八年级数学培优讲义(下册)

第一讲 二次根式基础回顾1．下列式子是二次根式的是（ ）A. B ．． D.52．x 的取值范围（ ）A. 3x ＞ B ．3x ＜ C. 3x ≥ D. 3x ≤3．）A ．5B ．5- C.5± D.254．(2-的结果是（ ）A. B ． C . 18 D. 18-5.若a =，则a 的范围是（ ）A ．0a ＞ B. 0a ≥ C. 0a ≤ D. 0a ＜6.成立，则x 的范围是（ ） A.3≤≤4 B. x ≥4 C.3＜x ≤4 D. x ＞37.下列二次根式属于最简二次根式的是（ ）A.B.C. D.8．化简）A.B.C. 0D.9．下列计算正确的是（ ）A. =B. =C. =D.1== 方法运用（一）利用二次根式有意义的条件解答问题10．已知3y =，求.11.已知296m m +=，求nm的比值.(二）二次根式有意义的条件12．下列式子有意义，求x 的范围.(1)(2)(三)比较大小 13.比较大小.(1) (2)(3)（四）二次根式的运算14.计算．(1) - (2)-(3) 22)-1） (5)(6) 28÷(8)已知直角三角形的两条直角边分别为1和1，求周长与面积. （五）先化简，再求值．15．化简：2x 值代入化简并计算.16．一个三角形三边长分别为 , 54(1)求它的周长； (2)请给一个适当x 的值，使其周长为整数，并求三角形的周长的值17.412(2)22x x x x -÷+---，其中4x =. 18.已知4x y +=-，2xy =，求.（六）运用整体代换求值19．2a =2b =a bb a+的值．20．已知a b -=，b c -=，求222a b c ab bc ac ++---的值.（七）设辅助未知数求值 21． 22.23．已知4=，求.24.已知1x =，求代数式223x x ++的值.25.如图1，△ACB 为等腰直角三角形，AC ＝BC ，AC ⊥BC ，点E 、F 分别在BC 上．且CE ＝BF ，CM ⊥AE ，AE 与MF 的延长线相交于N 点． （1）求证：∠BMF ＝∠AMC .（2) 如图2，若CM 为AN 的垂直平分线，MF 与AE 的延长线交于N 点，求证：BM ＋CM ＝MN .(3) 若AC＝2+在(26.已知：在△ABC 中，AB ＝AC ，AB ⊥AC ，D 、E 在BC 上，且∠ADC ＝∠BAE . (1)求证：∠DAE ＝045；(2) 过B 作BF ⊥AD 于F ，交直线AE 于M ，连CM ，判断BM 与CM 的位置关系，加以证明．图2图1第2讲 勾股定理基础回顾（一）勾股定理基本计算 1.依图给出条件进行计算2.如图，AC ⊥AB ，BD ⊥AB ，AC ＝25，BD ＝10，AB ＝20，在AB 上找一点P ，使PC ＋PD 最小，并求最小值.AB（二）勾股定理画图3．在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，10ABC S △，求BC .4.在△ABC 中，AB ＝13，BC ＝14，AC ＝15，AD ⊥BC 于D ，求AD .5．有四个全等的直角三角形，能用___________种方式拼成两个正方形．并用其中一种拼法证明勾股定理.6．在△ABC 中，AB ＝22，BC ＝1，∠ABC ＝045，以AB 为一边作等腰直角三角形ABD ，连接CD ，若∠ABD ＝090，求线段CD 的长.（三）勾股定理与方程7．如图，AB ＝15，AC ＝13，BC ＝4，求ABC S △.8．如图，长方形ABCD 沿AE 折叠，使点D 落在BC 边上的F 点，求CE .9．如图，∠ACB ＝090，∠1＝∠2，AC ＝6，BC ＝8，求CD 的长．10.如图，已知∠ACB ＝090，CD ⊥AB 于D ，∠1＝∠2，EF ∥AB ，AC ＝6，BC ＝8． (1)求证CE ＝CG ； (2)求证：CE ＝FB ； (3)求FG 的长．11.如图，长方形ABCD ，AB ＝6，BC ＝10，将△BCD 沿BD 折翻，得△BDF ，BF 交AD 于E ，求BDE S △．（四）勾股定理与全等12.如图，等腰直角△ACB ，∠ACB ＝090，点D 、E 在AB 上，∠DCE ＝045，AD ＝3，BE ＝4，求AC .13.如图，等腰直角△ACB ，∠ACB ＝090，D 为AB 的中点，点E 、F 分别在AC 、BC 上，DE ⊥DF . (1) 求证：DE ＝DF ;(2) AC ＝4，AE ＝3，求DE 的长.（五）勾股定理与常规辅助线作法14.如图，△ABC中，AC⊥BC，D为AB中点，点E、F分别在BC、AC上，DE⊥DF,AF＝12，BE ＝5，求EF.15.如图，在平面直角坐标系中，点A、B在x轴上，A、B两点关于y轴对称，∠APB＝0120，∠APB的外角平分线交y轴于E点．(1)求∠EBA的大小；(2)当P点在第二象限内运动时，问PB-PA与PE是否存在确定大小关系并证明．16.如图，在坐标系中，点A、B在x轴上，且OA＝OB，点P在第三象限内，∠APB＝060，PC平分∠APB交y轴于C点．-，0），求C点的坐标； (2)问PA＋PB与PC的数量关系，并证明.(1)若A（2317.如图，四边形ABCD中，∠A＝090，AB＝2，CD＝1，求BC和AD的60，∠B＝∠D＝0长.18.如图，在△ABC中，∠A＝090，P是AC的中点，PD⊥BC于D, BC＝9，CD＝3，求AB.问题探究19.如图，等腰直角△ACB，AC＝BC＝5，等腰直角△CDP, CD＝CP，且PB＝2，将△CDP绕C点旋转．(1)求证AD＝PB；(2)若∠CPB＝0135，求BD；(3) ∠PBC＝__________时，BD有最大值．并画图说明；∠PBC＝__________时，BD有最小值，并画图说明.第3讲 勾股定理逆定理基础回顾（一）运用逆定理证垂直1.如图，点P 为正方形ABCD 内一点，PA ＝3，PD ＝2，PC ＝1，求∠CPD .2．等边△ABC ，PA ＝5，PB ＝4，PC ＝3，求∠BPC .3.三角形三边为a ，b ，c ，判断△ABC 的形状.(1)21a n =-,2b n =,21c n =+； (2)222200121620a b c a b c +++=++.4.如图，BF ⊥AD ，∠A ＝∠EBC ＝060，AB ＝4，BC ＝3，CD 3DE ＝3. 求证：AD ⊥CD .5．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝090，P为角平分线的交点．(1)求∠APB； (2)若AC＝8，BC＝6，求PA的长．6．如图，△ACB为等腰直角三角形，∠ACB＝090，BE//AC，且AC＝4BE，AD为中线求证：(1)AD DE；(2) AD平分∠CAE.方法运用（一）利用勾股定理构造直角三角形7．如图，A(4，0)、B(0，4)两点，P在BA延长线上，△OPE为等腰直角三角形，F为PE的中点，OF交AB于M.(1)若P（5，－1），求E点坐标；(2)当P点在AB上运动时，问PA、PM、BM三者之间存在怎样关系并证明.8．如图，△ACB为等腰直角三角形，AC⊥BC，AE∥BC，AF＝AC，AM平分∠EAF.45；(2)求证：AM⊥MB；(1)求证：∠AMC＝0(3)探究AM、BM、CM三者间关系，并证明.9．如图，△ACB为等腰直角三角形，AC⊥BC，PA⊥PB，连接PC.(1)如图1，求证：PA＋PB＝2PC； (2)如图2，求证：PA–PB＝2PC.10.如图，四边形ABCD中，CA＝CB，∠ACB＝060，连PC. 求证：PA＋PB＝120，∠APB＝03.（二）利用特殊直角三角形寻求线段的比11．如图，正方形ABCD 中，F 为CD 的中点，点E 在BC 上，∠EAF ＝045，求CEBE．12.如图，△ACB 为等腰直角三角形，AC ＝BC ，点D 在AB 上，点E 在BC 上，CD ＝DE . (1)若∠CDE ＝045，求BEBC的值； (2)过E 点作EM AB 交BC 于M 点，求DMBC的值.13.（2011．武汉．5月调考）如图，等腰直角△ABC 中，AC ＝BC ，∠ACB ＝090，AF 为△ABC的角平分线，分别过点C 、B 作AF 的垂线，垂足分别为E 、D . (1)求证：CE ＝DE ＝22BD； (2)求证：AF ＝2BD ； (3)求证：212DF AF -=.问题探究利用045、060构造特殊直角三角形，求线段的比．14.如图，△ABC 中，D 为AC 上一点，CD ＝2DA ，∠BAC ＝045，∠BDC ＝060，CE ⊥BD 于E ，连AE ，下列结论：(1)求证：ED ＝DA ； (2)求证：∠CBA ＝060；(3)求证：23BCEADES S =△△.15.如图，四边形ABDM 中，AB ＝BD ，AB ⊥BD , ∠AMD ＝060，以AB 为边作等边△ABC ，BE 平分∠ABD 交CD 于E ，连ME . (1)求∠BEC 的度数；(2)试探究：线段MD ＋MA 与ME 之间的数量关系，并加以证明； (3)若BD 6EC 的长为___________.（直接写出结果）第4讲平行四边形性质与判定基础回顾（一）平行四边形性质l.用两个全等的三角形拼成一个四边形，则下列说法正确的是( )A.一定是平行四边形B.可能是平行四边形C.一定不是平行四边形D.以上说法都不对2.在□ABCD中，对角线AC、BD交于O点，AC＝6，BD＝4，则AB的取值范围是（）A. AB＞1B.AB＞2C.1＜AB＜5D.2＜AB＜103．如图，□ABCD中，∠ABC的平分线交AD于E，交CD的延长线于F，若AB＝4，AD＝7，则DF＝ ( )A.5 B．4 C.6 D．34.如图，在平行四边形ABCD中，E、F是对角线AC上的两点，且AE＝CF.求证：DE＝BF.5.如图，□ABCD中，对角线AC、BD交于O点，过O点的直线分别与AB、CD交于E、F两点.(1)求证：OE＝OF；(2)若E、F分别在AD、CB的延长线上，其余条件不变，(1)中结论是否仍然成立？画图并证明你的结论．6.如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，且AD＞BC，BC＝6cm．点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以1cm/s的速度由A向D运动，点Q以2cm/s的速度由C向B运动，几秒钟后四边形ABQP是平行四边形？7．□ABCD中，AC与BD相交于点O，AB AC，∠DAC＝045，AC＝2，求BC的长．60，BF＝2，DE＝3，DF与AE交于点G.8.如图口ABCD中，AF⊥BC于F，AE⊥DC于E，∠B＝0试判断△AFG的形状并予以证明．9．如图O为口ABCD的对角线AC的中点，过O作一条直线分别与AB、CD交于点M、N，点E、F 在直线MN上且OE＝OF.(1)图中共有几对全等三角形？请把它们都写出来；(2)求证：∠MAE＝∠NCF.（二）平行四边形判定10．如图，在口ABCD中，E，F为BD上的点，BF＝DE，那么四边形AECF是什么四边形？11．（2010恩施州）如图，口ABCD中，AE＝CF，M、N分别是DE、BF的中点.求证：四边形MFNE是平行四边形．12.如图，在口ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA上的点，且AE＝CG，BF＝DH.求证：EG与FH互相平分.13.如图，在口ABCD中，E、F分在AD、BC上，AE＝CF，AF与BE交于G，CE与DF交于H，猜想EF与GH之间的关系，并证明你的猜想．135，连CE交AD于F14.如图，E是口ABCD内一点．ED⊥CD，EB⊥BC，∠AED＝0(l)求证：∠ADE＝∠ABE；(2)求证；△BCE为等腰直角三角形.15.如图，E是口ABCD内一点，已知DE AD，∠CBE＝∠CDE，∠BCE＝045.延长CE交AD、BA的延长线于F、G,连接BF.(1) BE＝CD；(2) BC－DE＝2CE.16.如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，E是BC的中点，AE、DC的延长线相交于F，连接AC、BF.(1)求证：AB＝CF；(2)四边形ABFC是什么四边形？并说明理由.方法运用17.如图，在△ACB中，∠ACB＝090，CD AB.(1)若AC＝8，BC＝6，求AD的长；(2)若DE平分∠ADC，DF平分∠CDB，分别交AC、BC于F、F点，求证：CE＝CF.18.如图，口ABCD中，AB＝4，BC＝2，EB、CF平分∠ABC、∠BCD，交直线AD于E、F，求EF.S.19.在口ABCD中，AD＝12，BD＝10，AC＝26，求ABCD问题探究20．已知等腰△ABC和等腰△ADE，CA＝CB，AD＝AE，∠ACB＝∠DAE，点C、A、D在同一直线上，点E、B在直线CD的异侧，以线段AB和AD为邻边作口ABFD，连接CE、CF.60，则∠CFE＝_________；(1)如图1，若∠ACB＝∠DAE＝090，则∠CFE＝_________；(2)如图2，若∠ACB＝∠DAE＝0α，求∠CFE.(3)如图3，若∠ACB＝∠DAE＝060，点A，B为射线OM，ON上的动点（点A，21.（2012．沈阳）已知，如图1，∠MON＝04，在∠NON的内部、△AOB的外部有一点P，且AP＝BP，B不与点O重合），且AB＝3120．∠APB＝0(1)求AP的长；(2)求证：点P在∠MON的平分线上；(3)如图2，点C，D，E，F分别是四边形AOBP的边AO，OB，BP，PA的中点，连接CD，DE，EF，FC，OP．①当AB⊥OP时，请直接．．写出四边形CDEF的周长的值；t的取值范围．②若四边形CDEF的周长用t表示，请直接．．写出第五讲 中位线专题一．结合全等构造中位线1.如图，△ABC 中，CD 平分∠ACB ，AD ⊥CD ，垂足为D 点，点E 为AB 的中点，（1）求证：DE ∥BC ;（2）若AC ＝8，BC ＝5，求DE 的长.2.如图，梯形ABCD 中，E ，F 分别为对角线BD ，AC 的中点，求证：（1）EF ∥CD ，(2)EF ＝21(CD －AB ).3.如图，四边形ABCD 为平行四边形，E 为AD 的中点，连接EB 并延长，使BF ＝BE ，连接EC 并延长，使CG ＝CE ，连接FG ， H 为FG 的中点，连接DH ，DH 交BC 于M ． （1）求证：四边形AFHD 为平行四边形；（2）若AB ＝BF ＝2，∠BAE ＝60°，求四边形BFHM 的面积．4.如图，在□BCFD 的对角线CD 的延长线上取一点E ，连接FE 并延长至A 点，使EA ＝EF ，连接AB ，求证：CE ∥AB .5.如图，□ABCD 的周长为a ，延长AB 至E ，使BE ＝BC ，BN ⊥EC 于N ，连MN ，求MN .6.如图，四边形ABCD 中，AB ＝CD ，∠ABD ＝20°，∠BDC ＝100°，E 、F 、M 分别为AD 、BD 、BC 的中点，求EFFM.7.如图，在△ABC 中，AB ＝10，BC ＝7，BE 平分∠ABC ，AE ⊥BE ，点F 是AC 的中点，连EF ，求EF .8.如图，AE ⊥AB ，BF ⊥AB ，AB 的中垂线交AB 于N ，交EF 于M ，求证：MN ＝21(BF －AE ).9.如图，AD ∥BC ，∠B ＋∠BCD ＝90°，连AC ，M 、N 、P 分别为AD 、BC 、AC 的中点， （1）求证：MP ⊥NP ； (2) 若AB ＝6，CD ＝8，求MN 的长.10.如图，BF 是△ABC 的角平分线，AM ⊥BF 于M ，CE 平分△ABC 的外角，AN ⊥CE 于N ， (1) 求证：MN ∥BC ； (2) 若AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a ，求MN 的长.二．寻找中点，产生两次中位线11.已知△ACB 、△CEF 都为等腰直角三角形，点E 、F 分别在AC 、BC 上，∠ACB ＝90°，连BE 、AF ,点M 、N 分别为AF 、BE 的中点. (1)如图1，求证： AE ＝2MN ；(2)将△CEF 绕C 点顺时针旋转一个锐角至图2，（1）中结论是否成立，试证明你的结论.12. 已知△ACB 、△CEF 都为等腰直角三角形，∠AED ＝∠ACB ＝90°，点D 在AB 上， 连CE ，M 、N 分别为BD 、CE 的中点. (1)求证：MN ＝21CE ； 4． 如图，将△ADE 绕A 点逆时针旋转一个锐角，（1）中结论是否仍成立，并证明. 5． 求证：MN ⊥CE .13.己知△ACB 为等腰直角三角形,∠ACB ＝90°,点E 在AC 上,EF 丄AC 交AB 于F ,连BE 、CF .M 、N 分别为CF 、BE 的中点. （1）如图1,则CEMN＝___________,并说明理由； （2）如图2,将△AEF 绕点A 顺时针旋转45°,（1）中的结论是否成立？并加以证明； （3）如图3,将△AEF 绕A 点顺时针旋转一个锐角,则上述结论是否仍成立？（画图不证明）14.如图1,已知等腰直角△ABC 和等腰直角△BEF ,∠ABC ＝∠BEF ＝90°,点F 在边BC 上,点M 为AF 的中点，连EM .（1）①在图1中画出△BEF 关于直线BE 成轴对称的三角形；②求证：CF ＝2ME ;（2）将图1中的△BEF 绕点B 逆时针旋转至如图2的位置，其它条件不变,（1）中的结论②是否仍成立?请证明你的结论；（3）如图3,过B 作BS 丄ME 于S ，若ES ＝2，BS ＝4，CF ＝10，则S 四CFEB 的面积为________（直接写出结果）.第6讲 矩形的性质与判定专题训练基础回顾 一．矩形初步1.如图，矩形ABCD ，沿对角线BD 向上翻折，使点C 落在点F 处，连AF . (1) 求证：AF ∥BD ； (2) 若AB ＝6，BC ＝8，求AF 的长.2.如图，矩形ABCD 中，AC ＝2AB ，AE 平分∠DAB ，求∠OEA .3. 如图，矩形ABCD 中，EF ⊥CE ，EF ＝CE ，DE ＝4，矩形的周长为32，求CF 的长.4. 如图，矩形ABCD 中，点P 在BC 边上，PE ⊥AC ，PF ⊥BD ，AB ＝6，BC ＝8，运用上题结论，求PE ＋PF 的值.5. 如图，矩形ABCD ，∠AOD ＝120°，OD ＝2，求AB 、AD .6. 如图，矩形ABCD ，CE ⊥BD ，DE ＝31BE ＝2，求BC 和CD 的长.7. 如图，矩形ABCD中，AE平分∠DAB，∠EAC＝15°，求∠BOE.8. 如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，沿AC折叠到△ACE，AE交BC于F，求S△ACF.二．矩形的判定9.顺次连接四边形ABCD各边中点得到的四边形EFGH，要使四边形EFGH是矩形，需添加的条件是____________，并画图给予证明.10.如图，AB＝BC，AD⊥BC于D，点P为AB上的动点，PE⊥BC，PF⊥AC，垂足分别为E，F.（1）求证：PE＋PF＝AD；(2) 若P点在AB的延长线上，问PE、PF、AD有怎样的关系，画图证明；11.如图，E、F、G、H分别为AB、AD、CD、PC的中点，（1）问四边形EFGH的形状；（2）若AC⊥BD，则（1）中四边形的形状如何？12.如图，BE 平分△ABC 的外角，BF 平分∠ABC ，AE ⊥BE 于E 点，AF ⊥BF 于F 点， （1）求证：四边形AEBF 是矩形； （2）求证：EF ∥BC .三．矩形的性质与判定13.如图，矩形ABCG 中，点D 是AG 的中点，DE ⊥CD 交AB 于E ，BE ＝BC ，连CE 交BD 于F ，求证：（1）BD ＝CD ；(2)∠BDC ＝45°；（3）DE ＝DF ；(4)21=∆∆DEF ADE S S .14. 如图，矩形ABCG 中，点D 为AG 上一点，且BD ＝BC ，ED 平分∠ADB ，交AB 于E ，BN ∥DE ，交CE 于N .（1）求证：CD ⊥DE ； (2) 求证：EN ＝CN ； (3) 求证：∠AED ＝∠BEC .15. 如图，矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，AE ⊥BD 于E ，AB ＝6，AD ＝8. (1) 求BD 的长； （2）求AE 的长.16. 如图，四边形ABEC中，∠BAC＝∠E＝90°，AD⊥BE于点D,(1) 若BD＝3，求AD－CE的值；(2) 若S四ABEC＝16，在（1）中，求AB的长.17. 如图，矩形ABCD中，E在BC上，AB＝3，AD＝5，CE＝1，DF⊥AE于F，求DF的长.问题探究18.已知等腰三角形ABC和DBE的底角共顶点，AB＝AC，DB＝DE，∠BAC＝∠BDE，以线段AD和AC为邻边作□ACFD，连接CE.(1)如图1，B、D、C依次在同一条直线上，若∠BAC＝∠BDE＝60°，则∠ECF＝_______;(2) 如图2，B、D、C依次在同一条直线上，若∠BAC＝∠BDE＝90°，则∠ECF＝_______; 请你完成（1），（2）两个命题，并从中任选一个进行证明.19.已知等腰△ABC 和等腰△ADE ，CA ＝CB ，AD ＝AE ，∠ACB ＝∠DAE ＝α，以AB 和AD 为邻边作□ABFD ，连接CE 、CF .(1)如图1，当α＝90°，且C 、A 、D 依次在同一条直线上，求∠CFD ＝_______，CFEF＝_______ (2)如图2，当α＜90°，且C 、A 、D 不在同一条直线上，求∠CFE ，并证明.20. 如图，AB ∥CD ，∠D ＝90°，AB ＝AC ，AE ＝AD ，且∠CAE ＝90°，连BE 交AC 于F 点. (1) 求证：BF ＝EF ；(2) 如图2，若点N 为BC 的中点，求BDFN. (3) 如图3，若点M 为AE 的中点，BM 交AC 于点P ，求BPMP.第7讲斜边上的中线专题一、知直角和中点，构造斜边上的中线1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，CE为△ACB的中线，若AC＝16，BC＝12，求CE、CD的长.2.如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，M为AB的中点，MN⊥DE于N.（1）求证：EN＝DN. （2）当∠C大于90°时，画图证明上述结论仍然成立.3.如图，正方形ABCD，点P为CD上一动点，AP交BC延长线于E，N为PE的中点. （1）问CM与CN有何位置关系，并证明.（2）若P点在DC的延长线上，其它不变，问上结论是否仍成立，画图证明.4.如图，Rt△ABC，∠BAC＝90°，M为BC的中点，过A点任作直线l（与BC边相交），BD ⊥l于点D，CE⊥l于点E.（1）求证：MD＝ME；（2）当直线l与线段BC不相交时，其它条件不变，（1）中结论是否仍然成立？画图并证明你的结论.5.如图，已知ABCD中，AE⊥BC，AN⊥CD，垂足分别为E、N，且AE＝BE，AN、BD交于点O，∠ADB＝15°.（1）求证：∠FAO＝45°；（2）求证：DF＝22AE.6.如图，Rt△AEB和Rt△AFB中，∠AEB＝∠AFB＝90°，O为AB的中点，连EF、OE. （1）如图1，∠EAF＝α，求∠OEF；（2）如图2，若∠EAF＝α，求∠OEF.7.如图，△ACB为等腰直角三角形，△PBE也为等腰直角三角形，M为AP的中点.（1）求证：CE＝2CM；（2）若△PBE绕B点旋转一个锐角，问以上结论是否成立，并画图证明.8.如图，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D点，AF平分∠BAC交CD、CB于E、F.（1）若AC＝8，BC＝5，求CE的长；（2）若M、N分别为AC、EF的中点，求证：DM ＝MN.6．如图，在△ABC 中，∠B ＝2∠A ，CD ⊥AB 于D ，E 为AB 的中点. 求证：DE ＝21BC .二、知等腰和中点，产生直角构造斜边上的中线. 10.已知，∠ACB ＝∠ADB ＝90°，点N 为AB 的中点. （1）如图1，过N 作NM ⊥CD 于M ，求证：CM ＝DM ；（2）如图2，过A 、B 分别作AE ⊥CD ，BF ⊥CD ，垂足分别为E 、F ，求证：CE ＝DF ；（3）如图3，在（2）的条件下，将△ABC 沿直线AB 翻折，问（2）中结论是否仍成立？请证明你的结论.11.已知，矩形ABCD ，AB ＝4，BE 、CF 分别平分∠ABC ，∠BCD ，交AD 于E 、F ，BE 、CF 相交于G 点，EG ＝22，求BC 的长.12.如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，AB 边上的高线CH 与△ABC 的两条内角平分线AM 、BN 分别交于P 、Q 两点，PM 、QN 的中点分别为E 、F .求证：EF ∥AB .第8讲菱形一、菱形的判定1.如图所示，△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于D，ED⊥BC交AC于F，DF∥AB 交AC于F.求证：四边形AFDE为菱形.2.如图，□ABCD，AE、BF分别为∠A、∠B的平分线.求证：四边形ABEF为菱形.3.若四边形ABCD的中点四边形为矩形，则四边形ABCD需满足条件_________________，并画图证明.4.若四边形ABCD的中点四边形为菱形，则四边形ABCD需满足条件__________________，并画图证明.5.如图矩形ABCD的对角线相交于O点，E、F分别在AD、BC上，EF过O点，EF⊥BD. （1）判定四边形DEBF的形状；（2）若AB＝6，AD＝10，求四边形DEBF的周长.6.如图所示，△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC交BC于D，CH⊥AB于H，交AD于F，DE⊥AB于E.（1）求证：四边形CDEF是菱形；（2）若AC＝8，AB＝10，求EF的长.二、菱形的性质7.如图，菱形ABCD中，∠ABC＝120°，AC＝43，求菱形的周长.8.如图，菱形ABCD中，E、F分别在BC、CD上，∠B＝∠EAF＝60°，∠BAE＝15°，求∠CEF.9.如图，在□ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，过A点作AG∥BD交CB的延长线于点G.（1）求证：DE∥BF；（2）若∠G＝90°，求证：四边形DEBF是菱形.10.如图，菱形ABCD ，∠A ＝60°，M 、N 分别在AD 、DC 上，且∠BMN ＝60°.（1）求证：BM ＝MN ； （2）若M 、N 分别在DA 、CD 的延长线，上述结论是否成立，请说明理由.11.已知菱形ABCD ，∠BAD ＝120°，BD ＝43.（1）求AB 的长； （2）E 、F 分别在BC 、CD 上，且∠EAF ＝60°，求CE ＋CF ； （3）当点E 在BC 何位置时，S △AEF 最小并说明理由，并求出最小值.12.如图，□ABCD 中，BC ＝2CD ，CE ⊥AB 于点E ，F 为AD 的中点，若∠EFD ＝k ∠AEF ，求k 的值.13.如图，在菱形ABCD 中，AB ＝BD ，点E 、F 分别在AB 、AD 上，且AE ＝DF ，连接BF 与DE 相交于点G ，连接CG 与BD 相交于点H .（1）求证：△AED ≌△DFB ； （2）求证：S 四边形BCDG ＝43CG 2.第9讲平行四边形、矩形、菱形（全国各地中考题汇编)—、平行四边形1.(2012乌鲁木齐）如图，在周长为20中，AB＜AD，AC与BD交于点O, OE 丄BD，交AD于点E，求△ABE的周长.2.(2012乌鲁木齐）如图,E、F对角线AC上的两点，且BE//DF，求证：BF=DE.3.(2011中，点E、F分别在边AD、BC上，且BE//DF,若∠EBF=45°，求∠EDF的度数.4.(2012河南）如图，在菱形ABCD中，AB=2, ∠DAB= 60°,点E是AD边的中点，点M是AB边上一动点（不与点A重合），延长ME交射线CD于点N，连接MD，AN.(1)求证：四边形AMDN是平行四边形；(2)填空：①当AM的值为时，四边形AMDN是矩形；②当AM的值为时，四边形AMDN是菱形.二、矩形、菱形5.(2012吉林）如图1，在△ABC 中，AB =AC , D 为边BC 上一点，以AB ，BD 为邻边，连接 AD ，EC .(1) 求证：△ADC ≌△ECD(2) 如图2，若BD =CD , 求证：四边形ADCE 是矩形.E BC DA EBCDA6.(2012西宁）如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，AC =12，BD =16，E 为AD 的中点，点P 在x 轴上移动.小明同学写出了两个使△POE 为等腰三角形的P 点坐标为（一5，0)和(5, 0).求出其余所有符合这个条件的P 点的坐标.7.(2012宁夏）如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于O ，DE 丄AC 于E ，∠EDC : ∠EDA =1 : 2，且AC =10，求DE 的长.8. (2012兰州）如图，四边形ABCD 中，∠BAD =120°, ∠B =∠D =90°.在BC 、CD 上分别找一点M 、 N ,使△AMN 周长最小时，求∠AMN +∠ANM 的度数.9.(2011乌鲁木齐）如图，中，∠DAB=60°，AB=2AD,点E、F分别是AB、CD 的中点，过点A作AG//BD，交CB的延长线于点G.(1) 求证：四边形DEBF是菱形；(2) 请判断四边形AGBD是什么特殊四边形？并加以证明.10. (2011甘肃兰州）已知：如图所示的一张矩形纸片ABCD (AD＞AB),将纸片折叠一次，使点A与点C重合，再展开，折痕EF交AD边于点E，交BC边于点F，分别连结AF和CE.(1) 求证：四边形AFCE是菱形；cm，求△ABF的周长；(2) 若AE=10cm ,△ABF的面积为24211.(2011南京）如图，菱形ABCD的边长是2cm, E是AB中点，且DE丄AB,求菱形ABCD 的面积.12.(2011的边DC延长到点E, CE=DC,连接AE，交BC于点F.(1) 求证：△ABF≌△ECF(2) 若∠AFC=2∠D，连接AC、BE.求证：四边形ABEC是矩形.13.(2011哈尔滨）如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O, ∠AOB= 60°, AB = 5,求AD的长.14. (2011株洲）如图，矩形ABCD中，点P是线段AD上一动点，O为BD的中点，PO 的延长线交BC于Q. (1) 求证：OP=OQ;(2) 若AD=8厘米，AB=6厘米，P从点A出发，以1厘米/秒的速度向D运动（不与D 重合）.设点P运动时间为t秒，请用t表示PD的长；并求t为何值时，四边形PBQD是菱形.问题探究15.在平行四边形ABCD中，∠A=∠DBC,过点D作DE =DF, 且∠EDF=∠ABD,连接EF、EC, N、P分别为EC、BC的中点，连接NP.(1) 如图1，若点E在DP上，EF与DC交于点M，试探究线段NP与线段NM的数量关系及∠ABD与∠MNP满足的等量关系，请直接写出你的结论；(2) 如图2，若点M在线段EF上，当点M在何位置时，你在（1)中得到的结论仍然成立，写出你确定的点M的位置，并证明（1)中的结论.16. 如图1,将矩形ABCD绕点A顺时针旋转至矩形AEFG，使B点正好落在CD上的点E 处，连BE.(1) 求证：∠BAE =2∠CBE.(2) 如图2，连BG交AE于M，点N为BE的中点，连MN，AF, 试探究AF与MN的数量关系，并证明你的结论；(3) 若AB=5，BC=3,直接写出BG的长第10讲 正方形专题（一)一、正方形与全等1. (2011沈阳）如图，正方形ABCD 中，点E 、F 分别在边BC 、CD 上，且AE =EF =F A .(1) 求证：△ABE ≌△ADF ; (2) 求证：CE =CF ;(3) 求证：∠AEB =75°; (4) 求证：CEF ADF ABE S S S ∆∆∆=+.2. (2011贵阳）如图，点E 是正方形ABCD 内一点，△CDE 是等边三角形，连接EB 、EA ,延长BE 交边AD 于点F .(1) 求证：△ADE ≌△BCE ; (2) 求∠AFB 的度数.3. (2010青岛）如图，在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 和CD 上，AE =AF .(1) 求证：BE =DF ;(2) 连接AC 交EF 于点O ，延长OC 至点M ，使OM =OA ，连接EM 、FM .判断四边形AEMF 是什么特殊四边形？并证明你的结论.4. (2010长沙）如图，在正方形ABCD中，AC为对角线，E为AC上一点，连接EB、ED.(1) 求证：△BEC≌△DEC;(2) 延长BE交AD于F，当∠BED=120°时，求∠EFD的度数.5. (2010乌鲁木齐）如图，边长为5的正方形OABC的顶点O在坐标原点处，点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，点E是OA边上的点（不与点A重合），EF⊥CE,且与正方形外角平分线AG交于点P.(1) 当点E坐标为（3，0)时，试证明GE=EP;(2) 如果将上述条件“点E坐标为（3，0)”改为“点E坐标为(t,0) (t＞0)”，结论CE=EP是否仍然成立，请说明理由；(3)在y轴上是否存在点M，使得四边形BMEP是平行四边形？若存在，用t表示点M 的坐标；若不存在，说明理由.二、正方形与勾股定理结合6. (2012攀枝花）如图，正方形ABCD中，AB=4，E是BC的中点，点P是对角线AC 上一动点，求PE+PB的最小值.7. (2011重庆）如图，正方形ABCD 中，AB =6,点E 在边CD 上，且CD =3DE .将△ADE 沿AE 对折至△AFE ，延长EF 交边BC 于点G ,连结AG 、CF .(1) 求证：△ABG ≌△AFG ; (2) 求证：BG =GC ;(3) 求证：AG //CF ; (4) 求 PGC S ∆.8.如图，在正方形ABCD 中，点F 为CD 上一点，AF 交BD 于H ，EH 丄AF 交BC 于E ,连AE .(1) 求证：∠EAF =45°;(2) 连EF ，作∠EFC 的平分线FG 交AE 的延长线于G ，连CG ，求证：CG 2: (3) 在(2)的条件下，若F 是DC 的中点，AB =4，直接写出EG 的长HDAFE CDAECDAF方法运用(一）知45°作垂线构造等腰直角三角形9. 如图，正方形ABCD .点E 为正方形外一点，△ADE 为等边三角形，连BE ，AM 丄DE 交BE 于P 点，连CP .（1）求∠APB 的大小； （2）求证：AP 丄CP .10.如图，将上题中的条件“等边三角形△ADE ”改为“AE =AD ”，且点E 在正方形内部，上述两个结论是否仍成立，并证明.BC(二）线段和差的常规处理方法11.已知正方形ABCD ,点E 、F 分别为边BC 、AB 上一点，且CE =BF . （1）如图1，求证：DE 丄CF ;（2）如图2，若BG =BF ,CF 交BD 于Q 点，QG 交DE 于P 点，求证：PE =PG ; : （3）如图2，若H 为PD 的中点，在（2)中，求CQ BQDQ +的值，如图（2).B ADC EAD问题探究12. 如图，四边形ABCD ，AD //BC ,点E 在AB 上，点F 在BC 上，∠EDF =a ，EM //BC 交DF 于M 点.（1）如图1，当四边形ABCD 是正方形，a =45°时，求证：EM =AE +CF ; （2）如图2，当四边形ABCD 是等腰梯形，边AB =AD =AC , ∠BAD =120°, a = 60°时，(1)中结 论是否仍成立？请说明理由.MF DA BCEM FCBD A E13.(2010武汉4月调考)如图，P 为正方形ABCD 边BC 上任一点，BG ⊥AP 于点G ，在AP 的延长线上取点E ，使AG =GE ,连接BE ，CE .(1) 求证：BE =BC ; （2）∠CBE 的平分线交AE 于点N 点，连接DN . 求证：BN +DN =2AN ;（3) 若正方形的边长为2,当P 点为BC 的中点时，请直接写出CE 的长为 .。

