初中八年级下册数学培优 04因式分解综合应用

北师大版2020八年级数学下册第四章因式分解培优练习题1（附答案）1．下列式子能用提公因式法分解因式的是( )A ．1x +B ．2x x -C ．1x -D ．21x +2．下列四个多项式，能因式分解的是（ ）A ．a 2＋b 2B ．a 2－a ＋2C ．a 2＋3bD ．(x ＋y )2－43．在下列分解因式的过程中，分解因式正确的是（ ）A ．－xz ＋yz ＝－z(x ＋y)B ．3a 2b －2ab 2＋ab ＝ab(3a －2b)C ．6xy 2－8y 3＝2y 2(3x －4y)D ．x 2＋3x －4＝(x ＋2)(x －2)＋3x4．下列各式从左到右的变形为因式分解的是（ ）．A ．323218=36x y x y ⋅B ．()()2236m m m m +-=--C ．()()289338x x x x x +-=+-+D ．()()2623m m m m --=+- 5．下列式子直接能用完全平方公式进行因式分解的是（ ）．A ．21681a a ++B ．239a a -+C ．2441a a +-D ．2816a a -- 6．下列由左边到右边的变形，属于因式分解的是( )A ．(a+5)(a ﹣5)＝a 2﹣25B ．mx+my+2＝m(x+y)+2C ．x 2﹣9＝(x+3)(x ﹣3)D ．2221212(1)2x x x +=+ 7．下列从左边到右边的变形，是因式分解的是（ ）A ．（3-x ）（3+x ）=9-x 2B ．x 2+2x+1＝x(x+1)+1C ．a 2b+ab 2=ab （a+b ）D ．(a-b)(n-m)=(b-a)(n-m)8．32236x y 3x y -分解因式时，应提取的公因式是( )A ．3xyB ．23x yC ．233x yD ．223x y9．已知a ＋1a ＝3，则a 2＋21a 等于( ) A ．5 B ．7 C ．9 D ．1110．不论a b ，为何有理数，2224a b a b c +--+的值总是非负数，则c 的最小值是（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．无法确定11．分解因式：a 2﹣6a=_____．12．分解因式：m 2（x-y ）-4（x-y ）=___________________ .13．分解因式m 2＋2mn ＋n 2－1＝____________．14．把多项式9x 3﹣x 分解因式的结果是_____．15．分解因式：()2x x 38--=____________．16．分解因式:23m m -=________.17．分解因式：ab ﹣a 2=______．18．分解因式：328ax ax -=___________.19．因式分解：ax 2﹣a=_____．20．分解因式221a a -+= ．21．把下列各式因式分解：(1)16x 2－25y 2；(2)x 2－4xy ＋4y 2；(3)(a ＋2b)2－(2a －b)2；(4)(m 2＋4m)2＋8(m 2＋4m)＋16；(5)81x 4－y 4.22．23．求证：32005－4×32004＋10×32003能被7整除．24．已知：x+y=3，xy=﹣8，求：（1）x 2+y 2；（2）（x 2﹣1）（y 2﹣1）．25．221218ax ax a -+26．分解因式：（1）m (a ―b ) ―n (b ―a )； （2）y 3―6y 2＋9 y ．27．利用因式分解化简多项式．1＋x ＋x(1＋x)＋x(1＋x)2＋…＋x(1＋x)2016.28．因式分解：22444x xy y --+．29．一个自然数m ，若将其数字重新排列可得一个新的自然数n ，如果m=3n ，我们称m 是一个“希望数”．例如：3105=3×1035，71253=3×23751，371250=3×123750．（1）请说明41不是希望数，并证明任意两位数都不可能是“希望数”．（2）一个四位“希望数”M 记为abcd ，已知=3abcd cbad ⋅，且c=2，请求出这个四位“希望数”．30．因式分解：（1）﹣3x 3+6x 2y ﹣3xy 2； （2）a 3-4ab 2．参考答案1．B【解析】根据提公因式法因式分解，可由()21x x x x -=-，知B 是因式分解. 故选：B.2．D【解析】A. a 2＋b 2 不能因式分解；B. a 2－a ＋2不能因式分解；C. a 2＋3b 不能因式分解；D. (x ＋y )2－4=(x+y+2)(x+y-2)，能进行因式分解；故选D.3．