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2010年高考数学试题分类汇编——立体几何

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2010年高考数学试题分类汇编——立体几何一、选择题1、（2010浙江理数）（6）设l ，m 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是 （A ）若l m ⊥，m α⊂，则l α⊥ （B ）若l α⊥，l m //，则m α⊥ （C ）若l α//，m α⊂，则l m // （D ）若l α//，m α//，则l m //解析：选B ，可对选项进行逐个检查。

本题主要考察了立体几何中线面之间的位置关系及其中的公理和判定定理，也蕴含了对定理公理综合运用能力的考察，属中档题2、（2010全国卷2理数）（11）与正方体1111ABC D A B C D -的三条棱A B 、1C C 、11A D 所在直线的距离相等的点（A ）有且只有1个 （B ）有且只有2个 （C ）有且只有3个 （D ）有无数个 【答案】D【解析】直线上取一点，分别作垂直于于则分别作，垂足分别为M ，N ，Q ，连PM ，PN ，PQ ，由三垂线定理可得，PN ⊥PM ⊥；PQ ⊥AB ，由于正方体中各个表面、对等角全等，所以，∴PM=PN=PQ ，即P 到三条棱AB 、CC 1、A 1D 1.所在直线的距离相等所以有无穷多点满足条件，故选D.3、（2010全国卷2理数）（9）已知正四棱锥S A B C D -中，SA =，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为（A ）1 （B （C ）2 （D ）3 【答案】C【命题意图】本试题主要考察椎体的体积，考察告辞函数的最值问题.【解析】设底面边长为a ，则高所以体积，设，则，当y 取最值时，，解得a=0或a=4时，体积最大，此时，故选C.4、（2010陕西文数） 8.若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 [B]（A ）2 （B ）1（C ）23（D ）13解析：本题考查立体图形三视图及体积公式 如图，该立体图形为直三棱柱 所以其体积为122121=⨯⨯⨯5、（2010辽宁文数）（11）已知,,,S A B C 是球O 表面上的点，SA ABC ⊥平面，A B B C ⊥，1SA A B ==，BC =O 的表面积等于（A ）4π （B ）3π （C ）2π （D ）π解析：选A.由已知，球O 的直径为22R SC ==，∴表面积为244.R ππ=7、（2010全国卷2文数）（11）与正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的三条棱AB 、CC 1、A 1D 1所在直线的距离相等的点（A ）有且只有1个 （B ）有且只有2个 （C ）有且只有3个 （D ）有无数个221【解析】D ：本题考查了空间想象能力∵到三条两垂直的直线距离相等的点在以三条直线为轴，以正方体边长为半径的圆柱面上，∴三个圆柱面有无数个交点，8、（2010全国卷2文数）（8）已知三棱锥S A B C -中，底面ABC 为边长等于2的等边三角形，S A 垂直于底面ABC ，S A =3，那么直线A B 与平面S B C 所成角的正弦值为（A ）4(B)4(C)4(D) 34【解析】D ：本题考查了立体几何的线与面、面与面位置关系及直线与平面所成角。

过A 作AE 垂直于BC 交BC 于E ，连结SE ，过A 作AF 垂直于SE 交SE 于F ，连BF ，∵正三角形ABC ，∴ E 为BC 中点，∵ BC ⊥AE ，SA ⊥BC ，∴ BC ⊥面SAE ，∴ BC ⊥AF ，AF ⊥SE ，∴ AF ⊥面SBC ，∵∠ABF 为直线AB 与面SBC 所成角，由正三角形边长3，∴AE =AS=3，∴SE=AF=32，∴ 3sin 4A B F ∠=9、（2010江西理数）10.过正方体1111ABC D A B C D -的顶点A 作直线L ，使L 与棱A B ,A D ,1A A 所成的角都相等，这样的直线L 可以作A.1条B.2条C.3条D.4条 【答案】D【解析】考查空间感和线线夹角的计算和判断，重点考查学生分类、划归转化的能力。

