最新定积分的换元积分法与分部积分法
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第三节定积分的换元法与定积分的分部积分法-资料
(a),(b)，这样就有
b
令t (x)
f[(x)](x)dx
a
f(t
) dt
例2
计算
2
0
co5s xsi nxdx.
解
2
0
co5sxsinxdx
2
0
co5sxd(coxs)
令t coxs
0
t 5dt
1
t6 1 1 . 66
0
20
01xscions2xxdx
2
01scionx2sxdx
201c1o2xsd(cx o)s2arctanx()c0os
() 2 . 2 44 4
二、定积分的分部积分公式
定理 设函数u( x)、v( x)在区间a, b上具有连续
第三节 定积分的换元法 与 定积分的分部积分法
一、定积分的换元法
定 理 设 函 数f ( x)在 区 间[a, b]上 连 续,
函 数x (t)满 足 条 件:
(1) ( ) a, ( ) b (2) (t)在[ , ](或[ , ])上 具 有 连 续 的 导 数,
1 1 1x2
解
原式
1 1
2x2 1 1x2
1
dx1
xcoxs 1 1x2
dx
偶函数
奇函数
1
40
1
x2 1x2
dx401
x21(1(11x2x)2)dx
40 1(11x2)dx 4401 1x2dx
单位圆的面积
4.
例 7 若 f ( x)在[0,1]上连续，证明
f(x)sx i2 xn 22x2sxixn 2,
b
令t (x)
f[(x)](x)dx
a
f(t
) dt
例2
计算
2
0
co5s xsi nxdx.
解
2
0
co5sxsinxdx
2
0
co5sxd(coxs)
令t coxs
0
t 5dt
1
t6 1 1 . 66
0
20
01xscions2xxdx
2
01scionx2sxdx
201c1o2xsd(cx o)s2arctanx()c0os
() 2 . 2 44 4
二、定积分的分部积分公式
定理 设函数u( x)、v( x)在区间a, b上具有连续
第三节 定积分的换元法 与 定积分的分部积分法
一、定积分的换元法
定 理 设 函 数f ( x)在 区 间[a, b]上 连 续,
函 数x (t)满 足 条 件:
(1) ( ) a, ( ) b (2) (t)在[ , ](或[ , ])上 具 有 连 续 的 导 数,
1 1 1x2
解
原式
1 1
2x2 1 1x2
1
dx1
xcoxs 1 1x2
dx
偶函数
奇函数
1
40
1
x2 1x2
dx401
x21(1(11x2x)2)dx
40 1(11x2)dx 4401 1x2dx
单位圆的面积
4.
例 7 若 f ( x)在[0,1]上连续，证明
f(x)sx i2 xn 22x2sxixn 2,
§3.3定积分换元法
π 2
0
sin n xdx = − ∫
π 2
0
sin n −1 xd (cos x )
π 2 0
= − sin n −1 x cos x
[
= (n − 1) ∫
π 2 0 π 2
]
π 2 0
+∫
cos xd (sin n −1 x )
cos 2 x sin n − 2 xdx
= (n − 1) ∫
0
8．已知 g ( x ) = ∫ t f ′( x − t )dt ，求 g′( x ) 。
0
x
g( x ) = ∫ t f ′( x − t )dt
0
x 0
x
令x−t=u
=
− ∫ ( x − u ) f ′(u )du
x
0
= ∫ ( x − u ) f ′(u )du = x
x
∫0 f ′(u )du − ∫0 uf ′(u )du
a a ∫ 0 f(− x) dx
0
f(x) dx =
+
a ∫0
f(x) dx = ∫ [ f(x) + f(− x)] dx.
0
a
续上
∴∫
a
−a
f(x) dx = ∫ [f(x) + f( − x)] dx ，
0
a
（2）∵ f ( x ) 为偶函数，即 f (− x ) = f ( x ) ，
∴∫
π 2 sin 2 t − 1 dt π sin t 6
6 cos t dt = π cos t sin t 2
∫
6 cos t dt π cos t ⋅ sin t 2
定积分的换元积分法和分部积分法
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例2 计算
x
ln 8
ln 3
1 e x dx .
ln(t2
2 td t - 1) ， dx 2 . t 1
解 令 1 e t, 则 x =
x ln3 ln8 t 2 3
于是
3
ln 8
ln 3
1 e x dx 2
3 1 2t 2 dt dt 22 1 2 2 t 1 t 1
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例13 解
计算
1
0
(arcsinx )3dx.
