向量的坐标表示及其运算

向量的坐标表示及运算知识回顾：一、概念：a 是平面内任意一个向量，i 、j 分别是与x 轴，y 轴同向的两个单位向量，a =x i +y j ，()y x ,叫做a 的坐标，记作a =()y x ,。

二、向量的坐标的运算： 设a =()11,y x ，b =()22,y x⑴ 加法运算： ⑵ 减法运算：⑶ 实数与向量的积： ⑷ 向量的数量积：⑸ 已知两点A ()11,y x ，B ()22,y x ，则的坐标可以表示为：⑹ a 的模 |a |=三、三种关系：设a =()11,y x ，b =()22,y x⑴ 相等：a =b ⇔ ⑵ 共线：a //b ⇔ ⑶垂直：a ⊥b ⇔知识的运用：例1：设向量a =()2,1-，b =()1,2-，求（a • b ）（a +b ）。

例2：平面向量a ，b 中，已知()3,4-=a ，1=b ，且a ·b 0=，求b 。

例3：已知a =()2,1，b =()2,3-，当k 为何值时，⑴ k a +b 与a –3b 垂直？ ⑵ k a +b 与a –3b 平行？平行时它们是同向还是反向？例4：已知ABC ∆是等腰直角三角形， 90=∠ABC ，()1,2A ，()2,3-B ，求C 点坐标。

课后练习1．已知点()5,1--A 和向量()3,2=a ，若a AB 3=，则点B 的坐标为 。

2．若平面向量b 与向量()2,1-=a 的夹角是90°53=，则=b 。

3．若平面向量b 与向量()2,1-=的夹角是180°53=，则=b 。

4．已知e 为单位向量，()13,13+-=且e 与a 夹角为45°，则=e 。

5．已知向量()2,2-=a ，()k ,5=b 。

若b a +不超过5，则k 的取值范围是A 、[]6,4-B 、[]4,6-C 、[]2,6-D 、[]6,2-6．已知向量()2,1=a ，()4,2--=b ，5=c ，若()b a +·25=c ，则a 与c 的夹角为A 、30°B 、60°C 、120°D 、150°。

a
位置向量.
j
O i1
1）平面内每一点都有对应的位置向量。
Ab
x
2)平面内任一向量都有唯一的与它相等的位置向量。
思考:与一个位置向量相等的向量有 ______ 个。
பைடு நூலகம்
-2
调用几何画板
4
怎样用i, j表示位置向量OP？
3
P（3，2）
N2
2j
1
j
Oi
2
M
4
3i
6
-1
OP OM ON 3i 2 j
例2：设ABC三个顶点坐标分别为A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ), C( x3 , y3 ),G是ABC的重心，求G的坐标。
重心坐标公式
x
y
x1 y1
x2 3 y2 3
x3 y3
例3 : 线段AB的端点为A( x, 5), B(2, y), 直线AB上的点C(1,1),使 AC 2 BC , 求x, y的值.
存在唯一实数 ，使 b a ，则
(x2 , y2 ) (x1, y1) ( x1, y1)
因此 x1 y2 x2 y1 x1( y1) ( x1) y1 0
平面向量平行条件的坐标表示
定理：已知任意向量 a (x1, y1),b (x2, y2),
a//b 的充要条件是 x1 y2 x2 y1 0
②求点A关于点B的对称点H的坐标
③若点C分有向线段 AB 的比 ＝2，求点C的坐标 ④求点D(0.5，y)分有向线段 AB 的比 及y值。
⑤若 AE 5 AB ,求点E的坐标 22
3, 若P是分 P1 P2定比为2的分点, 则P是分P2P1定比为 ___的分点， 则P1是分PP2定比为 ___的分点， 则P2是分PP1定比为 ___的分点。

向量的坐标表示与运算公式向量的坐标表示：1. 在二维平面中，一个向量可以用有序实数对 (x, y) 表示，其中 x 和 y 分别表示向量的横坐标和纵坐标。

2. 在三维空间中，一个向量可以用有序实数三元组 (x, y, z) 表示，其中 x、y 和 z 分别表示向量的三个坐标分量。

向量的运算公式：1. 向量的加法：- 定义：如果向量 A = (x₁, y₁) 和向量 B = (x₂, y₂)，则 A + B = (x₁ + x₂, y₁ + y₂)。

- 几何意义：向量加法就是把两个向量的起点放在一起，然后把两个向量终点连起来的向量。

2. 向量的数乘：- 定义：对于任意实数 k，如果向量 A = (x, y)，则 kA = (kx, ky)。

- 几何意义：数乘就是把向量按比例放大或缩小。

3. 向量的减法：- 定义：如果向量 A = (x₁, y₁) 和向量 B = (x₂, y₂)，则 A - B = (x₁ - x₂, y₁- y₂)。

- 几何意义：向量减法就是从第一个向量的终点指向第二个向量的终点的向量。

4. 向量的数量积（点乘）：- 定义：如果向量 A = (x, y) 和向量 B = (x', y')，则A · B = xx' + yy'。

- 几何意义：数量积等于两向量的长度之积和它们夹角的余弦值的乘积。

5. 向量的向量积（叉乘）：- 定义：如果向量 A = (x, y) 和向量 B = (x', y')，则A × B 是一个垂直于A 和B 的向量，其大小等于A × B × sin(θ)，其中θ 是 A 和 B 之间的夹角，方向按照右手定则确定。