新人教版八年级数学下册培优辅导资料(全册)姓名：________一、知识点梳理： 1、二次根式的定义.一般地，式子 a （a ≥0）叫做二次根式，a 叫做被开方数。

两个非负数：（1）a ≥0 ；（2） a ≥02、二次根式的性质：（1）.()0≥a a 是一个________ 数 ； （2）()=2a __________（a ≥0）（3）()()()⎪⎩⎪⎨⎧〈=〉==0_______0_______0_______2a a a a a3、二次根式的乘除：积的算术平方根的性质：)0,0(≥≥⋅=b a b a ab ，二次根式乘法法则：__________=⋅b a （a ≥0,b ≥0）商的算术平方根的性质：b ab a =).0,0(>≥b a 二次根式除法法则：)0,0(>≥=b a baba1．被开方数不含分母； 4、最简二次根式 2．分母中不含根号；3. 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 分母有理化：是指把分母中的根号化去，达到化去分母中的根号的目的． 二、典型例题：例1：当x 是怎样实数时，下列各式在实数范围内有意义？ ⑴ 2-x ⑵xx -+2)1(0⑶13-+-x x ⑷12+x （5）12-+x x小结：代数式有意义应考虑以下三个方面：（1）二次根式的被开方数为非负数。

（2）分式的分母不为0.（3）零指数幂、负整数指数幂的底数不能为0 例2：化简：（1）|21|)22(2-+- （2）|3254|)3253(2-+-例3： (1)已知y=x -3+62-x +5，求xy的值． (2) 已知01442=-+++-y x y y ，求xy 的值．小结：（1）常见的非负数有：a a a ,,2（2）几个非负数之和等于 0，则这几个非负数都为0. 例4：化简：（1）32； （2）2ba 33； （3）48.0 （4）yxx2（5）2925x y例5：计算：（1） 351223⨯ （2）21335÷ （3） ()0,02123〉〉⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷b a b a b a例6：化去下列各式分母中的二次根式： （1）323+ （2）813 （3）251+ （4）()0,03〉〉y x xy三、强化训练： 1、使式子2x+有意义的x 的取值范围是（ ） A 、x ≤1； B 、x ≤1且2x ≠-； C 、2x ≠-； D 、x <1且2x ≠-． 2、已知0<x<1时，化简()21--x x 的结果是（ ）A 2X-1B 1-2XC -1D 13、已知直角三角形的一条直角边为9，斜边长为10，则别一条直角边长为（ ） A 、1；B 、C 、19；D ．4n 的最小值是（ ）A 、4；B 、5；C 、6；D 、7．5、下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A 、a 16 B 、b 3 C 、abD 、45 6、下列计算正确的是（ ） A()()69494-=-⨯-=-⨯- B 188142712=⨯=⨯C 624416416=+=+=+D 1212414414=⨯=⨯= 7、等式33-=-x xx x 成立的条件是（ ） A x ≠3 B x ≥0 C x ≥0且x ≠3 D x>3 8、已知053232=--+--y x y x 则y x 8-的值为9、23231+-与的关系是 。

—－可编辑修改，可打印——别找了你想要的都有！精品教育资料——全册教案，，试卷，教学课件，教学设计等一站式服务——全力满足教学需求，真实规划教学环节最新全面教学资源，打造完美教学模式第十九章四边形测试1 平行四边形的性质(一)学习要求1．理解平行四边形的概念，掌握平行四边形的性质定理；2．能初步运用平行四边形的性质进行推理和计算，并体会如何利用所学的三角形的知识解决四边形的问题．课堂学习检测一、填空题1．两组对边分别______的四边形叫做平行四边形．它用符号“□”表示，平行四边形ABCD 记作__________。