C【解析】【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案．【详解】－xz ＋yz ＝－z(x-y)，故此选项错误；3a 2b －2ab 2＋ab ＝ab(3a －2b+1)，故此选项错误；6xy 2－8y 3＝2y 2(3x －4y)故此选项正确；x 2＋3x －4＝(x ＋2)(x －2)＋3x ，此选项没把一个多项式转化成几个整式积的形式，此选项错误．故选：C ．【点睛】因式分解的意义．4．D【解析】试题解析：A 、18x 3y 2是单项式，不是多项式，故选项错误；B 、是多项式乘法，故选项错误；C 、右边不是积的形式，x 2+8x-9=（x+9）（x-1），故选项错误；D 、符合因式分解的定义，故选项正确．故选D．5．A【解析】分析：其中两项能够写成两个数或式平方和的形式，另一项是这两个数（或式）的积的2倍；完全平方公式：a2±2ab+b2=（a±b）2，判断即可．详解：A.16a2+8a+1=(4a+1)2，能用完全平方公式分解因式，符合题意；B.2a3a9-+，不能用完全平方公式分解因式，不合题意；C2+-，不能用完全平方公式因式分解因式，不合题意；.4a4a1D.2a8a16--，不能用完全平方公式分解因式，不合题意；故选：A.点睛：本题主要考查完全平方公式的运用，熟练掌握完全平方公式的形式是解题的关键. 6．C【解析】试题解析：把一个多项式分解成几个整式积的形式，叫因式分解，故选C.7．C【解析】因为因式分解是将多项式和的形式化成整式乘积的形式,并且分解得结果小括号外不能出现加减号,故选C.点睛:本题考查因式分解的概念,解决本题的关键是要熟练掌握因式分解的概念.8．D【解析】【分析】分别找出系数的最大公约数和相同字母的最低指数次幂，即可确定公因式．【详解】解：6x3y2-3x2y3=3x2y2（2x-y），因此6x3y2-3x2y3的公因式是3x2y2．故选：D.【点睛】本题主要考查公因式的确定，找公因式的要点是：（1）公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数；（2）字母取各项都含有的相同字母；（3）相同字母的指数取次数最低的. 9．B【解析】【分析】 利用完全平方公式把221a a +变形成为21()2a a +-，代入解答即可． 【详解】 221a a+=21()2a a +-=232-=7． 故选B ．【点睛】 本题考查了完全平方公式．解题的关键是把221a a+变形成为21()2a a +-． 10．B【解析】试题解析：∵a 2+b 2-2a-4b+c=（a-1）2-1+（b-2）2-4+c=（a-1）2+（b-2）2+c-5≥0，∴c 的最小值是5；故选B ．11．a(a-6)【解析】【详解】a 2﹣6a= a(a-6).故答案为a(a-6).12．（x-y ）（m+2）（m-2）【解析】m 2（x -y ）-4（x -y ），＝（x -y ）（m 2-4），＝（x -y ）（m +2）（m -2）.故答案为：（x -y ）（m +2）（m -2）.13．(m ＋n －1)(m ＋n ＋1)【解析】m 2＋2mn ＋n 2－1=(m+n )2－1=(m ＋n －1)(m ＋n ＋1).14．x （3x+1）（3x ﹣1）【解析】【分析】提取公因式分解多项式，再根据平方差公式分解因式，从而得到答案.【详解】9x 3－x ＝x （9x 2－1）＝x （3x ＋1）（3x －1），故答案为x （3x ＋1）（3x －1）.【点睛】本题主要考查了因式分解以及平方差公式，解本题的要点在于熟知多项式分解因式的相关方法.15．()()241x x -+.【解析】试题解析：()()()()222x x 382x 6x 82x 3x 42x 4x 1--=--=--=-+. 故答案为()()241x x -+.16．(3)m m -【解析】【分析】用提取公因式法即可得到结果.【解答】原式=()3m m -. 故答案为：()3m m -【点评】考查提取公因式法因式分解，解题的关键是找到公因式.17．a(b-a)【解析】分析：原式提取公因式即可得到结果．详解：原式=a （b-a ）．故答案为：a （b-a ）点睛：此题考查了因式分解-提公因式法，熟练掌握提取公因式的方法是解本题的关键． 18．()()222ax x x +-【解析】328ax ax -=2ax(x 2-4)=2ax(x+2)(x-2)，故答案为()()222ax x x +-.19．a （x+1）（x ﹣1）【解析】【分析】先提公因式a ，然后再用平方差进行二次分解即可．