先换元，再分部积分.
x 0 1 令 arcsinx = t， = sin t， dx = cos tdt， 则 x ， t 0 2 1
0 2 0
于是
(arcsinx )3dx 2 t 3 cos tdt .
2 0
e 2 [e x cos x ]02 e x sin xdx
2 0
e 2 1 2 e x sin xdx
移项，解得
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1 e x sin xdx (e 2 1) 2
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0
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e x dx. 例10 计算 0
1
解 先换元，后分部积分.
1
解 令 x t，则 x = t2 ，dx = 2tdt，
于是
1 2t dx 0 1 x 0 1 t dt
x 0 1 ， t 0 1
1
1 2 1 dt 0 1 t
1
2t ln | 1 t | 0 2 2 ln 2.
53第三节定积分的换元法和分部积分法
0
0
a
武 汉
f(x )d x f( t)d tf(t)d t
a
a
0
科
技
学
a
0
a
a
院 数
f( x ) d x f( x ) d x f( x ) d x 2f( x ) d x
a
a
0
0
理
系
高 等
(3) 令x=t+l,则dx=dt,且当x=l时,t=0,当x=a+l时,t=a
武 汉 科 技 学 院 数 理 系
高 等 利用换元法计算定积分时,要注意:
数 学
(1).在换元时,积分的上下限必须同时变化.
电 (2).在换元时,要注意换元后的函数在积分区域内是否有
子 教
意义.
案
如果用x=1/t,则注意积分区域是否有x=0的情况,
如果用x=t2,则被积函数开方时要注意在积分区域里
+2,也可为-2.
案 面对有正负号时,应该
考虑被积函数的情况
x 3
武
当t=-1时,要注意 t2 t
0
t
汉
科 技
代入被积函数
-2 -1 1 2
学
院
数
理 系
如t从-1到+2,此时已经超过积分区域了
高 此外当积分区域应该考虑
等 数
如t从-1到+2,此时已经超过积分区域了
学 电
根据定积分的性质3可加性(p221)其结果是一样的.
2
教 案
0 c o s 3 x c o s 5 x d x 0 c o s 3 2 x 1 c o s 2 x d x 0 c o s 3 2 x s i n x d x
定积分的积分法
例3 计算 解
∫
1
0
ln(1 + x ) dx . 2 (2 + x )
∫0
1
1 ln(1 + x ) 1 dx = − ∫0 ln(1 + x )d 2 (2 + x ) 2+ x
1
1 1 ln(1 + x ) = − + ∫0 2 + x d ln(1 + x ) 2 + x 0
第三节 定积分的积分法
一、定积分的换元积分法 二、定积分的分部积分法
一、定积分的换元法
定理 假设
上连续； （1 ） f ( x ) 在[a , b]上连续； （2 ）函数 x = ϕ (t ) 在[α , β ]上是单值的且有连续 导数； 导数；
上变化时， （3 ） 当 t 在区间[α , β ]上变化时 ， x = ϕ (t ) 的值 上变化， 在[a , b]上变化，且ϕ (α ) = a 、ϕ ( β ) = b ，
则 有 ∫a f ( x )dx = ∫α f [ϕ ( t )]ϕ ′( t )dt .
b
β
应用换元公式时应注意: 应用换元公式时应注意
用 （1） x = ϕ (t ) 把变量 x 换成新变量t 时，积分限也 ） 相应的改变. 相应的改变
（2） ） 求出 f [ϕ ( t )]ϕ ′( t )的一个原函数Φ (t ) 后，不
1 ln 2 1 1 1 1 dx +∫ ⋅ =− − 0 2+ x 1+ x 3 1+ x 2 + x ln 2 5 1 =− + [ln(1 + x ) − ln( 2 + x )]0 = ln 2 − ln 3. 3 3
6.3 定积分的换元法与分部积分法
0
1
内的连续函数， 例 5 设 f ( x ) 是 ( −∞ , + ∞ ) 内的连续函数，且满足
∫0
求 f ( x) .
x
f ( x − t ) td t = e − x − 1
x
作业： 作业：P161
1(3),2 (2),7,8(1)(8)(12) P168 1 (2)(7)(8),7
二、定积分的分部积分法
1
− x
dx ;
( 2)
∫
1 2 0
arcsin xdx .
