5(3)-定积分的换元法和分部积分法

定积分换元法与分部积分法在微积分中，求解定积分是一个常见的问题。

为了解决这一问题，数学家们发展出了一系列的积分技巧和方法。

其中，定积分换元法和分部积分法是两种常用的方法。

1. 定积分换元法定积分换元法，也经常被称为反链式法或者u-置换法，是一种通过变量替换的方法来求解定积分的方法。

其基本思想是：将被积函数中的一个变量替换为一个新的变量，使得原来的被积函数在新的变量下形式简化。

换元法的一般步骤如下：1.选择一个合适的变量替换，通常使用一个新的变量来替换被积函数中的一个变量。

2.计算新的变量对应的微元变量，并求得其微分。

3.将原来的被积函数表示为新的变量的函数，并对其进行简化。

4.计算新的定积分，并将结果转换回原来的变量。

通过这种换元法，我们可以简化复杂的被积函数，从而更容易求解定积分。

下面通过一个实例来进一步说明定积分换元法的具体步骤。

示例：求解定积分 $I = \\int_{1}^{2} \\frac{1}{x^2} dx$步骤1：选择合适的变量替换。

我们选取新变量u=x2，则du=2xdx步骤2：计算新变量对应的微元变量。

由du=2xdx，可以得到 $dx =\\frac{du}{2x}$步骤3：将原被积函数表示为新的变量的函数，并进行简化。

将x表示为u的函数，则 $x = \\sqrt{u}$。

将被积函数 $\\frac{1}{x^2}$ 替换为 $\\frac{1}{u}\\cdot \\frac{1}{2\\sqrt{u}} = \\frac{1}{2u\\sqrt{u}}$步骤4：计算新的定积分，并转换回原变量。

将积分的上下限也用新的变量表示，则新的定积分为 $I = \\int_{1}^{4} \\frac{1}{2u\\sqrt{u}} \\cdot\\frac{du}{2x}$。

对新的定积分进行计算，得到 $I = \\frac{1}{4}\\left( \\frac{1}{\\sqrt{4}} - \\frac{1}{\\sqrt{1}} \\right) = \\frac{1}{8} -\\frac{1}{4} = -\\frac{1}{8}$通过定积分换元法，我们成功求解了该定积分的值。