【详解】ax 2﹣a=a （x 2﹣1）=a （x+1）（x ﹣1），故答案为：a （x+1）（x ﹣1）．【点睛】本题考查了综合提公因式法与公式法分解因式，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．20．()21a -【解析】试题解析：221a a -+=()21a -故答案为：()21a -.21． (1) (4x ＋5y)(4x －5y);(2)(x －2y)2;(3) (3a ＋b)(3b －a);(4) (m ＋2)4.(5) (3x ＋y)(3x －y)(9x 2＋y 2)【解析】试题分析：根据因式分解的方法进行因式分解即可.试题解析：(1)原式()()4545x y x y =+-．(2)原式()22.x y =- (3)原式()()()()()()22?2233a b a b a b a b a b b a ⎡⎤⎡⎤=++-+--=+-⎣⎦⎣⎦．(4)原式()()()222424422.m m m m ⎡⎤⎡⎤=++=+=+⎣⎦⎣⎦ (5)原式()()()()()22222299339x y x y x y x y x y =-+=+-+ 点睛：常用的因式分解的方法：提取公因式法，公式法，十字相乘法，分组分解法. 22．【解析】【分析】-15=-5×3，-5+3=-2，可运用十字相乘法进行分解.【详解】运用十字相乘法，可得. 【点睛】对二次三项式进行因式分解时，若无法使用公式法和提取公因式法因式分解，则考虑使用十字相乘法分解.23．见解析【解析】【分析】所求式子提取公因式，计算得到7的倍数，进而得到能被7整除．【详解】由32005﹣4×32004+10×32003=32003×（9﹣12+10）=32003×7，∴32005﹣4×32004+10×32003能被7整除．【点睛】本题考查了因式分解的应用，将所求式子提取公因式分解因式是解答本题的关键． 24．（1）25；（2）40【解析】（1）原式利用完全平方公式变形，将已知等式代入计算即可；（2）原式利用多项式乘以多项式法则计算，整理后将各自的值代入计算即可．解：（1）∵x +y =3，xy =﹣8，∴原式=（x +y ）2﹣2xy =9+16=25；（2）∵x +y =3，xy =﹣8，∴原式=x 2y 2﹣（x 2+y 2）+1=64﹣25+1=40.25．22(3)a x -【解析】试题分析：直接按照平方差公式因式分解即可.试题解析：原式()()22269=23.a x x a x =-+- 26．（1）(a ―b )（m +n ）；（2）y (y ―3) 2【解析】分析：（1）直接提取公因式（a -b ），进而分解因式即可；（2）先提取公因式y ，再用完全平方公式分解因式即可．详解：（1）原式= m （a ―b ） +n （a ―b ） =（a ―b ）（m +n ）；（2）原式= y（y2―6y＋9）= y（y―3）2．点睛：本题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题的关键．27．(1＋x)2017.【解析】【分析】直接利用提取公因式法分解因式得出即可．【详解】1+x+x（1+x）+x（1+x）2+…+x（1+x）2016=（1+x）（1+x）+x（1+x）2+…+x（1+x）2016=（1+x）2（1+x）+…+x（1+x）2016=（1+x）2017．【点睛】本题考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题的关键．28．(x-2y+2)(x-2y-2)【解析】分析：将多项式第一、三、四项结合，利用完全平方公式分解因式，再利用平方差公式分解，即可得到结果．详解：原式=（x﹣2y）2﹣4=（x﹣2y﹣2）（x﹣2y+2）．点睛：本题考查了因式分解﹣分组分解法，涉及的知识有：完全平方公式，平方差公式，熟练掌握公式是解答本题的关键．29．（1）见解析；（2）这个四位“希望数”为7425【解析】试题分析：（1）根据3×14＝42≠41即可得出41不是希望数．假设存在两位数是希望数，记为ab，根据ab＝3ba，即可得出b＝1、2、3，逐一分析当b ＝1、2、3时a的值，验证后即可得出假设不成立，从而得出任意两位数都不可能是“希望数”；（2）根据3＝可分析出d＝0或5，当d＝0时可得出a＝4，结合c＝2即可得出abcd cbad此情况不成立；当d＝5时可得出a＝7，结合c＝2即可得出关于b的一元一次方程，解之即可得出b 值，将a 、b 、c 、d 值代入该四位数中即可得出结论．试题解析：（1）解：∵3×14＝42≠51， ∴41不是希望数． 