4 = 2− . e
e −1 2
π 3 = + −1. 12 2
(3) ∫ (1 + x) ln (1 + x)dx
0
(4)
∫ x arcsin xdx .
-1
1
例7
求定积分
无法显示图像。计算机可能没有足够的内存以打开该图像，也可能是该图像已损坏。请重新启动计算机，然后重新打开该文件。如果仍然显示红色 “x” ，则可能需要删除该图像，然后重新将其插入。
定理 6.5 设 u = u( x ) , v = v ( x ) 在区间 [a , b] 上连续可
导，则下面的分部积分 公式成立
∫a u( x )v′( x )dx = u( x )v( x )
b
b a
− ∫ v ( x )u′( x )dx
a
b
(6 − 16)
例6
求下列定积分 ：
(1)
∫0 e
e 1
r
π 2 0
1 dx ; x 1 + ln x r − x dx ( r > 0 ) .
2 2
( 4) ∫
1
内的连续函数， 例 5 设 f ( x ) 是 ( −∞ , + ∞ ) 内的连续函数，且满足
∫0
求 f ( x) .
x
f ( x − t ) td t = e − x − 1
x
作业： 作业：P161
1(3),2 (2),7,8(1)(8)(12) P168 1 (2)(7)(8),7
二、定积分的分部积分法
1
− x
dx ;
( 2)
∫
1 2 0
arcsin xdx .
4 = 2− . e
e −1 2
π 3 = + −1. 12 2
(3) ∫ (1 + x) ln (1 + x)dx
0
(4)
∫ x arcsin xdx .
-1
1
例7
求定积分
无法显示图像。计算机可能没有足够的内存以打开该图像，也可能是该图像已损坏。请重新启动计算机，然后重新打开该文件。如果仍然显示红色 “x” ，则可能需要删除该图像，然后重新将其插入。
定理 6.5 设 u = u( x ) , v = v ( x ) 在区间 [a , b] 上连续可
导，则下面的分部积分 公式成立
∫a u( x )v′( x )dx = u( x )v( x )
b
b a
− ∫ v ( x )u′( x )dx
a
b
(6 − 16)
例6
求下列定积分 ：
(1)
∫0 e
e 1
r
π 2 0
1 dx ; x 1 + ln x r − x dx ( r > 0 ) .
2 2
( 4) ∫
定积分的换元积分法与分部积分法
解：对 p 1,
a
dx (a 0) p x
收敛或发散
b
1
1 1 1 p 1 p 1 ( b ) x dx x p 1 p 1 p 1
p
重要的问题是b的指数是正数还是负数. 假如是
负数, 则当b趋向无穷时, b–p+1趋向于0. 若指数为
正数,则b–p+1当b趋于无穷时无界增长. 因此, 若–
a
udv uv a vdu .
a
回忆：：
定积分的分部积分公式
不定积分的分部积分公 式为 :
udv uv vdu .
例1. 计算
解: 原式 =
x arctan x
1 2
1 0
1
0
1 1 2 d (1 x ) 2 4 2 0 1 x
1 2 ln( 1 x ) 2 4 0 1 ln 2 2 4
当p>1时积分有值
1
b 1 1 1 1 p 1 b ) dx lim p dx lim ( p b p 1 b 0 x p 1 x
1 1 ( ) p 1 p 1
定理1 (比较判别法) [a,), g ( x) f ( x) 0, 设 且f ( x)， ( x)于[a,)内有界, 则 g (1) 当 a g ( x)dx 收敛时，a f ( x)dx 也收敛 ； (2) 当
1
dx 增长且无界, x
y 1 x
dx 发散. y x
1
b
dx x
0
1
b
x
2. 其它情形意义
3.6 定积分的换元法与分部积分法
= ϕ (t ) 把
例1 求积分 解一
∫
a
0
a 2 − x 2 dx ( a > 0 ) .
原来的积分变量换为新积分变量时， 原来的积分变量换为新积分变量时，积分限也要换 为相应于新变量所对应的积分限 为相应于新变量所对应的积分限.