第一类：通过点A 位于三条棱之间的直线有一条体对角线AC 1，第二类：在图形外部和每条棱的外角和另2条棱夹角相等，有3条，合计4条。

10、（2010安徽文数）（9）一个几何体的三视图如图，该ABC SEF几何体的表面积是（A）372 （B）360（C）292 （D）2809.B【解析】该几何体由两个长方体组合而成，其表面积等于下面长方体的全面积加上面长方体的4个侧面积之和。

2(10810282)2(6882)360S=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.【方法技巧】把三视图转化为直观图是解决问题的关键.又三视图很容易知道是两个长方体的组合体，画出直观图，得出各个棱的长度.把几何体的表面积转化为下面长方体的全面积加上面长方体的4个侧面积之和。

11、（2010重庆文数）（9）到两互相垂直的异面直线的距离相等的点（A）只有1个（B）恰有3个（C）恰有4个（D）有无穷多个解析：放在正方体中研究,显然，线段1OO、EF、FG、GH、HE的中点到两垂直异面直线AB、CD的距离都相等，所以排除A、B、C，选D亦可在四条侧棱上找到四个点到两垂直异面直线AB、CD的距离相等12、（2010浙江文数）（8）若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的体积是（A）3523cm3（B）3203cm3（C）2243cm3（D）1603cm3解析：选B，本题主要考察了对三视图所表达示的空间几何体的识别以及几何体体积的计算，属容易题14、（2010山东文数）(4)在空间，下列命题正确的是 A.平行直线的平行投影重合 B.平行于同一直线的两个平面平行 C.垂直于同一平面的两个平面平行 D.垂直于同一平面的两条直线平行 答案：D15、（2010北京文数）（8）如图，正方体1111ABC D -A B C D 的棱长为2，动点E 、F 在棱11A B 上。

点Q 是CD 的中点，动点 P 在棱AD 上，若EF=1，DP=x ，1A E=y(x,y 大于零)， 则三棱锥P-EFQ 的体积：（A ）与x ，y 都有关； （B ）与x ，y 都无关； （C ）与x 有关，与y 无关； （D ）与y 有关，与x 无关； 答案：C16、（2010北京文数）（5）一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的 正（主）视图与侧（左）视图分别如右图所示，则该集合体的俯视图为：答案：C17、（2010北京理数）(8)如图，正方体ABCD-A B C D的棱长1111为2，动点E、F在棱A B上，动点P，Q分别在棱AD，CD上，11若EF=1，A E=x，DQ=y，DＰ＝ｚ（ｘ，ｙ，ｚ大于零），则四面1体PEＦＱ的体积（Ａ）与ｘ，ｙ，ｚ都有关（Ｂ）与ｘ有关，与ｙ，ｚ无关（Ｃ）与ｙ有关，与ｘ，ｚ无关（Ｄ）与ｚ有关，与ｘ，ｙ无关答案：D18、（2010北京理数）（3）一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正（主）视图与侧（左）视图分别如右图所示，则该几何体的俯视图为答案：C19、（2010四川理数）（11）半径为R 的球O 的直径A B 垂直于平面α，垂足为B ，B C D 是平面α内边长为R 的正三角形，线段A C 与球面交于点M ，N ，那么M 、N （A ）17arccos25R （B ）18arccos25R （C ）13R π （D ）415R π解析：由已知，AB ＝2R ,BC ＝R ,故tan ∠BAC ＝12cos ∠BAC＝5连结OM ，则△OAM 为等腰三角形AM ＝2AOcos ∠BAC＝5R ，同理AN＝5R ，且MN ∥CD而AC,CD ＝R 故MN ：CD ＝AN :AC ⇒ MN ＝45R ，连结OM 、ON ，有OM ＝ON ＝R 于是cos ∠MON ＝22217225OMON M NOM ON+-=所以M 、N 两点间的球面距离是17arccos 25R答案：A20、（2010广东理数）6.如图1，△ ABC 为三角形，A A '//B B ' //C C ' , C C ' ⊥平面ABC 且3A A '=32B B '=C C ' =AB,则多面体△ABC -A B C '''的正视图（也称主视图）是6．D ．21、（2010广东文数）22、（2010福建文数）3．若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示,则其侧面积．．．等于 ( )A ．B ．2C ．D ．6【答案】D【解析】由正视图知：三棱柱是以底面边长为2，高为1的正三棱柱，所以底面积为244⨯=3216⨯⨯=，选D ．【命题意图】本题考查立体几何中的三视图，考查同学们识图的能力、空间想象能力等基本能力。