2．平行四边形的两组对边分别______且______；平行四边形的两组对角分别______；两邻角______；平行四边形的对角线______；平行四边形的面积＝底边长×______．3．在□ABCD中，若∠A－∠B＝40°，则∠A＝______，∠B＝______．4．若平行四边形周长为54cm，两邻边之差为5cm，则这两边的长度分别为______．5．若□ABCD的对角线AC平分∠DAB，则对角线AC与BD的位置关系是______．6．如图，□ABCD中，CE⊥AB，垂足为E，如果∠A＝115°，则∠BCE＝______．6题图7．如图，在□ABCD中，DB＝DC、∠A＝65°，CE⊥BD于E，则∠BCE＝______．7题图8．若在□ABCD中，∠A＝30°，AB＝7cm，AD＝6cm，则S□ABCD＝______．二、选择题9．如图，将□ABCD沿AE翻折，使点B恰好落在AD上的点F处，则下列结论不一定成．．．．立．的是( )．(A)AF＝EF(B)AB＝EF(C)AE＝AF(D)AF＝BE10．如图，下列推理不正确的是( )．(A)∵AB∥CD∴∠ABC＋∠C＝180°(B)∵∠1＝∠2 ∴AD∥BC(C)∵AD∥BC∴∠3＝∠4(D)∵∠A＋∠ADC＝180°∴AB∥CD11．平行四边形两邻边分别为24和16，若两长边间的距离为8，则两短边间的距离为( )．(A)5 (B)6(C)8 (D)12综合、运用、诊断一、解答题12．已知：如图，□ABCD中，DE⊥AC于E，BF⊥AC于F．求证：DE＝BF．13．如图，在□ABCD中，∠ABC的平分线交CD于点E，∠ADE的平分线交AB于点F，试判断AF与CE是否相等，并说明理由．14．已知：如图，E、F分别为□ABCD的对边AB、CD的中点．(1)求证：DE＝FB；(2)若DE、CB的延长线交于G点，求证：CB＝BG．15．已知：如图，□ABCD中，E、F是直线AC上两点，且AE＝CF．求证：(1)BE＝DF；(2)BE∥DF．拓展、探究、思考16．已知：□ABCD中，AB＝5，AD＝2，∠DAB＝120°，若以点A为原点，直线AB为x 轴，如图所示建立直角坐标系，试分别求出B、C、D三点的坐标．17．某市要在一块□ABCD的空地上建造一个四边形花园，要求花园所占面积是□ABCD面积的一半，并且四边形花园的四个顶点作为出入口，要求分别在□ABCD的四条边上，请你设计两种方案：方案(1)：如图1所示，两个出入口E、F已确定，请在图1上画出符合要求的四边形花园，并简要说明画法；图1方案(2)：如图2所示，一个出入口M已确定，请在图2上画出符合要求的梯形花园，并简要说明画法．图2测试2 平行四边形的性质(二)学习要求能综合运用所学的平行四边形的概念和性质解决简单的几何问题．课堂学习检测一、填空题1．平行四边形一条对角线分一个内角为25°和35°，则4个内角分别为______．2．□ABCD中，对角线AC和BD交于O，若AC＝8，BD＝6，则边AB长的取值范围是______．3．平行四边形周长是40cm，则每条对角线长不能超过______cm．4．如图，在□ABCD中，AE、AF分别垂直于BC、CD，垂足为E、F，若∠EAF＝30°，AB＝6，AD＝10，则CD＝______；AB与CD的距离为______；AD与BC的距离为______；∠D＝______．5．□ABCD的周长为60cm，其对角线交于O点，若△AOB的周长比△BOC的周长多10cm，则AB＝______，BC＝______．6．在□ABCD中，AC与BD交于O，若OA＝3x，AC＝4x＋12，则OC的长为______．7．在□ABCD中，CA⊥AB，∠BAD＝120°，若BC＝10cm，则AC＝______，AB＝______．8．在□ABCD中，AE⊥BC于E，若AB＝10cm，BC＝15cm，BE＝6cm，则□ABCD的面积为______．二、选择题9．有下列说法：①平行四边形具有四边形的所有性质；②平行四边形是中心对称图形；③平行四边形的任一条对角线可把平行四边形分成两个全等的三角形；④平行四边形的两条对角线把平行四边形分成4个面积相等的小三角形．其中正确说法的序号是( )．(A)①②④(B)①③④(C)①②③(D)①②③④10．平行四边形一边长12cm，那么它的两条对角线的长度可能是( )．(A)8cm和16cm (B)10cm和16cm (C)8cm和14cm (D)8cm和12cm 11．以不共线的三点A、B、C为顶点的平行四边形共有( )个．(A)1 (B)2 (C)3 (D)无数12．在□ABCD中，点A1、A2、A3、A4和C1、C2、C3、C4分别是AB和CD的五等分点，点B1、B2、和D1、D2分别是BC和DA的三等分点，已知四边形A4B2C4D2的面积为1，则□ABCD的面积为( )(A)2(B)53 (C)35 (D)1513．根据如图所示的(1)，(2)，(3)三个图所表示的规律，依次下去第n 个图中平行四边形的个数是( )……(1) (2) (3)(A)3n (B)3n (n ＋1) (C)6n(D)6n (n ＋1)综合、运用、诊断 一、解答题14．已知：如图，在□ABCD 中，从顶点D 向AB 作垂线，垂足为E ，且E 是AB 的中点，已知□ABCD 的周长为8.6cm ，△ABD 的周长为6cm ，求AB 、BC 的长．15．已知：如图，在□ABCD 中，CE ⊥AB 于E ，CF ⊥AD 于F ，∠2＝30°，求∠1、∠3的度数．拓展、探究、思考16．已知：如图，O 为□ABCD 的对角线AC 的串点，过点O 作一条直线分别与AB 、CD 交于点M 、N ，点E 、F 在直线MN 上，且OE ＝OF ．(1)图中共有几对全等三角形?请把它们都写出来；(2)求证：∠MAE＝∠NCF．17．已知：如图，在□ABCD中，点E在AC上，AE＝2EC，点F在AB上，BF＝2AF，若△BEF的面积为2cm2，求□ABCD的面积．测试3 平行四边形的判定(一)学习要求初步掌握平行四边形的判定定理．课堂学习检测一、填空题1．平行四边形的判定方法有：从边的条件有：①两组对边__________的四边形是平行四边形；②两组对边__________的四边形是平行四边形；③一组对边__________的四边形是平行四边形．从对角线的条件有：④两条对角线__________的四边形是平行四边形．从角的条件有：⑤两组对角______的四边形是平行四边形．注意：一组对边平行另一组对边相等的四边形______是平行四边形．(填“一定”或“不一定”)2．四边形ABCD中，若∠A＋∠B＝180°，∠C＋∠D＝180°，则这个四边形______(填“是”、“不是”或“不一定是”)平行四边形．3．一个四边形的边长依次为a、b、c、d，且满足a2＋b2＋c2＋d2＝2ac＋2bd，则这个四边形为______．4．四边形ABCD中，AC、BD为对角线，AC、BD相交于点O，BO＝4，CO＝6，当AO＝______，DO＝______时，这个四边形是平行四边形．5．如图，四边形ABCD中，当∠1＝∠2，且______∥______时，这个四边形是平行四边形．二、选择题6．下列命题中，正确的是( )．(A)两组角相等的四边形是平行四边形(B)一组对边相等，两条对角线相等的四边形是平行四边形(C)一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形(D)两组对边分别相等的四边形是平行四边形7．已知：园边形ABCD中，AC与BD交于点O，如果只给出条件“AB∥CD”，那么还不能判定四边形ABCD为平行四边形，给出以下四种说法：①如果再加上条件“BC＝AD”，那么四边形ABCD一定是平行四边形；②如果再加上条件“∠BAD＝∠BCD”，那么四边形ABCD一定是平行四边形；③如果再加上条件“OA＝OC”，那么四边形ABCD一定是平行四边形；④如果再加上条件“∠DBA＝∠CAB”，那么四边形ABCD一定是平行四边形．其中正确的说法是( )．(A)①②(B)①③④(C)②③(D)②③④8．能确定平行四边形的大小和形状的条件是( )．(A)已知平行四边形的两邻边(B)已知平行四边形的相邻两角(C)已知平行四边形的两对角线(D)已知平行四边形的一边、一对角线和周长综合、运用、诊断一、解答题9．如图，在□ABCD中，E、F分别是边AB、CD上的点，已知AE＝CF，M、N是DE和FB的中点，求证：四边形ENFM是平行四边形．10．如图，在□ABCD中，E、F分别是边AD、BC上的点，已知AE＝CF，AF与BE相交于点G，CE与DF相交于点H，求证：四边形EGFH是平行四边形．11．如图，在□ABCD中，E、F分别在边BA、DC的延长线上，已知AE＝CF，P、Q分别是DE和FB的中点，求证：四边形EQFP是平行四边形．12．如图，在□ABCD中，E、F分别在DA、BC的延长线上，已知AE＝CF，F A与BE的延长线相交于点R，EC与DF的延长线相交于点S，求证：四边形RESF是平行四边形．13．已知：如图，四边形ABCD中，AB＝DC，AD＝BC，点E在BC上，点F在AD上，AF＝CE，EF与对角线BD交于点O，求证：O是BD的中点．14．已知：如图，△ABC中，D是AC的中点，E是线段BC延长线上一点，过点A作BE 的平行线与线段ED的延长线交于点F，连结AE、CF．求证：CF∥AE.拓展、探究、思考15．已知：如图，△ABC，D是AB的中点，E是AC上一点，EF∥AB，DF∥BE．(1)猜想DF与AE的关系；(2)证明你的猜想．16．用两个全等的不等边三角形ABC和三角形A′B′C′(如图)，可以拼成几个不同的四边形?其中有几个是平行四边形?请分别画出相应的图形加以说明．测试4 平行四边形的判定(二)学习要求进一步掌握平行四边形的判定方法．课堂学习检测一、填空题1．如图，□ABCD中，CE＝DF，则四边形ABEF是____________．1题图2．如图，□ABCD，EF∥AB，GH∥AD，MN∥AD，图中共有______个平行四边形．2题图3．已知三条线段长分别为10，14，20，以其中两条为对角线，其余一条为边可以画出______个平行四边形．4．已知三条线段长分别为7，15，20，以其中一条为对角线，另两条为邻边，可以画出______个平行四边形．5．已知：如图，四边形AEFD和EBCF都是平行四边形，则四边形ABCD是______．5题图二、选择题6．能判定一个四边形是平行四边形的条件是( )．(A)一组对边平行，另一组对边相等(B)一组对边平行，一组对角互补(C)一组对角相等，一组邻角互补(D)一组对角相等，另一组对角互补7．能判定四边形ABCD是平行四边形的题设是( )．(A)AD＝BC，AB∥CD(B)∠A＝∠B，∠C＝∠D(C)AB＝BC，AD＝DC(D)AB∥CD，CD＝AB8．能判定四边形ABCD是平行四边形的条件是：∠A∶∠B∶∠C∶∠D的值为( )．(A)1∶2∶3∶4 (B)1∶4∶2∶3(C)1∶2∶2∶1 (D)1∶2∶1∶29．如图，E、F分别是□ABCD的边AB、CD的中点，则图中平行四边形的个数共有( )．(A)2个(B)3个(C)4个(D)5个10．□ABCD的对角线的交点在坐标原点，且AD平行于x轴，若A点坐标为(－1，2)，则C点的坐标为( )．(A)(1，－2) (B)(2，－1) (C)(1，－3) (D)(2，－3)11．如图，□ABCD中，对角线AC、BD交于点O，将△AOD平移至△BEC的位置，则图中与OA相等的其他线段有( )．(A)1条(B)2条(C)3条(D)4条综合、运用、诊断一、解答题12．已知：如图，在□ABCD中，点E、F在对角线AC上，且AE＝CF．请你以F为一个端点，和图中已标明字母的某一点连成一条新线段，猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等(只需证明一组线段相等即可)．(1)连结______；(2)猜想：______＝______；(3)证明：13．如图，在△ABC中，EF为△ABC的中位线，D为BC边上一点(不与B、C重合)，AD 与EF交于点O，连结EF、DF，要使四边形AEDF为平行四边形，需要添加条件______．(只添加一个条件)证明：14．已知：如图，△ABC中，AB＝AC＝10，D是BC边上的任意一点，分别作DF∥AB交AC于F，DE∥AC交AB于E，求DE＋DF的值．15．已知：如图，在等边△ABC中，D、F分别为CB、BA上的点，且CD＝BF，以AD为边作等边三角形ADE．求证：(1)△ACD ≌△CBF ；(2)四边形CDEF 为平行四边形．拓展、探究、思考16．若一次函数y ＝2x －1和反比例函数x k y 2=的图象都经过点(1，1)． (1)求反比例函数的解析式；(2)已知点A 在第三象限，且同时在两个函数的图象上，利用图象求点A 的坐标；(3)利用(2)的结果，若点B 的坐标为(2，0)，且以点A 、O 、B 、P 为顶点的四边形是平行四边形，请你直接写出点P 的坐标．17．如图，点A (m ，m ＋1)，B (m ＋3，m －1)在反比例函数xk y =的图象上．(1)求m ，k 的值；(2)如果M 为x 轴上一点，N 为y 轴上一点，以点A ，B ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形，试求直线MN 的函数表达式．测试5 平行四边形的性质与判定学习要求能综合运用平行四边形的判定定理和平行四边形的性质定理进行证明和计算．课堂学习检测一、填空题：1．平行四边形长边是短边的2倍，一条对角线与短边垂直，则这个平行四边形各角的度数分别为______．2．从平行四边形的一个锐角顶点作两条高线，如果这两条高线夹角为135°，则这个平行四边形的各内角的度数为______．3．在□ABCD中，BC＝2AB，若E为BC的中点，则∠AED＝______．4．在□ABCD中，如果一边长为8cm，一条对角线为6cm，则另一条对角线x的取值范围是______．5．□ABCD中，对角线AC、BD交于O，且AB＝AC＝2cm，若∠ABC＝60°，则△OAB 的周长为______cm．6．如图，在□ABCD中，M是BC的中点，且AM＝9，BD＝12，AD＝10，则□ABCD的面积是______．7．□ABCD中，对角线AC、BD交于点O，若∠BOC＝120°AD＝7，BD＝10，则□ABCD 的面积为______．8．如图，在□ABCD中，AB＝6，AD＝9，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE，垂足为G，AF＝5，24BG，则△CEF的周长为______．9．如图，BD为□ABCD的对角线，M、N分别在AD、AB上，且MN∥BD，则S△DMC______ S△BNC．(填“＜”、“＝”或“＞”)综合、运用、诊断一、解答题10．已知：如图，△EFC中，A是EF边上一点，AB∥EC，AD∥FC，若∠EAD＝∠F AB．AB ＝a，AD＝b．(1)求证：△EFC是等腰三角形；(2)求EC＋FC．11．已知：如图，△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC于D，AE平分∠BAC，EF∥DC，交BC于F．求证：BE＝FC．12．已知：如图，在□ABCD中，E为AD的中点，CE、BA的延长线交于点F．若BC＝2CD，求证：∠F＝∠BCF．13．如图，已知：在□ABCD中，∠A＝60°，E、F分别是AB、CD的中点，且AB＝2AD．求证：BF∶BD＝3∶3．拓展、探究、思考14．如图1，已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点M(－2，－1)，且P(－1，－2)是双曲线上的一点，Q为坐标平面上一动点，P A垂直于x轴，QB垂直于y轴，垂足分别是A、B．。

八年级数学培优讲义(下册)(A)AF＝EF(B)AB＝EF(C)AE＝AF(D)AF＝BE10．如图，下列推理不正确的是( )．(A)∵AB∥CD∴∠ABC＋∠C＝180°(B)∵∠1＝∠2 ∴AD∥BC(C)∵AD∥BC∴∠3＝∠4(D)∵∠A＋∠ADC＝180°∴AB∥CD 11．平行四边形两邻边分别为24和16，若两长边间的距离为8，则两短边间的距离为( )．(A)5 (B)6(C)8 (D)12综合、运用、诊断一、解答题12．已知：如图，□ABCD中，DE⊥AC于E，BF⊥AC于F．求证：DE＝BF．13．如图，在□ABCD中，∠ABC的平分线交CD于点E，∠ADE的平分线交AB于点F，试判断AF与CE是否相等，并说明理由．14．已知：如图，E、F分别为□ABCD的对边AB、CD的中点．(1)求证：DE＝FB；(2)若DE、CB的延长线交于G点，求证：CB＝BG．15．已知：如图，□ABCD中，E、F是直线AC 上两点，且AE＝CF．求证：(1)BE＝DF；(2)BE∥DF．拓展、探究、思考16．已知：□ABCD中，AB＝5，AD＝2，∠DAB ＝120°，若以点A为原点，直线AB为x 轴，如图所示建立直角坐标系，试分别求出B、C、D三点的坐标．17．某市要在一块□ABCD的空地上建造一个四边形花园，要求花园所占面积是□ABCD面积的一半，并且四边形花园的四个顶点作为出入口，要求分别在□ABCD的四条边上，请你设计两种方案：方案(1)：如图1所示，两个出入口E、F已确定，请在图1上画出符合要求的四边形花园，并简要说明画法；图1方案(2)：如图2所示，一个出入口M已确定，请在图2上画出符合要求的梯形花园，并简要说明画法．图2测试2 平行四边形的性质(二)学习要求能综合运用所学的平行四边形的概念和性质解决简单的几何问题．课堂学习检测一、填空题1．平行四边形一条对角线分一个内角为25°和35°，则4个内角分别为______．2．□ABCD中，对角线AC和BD交于O，若AC＝8，BD＝6，则边AB长的取值范围是______．3．平行四边形周长是40cm，则每条对角线长不能超过______cm．4．如图，在□ABCD中，AE、AF分别垂直于BC、CD，垂足为E、F，若∠EAF＝30°，AB＝6，AD＝10，则CD＝______；AB与CD的距离为______；AD与BC的距离为______；∠D＝______．5．□ABCD的周长为60cm，其对角线交于O 点，若△AOB的周长比△BOC的周长多10cm，则AB＝______，BC＝______．6．在□ABCD中，AC与BD交于O，若OA＝3x，AC＝4x＋12，则OC的长为______．7．在□ABCD中，CA⊥AB，∠BAD＝120°，若BC＝10cm，则AC＝______，AB＝______．8．在□ABCD中，AE⊥BC于E，若AB＝10cm，BC＝15cm，BE＝6cm，则□ABCD的面积为______．二、选择题9．有下列说法：①平行四边形具有四边形的所有性质；②平行四边形是中心对称图形；③平行四边形的任一条对角线可把平行四边形分成两个全等的三角形；④平行四边形的两条对角线把平行四边形分成4个面积相等的小三角形．其中正确说法的序号是( )．(A)①②④(B)①③④(C)①②③ (D)①②③④10．平行四边形一边长12cm，那么它的两条对角线的长度可能是( )．(A)8cm和16cm (B)10cm和16cm(C)8cm和14cm (D)8cm和12cm11．以不共线的三点A、B、C为顶点的平行四边形共有( )个．(A)1 (B)2 (C)3 (D)无数12．在□ABCD中，点A1、A2、A3、A4和C1、C2、C3、C4分别是AB和CD的五等分点，点B1、B2、和D1、D2分别是BC和DA的三等分点，已知四边形A4B2C4D2的面积为1，则□ABCD的面积为( )3(A)2 (B)55(D)15(C)313．根据如图所示的(1)，(2)，(3)三个图所表示的规律，依次下去第n个图中平行四边形的个数是( )……(1) (2)(3)(A)3n(B)3n(n＋1) (C)6n(D)6n(n＋1)综合、运用、诊断一、解答题14．已知：如图，在□ABCD中，从顶点D向AB作垂线，垂足为E，且E是AB的中点，已知□ABCD的周长为8.6cm，△ABD的周长为6cm，求AB、BC的长．15．已知：如图，在□ABCD中，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，∠2＝30°，求∠1、∠3的度数．拓展、探究、思考16．已知：如图，O为□ABCD的对角线AC的串点，过点O作一条直线分别与AB、CD交于点M、N，点E、F在直线MN上，且OE＝OF．(1)图中共有几对全等三角形?请把它们都写出来；(2)求证：∠MAE＝∠NCF．17．已知：如图，在□ABCD中，点E在AC上，AE＝2EC，点F在AB上，BF＝2AF，若△BEF的面积为2cm2，求□ABCD的面积．测试3 平行四边形的判定(一)学习要求初步掌握平行四边形的判定定理．课堂学习检测一、填空题1．平行四边形的判定方法有：从边的条件有：①两组对边__________的四边形是平行四边形；②两组对边__________的四边形是平行四边形；③一组对边__________的四边形是平行四边形．从对角线的条件有：④两条对角线__________的四边形是平行四边形．从角的条件有：⑤两组对角______的四边形是平行四边形．注意：一组对边平行另一组对边相等的四边形______是平行四边形．(填“一定”或“不一定”)2．四边形ABCD中，若∠A＋∠B＝180°，∠C＋∠D＝180°，则这个四边形______(填“是”、“不是”或“不一定是”)平行四边形．3．一个四边形的边长依次为a、b、c、d，且满足a2＋b2＋c2＋d2＝2ac＋2bd，则这个四边形为______．4．四边形ABCD中，AC、BD为对角线，AC、BD相交于点O，BO＝4，CO＝6，当AO＝______，DO＝______时，这个四边形是平行四边形．5．如图，四边形ABCD中，当∠1＝∠2，且______∥______时，这个四边形是平行四边形．二、选择题6．下列命题中，正确的是( )．(A)两组角相等的四边形是平行四边形(B)一组对边相等，两条对角线相等的四边形是平行四边形(C)一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形(D)两组对边分别相等的四边形是平行四边形7．已知：园边形ABCD中，AC与BD交于点O，如果只给出条件“AB∥CD”，那么还不能判定四边形ABCD为平行四边形，给出以下四种说法：①如果再加上条件“BC＝AD”，那么四边形ABCD一定是平行四边形；②如果再加上条件“∠BAD＝∠BCD”，那么四边形ABCD一定是平行四边形；③如果再加上条件“OA＝OC”，那么四边形ABCD一定是平行四边形；④如果再加上条件“∠DBA＝∠CAB”，那么四边形ABCD一定是平行四边形．其中正确的说法是( )．(A)①②(B)①③④(C)②③(D)②③④8．能确定平行四边形的大小和形状的条件是( )．(A)已知平行四边形的两邻边(B)已知平行四边形的相邻两角(C)已知平行四边形的两对角线(D)已知平行四边形的一边、一对角线和周长综合、运用、诊断一、解答题9．如图，在□ABCD中，E、F分别是边AB、CD上的点，已知AE＝CF，M、N是DE和FB的中点，求证：四边形ENFM是平行四边形．10．如图，在□ABCD中，E、F分别是边AD、BC上的点，已知AE＝CF，AF与BE相交于点G，CE与DF相交于点H，求证：四边形EGFH是平行四边形．11．如图，在□ABCD中，E、F分别在边BA、DC的延长线上，已知AE＝CF，P、Q分别是DE和FB的中点，求证：四边形EQFP是平行四边形．12．如图，在□ABCD中，E、F分别在DA、BC的延长线上，已知AE＝CF，FA与BE的延长线相交于点R，EC与DF的延长线相交于点S，求证：四边形RESF是平行四边形．13．已知：如图，四边形ABCD中，AB＝DC，AD＝BC，点E在BC上，点F在AD上，AF＝CE，EF与对角线BD交于点O，求证：O是BD的中点．14．已知：如图，△ABC中，D是AC的中点，E是线段BC延长线上一点，过点A作BE的平行线与线段ED的延长线交于点F，连结AE、CF．求证：CF∥AE.拓展、探究、思考15．已知：如图，△ABC，D是AB的中点，E 是AC上一点，EF∥AB，DF∥BE．(1)猜想DF与AE的关系；(2)证明你的猜想．16．用两个全等的不等边三角形ABC和三角形A′B′C′(如图)，可以拼成几个不同的四边形?其中有几个是平行四边形?请分别画出相应的图形加以说明．测试4 平行四边形的判定(二)学习要求进一步掌握平行四边形的判定方法．课堂学习检测一、填空题1．如图，□ABCD中，CE＝DF，则四边形ABEF 是____________．1题图2．如图，□ABCD，EF∥AB，GH∥AD，MN ∥AD，图中共有______个平行四边形．2题图3．已知三条线段长分别为10，14，20，以其中两条为对角线，其余一条为边可以画出______个平行四边形．4．已知三条线段长分别为7，15，20，以其中一条为对角线，另两条为邻边，可以画出______个平行四边形．5．已知：如图，四边形AEFD和EBCF都是平行四边形，则四边形ABCD是______．5题图二、选择题6．能判定一个四边形是平行四边形的条件是( )．(A)一组对边平行，另一组对边相等(B)一组对边平行，一组对角互补(C)一组对角相等，一组邻角互补(D)一组对角相等，另一组对角互补7．能判定四边形ABCD是平行四边形的题设是( )．(A)AD＝BC，AB∥CD(B)∠A＝∠B，∠C＝∠D(C)AB＝BC，AD＝DC(D)AB∥CD，CD＝AB8．能判定四边形ABCD是平行四边形的条件是：∠A∶∠B∶∠C∶∠D的值为( )．(A)1∶2∶3∶4 (B)1∶4∶2∶3(C)1∶2∶2∶1 (D)1∶2∶1∶29．如图，E、F分别是□ABCD的边AB、CD 的中点，则图中平行四边形的个数共有( )．(A)2个(B)3个(C)4个(D)5个10．□ABCD的对角线的交点在坐标原点，且AD平行于x轴，若A点坐标为(－1，2)，则C点的坐标为( )．(A)(1，－2) (B)(2，－1) (C)(1，－3) (D)(2，－3)11．如图，□ABCD中，对角线AC、BD交于点O，将△AOD平移至△BEC的位置，则图中与OA相等的其他线段有( )．(A)1条(B)2条(C)3条(D)4条综合、运用、诊断一、解答题12．已知：如图，在□ABCD中，点E、F在对角线AC上，且AE＝CF．请你以F为一个端点，和图中已标明字母的某一点连成一条新线段，猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等(只需证明一组线段相等即可)．(1)连结______；(2)猜想：______＝______；(3)证明：13．如图，在△ABC中，EF为△ABC的中位线，D为BC边上一点(不与B、C重合)，AD与EF交于点O，连结EF、DF，要使四边形AEDF为平行四边形，需要添加条件______．(只添加一个条件)证明：14．已知：如图，△ABC中，AB＝AC＝10，D 是BC边上的任意一点，分别作DF∥AB交AC于F，DE∥AC交AB于E，求DE＋DF的值．15．已知：如图，在等边△ABC 中，D 、F 分别为CB 、BA 上的点，且CD ＝BF ，以AD 为边作等边三角形ADE ．求证：(1)△ACD ≌△CBF ；(2)四边形CDEF 为平行四边形．拓展、探究、思考16．若一次函数y ＝2x －1和反比例函数x k y 2 的图象都经过点(1，1)．(1)求反比例函数的解析式；(2)已知点A 在第三象限，且同时在两个函数的图象上，利用图象求点A 的坐标；(3)利用(2)的结果，若点B 的坐标为(2，0)，且以点A 、O 、B 、P 为顶点的四边形是平行四边形，请你直接写出点P 的坐标．17．如图，点A (m ，m ＋1)，B (m ＋3，m －1)在反比例函数xk y 的图象上．(1)求m ，k 的值；(2)如果M 为x 轴上一点，N 为y 轴上一点，以点A ，B ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形，试求直线MN 的函数表达式．测试5 平行四边形的性质与判定学习要求能综合运用平行四边形的判定定理和平行四边形的性质定理进行证明和计算．课堂学习检测一、填空题：1．平行四边形长边是短边的2倍，一条对角线与短边垂直，则这个平行四边形各角的度数分别为______．2．从平行四边形的一个锐角顶点作两条高线，如果这两条高线夹角为135°，则这个平行四边形的各内角的度数为______．3．在□ABCD中，BC＝2AB，若E为BC的中点，则∠AED＝______．4．在□ABCD中，如果一边长为8cm，一条对角线为6cm，则另一条对角线x的取值范围是______．5．□ABCD中，对角线AC、BD交于O，且AB ＝AC＝2cm，若∠ABC＝60°，则△OAB的周长为______cm．6．如图，在□ABCD中，M是BC的中点，且AM＝9，BD＝12，AD＝10，则□ABCD的面积是______．7．□ABCD中，对角线AC、BD交于点O，若∠BOC＝120°AD＝7，BD＝10，则□ABCD 的面积为______．8．如图，在□ABCD中，AB＝6，AD＝9，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE，垂足为G，AF＝5，24BG，则△CEF的周长为______．9．如图，BD为□ABCD的对角线，M、N分别______ 在AD、AB上，且MN∥BD，则S△DMC S△BNC．(填“＜”、“＝”或“＞”)综合、运用、诊断一、解答题10．已知：如图，△EFC中，A是EF边上一点，AB∥EC，AD∥FC，若∠EAD＝∠FAB．AB＝a，AD＝b．(1)求证：△EFC是等腰三角形；(2)求EC＋FC．11．已知：如图，△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC于D，AE平分∠BAC，EF∥DC，交BC于F．求证：BE＝FC．12．已知：如图，在□ABCD中，E为AD的中点，CE、BA的延长线交于点F．若BC＝2CD，求证：∠F＝∠BCF．13．如图，已知：在□ABCD中，∠A＝60°，E、F分别是AB、CD的中点，且AB＝2AD．求证：BF∶BD＝3∶3．拓展、探究、思考14．如图1，已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点M(－2，－1)，且P(－1，－2)是双曲线上的一点，Q为坐标平面上一动点，PA垂直于x轴，QB垂直于y轴，垂足分别是A、B．图1(1)写出正比例函数和反比例函数的关系式；(2)当点Q在直线MO上运动时，直线MO上是否存在这样的点Q，使得△OBQ与△OAP面积相等?如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由；(3)如图2，当点Q在第一象限中的双曲线上运动时，作以OP、OQ为邻边的平行四边形OPCQ，求平行四边形OPCQ周长的最小值．图2测试6 三角形的中位线学习要求理解三角形的中位线的概念，掌握三角形的中位线定理．课堂学习检测一、填空题：1．(1)三角形的中位线的定义：连结三角形两边____________叫做三角形的中位线．(2)三角形的中位线定理是三角形的中位线____________第三边，并且等于____________________________________．2．如图，△ABC的周长为64，E、F、G分别为AB、AC、BC的中点，A′、B′、C′分别为EF、EG、GF的中点，△A′B′C′的周长为_________．如果△ABC、△EFG、△A′B′C′分别为第1个、第2个、第3个三角形，按照上述方法继续作三角形，那么第n个三角形的周长是__________________．3．△ABC中，D、E分别为AB、AC的中点，若DE＝4，AD＝3，AE＝2，则△ABC的周长为______．二、解答题4．已知：如图，四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．求证：四边形EFGH是平行四边形．5．已知：△ABC的中线BD、CE交于点O，F、G分别是OB、OC的中点．求证：四边形DEFG是平行四边形．综合、运用、诊断6．已知：如图，E为□ABCD中DC边的延长线上的一点，且CE＝DC，连结AE分别交BC、BD于点F、G，连结AC交BD于O，连结OF．求证：AB＝2OF．7．已知：如图，在□ABCD中，E是CD的中点，F是AE的中点，FC与BE交于G．求证：GF＝GC．8．已知：如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，E、F分别是DC、AB边的中点，FE的延长线分别与AD、BC的延长线交于H、G点．求证：∠AHF＝∠BGF．拓展、探究、思考9．已知：如图，△ABC中，D是BC边的中点，AE平分∠BAC，BE⊥AE于E点，若AB＝5，AC＝7，求ED．10．如图在△ABC中，D、E分别为AB、AC上的点，且BD＝CE，M、N分别是BE、CD 的中点．过MN的直线交AB于P，交AC 于Q，线段AP、AQ相等吗?为什么?测试7 矩形学习要求理解矩形的概念，掌握矩形的性质定理与判定定理．课堂学习检测一、填空题1．(1)矩形的定义：__________________的平行四边形叫做矩形．(2)矩形的性质：矩形是一个特殊的平行四边形，它除了具有四边形和平行四边形所有的性质，还有：矩形的四个角______；矩形的对角线______；矩形是轴对称图形，它的对称轴是____________．(3)矩形的判定：一个角是直角的______是矩形；对角线______的平行四边形是矩形；有______个角是直角的四边形是矩形．2．矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，∠AOB＝60°，AC＝10cm，则AB＝______cm，BC＝______cm．3．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝3，则AB边上的中线CD＝______．4．如图，四边形ABCD是一张矩形纸片，AD ＝2AB，若沿过点D的折痕DE将A角翻折，使点A落在BC上的A1处，则∠EA1B＝______°。