∫
a
0
a 2 − x 2 dx
π
2
π
∫ f ( x ) dx
b a
x = ϕ ( t ) , dx = ϕ ′ ( t ) dt
a → α,
b→β
∫α
β
f ϕ ( t ) dϕ ( t )
x = a sin t , dx = a cos tdt 0 → 0, a →
∫
π
2 0
a cos t ⋅ a cos tdt
=∫ f ϕ ( t ) ϕ ′ ( t ) dt. α
切记： 切记：换元的同时要换限， 换元的同时要换限，且原积分变量
x
a +lO
1 4 1 cos3 2 xd(2x) = ∫ 4 cos 2 2 xd(sin2x) 2 ∫0 2 0
π
4 0
π
π
∫
0 0
u 2 du = 0
3
1 π 1 = ∫ 4 (1 − sin 2 2 x)d(sin2x) = (sin 2 x 2 0 2 = 1 1 1 (1 − ) = . 2 3 3
sin 3 2 x − 3
π
4 0
)
此结果明显错误！ 此结果明显错误！因为原式的被积函数＞ 因为原式的被积函数＞０， 积分下限又＜ ＜积分上限， 积分下限又 积分上限，因此原式表示 x 轴上方的 一个曲边梯形的面积， 一个曲边梯形的面积，应该＞ 应该＞０，错在哪里？ 错在哪里？ π cos x, 0 ≤ x ≤ 2 , 2 注意第二个等号， 注意第二个等号，当 0 ≤ x ≤ π 时，1− sin x = − cos x, π ≤ x ≤ π 2
§5.3_定积分的换元法与分部法
2
20
定积分的换元法和分部积分法
3
例
e4
dx
e x ln x(1 ln x)
d( ln x) 1 1 d ln x 2 ln x
3
e4
解 原式
d(ln x)
e ln x(1 ln x)
3
3
e4
d(ln x)
e4 d ln x
2
e ln x (1 ln x)
e 1 ( ln x)2
2 arcsin(
ln x )
3
e4 e
.
6
21
定积分的换元法和分部积分法
a
1
dx (a 0)
0 x a2 x2
解 令 x a sint, dx a cos tdt
x0t0
x a t
2
原式
2
0
a
sin
t
a cost a 2 (1
则
b
a f ( x)dx F(b) F(a)
N--L公式
由于 d dt
F (t) F(t)(t)t) (t)的原函数, N--L公式
则
f [ (t)](t)dt
F ( )
b
a
所以 f (a b x)dx f (t)(dt)
a
b
b
b
a f (t)dt a f (x)dx
所以，原命题成立。
10
例
计算
4 dx .
0 1 x
解 用定积分换元法.
令
x
t， 则
D5_3换元法与分部积分法(new)
换元公式也可反过来使用, 即
(t ) (t )
f ( x) d x
a
b
(令 x (t ) )
一、定积分的换元法
说明:
1) 当 < , 即区间换为[ , ] 时，定理 1 仍成立 . 2) 必需注意换元必换限 , 原函数中的变量不必代回 . 3）配元不用换极限
(t ) (t )
v cos x
I n [ cos x sin
n 1
x] 0 (n 1) sin 0
2
2
n2
x cos x dx
2
0
I n (n 1) 2 sin n 2 x cos 2 x dx
0
(n 1) 2 sin n 2 x (1 sin 2 x) dx
(n 1) I n2
0
1 I 由此得递推公式 I n nn n2
于是
m 1 I 2 m 3 I 3 1 I I 2 m 22 2 m 2 4 2 0 m 2 m 2 2 m 4 m 2 m2 42 I I 2m1 22 I I 2 m 3 m 1 m 1 22 m 1 5 3 1
第五章 第三节 定积分的换元法和 分部积分法
一、定积分的换元法 二、定积分的分部积分法
一、定积分的换元法
定理1. 设函数
1
单值函数
满足:
1) (t ) C [ , ] , ( ) a , ( ) b ;
2) 在[ , ] 上 则
(t ) (t )
a
证: [u ( x) v( x)] u( x)v( x) u ( x)v( x)
定积分的换元法与分部法
由此公得式:
In
n 1 n
In2
注意:
I0
2 dx
,
0
2
I1
2 sin xdx 1,
0
In
2 sin n xdx
0
2 cosn xdx
0
n n
1 n 1 n
n n n n
3 2 3 2
a
0
注: (1) 当f(x)为奇函数时,
a
f (x)dx 0.
a
(2) 当f(x)为偶函数时,
a
a
f (x)dx 2 f (x)dx.