- 几何意义：向量积表示一个向量相对于另一个向量的旋转。

以上是向量的基本坐标表示和运算公式，是解析几何和线性代数中的基础概念。

y
j
O
1 2
a
A(x, y)
a
（3）两个向量 a ( x1, y1 ), b ( x2 , y2 ) 相等的充要条件：a b x x
i
x
且y1 y2
(4)如图以原点O为起点作 OA a ，点A的位置 被 a 唯一确定. 此时点A的坐标即为 a 的坐标 （5）区别点的坐标和向量坐标 相等向量的坐标是相同的,但起点、终点的坐标可以不同
3．若 A(2，－1)，B(4,2)，C(1,5)，则 AB ＋2 BC ＝________.
解析：∵A(2，－1)，B(4,2)，C(1,5)， ∴ AB ＝(2,3)， BC ＝(－3,3)． ∴ AB ＋2 BC ＝(2,3)＋2(－3,3)＝(2,3)＋(－6,6)＝(－4,9)．
答案：(－4,9)
(x2－x1，y2－y1)
例1：已知 a (2,1), b ( 3, 4), 求a b, a b, 3a 4b 的坐 .
解： a b (2,1) (3,4) (1,5)
a b (2,1) (3,4) (5, 3)
3 a 4 b 3(2,1) 4( 3, 4) (6, 3) ( 12,16) ( 6,19)
例2、 1已知A(2,3), B (3,5), 求BA的坐标.
解： BA
2已知AB (1, 2), A(2,1), 求B的坐标.
解：设B x,y ,
2,3 3,5 5, 2.
AB 1, 2 x, y 2,1 ,
j
-4 -3
-1 -2
i1
2
3
4
x
c 2i 3 j ( 2, 3)

j
a
O
OA x i y j
i
M
x
在上式中，向量OA能表示成两个相互垂直的向量i、j
分别乘以实数x、y后组成的和式，该和式称为i、j 的线
性组合，这种向量的表示方法叫做向量的正交分解。
3，向量的坐标表示：
j
O
y
A (x, y)
a
i
x
在平面直角坐标系内，任意一个向量都存在唯 一一个与它相等的位置向量.
8.1向量的坐标表示及其运算
一、基本概念
1，在平面直角坐标系中，方向与x轴和y轴正方向分别
相同的两个单位向量叫做基本单位向量，分别记为 i 、 j 2，以原点O为起点，A为终 点的向量 OA叫做点A的位 置向量，如图，OA即为一 个位置向量.
1
y
A
b
a i
1
j
O
x
1）平面内每一点都有对应的位置向量。
C(-1,3) B(-3,2)
2 1 4
y
3
D(x,y)
A(2,1)
2 4 6
-6
-4
-2
O
-1 -2
x
-3
-4
2)平面内任一向量都有唯一的与它相等的位置向量。
思考:与一个位置向量相等的向量有 ______ 个。
4
3NΒιβλιοθήκη （3， 2） P2 1
2j
j
-2
O i
-1 -2
2
3i
M
4
6
-3
那么，对于任一位置向量，能否用基本位置 y 向量 i 、来进行表示呢？ j A ( x, y) N
OA OM ON x i y j
y Q(x2, y2)

向量的坐标表示与运算向量是线性代数中的重要概念之一，广泛应用于物理学、工程学以及其他科学领域。

向量具有大小和方向两个属性，可以通过坐标表示和进行运算。

本文将介绍向量的坐标表示方法，并讨论常见的向量运算。

一、向量的坐标表示向量可以通过坐标表示为一个有序数对或者有序数组。

一般来说，我们采用n维空间中的坐标系表示向量，其中n表示向量的维度。

在二维空间中，向量可以表示为一个有序数对(x, y)，在三维空间中，向量可以表示为一个有序数组(x, y, z)。

在n维空间中，向量可以表示为一个有序数组(x1, x2, ..., xn)。

向量的坐标表示可以简洁地表示向量的大小和方向。

二、向量的基本运算1. 向量的加法向量的加法是指将两个向量相应位置的分量相加得到一个新的向量。

假设有两个向量A和B，它们的坐标表示分别为(A1, A2, ..., An)和(B1,B2, ..., Bn)，则它们的和向量C的坐标表示为(A1+B1, A2+B2, ...,An+Bn)。

2. 向量的减法向量的减法是指将两个向量相应位置的分量相减得到一个新的向量。

假设有两个向量A和B，它们的坐标表示分别为(A1, A2, ..., An)和(B1,B2, ..., Bn)，则它们的差向量D的坐标表示为(A1-B1, A2-B2, ..., An-Bn)。

3. 向量的数乘向量的数乘是指将一个向量的每个分量乘以一个标量得到一个新的向量。

假设有一个向量A，它的坐标表示为(A1, A2, ..., An)，如果乘以一个标量c，那么得到的数乘向量E的坐标表示为(cA1, cA2, ..., cAn)。

三、向量的运算性质1. 交换律向量的加法满足交换律，即A + B = B + A。

这意味着两个向量相加的结果与它们的顺序无关，只与各个向量的分量有关。

2. 结合律向量的加法满足结合律，即(A + B) + C = A + (B + C)。

这意味着多个向量相加的结果与它们的加法顺序无关，只与各个向量的分量有关。

向量的坐标表示及其运算教案一、教学目标1. 了解向量的概念，掌握向量的坐标表示方法。

2. 掌握向量的线性运算，包括加法、减法、数乘和数量积。

3. 能够运用向量的坐标表示和运算解决实际问题。

二、教学内容1. 向量的概念：向量是有大小和方向的量。

2. 向量的坐标表示：在二维和三维空间中，向量可以用坐标表示。

二维空间中的向量：\( \vec{a} = (a_1, a_2) \)三维空间中的向量：\( \vec{a} = (a_1, a_2, a_3) \)3. 向量的加法：\( \vec{a} + \vec{b} = (a_1 + b_1, a_2 + b_2, a_3 + b_3) \)4. 向量的减法：\( \vec{a} \vec{b} = (a_1 b_1, a_2 b_2, a_3 b_3) \)5. 向量的数乘：\( k\vec{a} = (ka_1, ka_2, ka_3) \)6. 向量的数量积（点积）：\( \vec{a} \cdot \vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3 \)三、教学方法1. 采用讲授法，讲解向量的概念、坐标表示和运算方法。