ABC DA 1B 1C 1D 1 O23、（2010全国卷1文数）（12）已知在半径为2的球面上有A 、B、C 、D 四点，若AB=CD=2,则四面体ABCD 的体积的最大值为(A)33312.B 【命题意图】本小题主要考查几何体的体积的计算、球的性质、异面直线的距离,通过球这个载体考查考生的空间想象能力及推理运算能力.【解析】过CD 作平面PCD ，使AB ⊥平面PCD,交AB 与P,设点P 到CD 的距离为h ,则有A B C D 11222323V h h =⨯⨯⨯⨯=四面体,当直径通过AB 与CD 的中点时,max h ==,故max 3V =24、（2010全国卷1文数）（9）正方体A B C D -1111A B C D 中，1B B与平面1A C D 所成角的余弦值为 （A ）3（B ）3（C ）23（D ）39.D 【命题意图】本小题主要考查正方体的性质、直线与平面所成的角、点到平面的距离的求法，利用等体积转化求出D 到平面AC 1D 的距离是解决本题的关键所在,这也是转化思想的具体体现.【解析1】因为BB 1//DD 1,所以B 1B 与平面AC 1D 所成角和DD 1与平面AC 1D 所成角相等,设DO ⊥平面AC 1D ，由等体积法得11D A C D DA C DV V --=,即111133A C D A C D S D O S D D ∆∆⋅=⋅.设DD 1=a,则122111sin 60)2222AC D S AC AD ∆==⨯⨯=,21122A C D S A DC D a ∆==.所以1313AC DAC DS D DD O a S ∆∆== ,记DD 1与平面AC 1D 所成角为θ,则1sin 3D O D D θ==所以cos 3θ=.【解析2】设上下底面的中心分别为1,O O ；1O O 与平面AC 1D 所成角就是B 1B 与平面AC 1D所成角，1111cos 1/3O O O OD OD ∠===25、（2010全国卷1文数）(6)直三棱柱111ABC A B C -中，若90B A C ∠=︒，1AB AC AA ==，则异面直线1BA 与1AC 所成的角等于(A)30° (B)45°(C)60° (D)90°6.C 【命题意图】本小题主要考查直三棱柱111ABC A B C -的性质、异面直线所成的角、异面直线所成的角的求法.【解析】延长CA 到D ，使得AD AC =，则11ADA C 为平行四边形，1D A B ∠就是异面直线1BA 与1AC 所成的角，又三角形1A D B 为等边三角形，0160D A B ∴∠=26、（2010全国卷1理数）（12）已知在半径为2的球面上有A 、B 、C 、D 四点，若AB=CD=2,则四面体ABCD 的体积的最大值为(A)3(B)3(C)327、（2010全国卷1理数）（7）正方体ABCD-1111A B C D 中，B 1B 与平面AC 1D 所成角的余弦值为 （A ）3（B）3（C ）23（D）328、（2010四川文数）（12）半径为R 的球O 的直径A B 垂直于平面a ，垂足为B ，B C D ∆是平面a 内边长为R 的正三角形，线段A C 、A D 分别与球面交于点M 、N ，那么M 、N 两点间的球面距离是（A ）17arccos25R （B ）18arccos25R（C ）13R π （D ）415R π解析：由已知，AB ＝2R ,BC ＝R ,故tan ∠BAC ＝12cos ∠BAC ＝5连结OM ，则△OAM 为等腰三角形AM ＝2AOcos ∠BAC ＝5R ，同理AN ＝5R ，且MN ∥CD而AC ,CD ＝R 故MN ：CD ＝AN :AC ⇒ MN ＝45R ，连结OM 、ON ，有OM ＝ON ＝R 于是cos ∠MON ＝22217225OMON M NOM ON+-=所以M 、N 两点间的球面距离是17arccos 25R答案：A29、（2010湖北文数）4.用a 、b 、c 表示三条不同的直线，y 表示平面，给出下列命题：①若a∥b，b∥c，则a∥c；②若a⊥b，b⊥c，则a⊥c；③若a∥y，b∥y，则a∥b；④若a⊥y，b⊥y，则a∥b.A. ①②B. ②③C. ①④D.③④30、（2010山东理数）(3)在空间，下列命题正确的是（A）平行直线的平行投影重合（B）平行于同一直线的两个平面平行（C）垂直于同一平面的两个平面平行（D）垂直于同一平面的两条直线平行【答案】D【解析】由空间直线与平面的位置关系及线面垂直与平行的判定与性质定理可以得出答案。