a
0
练习
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铃
例5 若f(x)在[0, 1]上连续, 证明
(1) 02 f (sin x)dx02 f (cosx)dx ;
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结束
铃
例8
计算
1 0
ln(1 x) (2 x)2
dx
解
原式=
1
0
ln(1
x)
d
2
1
x
ln(1 x) 1 1
1
1 dx
2 x 0 0 2 x 1 x
ln
2
1 3
1 1 01 x
2
1
x
dx
ln
2
1 3
ln(1
定积分的换元积分法和分部积分法
5.4定积分的换元积分法
和分部积分法
定积分换元法
∈ [1,2]
= 2 + 3 ∈ [5,8]
定积分换元法
定理设函数 f ( x) 在 [a, b] 上连续，函数 x (t ) ，其中 (t ) 为
单值函数，满足
⑴ ( ) a, ( ) b ，且当 t [ , ] 或 [ , ] 时， (t ) [a, b] ；
a
b
u ( x)v( x)dx u ( x)v( x) a u( x)v( x)dx
b
a
b
u ( x)dv(x) u ( x)v( x) a v( x)du (x) ．
b
a
称为定积分的分部积分公式．
也简记为
b
a
b
udv uv a vdu ．
b
a
22-14
例1
2
1
1 3 0
t 1
(t t ) 1 e
0
3
4
7
1
1
(e 1) e
3
3
0
t
例4
解：
例5
例6
(1)
(2)
(1)
(2)
定积分的分部积分法
定理 设函数 u u ( x) 与 v v( x) 在 [a, b] 上均具有连续导数，则
或
b
a
b
计算 xe dx ．
2
0
x
解： xe dx
2
0
x
xe | e dx
x 2
0
2 x
0
2e e |
和分部积分法
定积分换元法
∈ [1,2]
= 2 + 3 ∈ [5,8]
定积分换元法
定理设函数 f ( x) 在 [a, b] 上连续，函数 x (t ) ，其中 (t ) 为
单值函数，满足
⑴ ( ) a, ( ) b ，且当 t [ , ] 或 [ , ] 时， (t ) [a, b] ；
a
b
u ( x)v( x)dx u ( x)v( x) a u( x)v( x)dx
b
a
b
u ( x)dv(x) u ( x)v( x) a v( x)du (x) ．
b
a
称为定积分的分部积分公式．
也简记为
b
a
b
udv uv a vdu ．
b
a
22-14
例1
2
1
1 3 0
t 1
(t t ) 1 e
0
3
4
7
1
1
(e 1) e
3
3
0
t
例4
解：
例5
例6
(1)
(2)
(1)
(2)
定积分的分部积分法
定理 设函数 u u ( x) 与 v v( x) 在 [a, b] 上均具有连续导数，则
或
b
a
b
计算 xe dx ．
2
0
x
解： xe dx
2
0
x
xe | e dx
x 2
0
2 x
0
2e e |
定积分的换元法和分部积分法
1
4
R2
R
x x
例2 计算
0
cos3 x cos5 xdx
2
解
0
cos3 x cos5 xdx
2
0
cos3 x cos5 xdx
0
3
cos 2 x
1 cos2 xdx
0
3
cos 2 x sin x dx
2
2
2
0
3
cos2 x sin xdx
2
0
2
3
cos 2
解:
I1 tax
a 0
f (a t) dt f (a t) f (t)
2I1
a 0f f(a (ax) x)f f
(x) (x)
dt
a,
I1
a 2
I2 tx
0
( 1
t) sin cos2 t
t
dt
sin t 0 1 cos2 t dt
t sin t
0
1
cos2
dt t
第三节 定积分的换元法和分部积分法
一 定积分的换元法
定理1 设函数f(x)在[a,b]上连续,且x=φ(t)满足条件:(1) φ(t)在[α,β]上连续 可微;(2)当t在[α,β]上变化时, x= φ (t)的值在[a,b]上单调变化,且 φ(α)=a,φ(β)=b则
b
a f (x)dx f [ (t)](t)dt(1)
xd
cos
x
2 5
5
cos 2
x |0 2
2 5
利用换元法计算定积分时,要注意: (1).在换元时,积分的上下限必须同时变化. (2).在换元时,要注意换元后的函数在积分区域内是否有 意义.