2. 利用多媒体课件，展示向量的图形，帮助学生直观理解向量的概念和运算。

3. 引导学生通过小组讨论，探讨向量运算的规律和应用。

4. 利用例题，讲解向量运算在实际问题中的应用。

四、教学步骤1. 导入新课：回顾初中阶段学习的向量知识，引出高中阶段向量学习的内容。

2. 讲解向量的概念，引导学生理解向量的本质。

3. 介绍向量的坐标表示方法，让学生掌握向量的坐标表示。

4. 讲解向量的加法、减法、数乘和数量积运算，让学生熟练掌握运算方法。

5. 利用多媒体课件，展示向量的图形，让学生直观理解向量的运算。

五、课后作业1. 填空题：向量\( \vec{a} = (2, 3) \) 的长度是_______。

向量\( \vec{a} = (1, 2) \) 与向量\( \vec{b} = (-1, 2) \) 垂直。

求点 P 的坐标.
二、定比分点的概念
于P 的任意一点， 则存在唯一的实数 ，使得 , P 1 2
设P 是直线 l 上的两点，点 P 是 l 上不同 1, P 2
PP 1 PP 2
其中 叫做点 P 分有向线段 PP 所成的比 1 2
P1
P P1 P
P2 P2 P2
P
l l l
0
例 6．已知 A3,2 , B8,3点 P 在直线 AB 上， 且满足 AP 2 PB ，求点 P 的坐标.
例 7．在 ABC 中， A x1 , y1 , B x2 , y2 , C x3 , y3 ， 求 ABC 重心 G 的坐标.
A
G
.
E
B
D
C
x1 x2 x3 y1 y2 y3 G , 3 3
例 1．已知 a x 1,2, b 1, x （1）若 a // b ，求实数 x 的值； （2）若 a b //a b ，求实数 x 的值.
例 2．已知 a // b , a 2,3 ,且 b 2 13，求 b 的坐标.
方法一： 方法二：
例3. O 是坐标原点， OA (k ,12), OB (4,5),
A, B, C 三点共线？ OC (10, k ) ，当 k 为何值时， 分析： A, B, C 三点共线的充要条件是 AB // BC
解： AB OB OA (4 k , 7)
BC OC OB (6, k 5) AB// BC (4 k ) (k 5) 6 (7) 0 2 化简得： k 2 或 11 k 9k 22 0 解得： A, B, C 三点共线. 因此 k 2 或 11时，

