函数的极限
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第三节 函数的极限一、知识归纳 1、知识精讲：1）当x →∞时函数f(x)的极限:当自变量x 取正值并且无限增大时,如果函数f(x)无限趋近于一个常数a,就说当x 趋向于正无穷大时, 函数f(x)的极限是a,记作a x f x =+∞→)(lim ,(或x→+∞时,f(x)→a)当自变量x 取负值并且无限增大时,如果函数f(x)无限趋近于一个常数a,就说当x 趋向于负无穷大时, 函数f(x)的极限是a,记作a x f x =-∞→)(lim ,(或x→-∞时,f(x)→a)注：自变量x →+∞和x →-∞都是单方向的，而x →∞是双向的，故有以下等价命题=+∞→)(lim x f x a x f x =-∞→)(lim ⇔a x f x =∞→)(lim2）当x →x 0时函数f(x)的极限:当自变量x 无限趋近于常数x 0（但x ≠x 0）时，如果函数f(x)无限趋近于一个常数a ，就说当x 趋向于x 0时, 函数f(x)的极限是a,记作a x f x x =→)(lim 0,(或x →x 0时,f(x)→a)注：a x f x x =→)(lim 0与函数f （x ）在点x 0处是否有定义及是否等于f （x 0）都无关。
3）函数f(x)的左、右极限:如果当x 从点x=x 0左侧（即x ＜x 0）无限趋近于x 0时，函数f(x)无限趋近于常数a 。
就说a 是函数f(x)的左极限，记作a x f x x =-→)(lim。
如果当x 从点x=x 0右侧（即x ＞x 0）无限趋近于x 0时，函数f(x)无限趋近于常数a 。
就说a 是函数f(x)的右极限，记作a x f x x =+→)(lim 0。
注：=-→)(limx f x x a x f x x =+→)(lim 0⇔a x f x x =→)(lim 0。
并且可作为一个判断函数在一点处有无极限的重要工具。
注：极限不存在的三种形态：①左极限不等于右极限≠-→)(lim 0x f x x )(lim 0x f x x +→；②0x x →时，()±∞→x f ，③0x x →时，()→x f 的值不唯一。
4）函数极限的运算法则：与函数极限的运算法则类似, 如果,lim ,lim B b A a n n n n ==∞→∞→那么B A b a n n n +=+∞→)(lim B A b a n n n -=-∞→)(limB A b a n n n .).(lim =∞→ )0(lim≠=∞→B B Ab a nn n 注：以上规则对于x →∞的情况仍然成立。
2、重点难点：对函数极限的定义的理解及求简单函数的极限的重点。
思维方法：直接从常用的重要极限出发，运用函数极限的运算法则解题。
3.几个重要极限：（1）01lim =∞→nn （2）C C n =∞→lim （C 是常数） （3）无穷等比数列}{n q （1<q ）的极限是0，即 )1(0lim <=∞→q q n n 例1．求下列各极限220241(1)lim()42(2))(3)lim cos (4)limcos sin 22x x x x x x x xxxx x π→→∞→→-----解：(1)原式=lim 2→x 4121-=+-x (2)原式=∞→x lim b a xab x b a x ab x b a +=++++++)()(2(3)因为1||lim 0=+→x x x ，而1||lim 0-=-→x x x ，≠+→||limx x x ||lim0x x x -→，所以||lim 0x xx →不存在。
(4)原式=2sin 2cos 2sin 2cos lim222x x x x x --→π=2)2sin 2(cos lim 2=+→x x x π （5）0)31(lim =+∞→x x ，但-∞→x 时，x )31(→+∞。
可知∞→x 时，lim ∞→x x)31(不存在。
【思维点拨】①解此类问题常用的手段是“消因子”与“因式有理化”。
②第（5）小题易与数列极限lim ∞→n n)31(相混，数列极限中∞→n 特指+∞→n ，而函数极限中的∞→x 包括了+∞→x 与-∞→x 。