定积分的换元积分法与分部积分法
03
2. 选择适当的原函数：根据被积函数的形式，选择 一个易于计算的原函数。
分部积分法的步骤与注意事项
3. 应用分部积分公式
将被积函数和选择的原函数代入分部积分公式，进行计算。
化简结果
对计算结果进行化简，得到最终答案。
分部积分法的步骤与注意事项
01
注意事项
02
1. 正确选择原函数：选择合适的原函数是分部积分法的关键，通常需 要根据被积函数的形式和特点进行判断。
详细描述
设$u=x^n$，$v=e^x$，则 $frac{du}{dx}=nu^{n-1}$， $frac{dv}{dx}=e^x$。根据分部积分公式 ，$int x^ne^xdx=[x^ne^x-nint x^{n1}e^xdx]$。通过递推关系，可以逐步求得 定积分的值。
幂函数与三角函数之间的分部积分
指数函数换元法
要点一
总结词
通过指数函数进行换元，将复杂的定积分转化为简单的定 积分。
要点二
详细描述
对于一些包含指数函数的定积分，我们可以利用指数函数 的性质进行换元，将原定积分转化为更容易计算的形式。 例如，对于 $int e^x dx$，我们可以令 $u = e^x$，则 $du = e^x dx$，从而将原定积分转化为 $int u du$。
倒代换法
总结词
通过倒数关系进行换元，将复杂的定积 分转化为简单的定积分。
VS
详细描述
对于一些包含复杂函数的定积分，我们可 以利用倒数关系进行换元，将原定积分转 化为更容易计算的形式。例如，对于 $int frac{1}{x} dx$，我们可以令 $u = x^{-1}$，则 $du = -x^{-2} dx$，从而 将原定积分转化为 $int u du$。
2. 选择适当的原函数：根据被积函数的形式，选择 一个易于计算的原函数。
分部积分法的步骤与注意事项
3. 应用分部积分公式
将被积函数和选择的原函数代入分部积分公式，进行计算。
化简结果
对计算结果进行化简，得到最终答案。
分部积分法的步骤与注意事项
01
注意事项
02
1. 正确选择原函数：选择合适的原函数是分部积分法的关键，通常需 要根据被积函数的形式和特点进行判断。
详细描述
设$u=x^n$，$v=e^x$，则 $frac{du}{dx}=nu^{n-1}$， $frac{dv}{dx}=e^x$。根据分部积分公式 ，$int x^ne^xdx=[x^ne^x-nint x^{n1}e^xdx]$。通过递推关系，可以逐步求得 定积分的值。
幂函数与三角函数之间的分部积分
指数函数换元法
要点一
总结词
通过指数函数进行换元，将复杂的定积分转化为简单的定 积分。
要点二
详细描述
对于一些包含指数函数的定积分，我们可以利用指数函数 的性质进行换元，将原定积分转化为更容易计算的形式。 例如，对于 $int e^x dx$，我们可以令 $u = e^x$，则 $du = e^x dx$，从而将原定积分转化为 $int u du$。
倒代换法
总结词
通过倒数关系进行换元，将复杂的定积 分转化为简单的定积分。
VS
详细描述
对于一些包含复杂函数的定积分，我们可 以利用倒数关系进行换元，将原定积分转 化为更容易计算的形式。例如，对于 $int frac{1}{x} dx$，我们可以令 $u = x^{-1}$，则 $du = -x^{-2} dx$，从而 将原定积分转化为 $int u du$。
5.3 定积分的换元法和分部积分法
−a
0
0
a
= ∫ 0 [ f (x ) + f (− x) ]d x
a
a
即
∫ ∫ f ( x)d x = [ f ( x) + f (− x) ] d x
−a
0
a
a
∫ ∫ 即
f (x)d x = [ f (x) + f (−x) ] d x
−a
0
（1）若 f (x) 为偶函数，即 f ( x ) = f (− x )
π
原式 =
t 2
+
ln
|
sin
t
+
cos
t
|
2 0
=π
4
例6：证明
（1）若 f (x) 在 [ - a , a ] 上连续且为偶函数，
a
a
则 ∫ − a f (x)d x = 2∫ 0 f (x)d x
（2）若 f (x) 在 [ - a , a ] 上连续且为奇函数，
a
则 ∫ −a f (x)d x = 0
1 −1
f (u) d u
∫ ∫ ∫ =
1
f (x)d x =
0 (1 + x2 ) d x +
1 e−x d x
−1
−1
0
=
[
x
+
1 3
x
3
]0−1
+
[−e − x ]10
= 7− 1 3e
二、 定积分的分部积分法
设 u = u (x) , v = v(x) 在区间 [ a , b ] 上有连续导
π 2
−
t
dt
π
定积分的换元积分法与分部积分法
1 0
f (2x)dx
1
f (2)
1
1
f (2x)d(2x)
2
40
1 2
f
(2)
1f
4
(
2
x
)
1 0
5 1 f (2) f (0) 2.
