向量的坐标表示 (1)

丹徒高级中学2015—2016学年度第二学期高二数学教学案（一轮复习） 第1课时（总第1份）
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1. 平面向量基本定理与坐标表示

班级__________姓名____________ ___年____月____日
【高考要求】

内 容
要 求
A B C

平面向量基本定
理与坐标表示

向量的坐标表示 √

向量的坐标运算 √
平面向量基本定理 √
【教学目标】
1.了解平面向量的基本定理及其意义.
2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运
算；
3.理解用坐标表示的平面向量共线的条件．
【教学过程】
一、知识梳理：
1. 平面向量基本定理
如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有
且只有一对实数λ1、λ2，使得a＝λ1e1＋λ2e2．我们把不共线的向量e1、e2叫做表示这个
平面内所有向量的一组基底．
如果作为基底的两个基向量互相垂直，则称其为正交基底，把一个向量分解为两个
互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．
2. 平面向量的直角坐标运算

(1) 已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB→＝(x2－x1，y2－y1)，|AB→|＝
（x2－x1）2＋（y2－y1）2.
(2) 已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y
1

－y2)，λa＝(λx1，λy1)．a∥bx1y2－x2y1＝0.

二、回归教材
1.已知向量a＝(2，4)，b＝(－1，1)，则2a－b＝________．

2.若向量BA→＝(2，3)，CA→＝(4，7)，则BC→＝________．
3.设向量a＝(1，2)，b＝(2，3)，若向量a－λb与向量c＝(－5，－6)共线，则λ的值
为________．
4.已知ABCD的顶点A(－1，－2)，B(3，－1)，C(5，6)，则顶点D的坐标为________．

5. 已知e1与e2是两个不共线向量，AB→＝3e1＋2e2，CB→＝2e1－5e2，CD→＝λe1－e2.若
三点A、B、D共线，则λ＝________．
不要等待机会，而要创造机会！
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三、典型题型：
题型1 平面向量的坐标运算

例1 已知A(－2，4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，设AB→＝a，BC→＝b，CA→＝c，且CM
→

＝3c，CN→＝－2b.
(1) 求3a＋b－3c；
(2) 求满足a＝mb＋nc的实数m、n；

(3) 求M、N的坐标及向量MN→的坐标．

变式训练
如图，已知点A(1，0)，B(0，2)，C(－1，－2)，求以A，B，C为顶点的平行四边
形的第四个顶点D的坐标．

题型2 向量共线充要条件的坐标表示
例2 已知向量OA→＝(3，－4)，OB→＝(5，－3)，OC→＝(4－m，m＋2)．
(1) 若D0，32m，试证：对任意实数m，都有AB→∥DC→；
(2) 若点A，B，C能构成三角形，则实数m应满足什么条件？
(1) 证明：由题意，AB→＝OB→－OA→＝(2，1)，CD→＝OD→－OC→＝m－4，12m－2.

变式训练
在△ABC中，已知a，b，c分别为A，B，C所对的边，S为△ABC的面积．若向
量p＝(4，a2＋b2－c2)，q＝(3，S)，且满足p∥q，则C＝________．
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题型3 平面向量基本定理
例3 如图，已知△ABC的面积为14，D、E分别为边AB、BC上的点，且AD∶DB

＝BE∶EC＝2∶1，AE与CD交于P.设存在λ和μ使AP→＝λAE→，PD→＝μCD→，AB→＝a，BC
→

＝b.
(1) 求λ及μ；

(2) 用a、b表示BP→；
(3) 求△PAC的面积．

（例3图） （例3变式图）
变式训练
如图所示，在△ABC中，H为BC上异于B、C的任一点，M为AH的中点，若AM
→

＝λAB→＋μAC→，则λ＋μ＝________________
四、课堂反馈：
1.如图，在平行四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，E为线段AO的中点．若BE
→

＝λBA→＋μBD
→
(λ，μ∈R)，则λ＋μ＝________．

2. P＝{a|a＝(－1，1)＋m(1，2)，m∈R}，Q＝{b|b＝(1，－2)＋n(2，3)，n∈R}是两
个向量集合，则P∩Q＝________．
3.如图所示，O为线段A0A2 017外一点，若A0，A1，A2，A3，…，A2 017中任意相邻

两点间的距离相等，OA0→＝a，OA2 017＝b，用a，b表示OA0→＋OA1→＋OA2→＋…＋OA
2 017

的结果是________．
不要等待机会，而要创造机会！
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(第3题图) （第4题图）
4.如图所示，A，B，C是圆O上的三点，线段CO的延长线与线段BA的延长线交
于圆O外的一点D，若OC→＝mOA→＋nOB→，则m＋n的取值范围是________．

五、课后作业： 学生姓名：___________
1.已知向量a＝8，12x，b＝(x，1)，其中x>0，若(a－2b)∥(2a＋b)，则x的值为
__________．
2. 若α，β是一组基底，向量γ＝xα＋yβ(x，y∈R)，则称(x，y)为向量γ在基底α，
β下的坐标．现已知向量a在基底p＝(1，－1)，q＝(2，1)下的坐标为(－2，2)，则a在
另一组基底m＝(－1，1)，n＝(1，2)下的坐标为___________．

3. 在△ABC中，点D在边AB上，CD平分∠ACB.若CB→＝a，CA→＝b，|a|＝1，|b|
＝2，则CD→＝________(用a，b表示)．
4. 如图，△ABC中，D为BC的中点，G为AD的中点，过点G任作一直线MN分
别交AB、AC于M、N两点．若AM→＝xAB→，AN→＝yAC→，求1x＋1y的值．

小结反思：