向量的坐标表示及其运算教案第一章：向量的概念及其坐标表示1.1 向量的定义解释向量的概念，即有大小和方向的量。

强调向量与标量的区别。

1.2 向量的表示方法介绍用箭头表示向量，并标注大小和方向。

讲解用坐标表示向量，特别是二维和三维空间中的向量。

1.3 坐标系的引入介绍坐标系的概念，包括直角坐标系和柱面坐标系等。

解释坐标系在表示向量中的应用。

第二章：向量的运算2.1 向量的加法讲解向量加法的定义和几何意义。

给出向量加法的坐标表示公式。

2.2 向量的减法解释向量减法的定义和几何意义。

推导向量减法的坐标表示公式。

2.3 向量的数乘讲解向量数乘的定义和几何意义。

展示向量数乘的坐标表示方法。

第三章：向量的线性组合3.1 线性组合的定义解释向量的线性组合及其概念。

强调线性组合中系数的选择。

3.2 线性组合的坐标表示给出向量的线性组合的坐标表示方法。

讲解线性组合的坐标运算规则。

3.3 线性相关与线性无关介绍向量组线性相关的概念。

解释线性无关的概念及其判断方法。

第四章：向量的数量积（点积）4.1 数量积的定义讲解数量积的概念和几何意义。

强调数量积的计算公式。

4.2 数量积的性质介绍数量积的基本性质，包括交换律、结合律等。

讲解数量积与向量长度的关系。

4.3 数量积的应用展示数量积在解决向量垂直、夹角等问题中的应用。

讲解数量积在坐标系中的运算规则。

第五章：向量的向量积（叉积）5.1 向量积的定义解释向量积的概念和几何意义。

强调向量积的计算公式。

5.2 向量积的性质介绍向量积的基本性质，包括交换律、结合律等。

讲解向量积与向量长度和夹角的关系。

5.3 向量积的应用展示向量积在解决向量垂直、平行等问题中的应用。

讲解向量积在坐标系中的运算规则。

第六章：向量的长度和单位向量6.1 向量长度的概念解释向量长度的定义和几何意义。

强调向量长度是标量，表示向量的大小。

6.2 向量长度的计算讲解如何利用坐标计算向量的长度。

给出向量长度计算的坐标公式。

向量的坐标运算法则向量是数学中的一个重要概念，可以用来描述物体的位置和运动。

在二维平面上，一个向量可以用两个数值（即x和y坐标）表示。

本文将介绍向量的坐标运算法则，包括坐标加法、坐标减法、数乘坐标、坐标点乘和坐标叉乘等方面。

1. 坐标加法定义：已知两个向量a和b，求向量c，使得c=a+b。

公式：c(x,y)=a(x,y)+b(x,y)坐标加法就是将两个向量的对应坐标相加，得到一个新的向量。

例如，如果向量a的坐标为(1，2)，向量b的坐标为(3，4)，则向量c 的坐标为(1+3，2+4)=(4，6)。

2. 坐标减法定义：已知两个向量a和b，求向量c，使得c=a-b。

公式：c(x,y)=a(x,y)-b(x,y)坐标减法是将两个向量的对应坐标相减，得到一个新的向量。

例如，如果向量a的坐标为(5，7)，向量b的坐标为(3，5)，则向量c的坐标为(5-3，7-5)=(2，2)。

3. 数乘坐标定义：已知向量a和实数k，求向量b，使得b=k*a。

公式：b(x,y)=k*a(x,y)数乘坐标是将一个向量的每个坐标乘以一个实数，得到一个新的向量。

例如，如果向量a的坐标为(4，5)，实数k为3，则向量b的坐标为(4*3，5*3)=(12，15)。

4. 坐标点乘定义：已知两个向量a和b，求实数c，使得c=a*b。

公式：c=a*b坐标点乘也称为内积或标量积，它是将两个向量的对应坐标相乘，并求和得到一个实数。

例如，如果向量a的坐标为(3，4)，向量b的坐标为(5，6)，则它们的内积为(3*5+4*6)=57。

内积是一个重要的概念，它可以用来表示两个向量的夹角以及向量的长度。

5. 坐标叉乘定义：已知两个向量a和b，求向量c，使得c=a×b。

公式：c(x,y)=a(x,y)×b(x,y)坐标叉乘也称为外积或向量积，它是通过两个向量的对应坐标之间乘积得到一个新的向量。

例如，如果向量a的坐标为(1，2)，向量b的坐标为(3，4)，则它们的外积为(1*4-2*3)=-2。

资源信息表8.1（1）向量的坐标表示及其运算（1）上海市莘庄中学 徐辉一．教学内容分析按现行上海市中小学数学课程标准，本章内容是在初中学习了向量的基本概念、向量的加法、减法、实数与向量的积等基础之上的后继学习.但与初中有所不同的是，初中教材对向量的学习是以“形”为主，主要从“形”的角度展开，而本章内容则主要是以“数”为主，从“数”的角度进行论述.当然，由于向量本身所具有的数形结合的特点，本章教材在以“数”为主旨处理教学内容的同时并没有弱化向量的“形”的方面的特征，而是二者相得益彰，互为依赖、互为补充.以“数”为主旨研究向量，其核心手段是向量及其运算的坐标表示.向量的坐标表示，实际上是向量的代数表示.在引入向量的坐标表示后，向量的加法、减法、实数与向量的积、向量的数量积等就完全可以用它们的坐标的加法、减法、数乘、数量积等运算来进行，使向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来.这样，就使得很多问题，可以转化为熟知的数量的运算进行解决.向量及其运算的坐标表示，一方面为用代数方法处理几何问题提供了通道，另一方面也为向量概念推广到高维空间指明了途径，同时，它也是高中数学中描述与处理如立几、解几、三角等诸多问题的一个有力的工具，在高考中也占有一个重要的地位.作为本章的第一课时，本节课的主要内容是向量的坐标表示及其运算.它是本章重要的基础性与前提性内容，它引入了将向量问题代数化的基本手段与方法——向量的坐标表示.本节内容课本上的基本处理方法是在引入一些相关的基础性的概念之后，通过任意向量都可以正交分解为基本单位向量,i j的线性组合，在向量的正交分解的基础上抽象概括出向量的坐标表示形式，并依据向量的正交分解的本质得到向量坐标形式下的运算法则.本节课要着力解决三个问题：一是要解决引入向量的坐标形式的必要性的问题，以引起学生学习的动机，二是要解决如何引入向量的正交分解及如何由此抽象出向量的坐标形式或者说是如何让学生理解向量坐标的本质的问题，三是要解决引入向量坐标形式以后如何以坐标形式进行运算的问题.作为本节课（本章的第一个课时）来说，第二个问题是重中重之中，因为如果学生不能理解向量的坐标是怎么来的，它的本质是什么，就会对后继学习带来一定的困难.因此，我们在课上要对这一点特别的重视.二．教学目标设计1.了解基本单位向量、位置向量、向量的正交分解等概念；会用坐标表示向量；会用两向量的坐标形式的和、差及实数与向量的积等运算解决相关问题.2. 经历如何将位置向量及任意向量表示为基本单位向量的线性组合这一正交分解的过程，以及经历如何通过向量的正交分解的本质概括抽象出向量的坐标表示的过程，初步形成抽象思维的能力；理解平面向量与一对有序实数对的一一对应关系，理解向量的坐标表示方法及其运算法则；体会数形结合的思想方法.3.