24
23
定积分的换元法和分部积分法
思考题 试检查下面运算是否正确?
如 令x 11 dx11Fra bibliotek x2t
1 1
1
1
1 t2
d
1 t
1 dt 11 t 2
0t
x2
0
sinu
u
du x
x2 sin u du
0u
原式 lim x0
x
x2 sin u du 0u
x2
0
lim
sin x2 x2
2x
1
0 x0
2x
17
定积分的换元法和分部积分法
二、定积分的分部积分法
definite integral by parts
定理2 设 u( x),v( x)在区间[a,b]上有连续的导数,
x3 sin2 x4 2x2
x
dx 1
0
1 4 x2dx 2 1 4 x2dx
1
0
2 x5 x4 x3 x2 2dx
2
1x2
奇
偶
2 2
x15xx23dx
2 x4 x2 2 2 1 x2 dx
02
2 0
x4 x2 1 x2
2dx
8 3
12
定积分的换元法和分部积分法
2
0 20
2
定积分的换元法和分部积分法
2、不引入新的变量记号，积分限不变；引入新的变 量记号，积分限跟着变。
3、定积分分部积分公式的用法与不定积分分部积分 公式的用法类似。
0
分部积分
t sint
6
0
6 sintdt
0
1 62
[
cos
t
]6 0
3 1.
12 2
例16
计算
e-1
ln(1
x)dx
0
解
e-1
ln(1
x)dx
e-1
ln(1
x)d( x)
0
0
x
ln(1
x)
e1 0
e1
0
xd
ln(1
x)
e
1
e-1 0
x
1
1
x
dx
e
1
e-1 0
(1
1
1
x
)dx
f ( x)为偶函数；
0
0,
f ( x)为奇函数。
证毕。
例10
计算
3 3
x5 sin2 x dx.
1 x2 x4
解
3 3
x5 sin2 x dx 1 x2 x4
0
奇函数
例11
计算
π
2
π 2
sin2
x cos xdx
解
π
2
π 2
sin2 x cos xdx
π
2
2
0
sin2
x cos xdx
π
2
2
e
1
x
ln
|
1
x
|
e1 0
1
例17
3、定积分分部积分公式的用法与不定积分分部积分 公式的用法类似。
0
分部积分
t sint
6
0
6 sintdt
0
1 62
[
cos
t
]6 0
3 1.
12 2
例16
计算
e-1
ln(1
x)dx
0
解
e-1
ln(1
x)dx
e-1
ln(1
x)d( x)
0
0
x
ln(1
x)
e1 0
e1
0
xd
ln(1
x)
e
1
e-1 0
x
1
1
x
dx
e
1
e-1 0
(1
1
1
x
)dx
f ( x)为偶函数；
0
0,
f ( x)为奇函数。
证毕。
例10
计算
3 3
x5 sin2 x dx.