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06【数学】2010年高考数学填空试题分类汇编——立体几何

06【数学】2010年高考数学填空试题分类汇编——立体几何

2010 年高考数学试题分类汇编——立体几何（2010上海文数） 6.已知四棱椎P ABCD 的底面是边长为 6 的正方形，侧棱PA底面ABCD ，且PA8，则该四棱椎的体积是96。

分析：观察棱锥体积公式V 136896 3（2010湖南文数）13.图2 中的三个直角三角形是一个体积为20cm2的几何体的三视图，则h=4cm（2010 浙江理数）（12）若某几何体的三视图（单位：cm）如下图，则此几何体的体积是___________ cm3 .分析：图为一四棱台和长方体的组合体的三视图，由卷中所给公式计算得体积为 144，此题主要观察了对三视图所表达示的空间几何体的辨别以及几何体体积的计算，属简单题（2010 辽宁文数）（16）如图，格纸的小正方形的边长是1，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则这个多面体最长的一条棱的长为.P 分析：填 2 3 画出直观图：图中四棱锥P ABCD 即是，因此最长的一条棱的长为PB 23.A DB C（ 2010 辽宁理数）（15）如图，格纸的小正方形的边长是1，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则这个多面体最长的一条棱的长为 ______.【答案】 2 3【命题立意】此题观察了三视图视角下多面体棱长的最值问题，观察了同学们的识图能力以及由三视图复原物体的能力。

【分析】由三视图可知，此多面体是一个底面边长为 2 的正方形且有一条长为 2 的侧棱垂直于底面的四棱锥，因此最长棱长为22222223（2010 江西理数） 16. 如图，在三棱锥O ABC 中，三条棱 OA ，OB ，OC 两两垂直，且 OA> OB > OC ,分别经过三条棱OA， OB ， OC 作一个截面均分三棱锥的体积，截面面积挨次为S1，S2，S3，则 S1，S2，S3的大小关系为。

【答案】S3 S2 S1【分析】观察立体图形的空间感和数学知识的运用能力，经过补形，借滋长方体考证结论，特别化，令边长为1，2，3 得S3S2S1。

10年高考真题汇总—(立体几何高考试题汇编)

10年高考真题汇总—(立体几何高考试题汇编)

立体几何分类汇编一、异面直线夹角（2007全国理I）如图，正四棱柱1111-ABCD A B C D 中，12AA AB =，则异面直线1A B 与1AD 所成角的余弦值为A．51B．52C．53D．54（2008全国理II）已知正四棱锥S ABCD -的侧棱长与底面边长都相等，E 是SB 的中点，则AE SD ，所成的角的余弦值为（）A．13B．23D．23（2009全国理I）已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等，1A 在底面ABC 上的射影为111A B C 的中点，则异面直线AB 与1CC 所成的角的余弦值为D.34（2009全国理II）已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中，12AA AB =，E 为1AA 中点，则异面直线BE 与1CD 所成的角的余弦值为A.10B.15C.10D.35（2012全国理I）三棱柱111ABC A B C -中，底面边长和侧棱长都相等，1160BAA CAA ∠=∠= ，则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为____________。