感知数学中的运动、变化、相互联系与相互转化的规律，加深对辩证唯物主义观点的体验；发展从数学的角度分析和解决问题的能力，以及通过积极参与数学学习和问题解决的过程，增强学习的主体意识，形成数学的应用意识，养成严谨、慎密的思维习惯.三．教学重点及难点教学重点是如何写向量的坐标以及向量坐标形式的运算及其应用；教学难点是对向量的正交分解的过程的理解以及由向量的正交分解抽象出向量的坐标表示的过程的理解.四．教学流程设计五．教学过程设计一.情境引入上海市莘庄中学的健美操队四名队员A、B、C、D在一个长10米，宽8米的矩形表演区域EFGH 内进行健美操表演.（1）若在某时刻1t ，四名队员A 、B 、C 、D 保持如图1所示的平行四边形队形.队员A 位于点F 处，队员B 在边FG 上距F 点3米处，队员D 位于距EF 边2米距FG 边5米处.你能确定此时队员C 的位置吗？GHG[说明] 此时队员C 在位于距EF 边5米距FG 边5米处.这个图形比较特殊，学生很快就会得到答案，这时教师引入第二个问题.（2）若在某时刻2t ，四名队员A 、B 、C 、D 保持如图2所示的平行四边形队形.队员A 位于距EF 边2米距FG 边1米处，队员B 在距EF 边6米距FG 边3米处，队员D 位于距EF 边4米距FG 边5米处.你能确定此时队员C 的位置吗？[说明]不要求学生写出结果，只引导学生思考.这个图形更为一般一些，学生解决的可能不是很顺，这时，教师就可以说，这一节我们就来学习一个新的内容：向量的坐标表示及其运算，学习了这个内容之后，同学们只要花上两分钟或者只要一分钟的时间就可以解决这个问题了，引起学生学习的兴趣与探究的欲望.二．学习新课1. 向量的正交分解我们称在平面直角坐标系中，方向与x 轴和y 轴正方向分别相同的的两个单位向量叫做基本单位向量，分别记为,i j，如图，称以原点O 为起点的向量为位置向量，如下图左，OA即为一个位置向量.思考1：对于任一位置向量OA，我们能用基本单位向量,i j 来表示它吗？ 如上图右，设如果点A 的坐标为(),x y ，它在小x 轴，y 轴上的投影分别为M ，N ，那么向量OA 能用向量OM 与ON来表示吗？（依向量加法的平行四边形法则可得OA OM ON =+ ），OM 与ON能用基本单位向量,i j 来表示吗？（依向量与实数相乘的几何意义可得,OM xi ON y j ==），于是可得：OA OM ON xi y j =+=+由上面这个式子，我们可以看到：平面直角坐标系内的任一位置向量OA都能表示成两个相互垂直的基本单位向量,i j的线性组合，这种向量的表示方法我们称为向量的正交分解.2.向量的坐标表示思考2：对于平面直角坐标系内的任意一个向量a，我们都能将它正交分解为基本单位向量,i j的线性组合吗？如下图左.显然，如上图右，我们一定能够以原点O 为起点作一位置向量OA，使OA a = .于是，可知：在平面直角坐标系内，任意一个向量a都存在一个与它相等的位置向量OA.由于这一点，我们研究向量的性质就可以通过研究其相应的位置向量来实现.由于任意一个位置向量都可以正交分解为基本单位向量,i j 的线性组合，所以平面内任意的一个向量a 都可以正交分解为基本单位向量,i j的线性组合.即：a =OA =xi y j +上式中基本单位向量,i j 前面的系数x,y 是与向量a 相等的位置向量OA的终点A 的坐标.由于基本单位向量,i j是固定不可变的，为了简便，通常我们将系数x,y 抽取出来，得到有序实数对（x,y ）.可知有序实数对（x,y ）与向量a的位置向量OA 是一一对应的.因而可用有序实数对（x,y ）表示向量a，并称（x,y ）为向量a的坐标，记作：a=（x,y ） [说明]（x,y ）不仅是向量a 的坐标，而且也是与a 相等的位置向量OA的终点A 的坐标！当将向量a的起点置于坐标原点时，其终点A 的坐标是唯一的，所以向量a的坐标也是唯一的.这样，我们就将点与向量、向量与坐标统一起来，使复杂问题简单化.显然，依上面的表示法，我们有：(1,0),(0,1),0(0,0)i j ===.例1.（课本例题）如图，写出向量,,a b c的坐标.解：由图知()1,2a =与向量b 相等的位置向量为OA，可知()1,2b OA ==与向量c 相等的位置向量为OB，可知()1,2c OB ==-[说明] 对于位置向量a，它的终点的坐标就是向量的坐标；对于起点不在原点的向量,b c，我们是通过先找到与它相等的位置向量，再利用位置向量的坐标得到它们的坐标.那么，有没有不通过位置向量，直接就写出任意向量的坐标的方法呢？答案是肯定的，而且很简便，但我们需几分钟后再来解决这个问题.让我们先学习向量坐标表示的运算：3.向量的坐标表示的运算我们学过向量的运算，知道向量有加法、减法、实数与向量的乘法等运算，那么，在学习了向量的坐标表示以后，我们怎么用向量的坐标形式来表示这些运算呢？设λ是一个实数，1122(,),(,).a x y b x y ==由于1111(,),a x y x i y j ==+ 2222(,)b x y x i y j ==+所以1122(,)(,)a b x y x y ±=±()()1122x i y j x i y j =+±+()()()()()121212121212,x i x i y j y jx x i y y j x x y y =±+±=±+±=±±()()11111111(,),a x y x i y j x i y j x y λλλλλλλ==+=+=于是有：1122(,)(,)x y x y ±()1212,x x y y =±±()1111(,),x y x y λλλ=[说明]上面第一个式子用语言可表述为：两个向量的和(差)的横坐标等于它们对应的横坐标的和(差)，两个向量的和(差)的纵坐标也等于它们对应的纵坐标的和(差)，可笼统地简称为：两个向量和(差)的坐标等于对应坐标的和(差)；同样，第二个式子用语言可表述为：数与向量的积的横坐标等于数与向量的横坐标的积，数与向量的积的纵坐标等于数与向量的纵坐标的积，也可笼统地简称为：数与向量积的坐标等于数与向量对应坐标的积.4.应用与深化下面我们来研究刚才提出的不通过位置向量，如何直接写出任意向量的坐标的问题：例2.如下图左，设()11,P x y 、()22,Q x y 是平面直角坐标系内的任意两点，如何用P 、Q 的坐标来表示向量PQ？解：如上图右，向量PQ OQ OP =-()()()22112121,,,x y x y x x y y =-=--从而有 ()2121,PQ x x y y =--[说明]上面这个式子告诉我们：平面直角坐标系内的任意向量的横坐标等于它终点的横坐标与它起点的横坐标的差，纵坐标也等于它终点的纵坐标与它起点的纵坐标的差，可简称为“任意向量坐标=终点坐标-起点坐标”.例3.（课本例题）如图，平面上A 、B 、C 三点的坐标分别为()2,1、()3,2-、()1,3-.（1）写出向量,AC BC的坐标； （2）如果四边形ABCD 是平行四边形，求D 的坐标.