假设存在两位数是希望数，记为ab ， ∴ab ＝3ba ．∵3b 为一位数，且b 是3a 的个位数，∴b ＝1，2，3．当b ＝1时，a ＝7，3×17＝51≠71； 当b ＝2时，a ＝4，3×24＝72≠42； 当b ＝3时，a ＝1，3×31＝93≠13． 综上可知：假设不成立，即任意两位数都不可能是“希望数”（2）解：∵3abcd cbad ⋅＝，∴3d 的个位是d ，∴d ＝0或5．当d ＝0时，∵3a 的个位是c ，c ＝2，∴a ＝4，此时3c ＝6＞4，不合适；当d ＝5时，∵3a 的个位＋1是c ，c ＝2，∴a ＝7，又∵3abcd cbad ⋅＝，∴3b ＋2＝10＋b ，解得：b ＝4．∴这个四位“希望数”为7425．点睛：本题考查了因式分解的应用及解一元一次方程，熟读题意弄得“希望数”的特点是解题的关键．30．（1）-3x （x-y ）2；（2） a （a+2b ）（a-2b ）．【解析】试题分析：根据因式分解的一般步骤：一提（公因式）、二套（平方差公式()()22a b a b a b -=+-，完全平方公式()2222a ab b a b ±+=±）、三检查（彻底分解），可以直接接计算即可.试题解析：（1）﹣3x 3+6x 2y ﹣3xy 2=-3x （x 2-2xy+y 2）=-3x （x-y ）2（2）a 3-4ab 2=a （a 2-4b 2）=a （a+2b ）（a-2b ）点睛：因式分解是把一个多项式化为几个因式积的形式.根据因式分解的一般步骤：一提（公因式）、二套（平方差公式()()22a b a b a b -=+-，完全平方公式()2222a ab b a b ±+=±）、三检查（彻底分解）.。

北师大版2020八年级数学下册第四章因式分解培优练习题2（附答案）1．下列各式由左到右的变形中，属于因式分解的是（ ）A ．a x y ax ay +=+（） B ．24222a b a b -+=-（） C ．()22442x x x -+=- D ．2163443x x x x x -+=-++（）（） 2．下列由左边到右边的变形，属于因式分解的是( )．A ．(x ＋1)(x －1)＝x 2－1B ．x 2－2x ＋1＝x (x －2)＋1C ．a 2－b 2＝(a ＋b )(a －b )D ．mx ＋my ＋nx ＋ny ＝m (x ＋y )＋n (x ＋y )3．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）A ．B ．C ．D ． 4．已知多项式2x 2-bx+c 分解因式为2（x-3）（x+1），则b+c 的值为（ ）A ．-10B ．-4C ．-2D ．25．下列从左到右的变形中,因式分解正确的是（ ）A ．2x 2-4x+1=2x(x-2)+1B ．x 2-2x=x(x-2)C ．(x+1)(x-1)=x 2-1D ．x 2+2x+4=(x+2)26．任何一个正整数n 都可以写成两个正整数相乘的形式，我们把两个乘数的差的绝对值最小的一种分解()n p q p q =⨯≤称为正整数n 的最佳分解，并定义一个新运算()p F n q =.例如：12=1×12=2×6=3×4，则()3124F =.那么以下结论中：①F (2)=12；②F (24)=23；③若n 是一个完全平方效，则()1F n =；④若n 是一个完全立方数（即3n a =，a 是正整数），则()1F n a=.正确的个数为（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 7．已知a ,b ,c 分别是△ABC 的三边长,且满足2a 4+2b 4+c 4=2a 2c 2+2b 2c 2,则△ABC 是( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形8．多项式2425m -分解因式正确的是( )．A ．( 4 m + 5 ) ( 4 m - 5 )B ．(2m + 5 ) (2m - 5 )C ．(m + 5 ) ( m - 5 )D ．m(m + 5 ) (m - 5 )9．若a 2+2a +b 2﹣6b +10＝0，则b a 的值是（ ）A ．﹣1B ．3C ．﹣3D ．1310．下列分解因式正确的是（ ）A ．－x 2－y 2 = －(x ＋y)(x －y)B ．x 2y+2xy+4y = y(x+2)2C ．－49x 2＋x 2y 2 = (xy ＋7x)(xy －7x)D ．16x 2＋4y 2－16xy = 4(2x －y)2 11．