1 x2 x4
解
3 3
x5 sin2 x dx 1 x2 x4
0
奇函数
例11
计算
π
2
π 2
sin2
x cos xdx
解
π
2
π 2
sin2 x cos xdx
π
2
2
0
sin2
x cos xdx
π
2
2
e
1
x
ln
|
1
x
|
e1 0
1
例17
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定积分的换元积分法与分部积分法定积分的换元积分法与分部积分法教学目的：掌握定积分换元积分法与分部积分法难点：定积分换元条件的掌握重点：换元积分法与分部积分法由牛顿－莱布尼茨公式可知，定积分的计算归结为求被积函数的原函数．在上一章中，我们已知道许多函数的原函数需要用换元法或分部积分法求得，因此，换元积分法与分部积分法对于定积分的计算也是非常重要的．1．定积分换元法定理假设(1) 函数«Skip Record If...»在区间«Skip Record If...»上连续；(2) 函数«Skip Record If...»在区间«Skip Record If...»上有连续且不变号的导数；(3) 当«Skip Record If...»在«Skip Record If...»变化时，«Skip Record If...»的值在«Skip Record If...»上变化，且«Skip Record If...»，则有«Skip Record If...»．(1) 本定理证明从略．在应用时必须注意变换«Skip Record If...»应满足定理的条件，在改变积分变量的同时相应改变积分限，然后对新变量积分．例1计算«Skip Record If...»．仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢4仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢4解 令«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»．当«Skip Record If...»时，«Skip Record If...»；当«Skip Record If...»时，«Skip Record If...»．于是«Skip Record If...»«Skip Record If...»．例2 计算«Skip Record If...»«Skip Record If...»．解 令«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»．当«Skip Record If...»时，«Skip Record If...»；当«Skip Record If...»时，« «Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»．显然，这个定积分的值就是圆«(图5－8)．例3 计算«Skip Record If...»．解法一 令«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»．当«Skip Record If...»时，«Skip Record If...»；当«Skip Record If...»时，«Skip Record If...»，于是«Skip Record If...»．解法二 也可以不明显地写出新变量«Skip Record If...»，这样定积分的上、下限也不要改变．即 «Skip Record If...»«Skip Record If...»．此例看出：定积分换元公式主要适用于第二类换元法，利用凑微分法换元不需要变换上、下限．例4 计算«Skip Record If...»．解 «Skip Record If...»«Skip Record If...»注去绝对值时注意符号．=«Skip Record If...»=«Skip Record If...»=«Skip Record If...»．例5 计算«Skip Record If...»．解设«Skip Record If...»，则当«Skip Record If...»时，«Skip Record If...»；当«Skip Record If...»时，«Skip Record If...»．«Skip Record If...»=«Skip Record If...»«Skip Record If...»．例6设«Skip Record If...»在«Skip Record If...»上连续，证明：(1) 若«Skip Record If...»为奇函数，则«Skip Record If...»；(2) 若«Skip Record If...»为偶函数，则«Skip Record If...»．证由于«Skip Record If...»,对上式右端第一个积分作变换«Skip Record If...»，有«Skip Record If...»«Skip Record If...»．故«Skip Record If...»．(1) 当«Skip Record If...»为奇函数时，«Skip Record If...»，故仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢4«Skip Record If...»．(2) 当«Skip Record If...»为偶函数时，«Skip Record If...»，故«Skip Record If...»．利用例6的结论能很方便地求出一些定积分的值．例如«Skip Record If...»．«Skip Record If...»«Skip Record If...»．2．定积分的分部积分法设函数«Skip Record If...»与«Skip Record If...»均在区间«Skip Record If...»上有连续的导数，由微分法则«Skip Record If...»，可得«Skip Record If...»．等式两边同时在区间«Skip Record If...»上积分，有«Skip Record If...»． (2) 公式(2)称为定积分的分部积分公式，其中«Skip Record If...»与«Skip Record If...»是自变量«Skip Record If...»的下限与上限．例7计算«Skip Record If...»．解令«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»．故«Skip Record If...»«Skip Record If...»．例8计算«Skip Record If...»．仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢4解 «Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»．例9计算«Skip Record If...»．解 «Skip Record If...»=«Skip Record If...»=«Skip Record If...»=«Skip Record If...»=«Skip Record If...»．例10 计算«Skip Record If...»．解 «Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»．即 «Skip Record If...»注移项得．故 «Skip Record If...»．例11计算«Skip Record If...»．解先用换元法，令«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»．当«Skip Record If...»时，«Skip Record If...»；当«Skip Record If...»时，«Skip Record If...»．于是«Skip Record If...»．再用分部积分法，得«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»．仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢4小结：1．定积分换元积分定理：假设(1) 函数«Skip Record If...»在区间«Skip Record If...»上连续；(2) 函数«Skip Record If...»在区间«Skip Record If...»上有连续且不变号的导数；(3) 当«Skip Record If...»在«Skip Record If...»变化时，«Skip Record If...»的值在«Skip Record If...»上变化，且«Skip Record If...»．则有«Skip Record If...»．2．定积分分部积分法：设函数«Skip Record If...»与«Skip Record If...»均在区间«Skip Record If...»上有连续的导数，则有«Skip Record If...»．仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢4。