解：（1）()()12,313,2AC =---=-()()()13,322,1BC =----=（2）在上图中，因为四边形ABCD 是平行四边形，所以DC AB =设点D 的坐标为(),D D x y ，于是有()1,3D D x y AB ---=又 ()()32,215,1AB =---=-故 ()()1,35,1D D x y ---=- 由此可得1531D D x y --=-⎧⎨-=⎩ 解得42D D x y =⎧⎨=⎩因此点D 的坐标为()4,2.练习：（1）请大家用两分钟的时间解答本节课一开始我们所提出的在某时刻2t ，健美操队员C 的位置问题.即：在某时刻2t ，四名队员A 、B 、C 、D 保持如图所示的平行四边形队形.如下图左，队员A 位于距EF 边2米距FG 边1米处，队员B 在距EF 边6米距FG 边3米处，队员D 位于距EF 边4米距FG 边5米处.你能确定此时队员C 的位置吗？GH解：以点F 为坐标原点，以边FG 为x 轴，以边FE 为y 轴，建立如上图右所示直角坐标系.则依题意有A(2,1),B(6,3),D(4,5),设C(x,y),则由ABCD 是平行四边形可得：(4,2)(2,4)(6,6)AC AB AD =+=+=又(,)(2,1)(2,1)AC x y x y =-=--故(2,1)(6,6)x y --=于是 x=8, y=7,即C （8，7）.答：队员C 位于距EF 边8米、距FG 边7米处.（2）在某时刻3t ，四名队员A 、B 、C 、D 保持平行四边形队形.已知队员A 位于距EF 边2米距FG 边1米处，队员B 在距EF 边6米距FG 边3米处，队员C 位于如下图左所示的矩形阴影部分区域内（包括边界）某一位置.你能确定此时队员D 可能的位置区域吗？解：以点F 为坐标原点，以边FG 为x 轴，以边FE 为y 轴，建立如上图右所示直角坐标系.依题意有A(2,1),B(6,3),设D(x,y),则由ABCD 是平行四边形可得：(4,2)DC AB ==又D(x,y)，所以可得C(x+4,y+2)由题意54101642826x x y y ≤+≤≤≤⎧⎧⇒⎨⎨≤+≤≤≤⎩⎩ 于是可得队员D 可能的位置区域如图所示阴影部分（除去点B ）：例4.已知向量()4,1a =- 与()5,2b = ，求23a b + 的坐标.解：因为()28,2a =- ，()315,6b =所以 ()()23815,2623,4a b +=+-+=三．巩固练习1. 如图，写出向量,,a b c的坐标.2.已知(1,2)a =-，若其终点坐标是(2,1),则其起点的坐标是 ；若其起点坐标是(2,1),则其终点的坐标是 .3.已知向量()2,3a =- 与()1,5b =-，求3a b - 及3b a -的坐标.解：1.由题意：()()()()()()2,1,1,1,2,11,121,1(1)1,2a b c ==-=--=---=2.设起点的坐标是(x,y)，则(2,1)-(x,y)=(-1,2),解得：(x,y)=(3,-1)，即起点的坐标是(3,-1)；设终点的坐标是(x,y)，则(x,y)-(2,1) =(-1,2),解得：(x,y)=(1,3)，即起点的坐标是(1,3).3. 3a b -=3()7,14---()()1,57,14-=- 3b a -=()1,5--3()2,3-()7,14=-[另法]：3b a -=()3a b -- =()7,14--()7,14=-四．课堂小结：本节课我们讲了哪些内容？（请学生作答）1.向量的正交分解（是如何对向量进行正交分解的？）2.向量的坐标表示（是用什么表示向量的坐标的？）3.向量的坐标运算（运算法则是什么？）五．作业布置1.已知(2,0),(1,3),a b ==- 则a b + 与a b -的坐标分别为( ) (A)(3,3),(3,-3) (B)(3,3),(1,-3) (C)(1,3),(3,3) (D)(1,3),(3,-3)2.若点A 坐标为(2,-1),AB的坐标为(4,6),则B 点的坐标为( ) (A)(-2,-7) (B)(2,7) (C)(6,5) (D)(-2,5)3.已知(,4),(3,2).a x b y ==- 若1,2a b =则x= ,y= .4.已知AB (1)i x j +- =(2-x)，且AB的坐标所表示的点在第四象限，则x 的取值范围是 .5.已知A(5,-2),B(2,-5),C(7,4),D(4,1),求证：AB=CD.6.已知(1,2),(3,1),(11,7),a b c =-=-=- 并且.c xa yb =+求x,y 的值.7.已知22(,2),(5,)a m n b mn =+= ，且.a b = 求,.m n 的值.六．教学设计说明及反思在本节课的设计上，我是先用一个实际的情境问题引入，引起学生学习的兴趣，同时也在最后通过应用向量坐标这个工具对于这个问题的简便解决以及对于这一问题的进一步深化，使学生体会到引入向量坐标形式这个工具的必要性，并培养学生数学的应用意识，体会到数学是有用的，是有价值的；另外，在新授课内容的设计上，主要采用了以知识内容本身的逻辑关系而形成的继承关系为顺序的直线型的设计，主要有四个板块：一是向量的正交分解，二是向量的坐标表示，三是向量的坐标运算，四是应用与深化.其中向量的正交分解是从介绍基本单位向量与位置向量的概念入手，然后通过先处理位置向量的正交分解，再处理任意向量的正交分解；向量的坐标表示也是先处理位置向量的坐标表示然后再处理可化为位置向量的向量的坐标表示，最后在研究了坐标形式的运算之后才以例题的形式处理任意向量的坐标表示，这样设计的思路与课本上先交代任意向量都可以作一个与之相等的位置向量，然后只要研究位置向量就能得到原来向量的性质的思路略有不同，这样设计的出发点主要是希望能够给学生的学习创造一个按知识自身的逻辑顺序而层层递进的、螺旋上升的学习过程，使学生能够步步为营的在充分弄清前一个问题的基础上进入下一个问题，从而达到有效分散学生在学习中的难点的目的.在应用与深化这一板块上，我主要设计了五个问题，第一个问题是例1，置于向量的坐标表示这一板块之中，其目的是为了在初次接触坐标表示时，加深对位置向量与可化为位置向量的坐标的理解，以及舒缓一下学生在较长时间的数学纯理论学习中所聚集的紧张或疲劳情绪，为下面的学习作点准备；第二个问题是例2，解决任意向量的坐标表示问题，这也是这一节课必须要解决的一个重点问题；第三个问题是例3，其目的是通过对任意向量的坐标表示公式的应用，强化对这一公式的记忆与掌握，同是也为下一问题即引入问题的解决作知识与方法上的铺垫；第四个问题是解决引入的情境问题并作进一步深化；第五个问题是对向量坐标表示运算公式的应用.同时，最后又设置了三个小题，作为课内练习，机动使用.整个一节课，如果用一句话概括基本的设计思路，那就是：低起点（使学生容易入手）、小步走（使学生容易理解）、重视过程（重视知识的发生过程及重视学生的学习过程）、强化训练（训练是掌握与提高的有效途径）.11。