例2 求下列极限：222235721(1)lim()1111n n n n n n →∞+++++++++； 11.1242(2)lim()1393n n n --→∞++++++++解：（1） )112171513(lim 2222+++++++++∞→n n n n n n 222222[3(21)]1357(21)22lim lim lim lim 111111n n n n n n n n n n n n n n→∞→∞→∞→∞+++++++++=====++++（2）11212[()]1242212(21)33lim()lim lim lim 011139331(31)123n n n nn n n n n n n n n--→∞→∞→∞→∞-++++--====++++--- ()()()0320203(1)0(0)():120()4()(2)(),1,5,()x x b x f x x f x x f x x f x f x f x x x→→∞→⎧+>⎪==⎨⎪+>⎩-==x x x 例设试确定b 的值,使lim 存在为多项式且lim lim 求的表达式解:（1）+→0lim x f （x ）=+→0lim x（2x +b ）=b ,-→0lim x f （x ）=-→0lim x（1+2x ）=2,当且仅当b =2时,+→0limx f （x ）=-→0limx f （x ）,故b =2时,原极限存在. （2）由于f （x ）是多项式,且∞→x limxx x f 34)(-=1,∴可设f （x ）=4x 3+x 2+ax +b （a 、b 为待定系数）. 又∵0lim→x xx f )(=5, 即0lim →x （4x 2+x +a +xb ）=5, ∴a =5,b =0,即f （x ）=4x 3+x 2+5x .评述:（1）函数在某点处有极限,与其在该点处是否连续不同.（2）初等函数在其定义域内每点的极限值就等于这一点的函数值,也就是对初等函数而言,求极限就是求函数值,使极限运算大大简化.练习：设⎪⎩⎪⎨⎧<+=>+=0,10,00,)(x e x x b ax x f x ，问a ，b 为何值时，)(lim 0x f x →存在。
解：b b ax x f x x =+=++→→)(lim )(lim 00，2)1(lim )(lim 00=+=--→→x x x e x f 。
当b=2时有)(lim )(lim 00x f x f x x -+→→=，与a 无关。
故当b=2，a 为任何实数时，)(lim 0x f x →存在。
【思维点拨】)(lim 0x f x x →存在⇔=-→)(lim 0x f x x )(lim 0x f x x +→4.(0),x x →∞•≤<∞2n2nn 1-x例讨论函数f(x)=的连续性1+x 并作出函数图象lim部析:应先求出f （x ）的解析式，再判断连续性. 解:当0≤x ＜1时，f （x ）=∞→n lim ⋅+-nn x x 2211x =x ; 当x ＞1时，f （x ）=∞→n limnnx x 2211+-·x =∞→n lim 111122+-n nxx ·x =－x ;当x =1时，f （x ）=0. ∴f（x ）=⎪⎩⎪⎨⎧>-=<≤).1(),1(0),10(x x x x xi ∵+→1lim x f （x ）=+→1lim x （－x ）=－1,-→1lim x f （x ）=-→1limx x =1,∴1lim →x f （x ）不存在.∴f （x ）在x =1处不连续，f （x ）在定义域内的其余点都连续. 图象如下图所示.x-评述:而判断连续性.例5：已知,22lim 22n x mx x x =+++-→求n m , 解法一： ,22lim 22n x mx x x =+++-→2-=∴x 为方程022=++mx x 的一根，得3=m ，代人可得1-=n解法二：)2(lim 22++-→mx x x =()=++++-→222lim 22x mx x x x ()0022lim 2lim 222=⋅=+++⋅+-→-→n x mx x x x x ()()302222=⇒=+-+-∴m m ，代人可得1-=n例6：)(x f 为多项式，且5)(lim ,14)(lim 023==-→∞→x x f xx x f x x ，求)(x f 。
解：∵)(x f 是多项式，且14)(lim 23=-∞→xx x f x ，∴b ax x x x f ++=-234)(，b a ,为待定系数，即b ax x x x f +++=234)(，又5)(lim=→x x f x ，即5)4(lim 20=+++→xba x x x ，∴⎩⎨⎧==05b a ， 即x x x x f 54)(23++=。
【思维点拨】待定系数法是求函数解析式的常用方法。
三、课堂小结小结 ：有限个函数的和（或积）的极限等于这些函数的和（或积）；两个（或几个）函数的极限至少有一个不存在时，他们的和、差、积、商的极限不一定不存在. 在求几个函数的和（或积）的极限时，一般要化简，再求极限 .求函数的极限要掌握几种基本的方法.①代入法；②因式分解法；③分子、分母同除x 的最高次幂；④有理化法 四、布置作业。