第十六章 分式测试1 从分数到分式学习要求掌握分式的概念，能求出分式有意义，分式值为0、为1的条件．课堂学习检测一、填空题1．用A 、B 表示两个整式，A ÷B 就可以表示成______的形式，如果除式B 中______，该分式的分式．2．把下列各式写成分式的形式： （1）5÷xy 为______. （2）（3x ＋2y ）÷（x －3y ）为______.3．甲每小时做x 个零件，做90个零件所用的时间，可用式子表示成______小时． 4．n 公顷麦田共收小麦m 吨，平均每公顷的产量可用式子表示成______吨．5．轮船在静水中每小时走a 千米，水流速度是b 千米／时，轮船在逆流中航行s 千米所需要的时间可用式子表示成______小时． 6．当x ＝______时，分式13-x x没有意义． 7．当x ＝______时，分式112--x x 的值为0．8．分式yx，当字母x 、y 满足______时，值为1；当字母x ，y 满足______时值为－1． 二、选择题 9．使得分式1+a a有意义的a 的取值范围是（ ） A ．a ≠0 B ．a ≠1 C ．a ≠－1D ．a ＋1＞010．下列判断错误．．的是（ ） A ．当32=/x 时，分式231-+x x 有意义 B ．当a ≠b 时，分式22ba ab-有意义 C ．当21-=x 时，分式x x 412+值为0D ．当x ≠y 时，分式x y y x --22有意义 11．使分式5+x x值为0的x 值是（ ） A ．0 B ．5C ．－5D ．x ≠－512．当x ＜0时，xx ||的值为（ ） A ．1 B ．－1 C ．±1 D ．不确定13．x 为任何实数时，下列分式中一定有意义的是（ )A ．xx 12+B ．112--x x C ．11+-x x D ．112+-x x 三、解答题14．下列各式中，哪些是整式？哪些是分式？⋅----++++-π1;)1(;2;3;3;13;222x x x x y x y x y x x y x y x 15．x 取什么值时，2)3)(2(---x x x 的值为0？综合、运用、诊断一、填空题16．当x =______时，分式632-x x无意义． 17.使分式2)3(2+x x有意义的条件为______．18.分式2)1(522+++x x 有意义的条件为______． 19．当______时，分式44||--x x 的值为零． 20．若分式x--76的值为正数，则x 满足______． 二、选择题21．若x 、y 互为倒数，则用x 表示y 的正确结果是（ ）A ．x ＝－yB ．y x 1=C ．x y 1=D ．xy 1±=22．若分式ba ba 235+-有意义，则a 、b 满足的关系是（ ）A ．3a ≠2bB ．b a 51=/C ．a b 32-=/ D ．b a 32-=/23．式子222--+x x x 的值为0，那么x 的值是（ ）A ．2B ．－2C ．±2D ．不存在24．若分式6922---a a a 的值为0，则a 的值为（ ）A ．3B ．－3C ．±3D ．a ≠－225．若分式1212+-b b的值是负数，则b 满足（ ）A ．b ＜0B ．b ≥1C ．b ＜1D ．b ＞1三、解答题 26．如果分式323||2-+-y y y 的值为0，求y 的值．27．当x 为何值时，分式121+x 的值为正数？28．当x 为何整数时，分式124+x 的值为正整数？拓展、探究、思考29．已知分式,by ay +-当y ＝－3时无意义，当y ＝2时分式的值为0，求当y ＝－7时分式的值．测试2 分式的基本性质学习要求掌握分式的基本性质，并能利用分式的基本性质将分式约分．课堂学习检测一、填空题1．,MB M A B A ⨯⨯=其中A 是整式，B 是整式，且B ≠0，M 是______． 2．把分式xy中的x 和y 都扩大3倍，则分式的值______．3．⋅-=--)(121xx x4．.y x xy x 22353)(= 5．22)(1y x y x -=+．6．⋅-=--24)(21y y x 二、选择题7．把分式bab a 392+-约分得（ ）A ．33++b a B ．33+-b a C ．ba 3- D ．ba 3+ 8．如果把分式yx yx ++2中的x 和y 都扩大10倍，那么分式的值（ ） A ．扩大10倍B ．缩小10倍C ．是原来的32 D ．不变9．下列各式中，正确的是（ ）A ．b am b m a =++ B ．0=++b a ba C ．1111--=-+c b ac abD ．y x y x y x +=--122三、解答题 10．约分：（1）ac ab 1510-（2）yx yx 322.36.1-（3）112--m m（4）yx x xy y -+-2442211．不改变分式的值，使下列分式的分子、分母都不含负号．（1）;53a- （2）；y x 532- （3）;52a b-- （4）⋅---x y 1511综合、运用、诊断一、填空题12．化简分式：（1）=--3)(x y yx _____；（2）=+--22699xx x _____． 13．填空：)()1(=++-nm n m =-----ba n m m n 212)2(;)(⋅-ba221 14．填入适当的代数式，使等式成立．（1）⋅+=--+b a b a b ab a )(22222（2）.a b ba b a-=-+)(11 二、选择题 15．把分式yx x-2中的x 、 y 都扩大m 倍（m ≠0），则分式的值（ ）A ．扩大m 倍B ．缩小m 倍C ．不变D ．不能确定16．下面四个等式：;22;22;22yx y x y x y x y x y x +-=+---=----=+-③②①⋅-+=--22yx y x ④其中正确的有（ ） A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个17．化简22222b ab a b a ++-的正确结果是（ ）A ．b a b a -+B ．ba b a +-C ．ab21D ．ab21- 18．化简分式2222639ab b a b a -后得（ ）A ．223b aB ．263ab a ab-C ．ba ab23- D ．bb a ab2332-三、解答题 19．约分：（1）322)(27)(12b a a b a --（2）62322--++x x x x（3）22164m m m --（4）2442-+-x x x20．不改变分式的值，使分子、分母中次数最高的项的系数都化为正数．（1）yx x --22（2）aa b --2（3）x x x x +---2211（4）2213m m m ---拓展、探究、思考21．（1）阅读下面解题过程：已知,5212=+x x 求142+x x 的值．解：),0(5212=/=+x x x,5211=+∴xx 即⋅=+251x x ⋅=-=-+=+=+∴1742)25(12)1(1111222242x x x x x x （2）请借鉴（1）中的方法解答下面的题目：已知,2132=+-x x x求1242++x x x 的值．测试3 分式的乘法、除法学习要求1．学会类比方法、总结出分式乘法、除法法则． 2．会进行分式的乘法、除法运算．课堂学习检测一、填空题1．=-⋅)29(283x yy x ______． 2．=+-÷-x y x x xy x 33322______． 3．=+÷+)(1b a b a ______．4．=--++⋅+aba b a .b ab a b ab 2222222______． 5．已知x ＝2008，y ＝2009，则4422))((y x y x y x -++的值为______．二、选择题 6．)(22m n n m a-⋅-的值为（ ）A ．nm a+2 B ．nm a+ C ．nm a+-D ．nm a--7．计算cdaxcd ab 4322-÷等于（ ） A ．x b 322B ．232x bC ．xb 322-D ．222283dc x b a -8．当x ＞1时，化简xx --1|1|得（ ） A ．1B ．－1C ．±1D ．0三、计算下列各题9．xy x y 212852⋅10．nm mnm mn m n m --÷--24222211．11.11)1(122+-÷--x x x x 12．2222294255)23(x a x b a b a a x --⋅++四、阅读下列解题过程，然后回答后面问题13．计算：⋅⨯÷⨯÷⨯÷dd c c b b a 1112解：dd c c b b a 1112⨯÷⨯÷⨯÷ ＝a 2÷1÷1÷1①＝a 2． ②请判断上述解题过程是否正确？若不正确，请指出在①、②中，错在何处，并给出正确的解题过程．综合、运用、诊断一、填空题14．cc b a 1⨯÷_____． 15．x y xy 3232÷-_____．16．一份稿件，甲单独打字需要a 天完成，乙单独打字需b 天完成，两人共同打需_____天完成． 二、选择题 17．计算xx x x x x +-÷---2231)2)(3(的结果是（ ） A ．22--x x xB ．xx x 212--C ．xx x --22D ．122--x x x18．下列各式运算正确的是（ ）A ．m ÷n ·n ＝mB ．m n n m =÷1.C ．111=÷⋅÷mm m m D ．1123=÷÷m mm 三、计算下列各题 19．44)16(.2-+÷-a a a20．2222)1()1(a a a a .a a a -+--21．a b bab a b ab a b a a 22222224.2+÷+-- 22．xx x x x x --+÷+--32.)3(446222拓展、探究、思考23．小明在做一道化简求值题：,.2)(2222xyx xy y xy x x xy -+-÷-他不小心把条件x 的值抄丢了，只抄了y ＝－5，你说他能算出这道题的正确结果吗？为什么？测试4 分式的乘法、除法、乘方学习要求掌握乘方的意义，能根据乘方的法则，先乘方，再乘除进行分式运算．课堂学习检测一、填空题1．分式乘方就是________________．2．=323)2(bca ____________． 3．=-522)23(z y x ____________． 二、选择题4．分式32)32(ba 的计算结果是（ ）A ．3632b aB ．3596baC ．3598b aD ．36278b a5．下列各式计算正确的是（ ） A ．yx y x =33B ．326m mm =C ．b a ba b a +=++22D ．b a a b b a -=--23)()( 6．22222nm m n m n ⋅÷-的结果是（ ）A ．2nm -B ．32nm -C ．4mn -D ．－n7．计算⨯-32)2(b a 2)2(a b )2(a b -⨯的结果是（ ） A ．68ba - B ．38a - C ．216aD ．216a -三、计算题 8．32)32(cb a9．22)52(a y x --10．223)2(8y x y ÷11．232)4()2(ba ba -÷-四、解答题12．先化简，再求值：（1）,144421422xx x x x ++÷--其中⋅-=41x（2）,ab .b b a a b a b a a 222224)()(+÷--其中,21=a b ＝－1．综合、运用、诊断一、填空题13．=⋅-⋅76252)1()()(aba b a ______．14．=-÷-32223)3()3(ac b c ab ______． 二、选择题15．下列各式中正确的是（ ）A ．363223)23(yx y x =B ．22224)2(b a a ba a +=+ C ．22222)(yx y x y x y x +-=+- D ．333)()()(n m n m nm n m -+=-+16．na b 22)(-（n 为正整数）的值是（ ）A ．n n a b 222+B ．n nab 24C ．n n a b 212+-D ．n nab 24-17．下列分式运算结果正确的是（ ）A ．nm m n n m =3454.B ．bc add c b a =.C ．22224)2(b a a ba a -=- D ．33343)43(y x yx =三、计算下列各题18．2222)2()()(ab abb a -÷⋅-19．23212313.-+-n nn n ba a c b20．22321).()(ba ab a ab b a -÷---四、化简求值21．若m 等于它的倒数，求32222)2.()22(444m m m m m m m --+÷-++的值．拓展、探究、思考22．已知.0)255(|13|2=-+-+b a b a 求2232332).6().()3(a bb a ab b a -÷--的值．测试5 分式的加减学习要求1．能利用分式的基本性质通分． 2．会进行同分母分式的加减法． 3．会进行异分母分式的加减法．课堂学习检测一、填空题1．分式2292,32acbc b a 的最简公分母是______． 2．分式3241,34,21x x x x x +--的最简公分母是______． 3．分式)2(,)2(++m b nm a m 的最简公分母是______． 4．分式)(,)(x y b yy x a x --的最简公分母是______．5．同分母的分式相加减的法则是______．6．异分母的分式相加减，先______，变为______的分式，再加减． 二、选择题 7．已知=++=/xx x x 31211,0（ ） A ．x 21 B ．x61 C ．x65 D ．x611 8．x y y a y x a x +--+++3333等于（ ）A ．y x y x +-33B ．x －yC ．x 2－xy ＋y 2D ．x 2＋y 29．cab c a b +-的计算结果是（ ） A ．abc a c b 222+-B ．abcb a ac c b 222--C ．abcb a ac c b 222+-D ．abcac b +- 10．313---a a 等于（ ) A ．aa a --+1622B ．1242-++-a a a C ．1442-++-a a a D ．a a -111．21111xx x x n n n +-+-+等于（ ） A ．11+n xB ．11-n xC ．21xD ．1三、解答题 12．通分：（1）abb a a b 41,3,22 （2）)2(2,)2(-+x b x a y（3）aa a a -+21,)1(2 （4）aba b a b a --+2222,1,1四、计算下列各题 13．x x x x x -+--+22422214．xx x x x x x x +---+--+++3522363422215．412234272--+--x x x16．xyy xxy x y -+-22综合、运用、诊断一、填空题17．计算a a -+-329122的结果是____________． 18.=-+abb a 6543322____________． 二、选择题19．下列计算结果正确的是（ ）A ．)2)(2(42121-+=--+x x x x B ．))((211222222222x y y x x xy y x ---=--- C ．yx xy y x x 231223622-=- D ．33329152+-=----x x x x 20．下列各式中错误．．的是（ ） A ．ad a d c d c a d c a d c 2-=---=+-- B ．1522525=+++a aaC ．1-=---xy yy x x D ．11)1(1)1(22-=---x x x x 三、计算下列各题21．ba aa b b b a b a ---+-+22 22．zx y zy z x y z x z y x y ------+++-223．941522333222-++-++a a a a 24．43214121111xx x x x x +-++-+--25．先化简,1)121(22xx x x x x x ÷+---+再选择一个恰当的x 值代入并求值．拓展、探究、思考26.已知,10345252---=++-x x x x B x A 试求实数A 、B 的值．27．阅读并计算：例：计算：⋅+++++++)3)(2(1)2)(1(1)1(1x x x x x x原式31212111111+-+++-+++-=x x x x x x⋅+=+-=)3(3311x x x x 仿照上例计算：⋅+++++++)6)(4(2)4)(2(2)2(2x x x x x x测试6 分式的混合运算学习要求1．掌握分式的四则运算法则、运算顺序、运算律． 2．能正确进行分式的四则运算．课堂学习检测一、填空题1．化简=-2222639ab b a b a ______．2．化简2426a a ab -＝______． 3．计算)1()1111(2-⨯+--m m m 的结果是______． 4．)1(y x yy x +-÷的结果是______． 二、选择题5．2222y x y x y x y x -+÷+-的结果是（ ） A ．222)(y x y x ++B ．222)(y x y x -+C ．222)(y x y x +-D ．222)(yx y x ++6．222)(b a bb b a -⨯-的结果是（ ） A ．b1 B ．2bab ba +- C ．ba ba +- D ．)(1b a b +7．ba ba b a b a b a b a -+⨯-+÷-+22)()(的结果是（ ） A ．ba ba +- B ．ba ba -+ C ．2)(ba b a -+ D ．1三、计算题 8．xxx -+-111 9．291232mm -+-10．242-++x x11．121)11(22+-+-÷--a a a a a a12．)()(nm mnm n m mn m +-÷-+13．)131()11(22a a a a --÷++综合、运用、诊断一、填空题14．=-+-+-b a ba b a b a ______． 15．=++-+-32329122m m m ______． 二、选择题 16．（1－m ）÷（1－m 2）×（m ＋1）的结果是（ ）A ．2)1(1m +B ．2)1(1m -C ．－1D ．117．下列各分式运算结果正确的是（ ）．24435232510.25bc b a c c b a =①abc b a a c b 32332=⋅②1131).3(1122+=--÷+x x x x ③1111.2=+÷--xyx x x xy ④ A ．①③ B ．②④C ．①②D ．③④18．abb a b a 2223231⨯--等于（ ） A ．aba - B ．bab - C ．aba 323- D ．bab 232- 19．实数a 、b 满足ab ＝1，设,11,1111b ba aN b a M +++=+++=则M 、N 的大小关系为（ ） A ．M ＞N B ．M ＝NC ．M ＜ND ．不确定三、解答下列各题 20．yy y y y yy y 4)44122(22-÷+--+-+21．)1214()11(22-----+÷+x x x x x x四、化简求值22．,)]3(232[x y x y x x y x y x x -÷--++-其中5x ＋3y ＝0．拓展、探究、思考23．甲、乙两名采购员去同一家饲料公司购买两次饲料，两次购买时饲料的价格各不相同．两位采购员的购货方式也各不相同，甲每次购买1000千克，乙每次只购买800元的饲料，设两次购买的饲料单价分别为m 元/千克和n 元／千克（m ，n 为正整数，且m ≠n ），那么甲、乙两名采购员两次购得饲料的平均价格分别是多少？谁的购买方法更合算？测试7 整数指数幂学习要求1．掌握零指数幂和负整数指数幂的意义． 2．掌握科学记数法．课堂学习检测一、填空题1．3－2＝______，=--3)51(______．2．（－0.02）0＝______，=0)20051(______． 3．（a 2）－3＝______（a ≠0），=-2)3(______，=--1)23(______．4．用科学记数法表示：1cm ＝______m ，2.7mL ＝______L ． 5．一种细菌的半径为0.0004m ，用科学记数法表示为______m .6．用小数表示下列各数：10－5＝______，2.5×10－3＝______．7．（3a 2b －2）3＝______，（－a －2b ）－2＝______．8．纳米是表示微小距离的单位，1米＝109纳米，已知某种植物花粉的直径为35000纳米，用科学记数法表示成______m . 二、选择题9．计算3)71(--的结果是（ ）A ．3431-B ．211- C ．－343 D ．－21 10．下列各数，属于用科学记数法表示的是（ ）A ．20.7×10－2B ．0.35×10－1C ．2004×10－3D ．3.14×10－5 11．近似数0.33万表示为（ ）A ．3.3×10－2 B ．3.3000×103 C ．3.3×103 D ．0.33×104 12．下列各式中正确的有（ ） ①;9)31(2=-②2－2＝－4；③a 0＝1；④（－1）－1＝1；⑤（－3）2＝36．A ．2个B ．3个C ．4个D ．1个 三、解答题13．用科学记数法表示：（1）0.00016 （2）－0.0000312 （3）1000.5 （4）0.00003万14．计算：（1）98÷98 （2）10－3 （3）2010)51(-⨯15．地球的质量为6×1013亿吨，太阳的质量为1.98×1019亿吨，则地球的质量是太阳质量的多少倍（用负指数幂表示）？综合、运用、诊断一、填空题16．=-+-01)π()21(______，－1＋（3.14）0＋2－1＝______．17．=-+---|3|)12()21(01______．18．计算（a －3）2（ab 2）－2并把结果化成只含有正整数指数幂形式为______． 19．“神威一号”计算机运算速度为每秒384000000000次，其运算速度用科学记数法表示，为______次/秒．20．近似数－1.25×10－3有效数字的个数有______位． 二、选择题21．2009200908)125.0()13(⨯+-的结果是（ ）A ．3B ．23-C ．2D ．022．将201)3(,)2(,)61(---这三个数按从小到大的顺序排列为（）A ．21)3()61()2(-<<-- B ．201)3()2()61(-<-<-C ．12)61()2()3(-<-<-D ．12)61()3()2(-<-<-三、解答题23．计算下列各式，并把结果化成只含有正整数指数幂的形式：（1）（a 2b －3）－2（a －2b 3）2 （2）（x －5y －2z －3）2（3）（5m －2n 3）－3（－mn －2）－224．用小数表示下列各数：（1）8.5×10－3 （2）2.25×10－8 （3）9.03×10－5测试8 分式方程的解法学习要求了解分式方程的概念和检验根的意义，会解可化为一元一次方程的分式方程．课堂学习检测一、填空题 1．分式方程1712112-=-++x x x 若要化为整式方程，在方程两边同乘的最简公分母是______． 2．方程111=+x 的解是______．3．方程625--=-x x x x 的解是______． 4．x ＝2是否为方程32121---=-x x x 的解？答：______．5．若分式方程127723=-+-xax x 的解是x ＝0，则a ＝______．二、选择题6．下列关于x 的方程中，不是分式方程的是（ ） A ．11=+x xB ．4132=+x xC ．52433=+x xD ．6516-=x x 7．下列关于x 的方程中，是分式方程的是（ ） A ．55433+=--x x B ．abb x b a a x +=- C ．11)1(2=--x xD ．nx m n n x =- 8．将分式方程yyy y 2434216252--=+-+化为整式方程时，方程两边应同乘（ ）． A ．（2y －6）（4－2y ） B ．2（y －3）C ．4（y －2）（y －3）D ．2（y －3）（y －2）9．方程4321+-=+-x x x x 的解是（ ） A ．x ＝－4 B ．21-=x C ．x ＝3 D ．x ＝110．方程34231--=+-x xx 的解是（ ） A ．0 B ．2C ．3D ．无解11．分式方程)2(6223-+=-x x x x 的解是（ ） A ．0B ．2C ．0或2D ．无解三、解分式方程12．0227=-+x x13．3625+=-x x 14．45411--=--x xx 15．1617222-=-++x xx xx综合、运用、诊断一、填空题16．当x ＝______时，分式x 3与x-62的值互为相反数． 17．下列每小题中的两个方程的解是否相同？ （1）2322-=-+x x x 与x ＋2＝3 （ ） （2）2422-=-+x x x 与x ＋2＝4 （ ） （3）113112-+=-++x x x 与x ＋2＝3 （ ） 18．当m ＝______时，方程312=-x m 的解为1．19．已知分式方程 424-+=-x a x x 有增根，则a 的值为______． 二、选择题 20．若分式方程58)1()(2-=-+x a a x 的解为,51-=x 则a 等于（ ）A ．65 B ．5C ．65-D ．－521．已知,11,11cb b a -=-=用a 表示c 的代数式为（ ） A ．b c -=11 B ．ca -=11 C ． aac -=1 D ．aa c 1-=22．若关于x 的方程0111=----x xx m 有增根，则m 的值是（ ） A ．3 B ．2 C ．1D ．－123．将公式21111R R R +=（R ，R 1，R 2均不为零，且R ≠R 2）变形成求R 1的式子，正确的是（ ）A ．R R RR R -=221B ．R R RR R +=221 C ．2211R RR RR R +=D ．221R R RR R -=三、解分式方程 24．1211422+=+--x xx x x25．2224412-++=--x x x x x26．32)3)(2(122-=-----x x x x x x x 27．xx x x x x ---+-=-+41341216852拓展、探究、思考28．若关于x 的分式方程211=--x m 的解为正数，求m 的取值范围． 29．（1）如下表，方程1、方程2、方程3……是按照一定规律排列的一列方程．猜想方程1的解，并将它们的解填在表中的空白处．（2）若方程)(11b a bx x a >=--的解是x 1＝6，x 2＝10，猜想a 、b 的值，该方程是不是（1）中所给出的一列方程中的一个？如果是，是第几个？（3）请写出这列方程中的第n 个方程和它的解．测试9 列分式方程解应用题学习要求会列出分式方程解简单的应用问题．课堂学习检测一、选择题1．某班学生军训打靶，有m 人各中靶a 环，n 人各中靶b 环，那么所有中靶学生的平均环数是（ ） A ．nm ba ++ B ．nm bnam ++ C ．)(21nb m a +D ．)(21bn am +2．某农场挖一条480米的渠道，开工后，每天比原计划多挖20米，结果提前4天完成任务，若设原计划每天挖x 米，那么下列方程正确的是（ ）A ．420480480=+-x xB ．204480480=+-x xC ．448020480=--x x D ．204804480=--xx 二、列方程解应用题3．一辆汽车先以一定速度行驶120千米，后因临时有任务，每小时加5千米，又行驶135千米，结果行驶这两段路程所用时间相等，求汽车先后行驶的速度．4．一个车间加工720个零件，预计每天做48个，就能如期完成，现在要提前5天完成，每天应该做多少个？5．甲、乙两同学学习电脑打字，甲打一篇3000字的文章与乙打一篇2400字的文章所用的时间相同，已知甲每分钟比乙多打12个字，问甲、乙两人每分钟各打字多少个？6．某煤矿现在平均每天比原计划多采330吨煤，已知现在采33000吨煤所需的时间和原计划采23100吨煤的时间相同．问现在平均每天采煤多少吨？综合、运用、诊断一、填空题7．仓库贮存水果a 吨，原计划每天供应市场m 吨，若每天多供应2吨，则要少供应______天．8．某人上山，下山的路程都是s ，上山速度v 1，下山速度v 2，则这个人上山和下山的平均速度是______．9．若一个分数的分子、分母同时加1，得;21若分子、分母同时减2，则得,31这个分数是______． 二、列方程解应用题10．某市决定修建一条从市中心到飞机场的轻轨铁路，为了使工程能提前3个月完成，需要将原定的工作效率提高12％，问原计划完成这项工程用多少月？11．某一工程招标时，接到甲、乙两工程队的投标书，每施工一天，需付甲工程队工程款1.5万元，乙工程队工程款1.1万元．目前有三种施工方案：方案一：甲队单独完成此项工程刚好如期完成；方案二：乙队单独完成此项工程比规定日期多5天；方案三：若甲、乙两队合作4天，剩下的工程由乙队单独做也正好如期完成．哪一种方案既能如期完工又最节省工程款？第十九章四边形测试1 平行四边形的性质(一)学习要求1．理解平行四边形的概念，掌握平行四边形的性质定理；2．能初步运用平行四边形的性质进行推理和计算，并体会如何利用所学的三角形的知识解决四边形的问题．课堂学习检测一、填空题1．两组对边分别______的四边形叫做平行四边形．它用符号“□”表示，平行四边形ABCD 记作__________。