定积分的换元积分法与分部积分法教学目的：掌握定积分换元积分法与分部积分法 难 点：定积分换元条件的掌握 重 点：换元积分法与分部积分法由牛顿－莱布尼茨公式可知，定积分的计算归结为求被积函数的原函数．在上一章中，我们已知道许多函数的原函数需要用换元法或分部积分法求得，因此，换元积分法与分部积分法对于定积分的计算也是非常重要的．1．定积分换元法 定理 假设(1) 函数)(x f 在区间],[b a 上连续；(2) 函数)(t x ϕ=在区间],[βα上有连续且不变号的导数；(3) 当t 在],[βα变化时，)(t x ϕ=的值在],[b a 上变化，且b a ==)(,)(βϕαϕ， 则有[]dt t t f dx x f ba⎰⎰'=βαϕϕ)()()(． (1)本定理证明从略．在应用时必须注意变换)(t x ϕ=应满足定理的条件，在改变积分变量的同时相应改变积分限，然后对新变量积分．例1 计算⎰-211dx xx ． 解 令t x =-1，则tdt dx t x 2,12=+=．当1=x 时，0=t ；当2=x 时，1=t ．于是⎰⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⋅+=-102102211112211dt t tdt t t dx x x ⎪⎭⎫⎝⎛-=-=412)arctan (210πt t ．例2 计算⎰-adx x a 022)0(>a ．解 令t a x sin =，则tdt a dx cos =．当0=x 时，0=t ；当a x =时，2π=t ．故⎰-adx x a 022dt t a t a ⎰⋅=20cos cos πdt t a )2cos 1(2202+=⎰π2022sin 212π⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=t t a42aπ=．显然，这个定积分的值就是圆222a y x =+在第一象限那部分的面积(图5－8)．例3 计算⎰205sin cos πxdx x ．解法一 令x t cos =，则xdx dt sin -=． 当0=x 时，1=t ；当2π=x 时，0=t ，于是6161sin cos 01650125=-=-=⎰⎰t dt t xdx x π． 解法二 也可以不明显地写出新变量t ，这样定积分的上、下限也不要改变．即x d x xdx x cos cos sin cos 205205⎰⎰-=ππ61610cos 61206=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-=πx ．此例看出：定积分换元公式主要适用于第二类换元法，利用凑微分法换元不需要变换上、下限．例4 计算dx x ⎰-π0sin 1．解dx x ⎰-πsin 1⎰-=π2cos 2sindx xx 注去绝对值时注意符号．=⎰⎰-+-πππ220)2cos 2(sin )2sin 2(cos dx xx dx x x=222(sin cos )2(cos sin )2222x x x xπππ+--=)12(4-．例5 计算⎰+π2sin 3sin dx xx ．解 设x t cos =，则当0=x 时，1=t ；当π=x 时，1-=t ．⎰+π2sin 3sin dx xx =⎰⎰---=--1111224141dt tdt t11arcsin23t π-==．例6 设)(x f 在],[a a -上连续，证明： (1) 若)(x f 为奇函数，则0)(=⎰-aa dx x f ；(2) 若)(x f 为偶函数，则dx x f dx x f aa a)(2)(0⎰⎰=-．证 由于dx x f dx x f dx x f aaaa)()()(0⎰⎰⎰+=--,对上式右端第一个积分作变换t x -=，有dt t f dt t f dx x f aaa)()()(00-=--=⎰⎰⎰-dx x f a)(0-=⎰．故dx x f x f dx x f aaa)]()([)(0+-=⎰⎰-．(1) 当)(x f 为奇函数时，)()(x f x f -=-，故00)(0==⎰⎰-dx dx x f aaa．(2) 当)(x f 为偶函数时，)()(x f x f =-，故dx x f dx x f dx x f aaaa)(2)(2)(0⎰⎰⎰==-．利用例6的结论能很方便地求出一些定积分的值． 例如0sin 6=⎰-xdx x ππ．⎰⎰---+=-+1122112)424()4(dx x x dx x x 80411=+=⎰-dx ．2．定积分的分部积分法设函数)(x u 与)(x v 均在区间],[b a 上有连续的导数，由微分法则vdu udv uv d +=)(，可得vdu uv d udv -=)(．等式两边同时在区间],[b a 上积分，有vdu uv udv baba ba⎰⎰-=)(． (2)公式(2)称为定积分的分部积分公式，其中a 与b 是自变量x 的下限与上限． 例7 计算xdx eln 1⎰．解 令dx dv x u ==,ln ，则x v xdxdu ==,．故 xdx x x x xdx e ee⋅-=⎰⎰111]ln [ln 1)1()0(=---=e e ．例8 计算xdx x 3cos 0⎰π．解x xd xdx x 3sin 313cos 00⎰⎰=ππ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎰xdx x x 3sin 3sin 3100ππ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=π03cos 31031x 92-=． 例9 计算⎰+42cos 1πdx xx．解⎰+42cos 1πdx x x =⎰⎰=4042tan 21cos 2ππx xd dx x x=)tan tan (214040⎰-ππxdx x x =)cos ln 4(2140ππx +=2ln 418-π． 例10 计算⎰403sec πxdx ．解⎰⎰⎰=⋅=40402403tan sec sec sec sec πππx xd xdx x xdxxdx x x x x tan sec tan tan sec 4040⋅-=⎰⎰ππxdx x sec )1(sec 2240--=⎰π⎰⎰+-=40403sec sec 2ππxdx xdx40403)tan ln(sec sec 2ππx x xdx ++-=⎰)12ln(sec 2403++-=⎰πxdx ．即 )12ln(2sec 2403++=⎰πxdx 注移项得．故 )12ln(2122sec 43++=⎰πxdx ． 例11 计算dx e x ⎰10．解 先用换元法，令t x =，则tdt dx t x 2,2==． 当0=x 时，0=t ；当1=x 时，1=t ． 于是dt te dx e t x⎰⎰=112．再用分部积分法，得dx e x ⎰111122()t t t tde t e e dt ==-⎰⎰2)]1([2=--=e e ．小结：1．定积分换元积分定理：假设 (1) 函数)(x f 在区间],[b a 上连续；(2) 函数)(t x ϕ=在区间],[βα上有连续且不变号的导数；(3) 当t 在],[βα变化时，)(t x ϕ=的值在],[b a 上变化，且b a ==)(,)(βϕαϕ． 则有[]dt t t f dx x f ba⎰⎰'=βαϕϕ)()()(．2．定积分分部积分法：设函数)(x u 与)(x v 均在区间],[b a 上有连续的导数，则有vdu uv udv baba ba⎰⎰-=)(．。