8。

1 向量的坐标表示及其运算教学目标知识目标:了解基本单位向量、位置向量、向量的正交分解等概念；理解向量的坐标表示方法及其运算法则；掌握向量模的求法，知道模的几何意义；理解并掌握两个非零向量平行的充要条件，巩固加深充要条件的证明方式能力目标：会用两向量的坐标形式的和、差及实数与向量的积等运算解决相关问题；会用平行的充要条件解决点共线问题情感目标：感知数学中的运动、变化、相互联系与相互转化的规律，加深对辩证唯物主义观点的体验；发展从数学的角度分析和解决问题的能力，以及通过积极参与数学学习和问题解决的过程，增强学习的主体意识，形成数学的应用意识，养成严谨、慎密的思维习惯.教学重、难点重点：如何写向量的坐标以及向量坐标形式的运算及其应用难点：向量坐标形式的运算及其应用一、新课引入：上海市莘庄中学的健美操队四名队员A、B、C、D在一个长10米,宽8米的矩形表演区域EFGH内进行健美操表演。

（1）若在某时刻,四名队员A、B、C、D保持如图1所示的平行四边形队形。

队员A位于点F处，队员B在边FG上距F点3米处，队员D位于距EF边2米距FG边5米处.你能确定此时队员C的位置吗？［说明］此时队员C在位于距EF边5米距FG边5米处。

这个图形比较特殊，学生很快就会得到答案，这时教师引入第二个问题.（2）若在某时刻，四名队员A、B、C、D保持如图2所示的平行四边形队形。

队员A位于距EF边2米距FG边1米处，队员B在距EF边6米距FG边3米处，队员D位于距EF边4米距FG边5米处。

你能确定此时队员C的位置吗？[说明］不要求学生写出结果,只引导学生思考。

这个图形更为一般一些，学生解决的可能不是很顺，这时，教师就可以说，这一节我们就来学习一个新的内容：向量的坐标表示及其运算，学习了这个内容之后，同学们只要花上两分钟或者只要一分钟的时间就可以解决这个问题了,引起学生学习的兴趣与探究的欲望.二、新课讲授1、向量的正交分解(1)基本单位向量:我们称在平面直角坐标系中，方向与x轴和y轴正方向分别相同的的两个单位向量叫做基本单位向量，分别记为。

们的交点。
极坐标系
以原点为极点，以正x轴为极 轴，用极角和极径表示点的位
置。
圆柱坐标系
适用于描述旋转对称或柱面结 构的问题，其中z轴与旋转轴
重合。
球坐标系
适用于描述空间中距离和角度 的问题，其中原点与球心重合
。
向量的模
Байду номын сангаас
1 2
向量的模
表示向量的大小或长度，记作 $|overset{longrightarrow}{AB}|$。
2023
PART 04
向量的向量积
REPORTING
定义与性质
定义
向量积是一个向量运算，其结果是 一个向量，记作a×b。
性质
满足反交换律，即a×b=-b×a；不 满足结合律，即 (a+b)×c≠a×c+b×c。
几何意义
方向
向量积的方向垂直于作为运算两向量的平面，其指向按照右手定则确定。
长度
向量积的长度等于两向量构成的平行四边形的面积。
2023
PART 02
向量的基本运算
REPORTING
向量的加法
01
向量加法定义
向量加法是指将两个向量首尾相接，以第一个向量的起点 为共同起点，以第二个向量的终点为共同终点，所得到的 向量。
02 03
向量加法的几何意义
向量加法的几何意义可以理解为平行四边形的对角线向量 ，即两个向量的和等于以这两个向量为邻边的平行四边形 的对角线向量。
坐标系
向量的坐标表示
在直角坐标系中，向量可以用有序实 数对表示，即 $overset{longrightarrow}{AB} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1)$。

1在直角坐标系中分别取与x则对于平面内任意向量a有且只有一对实数x这样平面内的任一向量a都可以由实数x唯一确定
【学习目标】1、掌握平面向量的坐标表示方法。 2、理解、记忆平面向量坐标表示的加法、减法 及数乘公式。
【教学重点】掌握平面向量坐标的加法、减法、数乘运算及其应用。 【教学难点】理解平面向量的正交分解及坐标比表示方法的理解。
实数对 x, y叫做 记作 a =
其中 x 叫做在 a 的 坐标，
y 叫做 a 的 坐标。
（2）在平面直角坐标系中，若设 OA xi y j ，则向量 OA 的坐标 x, y
就是终点 A 的坐标，反过来，终点 A 的坐标 x, y就是向量 OA 的坐标。
因此，在平面直角坐标系中，每一个向量都可以用一有序实数对唯一表示，
E（-2，-2） F（-5，-6）在平面直角坐标系中，分别作出向量
uuuv uuv uuv
uuuv uuv uuv
AC BD EF 并求向量 AC BD EF 的坐标。
晓雷 编审：赵民
【我的小结】
v(x2,x2)， 为一实数，
vv
vv
v
a b =____。a b =______ a =_______
vvv
则 3a b c =____________
【能力拓展】 1．已知点 A(0,1), B(1,0), C(1,2), D(2,1),试判断 AB 与 CD 的位置关系
vv
vv
vv
2．已知a b (2,4),a b (2,2)求 a,b 坐标
3．已知点 A（2，2） B（-2，2） C（4，6） D（-5，6）
【自主学习】阅读课本 P94-P96，回答下列问题 1.什么叫向量的正交分解？ 2.向量的坐标表示：