第十六章 分式一、本单元 知识结构图：1.分式的定义：如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子BA叫做分式。

分式有意义的条件是分母不为零，分式值为零的条件分子为零且分母不为零 2.分式的基本性质：分式的分子与分母同乘或除以一个不等于0的整式，分式的值不变。

（0≠C ） 3.分式的通分和约分：关键先是分解因式 4.分式的运算：分式乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为分母。

分式除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。

分式乘方法则分式乘方要把分子、分母分别乘方。

分式的加减法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。

异分母的分式相加减，先通分，变为同分母分式，然后再加减,a b a b a c ad bc ad bc c c c b d bd bd bd±±±=±=±= 混合运算:运算顺序和以前一样。

能用运算率简算的可用运算率简算。

5. 任何一个不等于零的数的零次幂等于1， 即)0(10≠=a a ；当n 为正整数时，n n aa 1=- （)0≠a 6.正整数指数幂运算性质也可以推广到整数指数幂．(m,n 是整数) （1）同底数的幂的乘法：n m n m a a a +=⋅； （2）幂的乘方：mn n m a a =)(; （3）积的乘方：n n n b a ab =)(；（4）同底数的幂的除法n m n m a a a -=÷( ≠0)；（5）商的乘方：n nn ba b a =)(()；(b ≠0)bcadc d b a d c b a bd ac d c b a =⋅=÷=⋅;CB C A B A ÷÷=7. 分式方程：含分式，并且分母中含未知数的方程——分式方程。

解分式方程的过程，实质上是将方程两边同乘以一个整式（最简公分母），把分式方程转化为整式方程。

第十六章 分式测试1 从分数到分式学习要求掌握分式的概念，能求出分式有意义，分式值为0、为1的条件．课堂学习检测一、填空题1．用A 、B 表示两个整式，A ÷B 就可以表示成______的形式，如果除式B 中______，该分式的分式．2．把下列各式写成分式的形式： （1）5÷xy 为______. （2）（3x ＋2y ）÷（x －3y ）为______.3．甲每小时做x 个零件，做90个零件所用的时间，可用式子表示成______小时． 4．n 公顷麦田共收小麦m 吨，平均每公顷的产量可用式子表示成______吨．5．轮船在静水中每小时走a 千米，水流速度是b 千米／时，轮船在逆流中航行s 千米所需要的时间可用式子表示成______小时． 6．当x ＝______时，分式13-x x没有意义． 7．当x ＝______时，分式112--x x 的值为0．8．分式yx，当字母x 、y 满足______时，值为1；当字母x ，y 满足______时值为－1． 二、选择题 9．使得分式1+a a有意义的a 的取值范围是（ ） A ．a ≠0 B ．a ≠1 C ．a ≠－1D ．a ＋1＞010．下列判断错误．．的是（ ） A ．当32=/x 时，分式231-+x x 有意义 B ．当a ≠b 时，分式22b a ab-有意义C ．当21-=x 时，分式x x 412+值为0D ．当x ≠y 时，分式x y y x --22有意义 11．使分式5+x x值为0的x 值是（ ） A ．0 B ．5C ．－5D ．x ≠－512．当x ＜0时，xx ||的值为（ ） A ．1 B ．－1 C ．±1 D ．不确定13．x 为任何实数时，下列分式中一定有意义的是（ )A ．x x 12+B ．112--x x C ．11+-x xD ．112+-x x 三、解答题14．下列各式中，哪些是整式？哪些是分式？⋅----++++-π1;)1(;2;3;3;13;222x x x x y x y x y x x y x y x 15．x 取什么值时，2)3)(2(---x x x 的值为0？综合、运用、诊断一、填空题16．当x =______时，分式632-x x无意义． 17.使分式2)3(2+x x有意义的条件为______．18.分式2)1(522+++x x 有意义的条件为______． 19．当______时，分式44||--x x 的值为零． 20．若分式x--76的值为正数，则x 满足______． 二、选择题21．若x 、y 互为倒数，则用x 表示y 的正确结果是（ ）A ．x ＝－yB ．y x 1=C ．x y 1=D ．xy 1±=22．若分式ba ba 235+-有意义，则a 、b 满足的关系是（ ）A ．3a ≠2bB ．b a 51=/C ．a b 32-=/ D ．b a 32-=/23．式子222--+x x x 的值为0，那么x 的值是（ ） A ．2 B ．－2 C ．±2D ．不存在24．若分式6922---a a a 的值为0，则a 的值为（ ）A ．3B ．－3C ．±3D ．a ≠－225．若分式1212+-b b的值是负数，则b 满足（ ） A ．b ＜0 B ．b ≥1C ．b ＜1D ．b ＞1三、解答题 26．如果分式323||2-+-y y y 的值为0，求y 的值．27．当x 为何值时，分式121+x 的值为正数？28．当x 为何整数时，分式124+x 的值为正整数？拓展、探究、思考29．已知分式,by ay +-当y ＝－3时无意义，当y ＝2时分式的值为0，求当y ＝－7时分式的值．测试2 分式的基本性质学习要求掌握分式的基本性质，并能利用分式的基本性质将分式约分．课堂学习检测一、填空题1．,MB M A B A ⨯⨯=其中A 是整式，B 是整式，且B ≠0，M 是______． 2．把分式xy中的x 和y 都扩大3倍，则分式的值______．3．⋅-=--)(121xx x4．.y x xy x 22353)(= 5．22)(1y x y x -=+．6．⋅-=--24)(21y y x 二、选择题7．把分式bab a 392+-约分得（ ）A ．33++b a B ．33+-b a C ．ba 3- D ．ba 3+ 8．如果把分式yx yx ++2中的x 和y 都扩大10倍，那么分式的值（ ） A ．扩大10倍B ．缩小10倍C ．是原来的32 D ．不变9．下列各式中，正确的是（ ）A ．b am b m a =++ B ．0=++b a ba C ．1111--=-+c b ac abD ．y x y x y x +=--122 三、解答题 10．约分：（1）ac ab1510-（2）yx yx 322.36.1-（3）112--m m（4）yx x xy y -+-2442211．不改变分式的值，使下列分式的分子、分母都不含负号．（1）;53a- （2）；y x 532- （3）;52a b-- （4）⋅---x y 1511综合、运用、诊断一、填空题12．化简分式：（1）=--3)(x y yx _____；（2）=+--22699xx x _____． 13．填空：)()1(=++-nm n m =-----ba n m m n 212)2(;)(⋅-ba221 14．填入适当的代数式，使等式成立．（1）⋅+=--+ba b a b ab a )(22222（2）.a b ba b a-=-+)(11 二、选择题 15．把分式yx x-2中的x 、 y 都扩大m 倍（m ≠0），则分式的值（ ）A ．扩大m 倍B ．缩小m 倍C ．不变D ．不能确定16．下面四个等式：;22;22;22yx y x y x y x y x y x +-=+---=----=+-③②①⋅-+=--22yx y x ④其中正确的有（ ） A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个17．化简22222b ab a b a ++-的正确结果是（ ）A ．ba ba -+ B ．ba ba +- C ．ab21 D ．ab21- 18．化简分式2222639ab b a b a -后得（ ）A ．222223ab b a b a -B ．263ab a ab-C ．ba ab23- D ．bb a ab2332-三、解答题 19．约分：（1）322)(27)(12b a a b a --（2）62322--++x x x x（3）22164m m m --（4）2442-+-x x x20．不改变分式的值，使分子、分母中次数最高的项的系数都化为正数．（1）yx x --22（2）aa b --2（3）x x x x +---2211（4）2213m m m ---拓展、探究、思考21．（1）阅读下面解题过程：已知,5212=+x x 求142+x x 的值．解：),0(5212=/=+x x x,5211=+∴xx 即⋅=+251x x ⋅=-=-+=+=+∴1742)25(12)1(1111222242x x x x x x （2）请借鉴（1）中的方法解答下面的题目：已知,2132=+-x x x求1242++x x x 的值．测试3 分式的乘法、除法学习要求1．学会类比方法、总结出分式乘法、除法法则． 2．会进行分式的乘法、除法运算．课堂学习检测一、填空题1．=-⋅)29(283x yy x ______． 2．=+-÷-x y x x xy x 33322______． 3．=+÷+)(1b a ba ______．4．=--++⋅+ab a b a .b ab a b ab 2222222______． 5．已知x ＝2008，y ＝2009，则4422))((y x y x y x -++的值为______．二、选择题 6．)(22m n n m a-⋅-的值为（ ）A ．nm a+2 B ．nm a+ C ．nm a+-D ．nm a--7．计算cdaxcd ab 4322-÷等于（ ） A ．x b 322B ．232x bC ．x b 322-D ．222283dc x b a -8．当x ＞1时，化简xx --1|1|得（ ） A ．1B ．－1C ．±1D ．0三、计算下列各题9．xy x y 212852⋅10．nm mnm mn m n m --÷--24222211．11.11)1(122+-÷--x x x x12．2222294255)23(x a x b a b a a x --⋅++四、阅读下列解题过程，然后回答后面问题13．计算：⋅⨯÷⨯÷⨯÷dd c c b b a 1112解：dd c c b b a 1112⨯÷⨯÷⨯÷ ＝a 2÷1÷1÷1①＝a 2． ②请判断上述解题过程是否正确？若不正确，请指出在①、②中，错在何处，并给出正确的解题过程．综合、运用、诊断一、填空题14．cc b a 1⨯÷_____． 15．x y xy 3232÷-_____．16．一份稿件，甲单独打字需要a 天完成，乙单独打字需b 天完成，两人共同打需_____天完成． 二、选择题17．计算xx x x x x +-÷---2231)2)(3(的结果是（ ） A ．22--x x x B ．xx x 212--C ．xx x --22D ．122--x x x18．下列各式运算正确的是（ ）A ．m ÷n ·n ＝mB ．m n n m =÷1.C ．111=÷⋅÷mm m m D ．1123=÷÷m mm 三、计算下列各题 19．44)16(.2-+÷-a a a20．2222)1()1(a a a a .a a a -+--21．a b b ab a b ab a b a a 22222224.2+÷+--22．xx x x x x --+÷+--32.)3(446222拓展、探究、思考23．小明在做一道化简求值题：,.2)(2222xyx xy y xy x x xy -+-÷-他不小心把条件x 的值抄丢了，只抄了y ＝－5，你说他能算出这道题的正确结果吗？为什么？测试4 分式的乘法、除法、乘方学习要求掌握乘方的意义，能根据乘方的法则，先乘方，再乘除进行分式运算．课堂学习检测一、填空题1．分式乘方就是________________．2．=323)2(bca ____________． 3．=-522)23(z y x ____________． 二、选择题4．分式32)32(ba 的计算结果是（ ） A ．3632b a B ．3596baC ．3598b aD ．36278b a5．下列各式计算正确的是（ ） A ．yx y x =33B ．326m mm =C ．b a ba b a +=++22D ．b a a b b a -=--23)()(6．22222nm m n m n ⋅÷-的结果是（ ）A ．2n m -B ．32nm -C ．4mn -D ．－n7．计算⨯-32)2(b a 2)2(a b )2(a b -⨯的结果是（ ） A ．68ba - B ．638b a - C ．5216b aD ．5216ba -三、计算题 8．32)32(c b a9．22)52(a y x --10．223)2(8y x y ÷11．232)4()2(ba ba -÷-四、解答题12．先化简，再求值：（1）,144421422xx x x x ++÷--其中⋅-=41x（2）,a b .b b a a b a b a a 222224)()(+÷--其中,21=a b ＝－1．综合、运用、诊断一、填空题13．=⋅-⋅-76252)1()()(aba b b a ______．14．=-÷-32223)3()3(ac b c ab ______． 二、选择题15．下列各式中正确的是（ ）A ．363223)23(yx y x =B ．22224)2(b a a b a a +=+C ．22222)(yx y x y x y x +-=+- D ．333)()()(n m n m nm n m -+=-+16．na b 22)(-（n 为正整数）的值是（ ）A ．n n a b 222+B ．n n ab 24C ．n n a b 212+-D ．n nab 24-17．下列分式运算结果正确的是（ ）A ．nm m n n m =3454.B ．bc add c b a =.C ．22224)2(b a a ba a -=-D ．33343)43(y x yx =三、计算下列各题18．2222)2()()(ab a bb a -÷⋅-19．23212313.-+-n nn n ba a c b20．22321).()(ba ab a ab b a -÷---四、化简求值21．若m 等于它的倒数，求32222)2.()22(444m m m m m m m --+÷-++的值．拓展、探究、思考22．已知.0)255(|13|2=-+-+b a b a 求2232332).6().()3(a bb a ab b a -÷--的值．测试5 分式的加减学习要求1．能利用分式的基本性质通分． 2．会进行同分母分式的加减法． 3．会进行异分母分式的加减法．课堂学习检测一、填空题1．分式2292,32acbc b a 的最简公分母是______． 2．分式3241,34,21x x x x x +--的最简公分母是______． 3．分式)2(,)2(++m b nm a m 的最简公分母是______．4．分式)(,)(x y b yy x a x --的最简公分母是______． 5．同分母的分式相加减的法则是______．6．异分母的分式相加减，先______，变为______的分式，再加减． 二、选择题 7．已知=++=/xx x x 31211,0（ ） A ．x 21 B ．x61 C ．x65 D ．x611 8．x y y a y x a x +--+++3333等于（ ）A ．y x y x +-33 B ．x －yC ．x 2－xy ＋y 2D ．x 2＋y 29．cab c a b +-的计算结果是（ ） A ．abca cb 222+-B ．abcb a ac c b 222--C ．abc b a ac c b 222+-D ．abcac b +- 10．313---a a 等于（ )A ．aa a --+1622B ．1242-++-a a a C ．1442-++-a a a D ．a a -111．21111xx x x n n n +-+-+等于（ ） A ．11+n xB ．11-n xC ．21xD ．1三、解答题 12．通分：（1）abb a a b 41,3,22 （2）)2(2,)2(-+x b x a y（3）aa a a -+21,)1(2（4）aba b a b a --+2222,1,1四、计算下列各题 13．x x x x x -+--+22422214．xx x x x x x x +---+--+++3522363422215．412234272--+--x x x 16．xyy xxy x y -+-22综合、运用、诊断一、填空题17．计算a a -+-329122的结果是____________． 18.=-+abb a 6543322____________．二、选择题19．下列计算结果正确的是（ ）A ．)2)(2(42121-+=--+x x x x B ．))((211222222222x y y x x x y y x ---=---C ．yx xy y x x 231223622-=- D ．33329152+-=----x x x x 20．下列各式中错误．．的是（ ） A ．ad a d c d c a d c a d c 2-=---=+-- B ．1522525=+++a aaC ．1-=---xy yy x xD ．11)1(1)1(22-=---x x x x 三、计算下列各题21．ba aa b b b a b a ---+-+22 22．zx y zy z x y z x z y x y ------+++-223．941522333222-++-++a a a a 24．43214121111xx x x x x +-++-+--25．先化简,1)121(22xx x x x x x ÷+---+再选择一个恰当的x 值代入并求值．拓展、探究、思考26.已知,10345252---=++-x x x x B x A 试求实数A 、B 的值．27．阅读并计算：例：计算：⋅+++++++)3)(2(1)2)(1(1)1(1x x x x x x原式31212111111+-+++-+++-=x x x x x x⋅+=+-=)3(3311x x x x仿照上例计算：⋅+++++++)6)(4(2)4)(2(2)2(2x x x x x x测试6 分式的混合运算学习要求1．掌握分式的四则运算法则、运算顺序、运算律． 2．能正确进行分式的四则运算．课堂学习检测一、填空题1．化简=-2222639ab b a b a ______．2．化简2426a a ab -＝______． 3．计算)1()1111(2-⨯+--m m m 的结果是______． 4．)1(y x y y x +-÷的结果是______．二、选择题5．2222y x y x y x y x -+÷+-的结果是（ ） A ．222)(y x y x ++B ．222)(y x y x -+C ．222)(y x y x +-D ．222)(yx y x ++6．222)(b a bb b a -⨯-的结果是（ ） A ．b1 B ．2bab ba +- C ．ba ba +- D ．)(1b a b +7．ba ba b a b a b a b a -+⨯-+÷-+22)()(的结果是（ ） A ．ba ba +- B ．ba ba -+ C ．2)(ba b a -+ D ．1三、计算题 8．xxx -+-111 9．291232mm -+-10．242-++x x11．121)11(22+-+-÷--a a a a a a12．)()(nm mnm n m mn m +-÷-+13．)131()11(22a a a a --÷++综合、运用、诊断一、填空题14．=-+-+-b a ba b a b a ______． 15．=++-+-32329122m m m ______． 二、选择题 16．（1－m ）÷（1－m 2）×（m ＋1）的结果是（ ）A ．2)1(1m +B ．2)1(1m -C ．－1D ．117．下列各分式运算结果正确的是（ ）．24435232510.25bc b a c c b a =①abc b a a c b 32332=⋅②1131).3(1122+=--÷+x x x x ③1111.2=+÷--xyx x x xy ④ A ．①③ B ．②④C ．①②D ．③④18．abb a b a 2223231⨯--等于（ ） A ．aba - B ．b ab - C ．a ba 323- D ．bab 232- 19．实数a 、b 满足ab ＝1，设,11,1111b ba aN b a M +++=+++=则M 、N 的大小关系为（ ） A ．M ＞N B ．M ＝N C ．M ＜ND ．不确定三、解答下列各题 20．yy y y y yy y 4)44122(22-÷+--+-+21．)1214()11(22-----+÷+x x x x x x四、化简求值22．,)]3(232[x y x y x x y x y x x -÷--++-其中5x ＋3y ＝0．拓展、探究、思考23．甲、乙两名采购员去同一家饲料公司购买两次饲料，两次购买时饲料的价格各不相同．两位采购员的购货方式也各不相同，甲每次购买1000千克，乙每次只购买800元的饲料，设两次购买的饲料单价分别为m 元/千克和n 元／千克（m ，n 为正整数，且m ≠n ），那么甲、乙两名采购员两次购得饲料的平均价格分别是多少？谁的购买方法更合算？测试7 整数指数幂学习要求1．掌握零指数幂和负整数指数幂的意义． 2．掌握科学记数法．课堂学习检测一、填空题1．3－2＝______，=--3)51(______．2．（－0.02）0＝______，=0)20051(______． 3．（a 2）－3＝______（a ≠0），=-2)3(______，=--1)23(______．4．用科学记数法表示：1cm ＝______m ，2.7mL ＝______L ． 5．一种细菌的半径为0.0004m ，用科学记数法表示为______m .6．用小数表示下列各数：10－5＝______，2.5×10－3＝______．7．（3a 2b －2）3＝______，（－a －2b ）－2＝______．8．纳米是表示微小距离的单位，1米＝109纳米，已知某种植物花粉的直径为35000纳米，用科学记数法表示成______m . 二、选择题9．计算3)71(--的结果是（ ）A ．3431-B ．211- C ．－343 D ．－21 10．下列各数，属于用科学记数法表示的是（ ）A ．20.7×10－2B ．0.35×10－1C ．2004×10－3D ．3.14×10－5 11．近似数0.33万表示为（ ）A ．3.3×10－2 B ．3.3000×103 C ．3.3×103 D ．0.33×104 12．下列各式中正确的有（ ） ①;9)31(2=-②2－2＝－4；③a 0＝1；④（－1）－1＝1；⑤（－3）2＝36．A ．2个B ．3个C ．4个D ．1个 三、解答题13．用科学记数法表示：（1）0.00016 （2）－0.0000312 （3）1000.5 （4）0.00003万14．计算：（1）98÷98 （2）10－3 （3）2010)51(-⨯15．地球的质量为6×1013亿吨，太阳的质量为1.98×1019亿吨，则地球的质量是太阳质量的多少倍（用负指数幂表示）？综合、运用、诊断一、填空题16．=-+-01)π()21(______，－1＋（3.14）0＋2－1＝______．17．=-+---|3|)12()21(01______．18．计算（a －3）2（ab 2）－2并把结果化成只含有正整数指数幂形式为______． 19．“神威一号”计算机运算速度为每秒384000000000次，其运算速度用科学记数法表示，为______次/秒．20．近似数－1.25×10－3有效数字的个数有______位． 二、选择题21．2009200908)125.0()13(⨯+-的结果是（ ） A ．3 B ．23- C ．2 D ．022．将201)3(,)2(,)61(---这三个数按从小到大的顺序排列为（）A ．21)3()61()2(-<<-- B ．201)3()2()61(-<-<-C ．12)61()2()3(-<-<-D ．12)61()3()2(-<-<-三、解答题23．计算下列各式，并把结果化成只含有正整数指数幂的形式：（1）（a 2b －3）－2（a －2b 3）2 （2）（x －5y －2z －3）2（3）（5m －2n 3）－3（－mn －2）－224．用小数表示下列各数：（1）8.5×10－3 （2）2.25×10－8 （3）9.03×10－5测试8 分式方程的解法学习要求了解分式方程的概念和检验根的意义，会解可化为一元一次方程的分式方程．课堂学习检测一、填空题 1．分式方程1712112-=-++x x x 若要化为整式方程，在方程两边同乘的最简公分母是______． 2．方程111=+x 的解是______．3．方程625--=-x x x x 的解是______． 4．x ＝2是否为方程32121---=-x x x 的解？答：______．5．若分式方程127723=-+-xax x 的解是x ＝0，则a ＝______．二、选择题6．下列关于x 的方程中，不是分式方程的是（ ） A ．11=+x xB ．4132=+x xC ．52433=+x xD ．6516-=x x 7．下列关于x 的方程中，是分式方程的是（ ） A ．55433+=--x x B ．abb x b a a x +=- C ．11)1(2=--x xD ．nx m n n x =- 8．将分式方程yyy y 2434216252--=+-+化为整式方程时，方程两边应同乘（ ）． A ．（2y －6）（4－2y ） B ．2（y －3）C ．4（y －2）（y －3）D ．2（y －3）（y －2）9．方程4321+-=+-x x x x 的解是（ ） A ．x ＝－4 B ．21-=x C ．x ＝3 D ．x ＝110．方程34231--=+-x xx 的解是（ ） A ．0 B ．2C ．3D ．无解11．分式方程)2(6223-+=-x x x x 的解是（ ） A ．0B ．2C ．0或2D ．无解三、解分式方程12．0227=-+x x13．3625+=-x x 14．45411--=--x xx 15．1617222-=-++x xx xx综合、运用、诊断一、填空题16．当x ＝______时，分式x 3与x-62的值互为相反数． 17．下列每小题中的两个方程的解是否相同？ （1）2322-=-+x x x 与x ＋2＝3 （ ） （2）2422-=-+x x x 与x ＋2＝4 （ ） （3）113112-+=-++x x x 与x ＋2＝3 （ ） 18．当m ＝______时，方程312=-x m 的解为1．19．已知分式方程 424-+=-x ax x 有增根，则a 的值为______． 二、选择题 20．若分式方程58)1()(2-=-+x a a x 的解为,51-=x 则a 等于（ ）A ．65 B ．5C ．65-D ．－521．已知,11,11cb b a -=-=用a 表示c 的代数式为（ ） A ．b c -=11 B ．ca -=11 C ． aa c -=1 D ．a a c 1-=22．若关于x 的方程0111=----x xx m 有增根，则m 的值是（ ） A ．3B ．2C ．1D ．－123．将公式21111R R R +=（R ，R 1，R 2均不为零，且R ≠R 2）变形成求R 1的式子，正确的是（ ）A ．R R RR R -=221B ．R R RR R +=221 C ．2211R RR RR R +=D ．221R R RR R -=三、解分式方程 24．1211422+=+--x xx x x 25．2224412-++=--x x x x x26．32)3)(2(122-=-----x x x x x x x 27．xx x x x x ---+-=-+41341216852拓展、探究、思考28．若关于x 的分式方程211=--x m 的解为正数，求m 的取值范围． 29．（1）如下表，方程1、方程2、方程3……是按照一定规律排列的一列方程．猜想方程1的解，并将它们的解填在表中的空白处．（2）若方程)(11b a bx x a >=--的解是x 1＝6，x 2＝10，猜想a 、b 的值，该方程是不是（1）中所给出的一列方程中的一个？如果是，是第几个？（3）请写出这列方程中的第n 个方程和它的解．测试9 列分式方程解应用题学习要求会列出分式方程解简单的应用问题．课堂学习检测一、选择题1．某班学生军训打靶，有m 人各中靶a 环，n 人各中靶b 环，那么所有中靶学生的平均环数是（ ） A ．nm ba ++ B ．nm bnam ++ C ．)(21nb m a +D ．)(21bn am +2．某农场挖一条480米的渠道，开工后，每天比原计划多挖20米，结果提前4天完成任务，若设原计划每天挖x 米，那么下列方程正确的是（ ）A ．420480480=+-x xB ．204480480=+-x xC ．448020480=--x x D ．204804480=--xx 二、列方程解应用题3．一辆汽车先以一定速度行驶120千米，后因临时有任务，每小时加5千米，又行驶135千米，结果行驶这两段路程所用时间相等，求汽车先后行驶的速度．4．一个车间加工720个零件，预计每天做48个，就能如期完成，现在要提前5天完成，每天应该做多少个？5．甲、乙两同学学习电脑打字，甲打一篇3000字的文章与乙打一篇2400字的文章所用的时间相同，已知甲每分钟比乙多打12个字，问甲、乙两人每分钟各打字多少个？6．某煤矿现在平均每天比原计划多采330吨煤，已知现在采33000吨煤所需的时间和原计划采23100吨煤的时间相同．问现在平均每天采煤多少吨？综合、运用、诊断一、填空题7．仓库贮存水果a 吨，原计划每天供应市场m 吨，若每天多供应2吨，则要少供应______天．8．某人上山，下山的路程都是s ，上山速度v 1，下山速度v 2，则这个人上山和下山的平均速度是______．9．若一个分数的分子、分母同时加1，得;21若分子、分母同时减2，则得,31这个分数是______． 二、列方程解应用题10．某市决定修建一条从市中心到飞机场的轻轨铁路，为了使工程能提前3个月完成，需要将原定的工作效率提高12％，问原计划完成这项工程用多少月？11．某一工程招标时，接到甲、乙两工程队的投标书，每施工一天，需付甲工程队工程款1.5万元，乙工程队工程款1.1万元．目前有三种施工方案：方案一：甲队单独完成此项工程刚好如期完成；方案二：乙队单独完成此项工程比规定日期多5天；方案三：若甲、乙两队合作4天，剩下的工程由乙队单独做也正好如期完成．哪一种方案既能如期完工又最节省工程款？第十九章四边形测试1 平行四边形的性质(一)学习要求1．理解平行四边形的概念，掌握平行四边形的性质定理；2．能初步运用平行四边形的性质进行推理和计算，并体会如何利用所学的三角形的知识解决四边形的问题．课堂学习检测一、填空题1．两组对边分别______的四边形叫做平行四边形．它用符号“□”表示，平行四边形ABCD 记作__________。