因式分解：244ax ax a -+=______．12．多项式x 2+1加上一个单项式后，可以分解因式，那么加上的单项式可以是______（只需填写二个）．13．将多项式3x x -因式分解，结果是________.14．因式分解：x 3y ﹣6x 2y+9xy ＝_____．15．分解因式x 2﹣y 2﹣z 2﹣2yz ＝_____．16．已知3a b +=，1ab =，则22a b ab +=____________.17．分解因式：224a b =-____________．18．把3222x x y xy -+分解因式 ___．19．把多项式3mx ﹣6my 分解因式的结果是_____．20．分解因式：39a a -= __________21．在日常生活中，如取款、上网等都需要密码.有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆.原理是：如对于多项式44x y -，因式分解的结果是()22()()x y x y x y -+⋅+，若取9x =，9y =时，则各个因式的值是：()0x y -=，()18x y +=，22162x y +=，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码对于多项式324x xy -，取10x =，10y =时，用上述方法产生的密码共有多少种？请你分别写出来.22．常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但有一部分多项式只单纯用上述方法就无法分解，如x 2﹣2xy +y 2﹣16，我们细心观察这个式子，会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合，再应用平方差公式进行分解．过程如下：x 2﹣2xy +y 2﹣16＝（x ﹣y ）2一16＝（x ﹣y +4）（x ﹣y ﹣4）这种分解因式的方法叫分组分解法．利用这种分组的思想方法解决下列问题：（1）9a 2+4b 2﹣25m 2﹣n 2+12ab +10mn ；（2）已知a 、b 、c 分别是△ABC 三边的长且2a 2+b 2+c 2﹣2a （b +c ）＝0，请判断△ABC 的形状，并说明理由．23．把下列多项式分解因式：（1）236x -； （2）251015a a +-．24．分解因式（1）2am ﹣6an（2）x 4y 2－16x 2y 4．（3）－3ma 2＋12ma －12m ；25．已知3m a =，3n b =，请用a ，b 表示3m n +和233m n +．26．因式分解：293m m x x -27．(1)因式分解：9(m+n)2﹣(m ﹣n)2(2)已知：x+y ＝1，求12x 2+xy+12y 2的值． 28．（1）因式分解（2）解不等式组 29．如果一个正整数能够表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“奇特数”.如:①8=32- 12，②16=52-32，③24=72-52，因此8，16，24都是奇特数.(1)写出第④个等式.(2)设两个连续奇数为2n-1和2n+1(其中n 取正整数)，那么由这两个连续奇数构造的奇特数是8的倍数吗?为什么?30．阅读下面的材料，解决问题.例题:若m 2 +2mn+2n 2-6n+9=0,求m 和n 的值.解:∵ m 2+2mn+2n 2- 6n+9=0,∴m 2 +2mn+n 2+n 2-6n+9=0,∴(m+n)2 +(n-3)2=0,∴m+n=0, n-3=0,∴m=-3, n=3.问题: （1）若2x 2 +4x-2xy+y 2 +4=0,求x y 的值;（2）已知a, b, c 是△ABC 的三边长，且满足a 2+b 2=10a+8b-41，求c 的取值范围.参考答案1．C【解析】【分析】根据分解因式就是把一个多项式化为几个整式的积的形式的定义判断即可.【详解】A 、等式右边不是整式积的形式，故不是分解因式，故本选项错误；B 、242221a b a b -+=-+（），故本选项错误； C 、等式右边是整式积的形式，故是分解因式，故本选项正确；D 、等式右边不是整式积的形式，故不是分解因式，故本选项错误；故选C ．【点睛】本题考查的是因式分解的定义，熟练掌握因式分解的定义是解决本题的关键.2．C【解析】【分析】因式分解是把一个多项式化为几个整式的积的形式，据此进行解答即可.【详解】解：A 、B 、D 三个选项均不是把一个多项式化为几个整式的积的形式，故都不是因式分解，只有C 选项符合因式分解的定义，故选择C.