（2013全国理I）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M 、N 分别是CD 、1CC 的中点，则异面直线1A M 与DN 所成角的大小是____________。

（2014全国理II）直三棱柱111ABC A B C -中，90BCA ∠= ，,M N 分别是1111,A B A C 的中点，1BC CA CC ==，则BM 与AN 所成的角的余弦值为（）A.110B.25C.D.二、线面夹角（2007全国理II）已知正三棱ABC A B C -111的侧棱长是底面边长相等，则AB 1与侧面ACC A 1所成角的正弦等于A.64B.104C.22D.32（2008全国理I）已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等，1A 在底面ABC 内的射影为ABC △的中心，则1AB 与底面ABC 所成角的正弦值等于（）A．13B．23C．33D．23（2010全国理I）正方体1111ABCD A B C D -中,1BB 与平面1ACD 所成角的余弦值为（A）23（B）33（C）23（D）63（2016全国理I）平面α过正方体1111ABCD A B C D -的顶点A ，α 平面11CB D ，α 平面ABCD m =，α 平面11ABA B n =，则,m n 所成角的正弦值为A.32 B.22C.33D.13（2007全国理I）四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，侧面SBC ⊥底面ABCD 已知45ABC ∠= ,2,22,3AB BC SA SB ====（Ⅰ）证明：SA BC ⊥；（Ⅱ）求直线SD与平面SAB所成角的大小。

2010-2019“十年高考”数学真题 立体几何解析版专项汇总(理数 可下载)

2010-2019“十年高考”数学真题 立体几何解析版专项汇总(理数 可下载)

可得 AC⊥平面 PBG，则 PB⊥AC.
因为 E，F 分别是 PA，AB 的中点，所以 EF P PB .又 CEF 90 ，即 EF⊥CE，
所以 PB⊥CE，得 PB⊥平面 PAC.所以 PB⊥PA，PB⊥PC. 又因为 PA PB PC ，△ABC 是正三角形， 所以 △PAC≌△PBC≌△PAB ，故 PA PC ，所以正三棱锥 P ABC 的三
【解析】如图所示，联结 BE ， BD .因为点 N 为正方形 ABCD 的中心， △ECD 为正三角形，平面 ECD 平面 ABCD ， M 是线段 ED 的中点，所以 BM 平面 BDE ， EN 平面 BDE ，因为 BM 是△BDE 中 DE 边上的中线， EN 是△BDE 中 BD 边上的中线， 直线 BM ， EN 是相交直线，设 DE a ，则
则点 D 到平面 ABC 的最大距离 d1 d 4 6 ，
所以三棱锥
D

ABC
体积的最大值 Vmax

1 3
S
ABC

6

19 3
3 6 18
3．
故选 B．
8.（2018 北京）某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为
对于 B， 内有两条相交直线与 平行，则∥ ；
对于 C， ， 平行于同一条直线，则 与 相交或∥ ，排除；
对于 D， ， 垂直于同一平面，则 与 相交或∥ ，排除．故选 B．
2.（2019 全国Ⅲ理 8）如图，点 N 为正方形 ABCD 的中心，△ECD 为正三角形，平面 ECD⊥ 平面 ABCD，M 是线段 ED 的中点，则 A．BM=EN，且直线 BM、EN 是相交直线 B．BM≠EN，且直线 BM，EN 是相交直线 C．BM=EN，且直线 BM、EN 是异面直线 D．BM≠EN，且直线 BM，EN 是异面直线 【答案】B．
(新课标全国I卷)2010_2019学年高考数学真题分类汇编专题07立体几何(2)文(含解析)

(新课标全国I卷)2010_2019学年高考数学真题分类汇编专题07立体几何(2)文(含解析)