非零向量与自己的向量积是零向量。
向量积的坐标计算公式
01
在三维空间中，对于两个向量a = (a1, a2, a3)和b = (b1, b2, b3)，它们的向量积的坐标计算公式为
02
a×b = (a2b3 - a3b2, a3b1 - a1b3, a1b2 - a2b1)
03
这个公式可以用来计算两个向量的向量积的坐标。
05
向量的向量积与运算
向量积的定义及性质
定义
向量积是一种二元运算，其结果是一个向量而不是一个 标量。对于两个向量a和b，它们的向量积记作a×b。
性质
向量积满足以下性质
反交换律
a×b = -b×a
分配律
(a+b)×c = a×c + b×c
与零向量的运算
任何向量与零向量的向量积都是零向量。
与自己的运算
向量的方向角
向量的方向角是指向量与坐标轴正方向之间的夹角。在二维平面中，向量与x轴正方向的夹角记作$alpha$，取值 范围为$[0,pi]$；在三维空间中，向量与x轴、y轴、z轴正方向的夹角分别记作$alpha$、$beta$、$gamma$， 取值范围均为$[0,pi]$。
向量的线性运算性质
向量的加法
混合积在几何中的应用举例
01
x_2 & y_2 & z_2 & 1
02
x_3 & y_3 & z_3 & 1
x_4 & y_4 & z_4 & 1
03
混合积在几何中的应用举例
end{matrix} right|$
应用3：求解平面方程。设平面过点$P(x_0, y_0, z_0)$，且平面的法向量为$vec{n} = (A, B, C)$，则平 面的方程可表示为

向量的坐标表示及其运算教案第一章：向量的概念及其坐标表示1.1 向量的定义引导学生回顾初中阶段所学到的向量概念，向量是有大小和方向的量。

解释向量在高中数学中的重要性，特别是在坐标系中的运用。

1.2 向量的表示方法介绍向量的表示方法，包括用箭头表示和用字母表示。

强调在坐标系中，向量可以用有序数对(a, b) 表示，其中a 表示向量在x 轴上的分量，b 表示向量在y 轴上的分量。

1.3 向量的模解释向量的模是指向量的大小，用||v|| 表示。

引导学生利用坐标系计算向量的模，即||v|| = √(a²+ b²)。

第二章：向量的加法和减法2.1 向量的加法解释向量的加法是指将两个向量首尾相接，形成一个新的向量。

引导学生利用坐标系进行向量的加法运算，即将对应分量相加。

2.2 向量的减法解释向量的减法是指从第一个向量中减去第二个向量，即加上第二个向量的相反向量。

引导学生利用坐标系进行向量的减法运算，即将对应分量相减。

第三章：向量的数乘3.1 向量的数乘概念解释向量的数乘是指将一个向量与一个实数相乘，得到一个新的向量。

强调数乘不改变向量的方向，只改变向量的大小。

3.2 向量的数乘运算引导学生利用坐标系进行向量的数乘运算，即将每个分量与实数相乘。

举例说明数乘运算的性质，如a(b·c) = (a·b)c 等。

第四章：向量的点积4.1 向量的点积概念解释向量的点积是指两个向量的对应分量相乘后相加的结果，用v·w 表示。

强调点积的计算结果是一个标量，而不是向量。

4.2 向量的点积运算引导学生利用坐标系进行向量的点积运算，即将对应分量相乘后相加。

举例说明点积的性质，如v·w = w·v、v·(w+z) = v·w + v·z 等。

第五章：向量的叉积5.1 向量的叉积概念解释向量的叉积是指两个非共线的向量形成的平行四边形的面积，用v×w 表示。

平面向量
平面向量的坐标运算： a ( x1 , y1 ), b ( x2 , y2 ) a b ( x1 x2 , y1 y2 );
空间向量
空间向量的坐标运算： a ( x1 , y1 , z1 ), b ( x2 , y2 , z 2 ) a b ( x1 x2 , y1 y2 , z1 z 2 );
空间向量
空间向量的夹角： a ( x1 , y1 , z1 ), b ( x2 , y2 , z 2 ) ab cos a,b | a || b | x1 x2 y1 y2 z1 z 2 2 2 2 2 2 x1 y1 z12 x2 y2 z 2
垂直与平行： a ( x1 , y1 , z1 ), b ( x2 , y2 , z 2 ) x1 y1 z1 a // b (?) x2 y 2 z 2 a b x1 x2 y1 y2 z1 z 2 0
x1 x 2 y1 y 2 z1 z 2 （3）中点坐标公式： ( , , ) 2 2 2
2.两个向量夹角公式
a1b1 a2b2 a3b3 a b cos a, b ; 2 2 2 2 2 2 | a || b | a1 a2 a3 b1 b2 b3
垂直与平行： a ( x1 , y1 ), b ( x2 , y2 ) a // b x1 y2 x2 y1 0 a b x1 x2 y1 y2 0
对比表4
平面向量
平面向量基本定理： 如果e1 , e 2是同一平面内的两个不 共线 的向量，那么对于这个 平面内的任一 向量a，有且仅有一对实数 x, y，使a xe1 ye 2 .