【点睛】本题考查了因式分解的定义，牢记定义是解题关键.3．D【解析】【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案．【详解】解：A 、是整式的乘法，不是因式分解，故本选项不符合题意；B 、等式右边不是几个整式积的形式，不是因式分解，故本选项不符合题意；C、等式右边不是几个整式积的形式，不是因式分解，故本选项不符合题意；D、是把一个多项式转化成几个整式积的形式，属于因式分解，故本选项符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了因式分解的意义，因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，注意因式分解与整式乘法的区别．4．C【解析】【分析】因式分解结果利用多项式乘以多项式法则计算，确定出b与c的值，即可求出所求．【详解】解：根据题意得：2x2-bx+c=2（x-3）（x+1）=2x2-4x-6，可得b=4，c=-6，则b+c=4+（-6）=-2，故选：C．【点睛】此题考查了因式分解-十字相乘法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．5．B【解析】【分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种式子变形叫做这个多项式的因式分解.【详解】解：A.右边的式子中含有加法运算，不满足因式分解的要求，故该选项错误.B. x2-2x=x(x-2)，该选项满足因式分解的要求，故该选项正确.C.右边的式子中含有加法运算，不满足因式分解的要求，故该选项错误.D. (x+2)2= x2+4x+4≠x2+2x+4，不是恒等变形，故该选项错误.故选：B.【点睛】本题考查了多项式的因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题关键.6．C【解析】【分析】首先读懂这种新运算的方法，再以法则计算各式，从而判断．【详解】依据新运算可得①2=1×2，则F(2)＝12，正确； ②24=1×24=2×12=3×8=4×6，则F(24)＝23，正确； ③若n 是一个完全平方数，则F （n ）=1，正确；④若n 是一个完全立方数（即n=a 3，a 是正整数），如64=43=8×8，则F （n ）不一定等于1a ，故错误．故选C ．【点睛】本题考查因式分解的运用，此题的关键是读懂新运算，特别注意“把两个乘数的差的绝对值最小的一种分解”这句话．7．C【解析】【分析】等式两边乘以2，利用配方法得到()()222222220a c b c -+-=，根据非负数的性质得到2220a c -=，2220b c -=，则a b =，且222+=a b c .然后根据等腰三角形和直角三角形的判定方法进行判断.【详解】Q 44422222222a b c a c b c ++=+，∴4224422444440a a c c b b c c -++-+=，∴()()222222220a c b c -+-=，∴2220a c -=，2220b c -=， ∴c =，c =，∴a b =，且222+=a b c ，∴ABCV为等腰直角三角形.故选C.【点睛】本题考查了因式分解的应用，利用完全平方公式是解决问题的关键.8．B【解析】【分析】根据平方差公式进行分解即可得.【详解】2425m-=(2m)2-52=(2m+5)(2m-5)，故选B.【点睛】本题考查了利用平方差公式分解因式，熟练掌握平方差公式的结构特征是解题的关键. 9．D【解析】【分析】已知等式利用完全平方公式配方后，再利用非负数的性质求出a与b的值，再利用负指数幂，即可求出原式的值．【详解】∵a2+2a+b2﹣6b+10＝0，∴（a+1）2+（b﹣3）2＝0，∴a＝﹣1，b＝3，∴b a＝3﹣1＝13，故选：D．【点睛】此题考查了配方法的应用，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．10．D【解析】试题解析：A 、-x 2-y 2，无法分解因式，故此选项错误；B 、x 2y+2xy+4y=y （x 2+2x+4），故此选项错误；C 、49x 2-x 2y 2=（7x-xy ）（7x+xy ），故此选项错误；D 、16x 2+4y 2-16xy=4（2x-y ）2，正确．故选D ．11．()221a x -【解析】【分析】原式提取a ，再利用完全平方公式分解即可．【详解】解：原式()()2244121a x x a x =-+=-， 故答案为：()221a x -.