专题7 立体几何（2）立体几何大题：10年10考，每年1题．第1小题多为证明垂直问题，第2小题多为体积计算问题（2014年是求高）．1．（2019年）如图，直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面是菱形，AA1＝4，AB＝2，∠BAD＝60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点．（1）证明：MN∥平面C1DE；（2）求点C到平面C1DE的距离．【解析】（1）连结B1C，ME，∵M，E分别是BB1，BC的中点，∴ME∥B1C，又N为A1D的中点，∴ND＝12A1D，由题设知A1B1//DC，∴B1C//A1D，∴ME//ND，∴四边形MNDE是平行四边形，∴MN∥ED，又MN⊄平面C1DE，∴MN∥平面C1DE．（2）过C作C1E的垂线，垂足为H，由已知可得DE⊥BC，DE⊥C1C，∴DE⊥平面C1CE，故DE⊥CH，∴CH⊥平面C1DE，故CH的长即为C到时平面C1DE的距离，由已知可得CE＝1，CC1＝4，∴C1E，故CH，∴点C 到平面C 1DE ． 2．（2018年）如图，在平行四边形ABCM 中，AB ＝AC ＝3，∠ACM ＝90°，以AC 为折痕将△ACM 折起，使点M 到达点D 的位置，且AB ⊥DA ． （1）证明：平面ACD ⊥平面ABC ；（2）Q 为线段AD 上一点，P 为线段BC 上一点，且BP ＝DQ ＝23DA ，求三棱锥Q ﹣ABP 的体积．【解析】（1）∵在平行四边形ABCM 中，∠ACM ＝90°，∴AB ⊥AC ， 又AB ⊥DA ．且AD ∩AC ＝A ， ∴AB ⊥面ADC ，∵AB ⊂面ABC ， ∴平面ACD ⊥平面ABC ；（2）∵AB ＝AC ＝3，∠ACM ＝90°，∴AD ＝AM ＝∴BP ＝DQ ＝23DA ＝ 由（1）得DC ⊥AB ，又DC ⊥CA ，∴DC ⊥面ABC ，∴三棱锥Q ﹣ABP 的体积V ＝11DC 33S ∆ABP ⨯ ＝C 121DC 333S ∆AB ⨯⨯＝12113333323⨯⨯⨯⨯⨯⨯＝1． 3．（2017年）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，AB ∥CD ，且∠BAP ＝∠CDP ＝90°． （1）证明：平面PAB ⊥平面PAD ；（2）若PA ＝PD ＝AB ＝DC ，∠APD ＝90°，且四棱锥P ﹣ABCD 的体积为83，求该四棱锥的侧面积．【解析】（1）∵在四棱锥P ﹣ABCD 中，∠BAP ＝∠CDP ＝90°， ∴AB ⊥PA ，CD ⊥PD ， 又AB ∥CD ，∴AB ⊥PD ， ∵PA ∩PD ＝P ，∴AB ⊥平面PAD ， ∵AB ⊂平面PAB ，∴平面PAB ⊥平面PAD ．（2）设PA ＝PD ＝AB ＝DC ＝a ，取AD 中点O ，连结PO ， ∵PA ＝PD ＝AB ＝DC ，∠APD ＝90°，平面PAB ⊥平面PAD ，∴PO ⊥底面ABCD ，且AD ，PO ＝2a ， ∵四棱锥P ﹣ABCD 的体积为83， 由AB ⊥平面PAD ，得AB ⊥AD ，∴V P ﹣ABCD ＝CD 13S AB ⨯⨯PO 四边形＝1D 3⨯AB⨯A ⨯PO ＝132a a ⨯⨯＝313a ＝83， 解得a ＝2，∴PA ＝PD ＝AB ＝DC ＝2，AD ＝BC ＝PO ，∴PB ＝PC∴该四棱锥的侧面积：S 侧＝S △PAD +S △PAB +S △PDC +S △PBC＝1D 2⨯PA⨯P +12⨯PA⨯AB +1D DC 2⨯P ⨯+1C 2⨯B＝11112222222222⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯＝6+4．（2016年）如图，已知正三棱锥P﹣ABC的侧面是直角三角形，PA＝6，顶点P在平面ABC内的正投影为点D，D在平面PAB内的正投影为点E，连接PE并延长交AB于点G．