)+ ∫x 2dx+∫xdx+∫dx]=6(ln|x-1|+3x 3+2x 2+x)+C=6ln|x-1|+2x 3+3x 2+6x+C=6ln|6u -1|+2u +33u +66u +C.例7：求∫22x -a dx (a>0).解：令x=asint, |t|<2π，则t=arcsin ax ，原式=∫t sin a -a 222d(asint)=a 2∫cos 2tdt=4a 2∫(cos2t+1)d(2t)=4a 2[∫cos2td(2t)+∫d(2t)]=4a 2(sin2t+2t)+C =4a 2(2sinarcsin a x cosarcsin a x +2arcsin a x )+C=2a 2(ax2a x -1⎪⎭⎫⎝⎛+arcsin a x )+C.例8：求∫22a-x dx (a>0).解：令x=asect, 0<t<2π, 则t=arcsec ax ， 原式=∫22a -)asect (d(asect)=∫ttan tantdtsect ⋅=∫sectdt=ln|sect+tant|+C 1 =ln|secarcsec a x +tanarcsec a x |+C 1=ln|a x +ax22xa -1|+C 1 =ln|a x +aa -x 22|+C 1=ln|x+22a -x |-lna+C 1=ln|x+22a -x |+C.例9：求∫222)a (x dx+(a>0). 解：令x=atant, |t|<2π, 则t=arctan ax ，原式=∫222]a )atant ([d(atant)+=3a 1∫t sec t sec 42dt=3a 1∫cos 2tdt=3a 1∫21cos2t +dt =34a 1∫(cos2t+1)d(2t)=34a 1[∫cos2td(2t)+∫d(2t)]=34a 1(sin2t+2t)+C =32a 1sintcost+32a t +C=)t tan 1(2a tant23++32a t +C=)ax1(2a a x223++32a a x arctan +C=32a 1(22a x ax ++arctan a x )+C.例10：求∫1-x xdx 22.解法1：(运用第一换元积分法)原式=∫23x1-1x dx =-∫2x 1-1)x 1d(x 1=2x 1-1+C=1-x x 12+C .解法2：(运用第二换元积分法)令x=sect, 则t=arcsecx. 原式=∫1-t sec t sec d(sect)22=∫tant t sec tant sect 2⋅⋅dt=∫costdt=sint+C=tsec 1-12+C =2x1-1+C=1-x x 12+C .二、分部积分法：定理8.5：(分部积分法)若u(x)与v(x)可导，不定积分∫u ’(x)v(x)dx 存在，则∫u(x)v ’(x)dx 也存在，并有∫u(x)v ’(x)dx=u(x)v(x)-∫u ’(x)v(x)dx. 可简写为：∫udv=uv-∫vdu. (分部积分公式) 证：由(u(x)v(x))’=u ’(x)v(x)+u(x)v ’(x)，得∫(u(x)v(x))’dx=∫[u ’(x)v(x)+u(x)v ’(x)]dx=∫u ’(x)v(x)dx+∫u(x)v ’(x)dx ，即有 ∫u(x)v ’(x)dx=∫(u(x)v(x))’dx-∫u ’(x)v(x)dx=u(x)v(x)-∫u ’(x)v(x)dx.例11：求∫xcosxdx.解：∵∫sinxdx=-cosx+C ，∴∫xcosxdx=∫xdsinx=xsinx-∫sinxdx=xsinx+cosx+C.例12：求∫arctanxdx.解：∵∫xd(arctanx)=∫1x x 2+dx=21∫1x 12+d(x 2+1)=21ln(x 2+1)+C ，∴∫arctanxdx=xarctanx-∫xd(arctanx)=xarctanx-21ln(x 2+1)+C.例13：求∫x 3lnxdx.解：令t=lnx ，则x=e t ，∫x 3lnxdx=∫e 3t tde t =∫e 4t tdt=41∫tde 4t .∵∫e 4t dt=41e 4t +C ，∴41∫tde 4t =41(te 4t -∫e 4t dt)=161e 4t(4t-1)+C. ∴原式=161x 4(4lnx-1)+C.例14：求∫x 2e -x dx.解：∫x 2e -x dx=-∫x 2de -x ，又∫e -x dx 2=2∫x e -x dx=-2∫x de -x .∵∫e -x dx=-e -x +C ，∴∫xde -x =xe -x -∫e -x dx=xe -x +e -x +C ，∴∫e -x dx 2=-2(xe -x +e -x )+C ， 原式=-(x 2e -x -∫e -x dx 2)=-x 2e -x -2(xe -x +e -x )+C=-x 2e -x -2xe -x -2e -x +C.例15：求I 1=∫e ax cosbxdx 和I 2=∫e ax sinbxdx.解：I 1=a1∫cosbxde ax =a1[e ax cosbx-∫e ax d(cosbx)]=a1(e ax cosbx+bI 2). I 2=a1∫sinbxde ax =a1[e ax sinbx-∫e ax d(sinbx)]=a1(e ax sinbx-bI 1).由此得方程组：⎩⎨⎧sinbx e =aI +bI coxbx e =bI -aI ax21ax 21. 解方程组得： I 1=22ax b a bsinbx)(acosbx e +++C ；I 2=22ax b a bcosbx)(asinbx e +-+C.。