【点睛】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 12．2x 或-2x【解析】【分析】直接利用完全平方公式分解因式得出答案．【详解】多项式x 2+1加上一个单项式后，可以分解因式，加上的单项式可以是：±2x ， 则x 2±2x+1=（x±1）2． 故答案为：2x 或-2x ．【点睛】此题主要考查了公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．13．()()11x x x +-【解析】【分析】直接提取公因式x，再利用平方差公式分解因式得出答案．【详解】解：x-x3=x（1-x2）=x（1+x）（1-x）．故答案为：x（1+x）（1-x）．【点睛】本题考查提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用平方差公式是解题的关键．14．xy(x﹣3)2【解析】【分析】首先提取公因式xy，再利用公式法分解因式得出答案．【详解】解：原式＝xy(x2﹣6x+9)＝xy(x﹣3)2．故答案为xy(x﹣3)2．【点睛】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．15．（x+y+z）（x﹣y﹣z）【解析】【分析】当被分解的式子是四项时，应考虑运用分组分解法进行分解．本题后三项可以为一组组成完全平方式，再用平方差公式即可．【详解】解：x2﹣y2﹣z2﹣2yz，＝x2﹣（y2+z2+2yz），＝x2﹣（y+z）2，＝（x+y+z）（x﹣y﹣z）．【点睛】本题考查了用分组分解法进行因式分解．难点是采用两两分组还是三一分组．本题后三项可组成完全平方公式，可把后三项分为一组．16．3【解析】【分析】将所求的代数式前两项提取公因式ab ，再整体代入求解即可．【详解】∵ab=1，a+b=3，∴22a b ab +=ab(a+b)=1×3=3故答案为3【点睛】此题考查因式分解的应用，掌握运算法则是解题关键17．(2)(2)a+b a -b【解析】【分析】根据因式分解的方法即可求解.【详解】224a b =-(2)(2)a+b a -b【点睛】此题主要考查因式分解。

A．a3－a＝a(a2－1) B．m2－2mn＋n2＝(m－n)2 C．x2y－xy2＝xy(x－y) D．x2－y2＝(x－y)(x＋y)
5．若多项式 mx2－n1 可因式分解为(3x－15 )(3x＋15 )，则 m＝__9__，n＝___2_5． 6．在完成因式分解的练习时，小胡不小心将一道题弄污了：3m3■■■，他
【素养提升】 13．学习“因式分解”时，王老师发给大家许多硬纸片(a×a的正方形A，b×b 的正方形B，a×b的长方形C)，如图①，并让大家完成下列问题：
(1)用1张A纸片、1张B纸片、2张C纸片拼成图②所示的一个大正方形，用两种 不同的方法表示大正方形的面积，可以得出的一个等式为
___a_2_＋__2_a_b_＋__b_2_＝__(_a_＋__b_)2____________； (2)想办法用4张A纸片、1张B纸片、4张C纸片拼成一个大正方形．在框一中画 出示意图，并将与大正方形面积对应的因式分解结果写出来：4a2＋4ab＋b2＝ ___(_2_a_＋__b_)2___； (3)试一试：你能用2张A纸片、1张B纸片和3张C纸片拼成一个长方形或正方形 吗？ 请设计一种拼法，在框二中画出示意图，并写出相应的因式分解的结果．
12．先阅读下面的内容，再解决问题． 例：若m2＋2mn＋2n2－6n＋9＝0，求m和n的值． 解：∵m2＋2mn＋2n2－6n＋9＝0， ∴m2＋2mn＋n2＋n2－6n＋9＝0， ∴(m＋n)2＋(n－3)2＝0， ∴m＋n＝0且n－3＝0，解得m＝－3，n＝3. (1)若x2＋2y2－2xy＋4y＋4＝0，求xy的值； (2)已知a，b，c为△ABC的三边长，满足a2＋b2＝10a＋8b－41，且c是△ABC中 最长的边，求c的取值范围．
数学 八年级下册 北师版