（1）证明：G是AB的中点；（2）在图中作出点E在平面PAC内的正投影F（说明作法及理由），并求四面体PDEF的体积．【解析】（1）∵P﹣ABC为正三棱锥，且D为顶点P在平面ABC内的正投影，∴PD⊥平面ABC，则PD⊥AB，又E为D在平面PAB内的正投影，∴DE⊥面PAB，则DE⊥AB，∵PD∩DE＝D，∴AB⊥平面PDE，连接PE并延长交AB于点G，则AB⊥PG，又PA＝PB，∴G是AB的中点；（2）在平面PAB内，过点E作PB的平行线交PA于点F，F即为E在平面PAC内的正投影．∵正三棱锥P﹣ABC的侧面是直角三角形，∴PB⊥PA，PB⊥PC，又EF∥PB，所以EF⊥PA，EF⊥PC，因此EF⊥平面PAC，即点F为E在平面PAC内的正投影．连结CG，因为P在平面ABC内的正投影为D，所以D是正三角形ABC的中心．由（1）知，G 是AB 的中点，所以D 在CG 上，故CD ＝23CG ． 由题设可得PC ⊥平面PAB ，DE ⊥平面PAB ，所以DE ∥PC ，因此PE ＝23PG ，DE ＝13PC ．由已知，正三棱锥的侧面是直角三角形且PA ＝6，可得DE ＝2，PG ＝PE ＝ 在等腰直角三角形EFP 中，可得EF ＝PF ＝2． 所以四面体PDEF 的体积V ＝13×DE ×S △PEF ＝13×2×12×2×2＝43．5．（2015年）如图，四边形ABCD 为菱形，G 为AC 与BD 的交点，BE ⊥平面ABCD ． （1）证明：平面AEC ⊥平面BED ；（2）若∠ABC ＝120°，AE ⊥EC ，三棱锥E ﹣ACD【解析】（1）∵四边形ABCD 为菱形， ∴AC ⊥BD ， ∵BE ⊥平面ABCD ， ∴AC ⊥BE ， 则AC ⊥平面BED ， ∵AC ⊂平面AEC ， ∴平面AEC ⊥平面BED ；（2）设AB ＝x ，在菱形ABCD 中，由∠ABC ＝120°，得AG ＝GC ，GB ＝GD ＝2x，∵BE ⊥平面ABCD ，∴BE ⊥BG ，则△EBG 为直角三角形，∴EG ＝12AC ＝AG ＝2x ，则BE x ，∵三棱锥E ﹣ACD 的体积V ＝11C GD 32⨯A ⨯⨯BE 3x 解得x ＝2，即AB ＝2， ∵∠ABC ＝120°，∴AC 2＝AB 2+BC 2﹣2AB •BC cos ABC ＝4+4﹣2×1222⎛⎫⨯⨯-⎪⎝⎭＝12，即AC ＝在三个直角三角形EBA ，EBD ，EBC 中，斜边AE ＝EC ＝ED ， ∵AE ⊥EC ，∴△EAC 为等腰三角形， 则AE 2+EC 2＝AC 2＝12， 即2AE 2＝12， ∴AE 2＝6，则AE ，∴从而得AE ＝EC ＝ED ，∴△EAC 的面积S ＝11C 22⨯EA⨯E =3， 在等腰三角形EAD 中，过E 作EF ⊥AD 于F ，则AE ，AF ＝1D 2A ＝1212⨯=，则EF =∴△EAD 的面积和△ECD 的面积均为S ＝122⨯故该三棱锥的侧面积为3+6．（2014年）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，B1C的中点为O，且AO⊥平面BB1C1C．（1）证明：B1C⊥AB；（2）若AC⊥AB1，∠CBB1＝60°，BC＝1，求三棱柱ABC﹣A1B1C1的高．【解析】（1）连接BC1，则O为B1C与BC1的交点，∵侧面BB1C1C为菱形，∴BC1⊥B1C，∵AO⊥平面BB1C1C，∴AO⊥B1C，∵AO∩BC1＝O，∴B1C⊥平面ABO，∵AB⊂平面ABO，∴B1C⊥AB；（2）作OD⊥BC，垂足为D，连接AD，作OH⊥AD，垂足为H，∵BC⊥AO，BC⊥OD，AO∩OD＝O，∴BC⊥平面AOD，∴OH⊥BC，∵OH⊥AD，BC∩AD＝D，∴OH⊥平面ABC，∵∠CBB1＝60°，∴△CBB1为等边三角形，∵BC＝1，∴OD∵AC ⊥AB 1，∴OA ＝12B 1C ＝12，由OH •AD ＝OD •OA ，可得AD ，∴OH ＝14，∵O 为B 1C 的中点，∴B 1到平面ABC ，∴三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的高7．