八年级数学下册辅导资料（01）姓名：________ 得分：_____一、知识点梳理： 1、二次根式的定义.一般地，式子 a （a ≥0）叫做二次根式，a 叫做被开方数。

两个非负数：（1）a ≥0 ；（2）a ≥02、二次根式的性质：（1）.()0≥a a 是一个________ 数 ； （2）()=2a __________（a ≥0）（3）()()()⎪⎩⎪⎨⎧〈=〉==0_______0_______0_______2a a a a a3、二次根式的乘除：积的算术平方根的性质：)0,0(≥≥⋅=b a b a ab ，二次根式乘法法则：__________=⋅b a （a ≥0,b ≥0） 商的算术平方根的性质：ba b a =).0,0(>≥b a 二次根式除法法则：)0,0(>≥=b a bab a1．被开方数不含分母； 4、最简二次根式 2．分母中不含根号；3. 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 分母有理化：是指把分母中的根号化去，达到化去分母中的根号的目的． 二、典型例题：例1：当x 是怎样实数时，下列各式在实数范围内有意义？ ⑴ 2-x ⑵xx -+2)1(0⑶13-+-x x ⑷12+x （5）12-+x x小结：代数式有意义应考虑以下三个方面：（1）二次根式的被开方数为非负数。

（2）分式的分母不为0.（3）零指数幂、负整数指数幂的底数不能为0 例2：化简：（1）|21|)22(2-+- （2）|3254|)3253(2-+-例3： (1)已知y=x -3+62-x +5，求xy的值． (2) 已知01442=-+++-y x y y ，求xy 的值．小结：（1）常见的非负数有：a a a ,,2（2）几个非负数之和等于 0，则这几个非负数都为0. 例4：化简：（1）32； （2）2ba 33； （3）48.0 （4）yxx2（5）2925x y例5：计算：（1） 351223⨯ （2） 21335÷ （3） ()0,02123〉〉⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷b a b a b a例6：化去下列各式分母中的二次根式： （1）323+ （2）813 （3）251+ （4）()0,03〉〉y x x y三、强化训练： 1、使式子x 的取值范围是（ ）A 、x ≤1；B 、x ≤1且2x ≠-；C 、2x ≠-；D 、x <1且2x ≠-． 2、已知0<x<1时，化简()21--x x 的结果是（ ）A 2X-1B 1-2XC -1D 1 3、已知直角三角形的一条直角边为9，斜边长为10，则别一条直角边长为（ ）A 、1；B 、C 、19；D ．4、n 的最小值是（ ）A 、4；B 、5；C 、6；D 、7． 5、下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A 、a 16 B 、b 3 C 、abD 、45 6、下列计算正确的是（ ） A()()69494-=-⨯-=-⨯- B 188142712=⨯=⨯C 624416416=+=+=+D 1212414414=⨯=⨯= 7、等式33-=-x x x x成立的条件是（ ）A x ≠3B x ≥0C x ≥0且x ≠3D x>3 8、已知053232=--+--y x y x 则y x 8-的值为 9、23231+-与的关系是 。

初中八年级数学培优竞赛辅导讲义（共213页，按住ctrl键点击目录直接跳转到对应章节）第1讲全等三角形的性质与判定 (2)第2讲角平分线的性质与判定 (12)第3讲轴对称及轴对称变换 (17)第4讲等腰三角形 (25)第5讲等边三角形 (37)第06讲实数 (43)第7讲变量与函数 (50)第8讲一次函数的图象与性质 (55)第9讲一次函数与方程、不等式 (64)第10讲一次函数的应用 (69)第11讲幂的运算 (81)第12讲整式的乘除 (87)第13讲因式分解及其应用 (94)第14讲分式的概念•性质与运算 (101)第15讲分式的化简求值与证明 (109)第16讲分式方程及其应用 (118)第17讲反比例函数的图象与性质 (126)第18讲反比例函数的应用 (139)第19讲勾股定理 (146)第20讲平行四边形 (158)第21讲菱形与矩形 (167)第22讲正方形 (175)第23讲梯形 (185)第24讲数据的分析 (194)B AC D EF 第1讲 全等三角形的性质与判定考点·方法·破译1．能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.全等三角形的形状和大小完全相同； 2．全等三角形性质：①全等三角形对应边相等，对应角相等；②全等三角形对应高、角平分线、中线相等；③全等三角形对应周长相等，面积相等；3．全等三角形判定方法有：SAS ,ASA ,AAS ,SSS ，对于两个直角三角形全等的判定方法，除上述方法外，还有HL 法；4．证明两个三角形全等的关键，就是证明两个三角形满足判定方法中的三个条件，具体分析步骤是先找出两个三角形中相等的边或角，再根据选定的判定方法，确定还需要证明哪些相等的边或角，再设法对它们进行证明；5．．证明两个三角形全等，根据条件，有时能直接进行证明，有时要证的两个三角形并不全等，这时需要添加辅助线构造全等三角形，构造全等三角形常用的方法有：平移、翻折、旋转、等倍延长线中线、截取等等.经典·考题·赏析【例１】如图，AB ∥EF ∥DC ,∠ABC ＝90°,AB ＝CD ，那么图中有全等三角形（ ） A ．5对 B ．4对 C ．3对 D ．2对【解法指导】从题设题设条件出发，首先找到比较明显的一对全等三角形，并由此推出结论作为下面有用的条件，从而推出第二对，第三对全等三角形.这种逐步推进的方法常用到.解：⑴∵AB ∥EF ∥DC ,∠ABC ＝90. ∴∠DCB ＝90. 在△ABC 和△DCB 中AB DC ABC DCB BC CB =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠ ∴△ABC ≌∴△DCB （SAS ） ∴∠A ＝∠D ⑵在△ABE 和△DCE 中A DAED DEC AB DC =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠∠∠ ∴△ABE ≌∴△DCE ∴BE ＝CE ⑶在Rt △EFB 和Rt △EFC 中BE CEEF EF=⎧⎨=⎩ ∴Rt △EFB ≌Rt △EFC （HL ）故选C . 【变式题组】 01．（天津）下列判断中错误的是（ ）A ．有两角和一边对应相等的两个三角形全等B ．有两边和一角对应相等的两个三角形全等C ．有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等A F C E DB D ．有一边对应相等的两个等边三角形全等 02．（丽水）已知命题：如图，点A 、D 、B 、E 在同一条直线上，且AD ＝BE ，∠A ＝∠FDE ，则△ABC ≌△DEF .判断这个命题是真命题还是假命题，如果是真命题，请给出证明；如果是假命题，请添加一个适当条件使它成为真命题，并加以证明.03．(上海)已知线段AC 与BD 相交于点O , 连接AB 、DC ，E 为OB 的中点，F 为OC 的中点，连接EF （如图所示）.⑴添加条件∠A ＝∠D ，∠OEF ＝∠OFE ，求证：AB ＝DC ； ⑵分别将“∠A ＝∠D ”记为①，“∠OEF ＝∠OFE ”记为②，“AB ＝DC ”记为③，添加①、③，以②为结论构成命题1；添加条件②、③，以①为结论构成命题2.命题1是______命题，命题2是_______命题（选择“真”或“假”填入空格）.【例２】已知AB ＝DC ，AE ＝DF ，CF ＝FB . 求证：AF ＝DE .【解法指导】想证AF ＝DE ，首先要找出AF 和DE 所在的三角形.AF 在△AFB 和△AEF 中，而DE 在△CDE 和△DEF 中，因而只需证明△ABF ≌△DCE 或△AEF ≌△DFE 即可.然后再根据已知条件找出证明它们全等的条件.证明：∵FB ＝CE ∴FB ＋EF ＝CE ＋EF ，即BE ＝CF 在△ABE 和△DCF 中, AB DCAE DF BE CF =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴△ABE ≌△DCF （SSS ） ∴∠B ＝∠C在△ABF 和△DCE 中, AB DC B C BF CE =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠ ∴△ABF ≌△DCE ∴AF ＝DE【变式题组】01．如图，AD 、BE 是锐角△ABC 的高，相交于点O ，若BO ＝AC ，BC ＝7，CD ＝2，则AO 的长为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5A B C D O FE A CEFBD02.如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，AE 是过A 点的一条直线，AE ⊥CE 于E ，BD⊥AE 于D ，DE ＝4cm ，CE ＝2cm ，则BD ＝__________. \ 03．（北京）已知：如图，在△ABC 中，∠ ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D ，点E 在AC 上，CE ＝BC ，过点E 作AC 的垂线，交CD 的延长线于点F . 求证：AB ＝FC .【例３】如图①，△ABC ≌△DEF ，将△ABC 和△DEF 的顶点B 和顶点E 重合，把△DEF 绕点B 顺时针方向旋转，这时AC 与DF 相交于点O .⑴当△DEF 旋转至如图②位置，点B （E ）、C 、D 在同一直线上时，∠AFD 与∠DCA 的数量关系是________________;⑵当△DEF 继续旋转至如图③位置时，⑴中的结论成立吗？请说明理由_____________.【解法指导】⑴∠AFD ＝∠DCA⑵∠AFD ＝∠DCA 理由如下：由△ABC ≌△DEF ，∴AB ＝DE ，BC ＝EF , ∠ABC ＝∠DEF , ∠BAC ＝∠EDF ∴∠ABC －∠FBC ＝∠DEF －∠CBF , ∴∠ABF ＝∠DEC在△ABF 和△DEC 中, AB DE ABF DEC BF EC =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠∴△ABF ≌△DEC ∠BAF ＝∠DEC ∴∠BAC －∠BAF ＝∠EDF －∠EDC , ∴∠FAC ＝∠CDF∵∠AOD ＝∠FAC ＋∠AFD ＝∠CDF ＋∠DCA∴∠AFD ＝∠DCAAFECB DAE第1题图A BCDEBCDO第2题图B （E ）OC F 图③DA【变式题组】01．（绍兴）如图，D、E分别为△ABC的AC、BC边的中点，将此三角形沿DE折叠，使点C 落在AB边上的点P处.若∠CDE＝48°，则∠APD等于（）A．42°B．48°C．52°D．58°02．如图，Rt△ABC沿直角边BC所在的直线向右平移得到△DEF，下列结论中错误的是（）A．△ABC≌△DEF B．∠DEF＝90°C．AC＝DF D．EC＝CF03．一张长方形纸片沿对角线剪开，得到两种三角形纸片，再将这两张三角形纸片摆成如下图形式，使点B、F、C、D在同一条直线上.⑴求证：AB⊥ED；⑵若PB＝BC，找出图中与此条件有关的一对全等三角形，并证明.【例４】（第21届江苏竞赛试题）已知，如图，BD、CE分别是△ABC的边A C和AB边上的高，点P在BD的延长线，BP＝AC，点Q在CE上，CQ＝AB.求证：⑴AP＝AQ；⑵AP⊥AQ【解法指导】证明线段或角相等，也就是证线段或角所在的两三角形全等.经观察，证AP＝AQ,也就是证△APD和△AQE，或△APB和△QAC全等,由已知条件BP＝AC，CQ＝AB，应该证△APB≌△QAC，已具备两组边对应相等，于是再证夹角∠1＝∠2即可. 证AP⊥AQ，即证∠PAQ＝90°，∠PAD＋∠QAC＝90°就可以.证明：⑴∵BD、CE分别是△ABC的两边上的高，∴∠BDA＝∠CEA＝90°,∴∠1＋∠BAD＝90°，∠2＋∠BAD＝90°，∴∠1＝∠2.在△APB和△QAC中, 2AB QCBP CA=⎧⎪=⎨⎪=⎩∠1∠∴△APB≌△QAC，∴AP＝AQE FBACDG第2题图21ABCPQEFD⑵∵△APB ≌△QAC ，∴∠P ＝∠CAQ , ∴∠P ＋∠PAD ＝90° ∵∠CAQ ＋∠PAD ＝90°，∴AP ⊥AQ 【变式题组】01．如图，已知AB ＝AE ，∠B ＝∠E ，BA ＝ED ，点F 是CD 的中点，求证：02．直距离MA 为am ，此时梯子的倾斜角为75°，如果梯子底端不动，顶端靠在对面的墙上，此时梯子顶端距地面的垂直距离NB 为bm ，梯子倾斜角为45°，这间房子的宽度是（ ）A ．2a bm + B ．2a bm - C ．bm D ．am03．如图，已知五边形ABCDE 中，∠ ABC ＝∠AED ＝90°，AB ＝CD ＝AE ＝BC ＋DE ＝2，则五边形ABCDE 的面积为__________演练巩固·反馈提高01．（海南）已知图中的两个三角形全等，则∠α度数是（ ）A ．72°B ．60°C ．58°D ．50°02．如图，△ACB ≌△A /C /B /，∠ BCB /＝30°，则∠ACA /的度数是（ ）A ．20°B ．30°C ．35°D ．40° 03．（牡丹江）尺规作图作∠AOB 的平分线方法如下：以O 为圆心，任意长为半径画弧交OA 、OB 于C 、D ，再分别以点C 、D 为圆心，以大于12CD 长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线OP ，由作法得△OCP ≌△ODP 的根据是（ ）AECBA 75° C45° BNM第2题图第3题图D第1题图a αcca50° b72° 58°A ．SASB ．ASAC ．AASD ．SSS 04．（江西）如图，已知AB ＝AD ，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC ≌△ADC 的是（ ）A . CB ＝CD B .∠BAC ＝∠DAC C . ∠BCA ＝∠DCAD .∠B ＝∠D ＝90°05．有两块不同大小的等腰直角三角板△ABC 和△BDE ，将它们的一个锐角顶点放在一起，将它们的一个锐角顶点放在一起，如图，当A 、B 、D 不在一条直线上时，下面的结论不正确的是（ ）A . △ABE ≌△CBDB . ∠ABE ＝∠CBDC . ∠ABC ＝∠EBD ＝45° D . AC ∥BE06．如图，△ABC 和共顶点A ，AB ＝AE ，∠1＝∠2，∠B ＝∠E . BC 交AD 于M ，DE 交AC 于N ，小华说：“一定有△ABC ≌△AED .”小明说：“△ABM ≌△AEN .”那么（ ） A . 小华、小明都对 B . 小华、小明都不对 C . 小华对、小明不对 D .小华不对、小明对07．如图，已知AC ＝EC , BC ＝CD , AB ＝ED ,如果∠BCA ＝119°，∠ACD ＝98°,那么∠ECA 的度数是___________.08．如图，△ABC ≌△ADE ，BC 延长线交DE 于F ，∠B ＝25°,∠ACB ＝105°，∠DAC ＝10°，则∠DFB 的度数为_______.09．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°, DE ⊥AB 于D , BC ＝BD . AC ＝3，那么AE ＋DE ＝______10．如图，BA ⊥AC , CD ∥AB . BC ＝DE ，且BC ⊥DE ，若AB ＝2, CD ＝6，则AE ＝_____. 11．如图, AB ＝CD , AB ∥CD . BC ＝12cm ，同时有P 、Q 两只蚂蚁从点C 出发，沿CB 方向爬行，P 的速度是0.1cm /s , Q 的速度是0.2cm /s . 求爬行时间t 为多少时，△APB ≌△QDC .DA C .Q P.BA E FB DC 12．如图, △ABC 中，∠BCA ＝90°，AC ＝BC ，AE 是BC 边上的中线，过C 作CF ⊥AE ，垂足为F ，过B 作BD ⊥BC 交CF 的延长线于D . ⑴求证：AE ＝CD ；⑵若AC ＝12cm , 求BD 的长.13．（吉林）如图，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于点D ，AD 等于AE ，AB 平分∠DAE 交DE 于点F , 请你写出图中三对全等三角形，并选取其中一对加以证明.14．如图，将等腰直角三角板ABC的直角顶点C 放在直线l 上，从另两个顶点A 、B 分别作l 的垂线，垂足分别为D 、E .⑴找出图中的全等三角形，并加以证明； ⑵若DE ＝a ，求梯形DABE 的面积.（温馨提示：补形法）15．如图，AC ⊥BC , AD ⊥BD , AD ＝BC ，CE ⊥AB ，DF ⊥AB ，垂足分别是E 、F .求证：CE ＝DF .16．我们知道，两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形不一定全等，那么在什么情况下，它们会全等？ ⑴阅读与证明：对于这两个三角形均为直角三角形，显然它们全等；对于这两个三角形均为钝角三角形，可证明它们全等（证明略）； 对于这两个三角形均为锐角三角形，它们也全等，可证明如下；已知△ABC 、△A 1B 1C 1均为锐角三角形，AB ＝A 1B 1，BC ＝B 1C 1，∠C ＝∠C 1.求证：△ABC ≌△A 1B 1C 1.（请你将下列证明过程补充完整）⑵归纳与叙述：由⑴可得一个正确结论，请你写出这个结论.ABCDA 1B 1C 1D 1D B A C EF A E B F D CAEF C DB 培优升级·奥赛检测01．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，E 、F 分别是AB 、AC 上的点，且AE ＝AF ，BF 、CE 相交于点O ，连接AO 并延长交BC 于点D ，则图中全等三角形有（ ） A ．4对 B ．5对 C ．6对 D ．7对02．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，OC ＝OD ，下列结论中：①∠A ＝∠B ②DE ＝CE ，③连接DE , 则OE 平分∠AOB ，正确的是（ ） A ．①② B ．②③ C ．①③ D ．①②③03．如图，A 在DE 上，F 在AB 上，且AC ＝CE , ∠1=∠2=∠3, 则DE 的长等于（）A ．DCB . BC C . ABD .AE ＋AC04．下面有四个命题，其中真命题是（ ）A ．两个三角形有两边及一角对应相等，这两个三角形全等B ．两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等C . 有一角和一边对应相等的两个直角三角形全等D . 两边和第三边上的中线对应相等的两个三角形全等05．在△ABC 中，高AD 和BE 所在直线相交于H 点,且BH ＝AC ，则∠ABC ＝_______.06．如图，EB 交AC 于点M , 交FC 于点D , AB 交FC 于点N ，∠E ＝∠F ＝90°，∠B ＝∠C , AE＝AF . 给出下列结论：①∠1＝∠2；②BE ＝CF ; ③△ACN ≌△ABM ; ④CD ＝DB ，其中正确的结论有___________.（填序号）07．如图，AD 为在△ABC 的高，E 为AC 上一点，BE 交AD 于点F ,且有BF ＝AC ，FD ＝CD .⑴求证：BE ⊥AC ；⑵若把条件“BF ＝AC ”和结论“BE ⊥AC ”互换，这个命题成立吗？证明你的判定.08．如图，D 为在△ABC 的边BC 上一点，且CD ＝AB ，∠BDA ＝∠BAD ，AE 是△ABD 的中线.求证：AC ＝2AE .09．如图，在凸四边形ABCD 中，E 为△ACD 内一点，满足AC ＝AD ，AB ＝AE , ∠BAE ＋∠BCEABE D CF第6题图2 1AB CE N M3 21ADEBC FADECOA E O BFCD 第1题图B第2题图第3题图AB C DEAEBDC＝90°, ∠BAC ＝∠EAD .求证：∠CED ＝90°.10．（沈阳）将两个全等的直角三角形ABC 和DBE 按图①方式摆放，其中∠ACB ＝∠DEB ＝90°，∠A ＝∠D ＝30°，点E 落在AB 上，DE 所在直线交AC 所在直线于点F .⑴求证：AF ＋EF ＝DE ;⑵若将图①中△DBE 绕点B 顺时针方向旋转角α，且0°＜α＜60°，其他条件不变，请在图②中画出变换后的图形，并直接写出（1）中结论是否仍然成立；⑶若将图①中△DBE 绕点B 按顺时针方向旋转角β，且60°＜β＜180°,其他条件不变，如图③你认为（1）中结论还成立吗？若成立，写出证明过程；若不成立，请写出此时AF 、EF 与DE 之间的关系，并说明理由。