因式分解的应用因式分解是整式乘法的逆向变形，是代数恒等变形的一种最基本的、行之有效的方法之一，在许多的有理数计算、代数式的化简、求值、解方程、不等式及恒等式的证明、几何等诸多方面起着重要作用.题型一：数字计算例题：计算 （12867＋118211＋115413）÷（11171113++）.练习：2225-63.863.837.1237.1+⨯⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅22321011911...21-121-1）（）（222222221234......9979989991000-+-++-+- ()()()11212123842++++二、求值例题：一个正整数，若加上100是一个完全平方数；若加上168，则是另一个完全平方数，求这个正整数.解 设这个正整数为a ，两个完全平方数分别为m 、n ，则根据题意，得22100,168.a n a m ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩即m 2－n 2＝68. 因为m 2－n 2＝（m+n ）（m －n ）＝1×2×2×17，而m 、n 均为正整数，所以68,1m n m n +=⎧⎨-=⎩（舍去）或34,2m n m n +=⎧⎨-=⎩或17,4.m n m n +=⎧⎨-=⎩（舍去）. 从而18,16.m n =⎧⎨=⎩所以可求得a ＝156.即这个正整数是156.练习1：如图，有一边长为a ，b 的长方形，它的周长为14，面积为10，求22a b ab +的值.:练习2：将一条20cm 长的彩带剪成两段，恰好用来镶两张大小不同的正方形的壁画边框（不计接头处），已知两边框的面积差为20cm 2，问能否剪成？若能，该如何剪，若不能，请说明理由？例题2：若多项式x 2－xy －2y 2－x －ky －6可分解为两个一次因式的积的形式，求k 的值.解 根据题意可设x 2－xy －2y 2－x －ky －6＝（x －2y+m ）（x+y+n ）.即x 2－xy －2y 2－x －ky －6＝x 2－xy －2y 2+（m+n ）x+（m －2n ）y+ mn ，则有1,2,6.m n m n k mn +=-⎧⎪-=-⎨⎪=-⎩即k ＝7.练习：1、.已知a+b=-3,ab=1,求a 3b+a 2b 2+ab 3的值.2、已知22m 25ny xy x ++可以分解为（5x-2y ）2,则mn 的值是？3、已知021242=-+--xy y x ）（，求2222244xy y x y x --的值三、整除性问题例题：若S ＝12－22+32－42+52－62+…+992－1002+1012，求S 被103整除的余数. 解： 因为S ＝12－22+32－42+52－62+…+992－1002+1012＝(1012－1002)+ (992－982)+ (972－962)+…+ (72－62)+ (52－42)+ (32－22)+1 ＝201+197+193+…+13+9+5+1＝101+100+99+98+97+96+…+7+6+5+4+3+2+1＝101×51＝5151，而5151÷103＝50…1，所以S 被103整除的余数为1.练习：1、791381279--是否能被45整除？请说明理由.2、请探讨2017201820193834-3⨯+⨯能被20以内的哪几个整数整除？（除1以外）3、两个连续偶数的平方差一定可以被哪个数整除？4.试说明1110－1能被100整除的理由.四、判断三角形的形状例题：a 、b 、c 为△ABC 的三边，且a 2+bc －ac －b 2＝0.试判断△ABC 的形状. 解 因为a 2+bc －ac －b 2＝（a 2－b 2）+（bc －ac ）＝（a+b ）（a －b ）+c （b －a ）＝（a －b ）（a+b －c ）＝0，而a 、b 、c 为△ABC 的三边，所以a+b －c≠0，即只有a －b ＝0，所以a ＝b ，所以△ABC 的形状是等腰三角形.练习1、已知a 、b 、c 是△ABC 的三条边，且满足442222a b a c b c -=-，请判断△ABC 的形状2、已知三条线段的长分别为a 、b 、c ，且满足ac c a b 2b ,a 222++>＜，则以a 、b 、c 为边是否能构成三角形？说明理由3、△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，且a ＋2ab ＝c ＋2bc ，请判断△ABC 是等边三角形、等腰三角形还是直角三角形？说明理由．五．用于解应用题例5. 如图，在半径为R 的圆形钢板上，除去半径为r 的四个小圆，当R=7、8厘米,r=1、1厘米时，你能计算出剩余部分的面积吗？（π取3、14,结果保留三个有效数字）解：剩余部分的面积为：S=πR 2－4πr 2=π（R 2－4r 2）=π（R+2r ）（R －2r ）=π（7.8+2×1.1）(7.8－2×1.1)=π×10×5.6=56π≈56×3.14≈176(cm 2).练习：1、如图，某环保工程需要一种空心混凝土管道，它的规格是内径，外径长。