7．（2013年）如图，三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，CA ＝CB ，AB ＝AA 1，∠BAA 1＝60° （1）证明：AB ⊥A 1C ； （2）若AB ＝CB ＝2，A 1C ＝，求三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的体积．【解析】（1）如图，取AB 的中点O ，连结OC ，OA 1，A 1B ． 因为CA ＝CB ，所以OC ⊥AB ．由于AB ＝AA 1，160∠BAA =，故△AA 1B 为等边三角形， 所以OA 1⊥AB ．因为OC ∩OA 1＝O ，所以AB ⊥平面OA 1C ． 又A 1C ⊂平面OA 1C ，故AB ⊥A 1C ；（2）由题设知△ABC 与△AA 1B 都是边长为2的等边三角形，所以1C O =OA =．又1C A =，则22211C C A =O +OA ，故OA 1⊥OC ．因为OC ∩AB ＝O ，所以OA 1⊥平面ABC ，OA 1为三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的高．又△ABC 的面积C S ∆AB故三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的体积C 1V 3S ∆AB =⨯OA ==．8．（2012年）如图，三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，侧棱垂直底面，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝12AA 1，D 是棱AA 1的中点．（1）证明：平面BDC 1⊥平面BDC（2）平面BDC 1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比．【解析】（1）由题意知BC ⊥CC 1，BC ⊥AC ，CC 1∩AC ＝C ， ∴BC ⊥平面ACC 1A 1，又DC 1⊂平面ACC 1A 1， ∴DC 1⊥BC ．由题设知∠A 1DC 1＝∠ADC ＝45°，∴∠CDC 1＝90°，即DC 1⊥DC ，又DC ∩BC ＝C ， ∴DC 1⊥平面BDC ，又DC 1⊂平面BDC 1， ∴平面BDC 1⊥平面BDC ；（2）设棱锥B ﹣DACC 1的体积为V 1，AC ＝1，由题意得V 1＝1121132+⨯⨯⨯＝12，又三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的体积V ＝1， ∴（V ﹣V 1）：V 1＝1：1，∴平面BDC1分此棱柱两部分体积的比为1：1．9．（2011年）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形．∠DAB＝60°，AB＝2AD，PD⊥底面ABCD．（1）证明：PA⊥BD；（2）设PD＝AD＝1，求棱锥D﹣PBC的高．【解析】（1）因为∠DAB＝60°，AB＝2AD，由余弦定理得BD D，从而BD2+AD2＝AB2，故BD⊥AD，又PD⊥底面ABCD，可得BD⊥PD，所以BD⊥平面PAD．故PA⊥BD．（2）解：作DE⊥PB于E，已知PD⊥底面ABCD，则PD⊥BC，由（1）知，BD⊥AD，又BC∥AD，∴BC⊥BD．故BC⊥平面PBD，BC⊥DE，则DE⊥平面PBC．由题设知PD＝1，则BD，PB＝2．根据DE•PB＝PD•BD，得DE即棱锥D﹣PBC10．（2010年）如图，已知四棱锥P﹣ABCD的底面为等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD，垂足为H，PH是四棱锥的高．（1）证明：平面PAC⊥平面PBD；（2）若AB，∠APB＝∠ADB＝60°，求四棱锥P﹣ABCD的体积．。