第十六章 分式测试1 从分数到分式学习要求掌握分式的概念，能求出分式有意义，分式值为0、为1的条件．课堂学习检测一、填空题1．用A 、B 表示两个整式，A ÷B 就可以表示成______的形式，如果除式B 中______，该分式的分式．2．把下列各式写成分式的形式： （ （1）5÷xy 为______. （2）（3x ＋2y ）÷（x －3y ）为______.3．甲每小时做x 个零件，做90个零件所用的时间，可用式子表示成______小时． 4．n 公顷麦田共收小麦m 吨，平均每公顷的产量可用式子表示成______吨．5．轮船在静水中每小时走a 千米，水流速度是b 千米／时，轮船在逆流中航行s 千米所需要的时间可用式子表示成______小时． 6．当x ＝______时，分式13-x x没有意义． 7．当x ＝______时，分式112--x x 的值为0．8．分式yx，当字母x 、y 满足______时，值为1；当字母x ，y 满足______时值为－1． 二、选择题 —9．使得分式1+a a有意义的a 的取值范围是（ ）A ．a ≠0B ．a ≠1C ．a ≠－1D ．a ＋1＞010．下列判断错误．．的是（ ） A ．当32=/x 时，分式231-+x x 有意义 B ．当a ≠b 时，分式22b a ab-有意义C ．当21-=x 时，分式x x 412+值为0D ．当x ≠y 时，分式x y y x --22有意义 11．使分式5+x x值为0的x 值是（ ） .A ．0B ．5C ．－5D ．x ≠－512．当x ＜0时，xx ||的值为（ ）A ．1B ．－1C ．±1D ．不确定13．x 为任何实数时，下列分式中一定有意义的是（ ) A ．x x 12+ B ．112--x xC ．11+-x x D ．112+-x x 三、解答题14．下列各式中，哪些是整式哪些是分式⋅----++++-π1;)1(;2;3;3;13;222x x x x y x y x y x x y x y x 、15．x 取什么值时，2)3)(2(---x x x 的值为0综合、运用、诊断一、填空题16．当x =______时，分式632-x x无意义． 17.使分式2)3(2+x x有意义的条件为______． ~18.分式2)1(522+++x x 有意义的条件为______．19．当______时，分式44||--x x 的值为零． 20．若分式x--76的值为正数，则x 满足______． 二、选择题21．若x 、y 互为倒数，则用x 表示y 的正确结果是（ ）A ．x ＝－yB ．y x 1=C ．x y 1=D ．xy 1±=22．若分式ba ba 235+-有意义，则a 、b 满足的关系是（ ）A ．3a ≠2bB ．b a 51=/C ．a b 32-=/ D ．b a 32-=/!23．式子222--+x x x 的值为0，那么x 的值是（ ）A ．2B ．－2C ．±2D ．不存在24．若分式6922---a a a 的值为0，则a 的值为（ ）A ．3B ．－3C ．±3D ．a ≠－225．若分式1212+-b b的值是负数，则b 满足（ ）A ．b ＜0B ．b ≥1C ．b ＜1D ．b ＞1三、解答题 26．如果分式323||2-+-y y y 的值为0，求y 的值．)27．当x 为何值时，分式121+x 的值为正数28．当x 为何整数时，分式124+x 的值为正整数 ^拓展、探究、思考29．已知分式,by ay +-当y ＝－3时无意义，当y ＝2时分式的值为0，求当y ＝－7时分式的值．—测试2 分式的基本性质学习要求掌握分式的基本性质，并能利用分式的基本性质将分式约分．课堂学习检测一、填空题1．,MB M A B A ⨯⨯=其中A 是整式，B 是整式，且B ≠0，M 是______． 2．把分式xy中的x 和y 都扩大3倍，则分式的值______．3．⋅-=--)(121xx x4．.y x xy x 22353)(= |5．22)(1y x y x -=+． 6．⋅-=--24)(21y y x二、选择题7．把分式bab a 392+-约分得（ ）A ．33++b a B ．33+-b a C ．ba 3- D ．ba 3+ 8．如果把分式yx yx ++2中的x 和y 都扩大10倍，那么分式的值（ ） A ．扩大10倍 B ．缩小10倍 C ．是原来的32D ．不变9．下列各式中，正确的是（ ） (A ．b am b m a =++ B ．0=++b a baC ．1111--=-+c b ac abD ．y x y x y x +=--122 三、解答题 10．约分：（1）ac ab 1510-（2）yx yx 322.36.1-<（3）112--m m（4）yx x xy y -+-2442211．不改变分式的值，使下列分式的分子、分母都不含负号．（1）;53a - （2）；y x 532- （3）;52a b-- （4）⋅---xy 1511{综合、运用、诊断一、填空题12．化简分式：（1）=--3)(x y yx _____；（2）=+--22699x x x _____． 13．填空：)()1(=++-nm n m =-----ba n m m n 212)2(;)(⋅-ba221 14．填入适当的代数式，使等式成立．（1）⋅+=--+ba b a b ab a )(22222（2）.a b ba b a-=-+)(11 二、选择题 \15．把分式yx x-2中的x 、 y 都扩大m 倍（m ≠0），则分式的值（ ）A ．扩大m 倍B ．缩小m 倍C ．不变D ．不能确定16．下面四个等式：;22;22;22yx y x y x y x y x y x +-=+---=----=+-③②①⋅-+=--22yx y x ④其中正确的有（ ） A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个17．化简22222b ab a b a ++-的正确结果是（ ）A ．ba ba -+ B ．ba ba +- C ．ab21 D ．ab21- 18．化简分式2222639ab b a b a -后得（ ）：A ．222223ab b a b a -B ．263aba ab- C ．ba ab23- D ．bb a ab2332-三、解答题 19．约分：（1）322)(27)(12b a a b a --（2）62322--++x x x x（3）22164mm m --（4）2442-+-x x x[20．不改变分式的值，使分子、分母中次数最高的项的系数都化为正数．（1）yx x --22（2）aa b --2&（3）x x x x +---2211（4）2213m m m ---拓展、探究、思考21．（1）阅读下面解题过程：已知,5212=+x x 求142+x x 的值． 解：),0(5212=/=+x x x,5211=+∴xx 即⋅=+251x x 》⋅=-=-+=+=+∴1742)25(12)1(1111222242x x x x x x（2）请借鉴（1）中的方法解答下面的题目：已知,2132=+-x x x求1242++x x x 的值．测试3 分式的乘法、除法学习要求。

第17讲 反比例函数的图象与性质考点·方法·破译1．反比例函数的定义：形如k y x=（或1y kx -=，k ≠0）,y 叫做x 的反比例函数. 2．反比例函数的图象特征：反比例函数的图象是双曲线，关于y ＝x 或y ＝－x 轴对称，关于原点O 成中心对称，当k ＞0时，图象的两支分别在第一、三象限，当k ＜0时，图象的两支分别在第二、四象限，3．反比例函数的性质：当k ＞0时，在每个象限内，y 随x 增大而减小；当k ＜0时，在每个象限内，y 随x 增大而增大.经典·考题·赏析【例１】（西宁）已知函数ky x=-中，x ＞0时，y 随x 增大而增大，则y ＝kx －k 的大致图象为（ ）【解法指导】因为ky x=-中，x ＞0时y 随x 增大而增大，则－k ＜0，k ＞0，而一 次函数y ＝kx －k 中，k ＞0，－k ＜0，因而直线向右上方倾斜,与y 轴交点在负半轴上，所以选A ．【变式题组】 01．已知反比例函数ay x=（a ≠0）的图象，在每一象限内，y 的值随着x 值增大而减小，则一次函数y ＝－ax ＋a 的图象不经过（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 02．（龙岩）函数y ＝x ＋m 与my x=（m ≠0）在同一象限内的图象可以是（ABCDABCD03．（凉山州）若ab ＜0,则正比例函数y ＝ax 与反比例函数by x=在同一坐标第中的大致图象可能是（ ）04．函数y 1＝x (x ≥0),24y x=(x ＞0)的图象如图所示，则结论：①两函数图象的交点为（2，2）；②当x ＝1时，BC ＝3；③当0＜x ＜2时，y 2＞y 1;④当x 逐渐增大时，y 1随着x 的增大而增大，y 2随着x 的增大而减小.其中正确结论的序号是 . 【例2】如图，A 、B 分别是反比例函数10y x =，6y x=图象上的点，过点A 、B 作x 轴的垂线，垂足分别为C 、D ，连接OB 、OA ，OA 交BD 于E 点，△BOE 的面积为S 1，四边形ACDE 的面积为S 2，则S 2－S 1＝ .【解法指导】在反比例函数ky x=中，k 的几何意义为：OABC S k =长方形，或2ABO k S ∆=. 题中122121106()()22222ODE OBE k k S S S S S S ∆∆-=+-+=-=-= 【变式题组】01．（宁波）如图，正方形ABOC 的边长为2，反比例函数ky x=过点A ，则k 的值是（ ） A ．2 B ．－2 C ．4 D ．－402．（兰州）如图，在直角坐标系中，点A 是x 轴正半轴上的一个定点，点B 是双曲线3y x=（x ＞0）上的一个动点，当点B 的横坐标逐渐增大时，△OAB 的面积将会（ ） A ．逐渐增大 B ．不变 C ．逐渐减小 D ．先增大后减小ABCD03．（牡丹江）如图，点A、B是双曲线3yx=上的点，分经过A、B两点向x轴、y轴作垂线，若S阴影＝1，则S1＋S2＝.04．（河池）如图，A、B是函数2yx=的图象上关于原点对称的任意两点，BC∥x轴，AC∥y轴，△ABC的面积记为S，则（）A．S＝2 B．S＝4 C．2＜S＜4 D．S＞405．（泰安）如图，双曲线kyx=（k＞0）经过矩形OABC的边BC的中点E，交AB于点D，若梯形ODBC的面积为3，则双曲线的解析式为（）A．1yx=B．2yx=C．3yx=D．6yx=【例3】（成都）如图，一次函数y＝kx＋b的图象与反比例函数myx=的图象交于点A（－2，1），B（1，n）两点⑴试确定上述反比例函数和一次函数的表达式；⑵求△AOB的面积.【解法指导】利用割补法求图形面积.解：⑴∵点A（－2，1）在反比例函数myx=的图象上，∴m＝(－2)×1＝－2，∴反比例函数的表达式为2yx=-.∵点B（1，n）也在反比例函数2yx=-图象上，∴n＝－2，即B（1，－2）把点A（－2，1）点B（1，－2）代入一次函数y＝kx＋b中，得212k bk b-+=⎧⎨+=-⎩解得11kb=-⎧⎨=-⎩∴一次函数的表达式为y＝－x－1．⑵在y＝－x－1中，当y＝0时，得x＝－1，∴直线y＝－x－1与x轴的交点为C（－1，0），∵线段OC将△AOB分成△AOC和△BOC，∴1113111212222 AOB AOC BOCS S S∆∆∆=+=⨯⨯+⨯⨯=+=.第1题图第2题图第3题图第4题图第5题图【变式题组】01．（徐州）如图，已知A (n ,－2),B (1,4)是一次函数y ＝kx ＋b 的图象和反比例函数my x=的图象的两个交点，直线AB 与y 轴交于点C ．⑴求反比例函数和一次函数的关系式； ⑵求△AOC 的面积； ⑶求不等式kx ＋b mx-＜0的解集（直接写出答案）02．已知反比例函数112k y x=的图象与一次函数22y k x b =+的图象交于A 、B 点，A (1，n )，B (12-，－2). ⑴求两函数的解析式；⑵在x 轴上是否存在点P ，使△AOP 为等腰三角形？若存在，请你直接写出P 点的坐标；若不存在，说明理由. ⑶求AOB △S ；⑷若y 1＞y 2，求x 的取值范围.03．如图，A 是反比例函数1ky x=（x ＞0）上一点，AB ⊥x 轴，C 是OB 的中点，一次函数y 2＝ax ＋b 的图象经过点A 、C 两点，并交y 轴为D （0，－2），AOD S ∆＝4. ⑴求两函数的解析式；⑵在y 轴右侧，若y 1＞y 2时，求x 的取值范围.04．如图，Rt △ABO 的顶点A 是双曲线ky x=与直线y ＝－x －(k ＋1)在第二象限的交点，AB ⊥x 轴于B ，32ABO S ∆=. ⑴求这两个函数的解析式； ⑵求A 、C 两点的坐标；⑶若P 是y 轴上一动点，5PAC S ∆=，求点P 的坐标.【例4】（咸宁）两个反比例函数k y x =和1y x=在第一象限内的图象如图所示，点P 在k y x =的图象上，PC ⊥x 轴于点C ，交1y x =的图象于点A ，PD ⊥y 轴于点D ，交1y x=的图象于点B ，当点P 在ky x=的图象上运动时，以下结论：①△ODB 与△OCA 的面积相等；②四边形P AOB 的面积不会发生变化；③P A 与PB 始终相等；④当点A 是PC 的中点时，点B 一定是PD 的中点.其中一定正确的是 （把你认为正确的序号都填上）【解法指导】∵A 、B 两点在1y x=的图象上，根 据反比例函数ky x=中k 的几何意义可知12ODB OAC S S ∆∆==，因而①正确；∵1ODB OAC PDOC PAOB S S S S k ∆∆=--=-矩形四边形，当k不变时，若P 变动，而四边形P AOB 的面积不变．因而是②正确；若设P （t ,k t ），则A （t ,1t），B （,t k k t ），∴P A ＝11k k t t t --=，PB ＝t t k -.若P A ＝PB ，则有1(1)k t k t k--=.∵k ≠1,∴2t k =,∵t ＞0,t =,∴当P时，有P A ＝PB ，并不是P A 与PB 始终相等，因而③不正确；当A为PC 的中点时，OAC OPA OBD S S S ∆∆∆==，OPC ODP S S ∆∆=，∴ODB OPB S S ∆∆=，∴DB ＝PB ，因而④正确；故填①，②．④.1x =【变式题组】01．（武汉）如图，已知双曲线ky x=（k ＞0）经过矩形OABC 的边AB 的中点F ，交BC 于点E ，且四边形OEBF 的面积为2，则k ＝ . 02．如图，矩形ABCD 对角线BD 中点E 与A 都在反比例函数ky x=的图象上，且3ABCD S =矩形，则k ＝ .03．如图，P 为x 轴正半轴上一点，过点P 作x 轴的垂线，交函数1y x =（x ＞0）的图象于点A ，交函数4y x=（x ＞0）的图象于点B ，过点B 作x 轴的平行线，交1y x=（x ＞0）于点C ，连接AC ，当点P 的坐标为（t ，0）时，△ABC 的面积是否随t 的变化而变化？ 04．函数2y x =（x ＞0）与8y x=（x ＞0）的图象如图所示，直线x ＝ t （t ＞0）分别与两个函数图象交于A 、C 两点，经过A 、C 分别作x 轴的平行线，交两个函数图象于B 、D两点，探索线段AB 与CD 的比值是否与t 有关，请说明理由.05．如图，梯形AOBC 的顶点A 、C 有反比例函数第1题图第3题图第4题图的图象上，OA ∥BC ，上底OA 在直线y ＝x 上，下底BC 交x 轴于E （2，0），求四边形AOEC 的面积.演练巩固·反馈提高01．（恩施自治州）如图，一次函数y 1＝x －1与反比例函数22y x=的图象点A （2，1）、B （－1，－2），则使y 1＞y 2的x 的取值范围是（ ） A ．x ＞2 B ． x ＞2或－1＜x ＜0 C ． －1＜x ＜2 D ． x ＞2或x ＜－102．（常州）若反比例函数1k y x-=的图象在其每个象限内，y 随x 的增大而减小，则k 的值可以是（ ）A ．－1B ．3C ．0D ．－3 03．（荆州）如图，直线l 是经过点（1，0）且与y 轴平行的直线，Rt △ABC 中直角边AC ＝4，BC ＝3，将BC 边在直线l 上滑动，使A 、B 在函数ky x=的图象上，那么k 的值是（ ） A ．3 B ．6 C ．12 D ．15404．（丽水）点P 在反比例函数1y x=（x ＞0）的图象上，且横坐标为2，若将点P 先向右平移两个单位，再向上平移一个单位后所得点为P /，则在第一象限内，经过点P /的反比例函数图象的解析式是（ ） A ． 5y x =-（x ＞0） B ． 5y x =（x ＞0） C ． 6y x =-（x ＞0） D ． 6y x=（x ＞0）05．（铁岭）如图所示，反比例函数y 1与正比例函数y 2的图象的一个交点坐标是A （2，1），若y＞y＞0，则xA B C D06．（泰安）函数1y x x=+图象如图所示，下列对该函数性质的论断不可能正确的是（ ） A ．该函数的图象是中心对称图形 B ．当x ＞0时，该函数在x ＝1时取得上值2C ．在每个象限内，y 随x 的增大而减小D ． y 的值不可能为1 07．（芜湖）在平面直角坐标系xOy 中，直线y ＝x 向上平移一个单位长度得到直线l , 直线l与反比例函数ky x=的图象的一个交点为A （a ,2）则k 的值等于 . 08．（广安）如图，在反比例函数4y x=-（x ＞0）的图象上有三点P 1、P 2、P 3，它们的横坐标依次为1，2，3，分别过这3个点作x 轴、y 轴的垂线，设斩中阴影部分的面积依次为S 1、S 2、S 3，则S 1＋S 2＋S 3＝ .09．（十堰）已知函数y ＝－x ＋1的图象与x 轴、y 轴分别交于点C 、B ，与双曲线ky x=交于点A 、D ，若AB ＋CD ＝BC ，则k 的值为 . 10．（遵义）如图，在平面直角坐标系中，函数ky x=（x ＞0，常数k ＞0）的图象经过点A （1，2），B （m ,n ）,(m ＞1),过点B 作y 轴的垂线，垂足为C ，若△ABC 的面积为2，则点B 的坐标为 .11．如图，点P 的坐标为（2，32），过点P 作x 轴的平行线交y 轴于点A ，交双曲线k y x=（x ＞0）于点N ，作PM ⊥AN ，交双曲线于ky x=（x ＞0）于点M ．连接AM ，已知PN＝4，⑴求k 的值；⑵求△APM 的面积.第5题图第3题图第6题图第8题图12．如图，反比例函数kyx=的图象与直线y＝x＋m在第一象限交于点P（6，2），A、B为直线上的两点，点A的横坐标为2，点B的横坐标3，D、C为反比例函数图象上的两点，且AD、BC平行于y轴，⑴直接写出k、m的值；⑵求梯形ABCD的面积.13．如图，已知双曲线kyx=（x＞0）经过Rt△OAB斜边的中点D，与直角边AB相交于点C，若△OBC的面积为3，求k的值.14．如图，Rt△ABC的直角边BC在x轴的正半轴上，斜边AC边上的中线BD反向延长交y轴负半轴于E，双曲线kyx=（x＞0）的图象经过点A，若BECS∆＝8，求k的值.15．如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BC所在直线的解析式为42033y x=-+，AC＝3，若AB的D在双曲线ayx=（x＞0）上，将三角形向左平移，当点B落在双曲线上时，求三角形平移的距离.16．（荆州）如图，D 为反比例函数ky x=（k ＜0）图象上一点，过D 作DC ⊥y 轴于C ，DE ⊥x 轴于E ，一次函数y x m =-+与2y x =+的图象都经过点C ，与x 轴分别交于A 、B 两点，若梯形DCAE 有面积为4，求k 的值.17．（四川广安）如图，一次函数y kx b =+的图象与反比例函数my x=的图象相交于点A （－1，2）、点B （－4，n ）⑴求一次函数和反比例函数的解析式； ⑵求△AOB 的面积.18．（河北省）如图，在直角坐标系中，矩形OABC 的顶点O 与坐标原点重合，顶点A 、C分别在坐标，顶点B 的坐标为（4，2），过点D （0，3）和E （6，0）的直线分别与AB 、BC 交于点M 、N ，⑴求直线DE 的解析式和点M 的坐标；⑵若反比例函数my x=（x ＞0）的图象经过点M ，求该反比例例函数的解析式，并通过计算判断点N 是否在该函数的图象上？ ⑶若反比例函数my x=（x ＞0）的图象与△MNB 有公共点，请直接．．写出m 的取值范围.培优升级·奥赛检测01．如图，直线l 与反比例函数m y x =与ny x=（m ＞n ＞0）的图象分别交于点A 、B ，且直线l ∥x 轴，连接P A 、PB ，小芳与小丽同学针对△P AB 面积的讨论，有以下两种意见：小芳：点P 在x 轴上移动时，△P AB 的面积总保持不变； 小丽：当直线l 上下平移时，△P AB 的面积总保持不变； 那么，你认为她们的说法中（ ）A ．只有小芳正确B ．只有小丽正确C ．两人都正确D ．两人都不正确02．（南昌市八年级竞赛题）在函数21a y x+=-（a 为常数）的图象上有三点：（－1，y 1）,(21,4y -),( 31,2y )则函数值y 1、y 2、y 3的大小关系是（ ） A ． y 1＜y 2＜y 3 B ． y 3＜y 2＜y 1 C ． y 3＜y 1＜y 2 D ． y 2＜y 1＜y 303．（济南）如图，等腰直角三角形ABC 位于第一象限，AB ＝AC ＝2，直角顶点A 在直线y＝x 上，其中A 点的横坐标为1，且两条直角边AB 、AC 分别平行于x 轴、y 轴，若双曲线ky x=（k ≠0）与△ABC 有交点，则k 的取值范围是（ ） A ．1＜k ＜2 B ．1≤k ≤3 C ． 1≤k ≤4 D ． 1≤k＜404．（第十八届“希望杯”初二）直线l 交反比例函数y =的图象于点A ，交x 轴于点B ，点A 、B 与坐标原点O 构等边三角形，则直线l 的函数解析式为 05．（成都）如图，正方形OABC 的面积是4，点B 在反比例函数ky x=（k ＞0，x ＜0）的图象上，若点R 是该反比例函数图象上异于点B 的任意一点，过点R 分别作x 轴、y 轴的垂线，垂足为M 、N ，从矩形OMRN 的面积中减去其与正方形OABC 重合部分的面积，记剩余部分的面积为S ，则当S ＝m （m 为常数，且0＜m ＜4）时，点R 的坐标是 .（用含m 的代数式表示）06．如图，已知直线12y x=与双曲线kyx=（k＞0）交于A点，且点A的横坐标为4，若双曲线kyx=（k＞0）上一点B的纵坐标为8，求△AOB的面积.07．（北京）如图，A、B两点在函数myx=（x＞0）的图象上，⑴求m的值及直线AB的解析式；⑵如果一个点的横、纵坐标均为整数，那么我们称这个点是格点，请直接写出图中阴影部分（不包括边界）所含格点的个数.08．（温州）如图，在平面直角坐标系中，直线AB与y轴和x轴分别交于点A、点B，与反比例函数myx=在第一象限的图象交于点C（1，6）点D（3，n）.过点C作CE⊥y轴于E，过点D作DF⊥x轴于点F，⑴求m、n的值；⑵求直线AB的函数解析式；⑶求证：△AEC≌△DFB．09．如图，已知正方形OABC 的面积为9，点O 为坐标原点，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，点B 在函数k y x =（k ＞0，x ＞0）的图象上，点P （m ，n ）是函数ky x=（k ＞0，x ＞0）的图象上的任意一点，过点P 作x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为E 、F ，并设在矩形OEPF 中和正方形OABC 不重合的部分面积为S .⑴求点B 的坐标和k 的值； ⑵当92S =时，求点P 的坐标； ⑶写出S 关于m 的函数关系式.10．如图，已知A （－6，n ），B （3，－4）是一次函数y ＝kx ＋b 的图象和反比例函数m y x= 图象的两个交点，直线AB 与x 轴和y 轴的交点分别为C 、D ．⑴求反比例函数和一次函数的解析式； ⑵求不等式mkx b x+-＜0的解集（请直接写出答案）； ⑶求证：AC ＝BD ；⑷若y 轴上有一动点P ，使得△P AB 的面积为18，求P 点的坐标.第18讲 反比例函数的应用考点·方法·破译反比例函数在实际问题中的应用，是根据实际问题中的变量之间的关系，建立反比例函数模型，然后利用反比例函数的有关概念和有关性质去解决实际问题.经典·考题·赏析【例1】在压力不变的情况下，某物体承受的压强P （P a ）是它的手力面积S （m 2）的的反比例函数，其图象如图所示.⑴求P 与S 之间的函数关系式；⑵求当S ＝0.5 m 2时物体承受的压强是多少？ 【解法指导】解：⑴∵P 与S 之间是反比例函数关系∴P ＝sk（s ＞0） ∵函数图象经过（0.1， 1000） ∴ 1000＝1.0k， k ＝100 ∴P ＝s100（s ＞0） ⑵ 当S ＝0.5时，P ＝5.0100＝200.【变式题组】 01．（青岛）某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压P (kPa )是气体体积V （m 3）的反比例函数，其图象如图所示，当气球内的气压大于120 kPa 时，气球将爆炸.为了安全起见，气球的体积应 （ ）A ．不小于45m 3 B ．小于45m 3 C ．不小于54m 3 D ．小于54m 302． (芜湖)在对物体做功一定的情况下，力F （牛）与此物体在力的方向上移动的距离S S (米)成反比例函数关系，其图象如图所示，P （5，1）图象上，则当达到10时，物体在力的方向上移动的距离是 米.【例2】某汽车集装箱公司加工一种容积为36立方米的集装箱. ⑴集装箱的地面积s (平方米)与其高a (米)有怎样的函数关系？⑵公司计划把把集装箱地面积做成12平方米，那么集装箱的高度要加工成多少米？ ⑶具体在生产时，由于运输公司受道路运输条件的限制，要求汽车集装箱公司生产的集装箱宽为2米，高度控制在2—2．5米以内（包含2米、2．5米），那么集装箱的长是多少米才能符合要求？【解法指导】解：⑴∵sa ＝v ∴s ＝a36(a ＞0) ∴s 与a 是反比例函数关系.⑵当s ＝12时，∵s ＝a 36 ∴12＝a36，a ＝3 ⑶设长为x 米，则s ＝2x∴2x ＝a36x ＝a 18 又∵2≤x ≤2．5根据反比例函数的增减性可知5.218≤x ≤218 ∴7.2≤x ≤9【变式题组】01．（淮安）某项工程需要沙石料2×106立方米，阳光公司承担了该工程运送石料的任务.⑴在这项任务中平均每天的工作量v （立方米/天）与完成任务所需要的时间t （天）之间具有怎样的函数关系？写出这个函数关系式； ⑵阳光公司计划投入A 型卡车200辆，每天一共可以运送沙石料2×104立方米，则完成全部运输任务需要多少天？如果工作了25天后，由于工程进度的需要，公司准备再投入A 型卡车120辆，在保持每辆车每天工作量不变的前提下，问：是否能提前28天完成任务？02．小明家离学校的距离为2400m , 他骑自行车上学的速度为v （m /s ）,所需时间为t (s ).⑴用含t 的代数式表示v , v 是t 的反比例函数吗？⑵如果小明骑车的速度最快为5 m /s ，他至少需要几分钟到校？ ⑶在直角坐标系中作出v 与t 之间的相应图象；⑷根据图象指出，小明若用10min 到校，那么他骑车的平均速度是多少？【例3】某商场出售一批进价为2元的贺卡，在市场营销中发现此商品的日销售单价x （元）与日销售量y （个）之间有如下关系：⑴根据表中数据在直角坐标系中描出实数x 、y 的对应点. ⑵猜测并确定x 与y 的函数关系式，并画出图象；⑶设经营此贺卡的日销售利润为w 元，试求出w 与x 之间的函数关系式；若物价局规定此贺卡的售价最高不能超过10元/个，请你求出日销售单价x 定为多少元时，才能获得最大日销售利润.【解法指导】首先在坐标系中描出各点，根据图象的形状猜测函数类型，再根据表中的条件用待定系数法求出猜测的解析式，把余下的x 、y 的值带入求出的解析式中进行检验，如全部符合，说明猜测和所求的解析式是正确的，根据利润w ＝(售价—进价)×销售量，建立w 与x 之间的关系式，根据解析式分析出x 为何值时，才能获得最大日销售利润.解：⑴如图所示：⑵根据图象猜测y 与x 之间的关系式为：y ＝xk . 当x ＝3时，y ＝20 ∴20＝3k , ∴k ＝60, ∴y ＝x60 把x 、y 的实数（4，15），（6，10）带入解析式y ＝x60，都符合∴x 与y 的函数关系式为y ＝x 60（x ＞0）.其图象是第一象限的双曲线，如图所示.⑶w ＝(x －2)y ＝(x －2)·x 60＝60 － x120.故当x ＝10时，w 有最大值，最大利润为60－12＝48（元）.【变式题组】01．某超市出售一批进价为2元/盒的牙膏，在市场营销中发现此商品的日销售单价x 与日销售y 盒之间有如下关系：x （元） 2.4 2.5 3y (盒) 300 288 240⑴猜测并确定y 与x 之间的函数关系式；⑵设此种牙膏的日销售利润为w 元，试求出w 与x 之间的函数关系式，若物价局规定此牙膏的售价最高不能超过3.6元/盒，请你求出日销售单价为多少时，日利润最大.【例4】某小学为每个班级配备了一种可以加热的饮水机，该饮水机的工作程序是：放满水后，接通电源，则自动开始加热，每分钟水温上升10℃，待加热到100℃，饮水机自动停止加热，水温开始下降，水温y （℃）和通电时间x （min ）成反比例关系，直至水温降至室温，饮水机再次自动加热，重复上述过程．设某天水温和室温为20℃，接通电源后，水温和时间的关系如下图所示，回答下列问题：⑴分别求出当0≤x ≤8和8＜x ≤a 时，y 和x 之间的关系式； ⑵求出图中a 的值；⑶下表是该小学的作息时间，若同学们希望在上午第一节下课8：20时能喝到不超过40℃的开水，已知第一节下课前无人接水，请直接写出生活委员应该在什么时间或时间段接通饮水机电源．（不可以用上课时间接通饮水机电源）【解法指导】⑴当0≤x ≤8时，设y ＝k 1x ＋b ，将（0，20），（8，100）代入y ＝k 1x ＋b 得k 1＝10，b ＝20∴当0≤x ≤8时，y ＝10x ＋20，当8＜x ≤a 时，设y ＝xk 2，将（8，100）代入y ＝x k 2，得k 2＝800∴当8＜x ≤a 时，y ＝ x 800；⑵将y ＝20代入y ＝x800，解得a ＝40；⑶要想喝到不超过40℃的热水，则：∵10x ＋20≤40，∴0＜x ≤2，∵x800≤40，∴20≤x＜40，因为40分钟为一个循环，所以8：20要喝到不超过40℃的热水，则需要在8：20－（40＋20）分钟＝7：20或在（8：20－40分钟）－2分钟＝7：38～7：45打开饮水机.故在7：20或7：38～7：45时打开饮水机．【变式题组】01．制作一种产品，需先将材料加热达到60°C ，再进行操作.设该材料温度为y （℃），从加热开始计算的时间为x （分钟）．据了解，该材料加热时，温度y 与时间x 成一次函数关系；停止加热进行操作时，温度y 与时间x 成反比例关系（如图）．已知该材料在操作加工前的温度为15℃，加热5分钟后温度达到60℃．⑴分别求出将材料加热和停止加热进行操作时，y 与x 的函数关系式；⑵根据工艺要求，当材料的温度低于15℃时，须停止操作，那么从开始加热到停止操作，共经历了多少时间？02．为预防“手足口病”，某校对教室进行“药熏消毒”.已知药物燃烧阶段，室内每立方米空气中的含药量y （mg ）与燃烧时间x （分钟）成正比例；燃烧后，y 与x 成反比例（如图所示）．现测得药物10分钟燃完，此时教室内每立方米空气含药量为8mg ．据以上信息解答下列问题：⑴求药物燃烧时y 与x 的函数关系式． ⑵求药物燃烧后y 与x 的函数关系式．⑶当每立方米空气中含药量不低于3mg 时，对病毒有作用，求对病毒有作用的时间有多长？演练巩固 反馈提高01．一项工作有a 台相同机器一起工作a 小时可以完成，当由x 台机器（x 是不大于a 的正整数）完成这项工作时，所需的是时间（时）与机器台数x 之间的关系是 （ ）A ．y ＝x a 2B ． y ＝a x 2C ． y ＝2axD ． y ＝x a 202．下列各问题中两个变量成反比例关系的是 （ ）A ．一个容器的容积是20cm 3,该容器盛满某种溶液的质量m （g ）与其密度ρ（g/cm 3）的关系B ．小丽完成400米赛跑时，所用的时间y （秒）与她的平均速度v （米/秒）的关系C ．圆的面积s （cm 2）与其周长x(cm )之间的关系D ．一根弹簧原长10cm ，在其弹性范围内所挂物体的质量y （千克）与弹簧总长度x (cm )之间的关系03．（湛江）已知三角形的面积一定，则它底边a 上的高h 与底边a 之间的函数关系的图象大致是 （ ）04．（襄樊）在一个可以改变体积的密闭容器内装有一定质量的二氧化碳，当改变容器的体积时，气体的密度也会随之改变，密度ρ（单位：kg /m 3）是体积V （单位：m 3）的反比例函数，它的图象如图所示，当V ＝10m 3时，气体的密度是（ ）A ．5kg /m 3B ． 2 kg /m 3C ． 100 kg /m 3D ． 2 kg /m 305．京沪高速公路全长约1262km ,汽车沿京沪高速公路从上海驶往北京，汽车完成全程所需的时间t (h )与行驶的平均速度v （km /h ）之间的关系式为 . 06．（梅州）近视眼镜的度数y （度）与镜片焦距x （米）成反比例，已知400度近视眼睛镜片的焦距为0.25米，则眼镜的度数y 与镜片焦距x 的函数关系式为 .07．一幢新建宾馆的建筑工程已完工，接下来要进行装修，总装修工程经预算用一人18000个工作日，且每人工作效率相同.⑴装修的天数y （单位：天）与装修工人数x (单位：人)之间有怎样的函数关系？⑵工程队原有工人100人，由于业主希望赶在春节前开业，要求工程队不超过150天内完成任务，那么工程队至少需要增加多少工人？ 08．（嘉兴）一辆汽车匀速通过某段公路，所需时间t （h ）与行驶速度v （km /h ）满足函数关系：t ＝vk，其图象为如图所示的一段曲线且端点为A （40，1）和B （m ，0.5）． ⑴求k 和m 的值；⑵若行驶速度不得超过60km /h ，则汽车通过该路段最少需要多少时间？09．码头工人往一艘轮船上装载货物，装完货物所需的时间y （分钟）与装载速度x （吨/分钟）之间满足反比例函数关系，图象如图所示. ⑴这批货物的质量是多少？⑵若b －c ＝40（分钟），请根据图中提供的信息求b 、c 、d 的值． ⑶在⑵的条件下，若轮船到达目的地后，以d （吨/分钟）的速度开始装货，装到一半时，一辆吊车发生故障，因而每分钟少装1吨，那么装满这船货物一共需要多少时间？培优升级 奥赛检测01．某市为满足市民休闲需要，要在居民区旁修建一个面积为40000m 2的人民广场，广场的地面需要铺满大小都为2500cm 2的红、白、蓝、黄四种颜色的瓷砖.⑴所需要的瓷砖块数x 与每块瓷砖的面积s (cm 2)有什么样的函数关系式？⑵为了广场颜色的协调，使用红、白、蓝、黄四种颜色瓷砖的比例为3：3：1：1，则需要四种瓷砖各多少块？02．某地上一年度电价为0.8元，年用电量为1亿度，本年度计划将电价调至0.55～0.75元之间，经测算，若电价调至x 元，则本年度新增电量y （亿度）与（x －0.4）成反比例，又当x ＝0.65元时，y ＝0.8． ⑴y 与x 之间的函数关系式；⑵若每度电成本价0.3元，则电价调至多少元时，本年度电力部门收益比上一年度增加20%？[收益＝用电量×（实际电价—成本价）]（只列方程并化简，不求解） 03．（杭州）为了预防流感，某学校在休息天用药熏消毒法对教室进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y （毫克）与时间t （小时）成正比；药物释放完毕后，y 与t 的函数关系式为y ＝ta（a 为常数），如图所示．据图中提供的信息，解答下列问题：⑴写出从药物释放开始，y 与t 之间的两个函数关系式及相应的自变量的取值范围； ⑵据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进入教室，那么从药物释放开始，至少需要经过多少小时后，学生才能进入教室？04．某个公司有一种海产品共2104千克，为寻求合适的销售价格，进行了8天试销，观察表中数据，发现可以用反比例函数刻画这种海产品的每天销售量y （千克）与销售价格x （元/千克）之间的关系．现假定在这批海产品的销售中，每天的销售量y （千克）与销售价格x （元/千克）之间都满足这一关系．⑴写出这个反比例函数的解析式，并补全表格；⑵在试销8天后，公司决定将这种海产品的销售价格定为150元/千克，并且每天都按这个价格销售，那么余下的这些海产品预计再用多少天可以全部售出？05．经过市场调查，一段时间内某地区特种农产品的需求量y （千克）与市场价格x （元/千克）存在下列函数关系式：y ＝x100000＋6000(0＜x ＜100);又已知该地区农民的这种农产品的生产数量z （千克）与市场价格x （元/千克）成正比例关系：z ＝400x （0＜x ＜100），现不计其它因素影响，如果需求数量y 等于生产数量z 时，即供需平衡，此时市场处于平衡状态．⑴根据以上市场调查，请你分析当市场处于平衡状态时，该地区这种农产品的市场价格与这段时间内农民的总销售收入各是多少？⑵受国家“三农”政策支持，该地区农民运用高科技改造传统生产方式，减少产量，以大力提高产品质量．此时生产数量z 与市场价格x 的函数关系发生改变，而需求函数关系未发生变化，当市场再次处于平衡状态时，市场价格已上涨了a （0＜a ＜25）元，问在此后的相同时间段内该地区农民的总销售收入是增加了还是减少了，变化多少？第19讲 勾股定理考点·方法·破译1．会用勾股定理解决简单问题.2．会用勾股定理的逆定理判定直角三角形.3．勾股定理提示了直角三角形三边的关系，对于线段的计算，常可由勾股定理列方程进行求解；对于涉及平方关系的等式证明，可根据勾股定理进行论证.经典·考题·赏析【例1】 (达州)如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形.若正方形A 、B 、C 、D 的边长分别是3，5，2，3，则最大正方形E 的面积是( )A ．13B ．26C ．47D ．94【解法指导】 观察勾股树，发现正方形A 、B 的边长恰好是一直角三角形相邻的两直角边.此时直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，即两个较小正方形面积之和等于较大正方形的面积，从而正方形E 的面积等于正方形A 、B 、C 、D 四个面积之和，故选C ．【变式题组】01．(安徽)如图，直线l 过正方形ABCD 的顶点B ，点A ，C 到直线l 的距离分别是1和2，则正方形的边长是___________.02．(浙江省温州)在直线l 上的依次摆放着七个正方形(如图所示)，己知斜放置的三个正方形的面积分别是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是S 1，S 2，S 3，S 4，则S 1＋S 2＋S 3＋S 4＝______.03．(浙江省丽江)如图，已知△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝BC ，三角形的顶点在相互平行的三条直线l 1、l 2、l 3上，且l 1、l 2之间的距离为2，l 2、l 3之间的距离为3，则AC 的长是( )A． B． C． D ．7【例2】(青岛)如图，长方体的底面边长分别为1cm 和3cm ，高为6cm .如果用一根细线从点A 开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B ，那么所用细线最短需要_____cm ；如果从点A 开始经过4个侧面缠绕n 圈到达点B ，那么所用细线最短需要______cm .【解法指导】细线缠绕时绕过几个面，则将这几个面展开后在同一平面内利用线段的公理：两点之间线段最短.画出线路，然后利用勾股定理解决，应填10，【变式题组】第1题图第2题图B A 3cm 1cm6cm。